中考数学 第17讲 全等三角形

2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。

中考数学专题复习全等三角形（公共角模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在ABC 中，∠BAC ＝90°，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为直角边在AD 右侧作等腰直角三角形ADE （90DAE ∠=︒，AD AE =），连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，猜想：BC 与CE 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；（3）如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．2．在四边形ABCD 中，∠DAB +∠DCB ＝180°，AC 平分∠DAB ．（1）如图1，求证：BC ＝CD ；（2）如图2，连接BD 交AC 于点E ，若∠ADB ＝90°，AE ＝2DE ，求∠ABD 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CH ∠AB 于点H ，∠BCH 沿BC 翻折，点H 的对应点为点F ，点G 在线段AB 上，连接FG ，若∠CGF ＝30°，S △CHG ＝9，求线段CG 的长．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG∠AH且AG＝AH，连接GC，HB．（1）证明：AHB∠AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．∠证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；∠当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．己知四边形ABCD中，AC∠BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝52．BC＝42，分别以∠ABC的边BC和AB向外作等腰Rt∠BCE和等腰Rt∠ABD；∠如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；∠如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝26，则S△ABC＝．5．已知，∠ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t为何值时，∠PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP 交点为M，请直接写出∠CMQ度数．6．（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：∠BCP∠∠DCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．∠若CD=2PC时，求证：BP∠CF；∠若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记∠BPF的面积为S1，∠DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．参考答案：1．（1）BC ∠CE ，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立【解析】【分析】（1）先证∠2=∠3，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；（2）先证∠2=∠3，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠ABD =∠ACE ，求出∠ABC =∠ACB =45°，得出∠ABD =∠ACE =135°即可；（3）先证∠BAD =∠CAE ，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠ABD =∠ACE ，再求∠ABC =∠ACB =45°，得出∠ABD =∠ACE =45°．【详解】解：（1）BC 与CE 的位置关系是BC ∠CE ，理由是：∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC -∠1=∠DAE -∠1，即∠2=∠3，在△ABD 和△ACE 中，23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△ABD ∠△ACE （SAS ），∠∠4=∠5，∠∠BAC =90°，AB =AC ，∠∠4=∠6=45°，∠∠5=45°，∠∠BCE =∠5+∠6=45°+45°=90°，即BC ∠CE ；（2）成立.理由是：∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，即∠2=∠3，在△ABD 和△ACE 中，23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△ABD ∠△ACE （SAS ），∠∠ABD =∠ACE ，∠∠BAC =90°，AB =AC ，∠∠ABC =∠ACB =45°，∠∠ABD =∠ACE =135°，∠∠BCE =∠ACE -∠ACB =135°-45°=90°，即BC ∠CE ；（3）成立∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠∠ABD=∠ACE，∠∠BAC=90°，AB=AC，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠ABD=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．2．（1）证明见解析；（2）30ABD∠=；（3）CG=6【解析】【分析】（1）过点C作CP∠AB于点P，作CQ∠AD的延长线于点Q，证明∠CQD∠∠CPB，即可得到答案；（2）延长ED，让MD=ED，∠AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案；（3）延长GC，过点F作FK∠GC的延长线于点K，过点H作HL∠GF于点L，连接HF，通过证明∠CFK∠∠HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半，求得FK=12GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=15，从求得到∠GCH=45，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案．