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新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 3 三角函数的计算》教案_4

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三角函数的计算
学习目标：
1.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够运用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值的实际问题.
4.能根据定义推导互余两角之间的三角函数关系及同角之间的三角函数关系，并会进行简单的应用.
本节重点：已知锐角求三角函数值；能解决含三角函数数值计算的实际问题. 本节难点：解决含三角函数值计算的实际问题.
前置学
1. 直角三角形中边与角的关系：如图，在Rt △ABC 中，∠C=900.
(1)sinA= ,cosA= , tanA= , sinB= , cosB= , tanB= .
(2)互余两角之间的三角函数关系；sinA= ,cosB= .
(3)同角之间的三角函数关系：平方关系；sin 2A+cos 2A= ；商的关系：tanA= .
(4)互余两角三角函数间的关系：
sincx= (900-cx )；coscx=sin( )
补充练习：
①请用“＞”将sin650，cos 200,tan 480连接 .
②已知锐角cx 满足sincx=6
5,求coscx 、tancx 的值.
合作探究
如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m ，sin160≈0.2756)
典例讲
例1 在“合作探究”的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=420，由此你还能计算什么？（sin420≈0.6691）
例2 如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角（angle of elevation）是450，而大厦底部的俯角（angle of depression）是300，求该大厦的高度.（结果精确到0.1m）
总结基本图形
反馈用
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC: BC=1:3,则cosA = ,tanA ==
2.设a 为锐角,若sina==23，则a= ；若tana =3
3，则a= . 3.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡度为600的山坡300m,再爬坡度为300的山坡100m ,求山高.(结果精确到0.1m)
4.如图，∠ABC= ∠BCD=90° ,AB =8, sinA =5
3.CD=23 ,求∠CBD 的三个三角函数值.
5.一段路基的横断面是直角梯形，如图(a)所示，已知原来坡面的坡角a 的正弦值为0.6,现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图( b)所示的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?。

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北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。

因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。

正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。

接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。

对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。

教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。

除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。

直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。

研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。

通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。

通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。

直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。

（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

新北师大版九年级数学下册《三角函数的计算》优质ppt教学课件

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上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)

1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)

∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin

∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).

42°＝ ，

E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
北师大版九年级下册数学教材分析共136页

北师大版九年级下册数学教材分析共136页

5．能够运用三角函数，解直角三角形及 解决与直角三角形有关的实际问题，培 养学生分析问题和解决问题的能力；
6．体会数、形之间的联系，逐步学习利 用数形结合的思想分析问题和解决问题。
8
设计思路
本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出 第一个三角函数——正切。因为相比之 下，正切是生活当中用得最多的三角函 数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的 坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切 的基础上、利用直角三角形、通过学生 的说理得到的。
4
研究图形之中各个元素之间的关系，如 边和角之间的关系，把这种关系用数量 的形式表示出来，即进行量化，是分析 问题和解决问题过程中常用的方法，是 数学中重要的思想方法。通过这一章内 容的学习，学生将进一步感受数形结合 的思想、体会数形结合的方法。
5
通过直角三角形中边角之间关系的学习， 学生将进一步体会数学知识之间的联系， 如比和比例、图形的相似、推理证明等。 直角三角形中边角之间关系的学习，也 将为一般性地学习三角函数的知识及进 一步学习其它数学知识奠定基础。
15
例1 通过计算正切值，判断梯子的倾斜 程度。 正切还经常应用于另一很实用的概 念——对山坡坡度的刻画。
16
在正切的基础上，继续拓展到直角三 角形其它边之间的比，由说理引出正弦和 余弦，以及它们的符号表示。
建议使学生进行充分的讨论、说理。
17
想一想 用正弦和余弦也可以刻画梯子的倾斜 程度，引导学生进一步讨论出正弦和余 弦的值与梯子倾斜程度之间的关系。
2．能够对所得到的数据进行分析，能够对 仪器进行调整和对测量的结果进行矫正， 从而得出符合实际的结果；
3．能够综合运用直角三角形边角关系的知 识解决实际问题；
4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和 科学精神。