【详解】解：（1）过点C作CP∠AB于点P，作CQ∠AD的延长线于点Q，如下图：∠AC平分∠DAB，CP∠AB，CQ∠AD∠CQ=CP在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC=90∠∠QAP+∠PCQ=180又∠∠DAB+∠DCB＝180°∠∠PCQ=∠DCB∠∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB∠∠QCD=∠PCB又∠∠CQD=∠CPB=90∠∠CQD∠∠CPB（ASA）∠CD=CB（2）延长ED，让MD=ED，如下图：∠∠ADB＝90°∠AD∠ME又∠MD=ED∠AM=AE，ME=2DE又∠AE=2DE∠ME=AE=AM∠∠AME是等边三角形∠60AED∠=又∠∠ADE＝90°∠30DAE∠=∠AC平分∠DAB∠30EAB DAE∠=∠=又∠AED EAB ABD∠=∠+∠∠30ABD∠=（3）延长GC，过点F作FK∠GC的延长线于点K，过点H作HL∠GF于点L，连接HF，如下图：∠在Rt CHB中，90,60CHB CBH ABD CBD∠=∠=∠+∠=∠∠HCB=30又∠折叠∠CH=CF, ∠HCB=∠FCB=30∠∠HCF=60∠∠CHF是等边三角形∠∠CFH=∠CHF=60，CF=HF又∠在Rt GFK△中，∠CGF=30，∠GKF=90∠∠GFK=60∠∠CFH=∠GFK∠∠CFK +∠CFG =∠CFG +∠HFL ∠∠CFK =∠HFL又∠∠CKF =∠LHF =90，CF =HF∠∠CFK ∠∠HFL∠FK =FL又∠在Rt GFK △中，∠CGF =30∠FK =12GF∠FL =12GF∠GL =FL又∠HL ∠GF∠HG =HF∠∠FGH =∠GFH又∠∠CHF =60，∠CHB =90∠∠FHB =∠CHB -∠CHF =30∠∠FGH =15∠∠CGH =∠CGF +∠FGH =45又∠∠CHG =90∠∠GCH =45∠GH =CH ，∠GCH 是等腰直角三角形又∠9CHG S =△∠192GH CH ⋅= ∠2218GH CH ==在Rt CHG 中，由勾股定理得：22236CG GH CH =+=∠CG ＞0∠CG =6【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含30︒的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点．3．（1）见解析；（2）∠见解析；∠当∠AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．【解析】【分析】（1）根据SAS可证明∠AHB∠∠AGC；（2）∠证明∠AEH∠∠AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；∠分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，∠∠BAC=90°，∠∠BAH=∠CAG，∠AB=AC，∠∠ABH∠∠ACG（SAS）；（2）∠证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠点E，F分别为AB，AC的中点，∠EF是∠ABC的中位线，∠EF∠BC，AE=12AB，AF=12AC，∠AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，∠∠EAH=∠F AG，AH=AG，∠∠AEH∠∠AFG（SAS），∠∠AFG=∠AEH=45°，∠∠HFG=45°+45°=90°；∠分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，∠AQ=QG，∠∠QAG=∠AGQ，∠AG∠AH且AG=AH，∠∠AHG=∠AGH=45°，∠∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，∠∠EAH=∠F AH=45°，∠AE=AF，AH=AH，∠∠AEH∠∠AFH（SAS），∠∠AHE=∠AHF，∠∠AHE+∠AHF=180°，∠∠AHE=∠AHF=90°；ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，∠∠AEH=∠AGQ=45°，∠∠GAQ=∠AQG=180452︒-︒=67.5°，∠∠EAQ=∠HAG=90°，∠∠EAH=∠GAQ=67.5°，∠∠AHE=∠AQG=67.5°；∠H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），∠不存在AG=AQ的情况．综上，当∠AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．4．（1）见解析；（2）∠146；∠7 2【解析】【分析】（1）根据AC∠BD可以得到，AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD²=DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² 即可得到答案;（2）连DC、AE相交于点F，先证明∠ABE ∠∠DBC得到∠CDB=∠BAE 从而证得AE∠CD 再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP∠BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（42）²=32，DP²+PC²=DC²=（46）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=7210，再证明AB∠PC则S△ABC＝12AB×BP.【详解】解：（1）证明：∠AC∠BD∠，AOB=90°在Rt∠AOB中AB²=AO²+OB²∠，COD=90°在Rt∠COD中CD² =DO²+OC²∠AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² ∠ AB2＋CD2＝AD2＋BC ²(2)∠解：连DC、AE相交于点F ∠Rt∠BCE和Rt∠ABD是等腰三角形∠BE=BC AB=BD∠CBE=∠ABD=90°∠∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∠∠ABE ∠∠DBC∠∠CDB=∠BAE∠∠ABD=90°∠∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∠∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∠∠AFD=90°∠AE∠CD∠AB=52，BC=42∠ACB=90° ∠AC=2232AB BC-=∠AB=52，BD=52∠ABD=90°∠AD=2210AB BD+=∠BC=42，BE=42∠CBE=90°∠CE=228BC BE+=由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∠(10)²+（8）²=（32）²+DE²∠DE=146∠连DC、AE相交于点F∠点G、H分别是AD、AC中点，GH＝26∠ DC=2GH =46作CP∠BD交DB延长线于点PBP²+CP²=BC²=（42）²=32DP²+PC²=DC²=（46）²=96∠(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∠DP²-BP²=64∠（BD+BP)²-BP²=64∠（52+BP)²-BP²=64∠BP=7210∠∠PBA=90°，∠P=90°，∠∠PBA+∠P=90°+90°=180°则S △ABC ＝12AB ×BP =12×52×772=102【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．（1）不变，60°；（2）43或83；（3）120°． 【解析】【分析】（1）通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°；（2）需要分类讨论：分∠PQB =90°和∠BPQ =90°两种情况；（3）通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°．【详解】（1）不变．在∠ABQ 与∠CAP 中，∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ），∠∠BAQ =∠ACP ，∠∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°；（2）设时间为t ，则AP =BQ =t ，PB =4-t ，∠当∠PQB =90°时，∠∠B =60°，∠4-t =2t ，43t =； ∠当∠BPQ =90°时，∠∠B =60°，∠BQ =2BP ，∠ t =2（4-t ），t =83； ∠当第43秒或第83秒时，∠PBQ 为直角三角形； （3）在∠ABQ 与∠CAP 中，∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ），∠∠BAQ =∠ACP ，∠∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）∠证明见解析；∠证明见解析．【解析】【分析】（1）由SAS 即可证明∠BCP ∠∠DCE ．（2）∠在（1）的基础上，再证明∠BCP ∠∠CDF ，进而得到∠FCD +∠BPC =90°，从而证明BP ⊥CF ；∠设CP =CE =1，则BC =CD =n ，DP =CD -CP =n -1，分别求出S 1与S 2的值，得()()11112S n n =+-，()2112S n =-，所以S 1=（n +1）S 2结论成立． 【详解】证明：（1）∠在∠BCP 与∠DCE 中，90BC CD BCP DCE CP CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠DCE （SAS ）．（2）∠∠CP =CE ，∠PCE =90°，∠∠CPE =45°，∠∠FPD =∠CPE =45°，∠∠PFD =45°，∠FD =DP ．∠CD =2PC ，∠DP =CP ，∠FD =CP ．∠在∠BCP 与∠CDF 中，90BC CD BCP CDF CP FD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠CDF （SAS ），∠∠FCD =∠CBP ．∠∠CBP +∠BPC =90°，∠∠FCD +∠BPC =90°，∠∠PGC =90°，即BP ⊥CF ．∠设CP =CE =1，则BC =CD =n ，DP =CD -CP =n -1 易知∠FDP 为等腰直角三角形，∠FD =DP =n -1．∠()1111222BCDF BCP FDP S S S S BC FD CD BC CP FD DP ∆∆=--=+⋅-⋅-⋅梯形 ()()()()()221111111111122222n n n n n n n n =+-⋅-⋅--=-=+- ()()2111111222S DP CE n n =⋅=-⋅=- ∠S 1=（n +1）S 2．【点睛】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的综合性强，难度较大．。

第十七讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【名师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形又称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角和是，2、三角形三边关系定理是确定三条线段能否构成三角形和判断线段间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段：1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这点是三角形的心它到得距离相等2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形直角三角形有一条高线在部，另外两条和重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，另外两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒：三角形的角平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】五、全等三角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°鄂州点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．宜宾点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．4．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练5．（2013•昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．【聚焦山东中考】（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，1．AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．3．（2013•菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．4．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．6．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°4．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远衡阳5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D邵阳6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°陕西9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是柳州13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．达州14．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．16．（2013•湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．18．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．20．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？21．（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．。

备考2019中考数学高频考点剖析专题十七平面几何之全等三角形问题考点扫描☆聚焦中考全等三角形，是每年小考的必考内容么一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。

解析题主要以证明为主。

结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：(1)全等三角形的性质；(2)全等三角形的判定；(3)涉及到全等三角形的综合应用.考点剖析☆典型例题頑(2018-黔南州)下列各图中纸b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ ABC全等的是( )【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与AABC全等，甲与AABC不全等.【解答】解：乙和AABC全等;理由如下:在AABC和图乙的三角形屮，满足三角形全等的判定方法：SAS,所以乙和AABC全等；在AABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：A AS,所以丙和△ABC全等；不能判定甲与AABC全等；故选：B.例2 (2018-安顺)如图，点D, E分别在线段AB, AC上，CD与BE相交于0点,已知AB二AC,//° wA.ZB=ZCB. AD二AEC. BD二CED. BE二CD【分析】欲使△ ABE^AACD,己知AB=AC,可根据全等三角形判定定理MS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.【解答】解：TAB二AC, ZA为公共角，A、如添加ZB=ZC,利用ASA即可证明厶ABE^AACD；B、如添AD=AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；C、如添BD二CE,等量关系可得AD二AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；D、如添BE二CD,因为SSA,不能证明厶ABE^AACD,所以此选项不能作为添加的条件. 故选：D.硕冋（2018*南充）如图，已知AB二AD, AC二AE, ZBAE^ZDAC.求证：ZC=ZE.【分析】由ZBAE=ZDAC可得到ZBAC=ZDAE,再根据“SAS”可判断△ BAC^ADAE,根据全等的性质即可得到ZC=ZE.【解答】解：TZBAE二ZDAC,・•・ ZBAE - ZCAE二ZDAC - ZCAE,即ZBAC二ZDAE,在ZXABC 和AADE 中，'AB二AD•・・< ZBAC二ZDAE,,AC二AEAAABC^AADE (SAS),AZC=ZE.（2018*哈尔滨）已知：在四边形ABCD屮，对角线AC、BD相交于点E,且AC丄BD,作BF 丄CD,垂足为点F, BF 与AC 交于点C, ZBGE=ZADE.(1) 如图1,求证:AD=CD ；(2) 如图2, BII 是AABE 的中线，若AE 二2DE, DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出图2屮四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于AADE 面积的2倍.【分析】(1)由 AC 丄BD 、BF 丄CD 知 ZADE+ZDAE 二ZCGF+ZGCF,根据 ZBGE=ZADE=ZCGF 得出ZDAE 二ZGCF 即可得；⑵设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a> EG 二DE P 、AH 二HE 二a 、CE=AE=2a,据此知 S^DC 二2/二2S MDE , 证厶ADE^ABGE 得BE 二AE 二2°,再分别求出 S AA BE 、 S AACE 、 S ABHG ， 从而得出答案.【解答】解：(1) VZBGE=ZADE, ZBGE=ZCGF,・・・ZADE 二 ZCGF,TAC 丄BD 、BF 丄CD,・•・ ZADE+ ZDAE= ZCGF+ ZGCF,•••ZDAE 二 ZGCF,「•AD 二 CD ；(2)设 DE 二a,・・・ S AA DE=-yAE • • 2a • a=a 2,TBH 是Z\ABE 的中线, •: AH=HE=a,TAD 二CD. AC 丄BD,CE=AE=2a,在ZiADE 和ZXBGE 中, "ZAED 二 ZBEG「DE 二 GE ,,ZADE=ZBGEAADc=yAC*DE=y- (2a+2a ) • a =2a.2=2S AADE ;「•△ADE竺△BGE (ASA), /• BE 二AE=2a,・・・S“E二寺AE・BE二+• (2a) *2a=2a2,综上，面积等于ZkADE面积的2倍的三角形有ZXACD、AABE^ ABCE> ABIIG. 考点过关☆专项突破类型一全等三角形的性质1.如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）解析：能够完全重合的两个图形叫做全等形.A、B、D图案均与题干屮的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180。

第17讲特殊三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有_两边相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1：等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE ＝30°，DE 交AC 于点E.若DE ∥BC 时，如图2. ①∠CDB ＝120°；②求证：△ADE 为等腰三角形；③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD. ∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF. (2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形． ③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°. ∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ， ∴∠AED ＝60°.Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°.Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED. (1)求证：BD ＝CP ；(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长； (3)直接写出线段DE 长度的最小值．【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADP 是等边三角形， ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP. ∴∠DAB ＝∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS)． ∴BD ＝CP.(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°. ∵CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BFBC ，∴BF ＝2tan30°＝233.(3)DE 长度的最小值是12，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此时PF ＝12，故DE长度的最小值是12.归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。

2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一： 三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二： 三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五： 全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是 ．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上． （1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六： 三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。

专题四全等三角形模型17 “一线三等角”全等模型模型展现基础模型怎么用?1.找模型当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角”全等模型2.用模型找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和及外角性质进行等角代换判定三角形全等巧学巧记简记“一线三等角,两头对应好，互补导等角，全等轻易找”.满分技法“—线三等角”模型常以等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、四边形(正方形或矩形或梯形)为背景,在几何综合题中考查.结论分析结论1:∠APC∠∠BDP证明:如图,∠点Р在线段AB上，∠ ∠APC+∠2+∠DPB=180°,在∠APC和∠BDP中，∠1+∠APC+∠C=180°,∠DPB+∠3+∠D=180°,∠∠1=∠2= ∠3,∠∠DPB=∠C ,∠APC=∠D，又∠AP= BD或AC=BP或CP=PD，∠∠APC∠∠BDP结论2:∠APC∠∠BDP证明:如图,点P在线段AB的延长线上,∠∠1=∠C+∠APC,∠2=∠D+∠BPD,∠3=∠BPD+∠APC ,∠1=∠2=∠3，∠∠D= ∠APC ,∠CAP= ∠PBD,∠AP=BD或AC=BP或CP=PD,∠∠APC∠∠BDP模型拓展拓展延伸若题干中“一线三等角”中无对应线段相等,则为“一线三等角”相似模型(见本书P154模型49“一线三等角”相似模型).典例小试例1如图,在∠ABC中,AB=AC（点拨：∠B=∠C）,点D,E,F分别在边AB ,BC,AC 上,若∠B=∠DEF（点拨：∠B= ∠C=∠DEF）, ED=EF（点拨：一组边对应相等）,CF=3, 则BE的长为（）A.3B.6C.9D. 12考什么?等腰三角形的性质,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质例2 (2021陕西)如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒,点A、C、E共线.若AC=6 cm,CD∠BC,则线段CE的长度是（）考什么?等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理例3 (2021南充)如图, ∠BAC=90°, AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC，BE∠AD 点E，CF∠AD于点F，求证:AF=BE.考什么?直角三角形的性质,全等三角形的判定及性质思路点拨“一线三等角”模型无论是同侧型还是异侧型,主要根据等.角转换,得到角相等,再结合已知条件证明全等.实战实演1.如图,∠ABC中，AC=BC，∠B=45°，A(0,4), C(-2, 0),则中点B的坐标为（）2.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,BC=1,点E是BC上一点,若∠ADE为等边三角形,则AB+CD的值为.3.∠ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若∠ABC的面积为6,则∠ABE与∠CDF的面积之和为.4.如图∠，在∠ABC中,AB=AC,点D,A,E三点都在直线l上.若∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)猜想并证明DE , BD,CE之间的数量关系;(2)如图∠,若α= 120°,且∠ACF为等边三角形,求证:∠DEF为等边三角形.模型18 “半角”全等模型模型展现基础模型已知:∠BAC =2α，AB =AC .∠DAE =21∠BAC =α已知:∠BDC =120°BD = CD ,∠EDF = 60°已知:∠BAC =90°AB =AC∠DAE =45°旋转2a 变形后旋转120°变形后旋转90°变形后 怎么用? 1.找模型一个角包含着该角的半角，如120°角包含60°角,90°角包含45°角,或者出现21关系,则考虑使用“半角”模型 2.用模型∠找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;∠证全等;∠利用全等得到边角的关系结论分析结论2: ∠∠BDE ∠∠CDG , ∠DEF ∠∠DGF ; ∠EF = BE +FC证明:如图,以点D 为旋转中心，线段DE 按顺时针方向旋转120°到DG ,连接CG ,则有DE =DG ,∠EDG = 120°∠ ∠BDE +∠EDC =∠EDC +∠CDG = 120°， ∠∠BDE =∠CDG在∠BDG 和∠CDG 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∠∠BDG ≅∠CDG ∠BE =CG在∠EDG 和∠GDF 中，DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∠∠EDG ≅∠GDF∠EF =GF =FC +CG =FC +BE满分技法对于“半角”模型,一般情况下都需要做辅助线(旋转角度或构造等角) ,构造全等,然后通过证明全等得到相关结论.模型拓展旋转120°变形后旋转90°变形后拓展延伸菱形、正方形中含半角，与基本模型中的解法一致,常在几何综合题中，以菱形、正方形为背景,考查“半角”模型.例1如图， 在等边∠ABC 中,点E ,F 分别在AB ,AC 上,点D 为∠ABC 外一点,且∠EDF =60°,∠BDC = 120°. BD = DC (点拨： 含半角，含等边)设∠AEF 的周长为C 1,等边OABC 的周长为C 2,.若DE = DF ,则12c c 的值为______________.例1题图等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质例2如图，已知∠ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形（点拨：∠ ACB=90°,AC= BC），,点E、F在AB边上,∠ECF=12∠ACB（点拨：12关系,即半角）.若AE=2, EF=3,则BF的长为。

第十七讲三角形与全等三角形【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为9-4＜5＜8+4，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．81．B考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°思路分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故选A．点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°2．A考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可． 解：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，理由如下：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，E C AE ACEAM CAN =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEM ≌△CAN （ASA ）．点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ．思路分析：要证明BE=CD ，把BE 与CD 分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS 可得出三角形ABE 与三角形ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．证明：在△ABE 和△ACD 中，B C A A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 在AB 上，连结BE ．请找出一对全等三角形，并说明理由．3．解：△ACE ≌△BCD ．∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD （都是∠ACD 的余角），在△ACE 和△BCD 中，∵CE CD ACE BCD CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ．4．（2013•十堰）如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，BD=CE ．求证：AD=AE ．4．证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABD 与△ACE 中，∵AB AC B C BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．思路分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）； 故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：在△ABC 和△ADE 中，A A C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练【聚焦山东中考】1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AE=CE ．2．证明：如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，∵CE ⊥AD ，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D ，在△BCF 和△CDE 中，90BCF D CED BFC BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴BF=CE ，又∵∠A=90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，∴四边形AEFB 是矩形，∴AE=BF ，3．（2013•菏泽）如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ．（1）求证：△ABE ≌△CBD ；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数．3．（1）证明：∵∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE 和△CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；（2）解：∵AB=CB ，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；4．（2013•临沂）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF=DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE=DE ，BD=CD ，在△AFE 和△DBE 中AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ），∴AF=BD ，∴AF=DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明：∥BC ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD=DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE=BD+CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状．5．证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵BF=AF在△DBF 和△EAF 中FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△EAF （sas ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．6．（2013•烟台）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系式 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．6．解：（1）AE ∥BF ，QE=QF ，理由是：如图1，∵Q 为AB 中点，∴AQ=BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∠BFQ=∠AEQ ，在△BFQ 和△AEQ 中BFQ AEQBQF AQE BQ AQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFQ ≌△AEQ （AAS ），∴QE=QF ，故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ．（2）QE=QF ，证明：如图2，延长FQ 交AE 于D ，∵AE ∥BF ，∴∠QAD=∠FBQ ，在△FBQ 和△DAQ 中FBQ DAQAQ BQ BQF AQD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FBQ ≌△DAQ （ASA ），∴QF=QD ，∵AE ⊥CP ，∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线，∴QE=QF=QD ，即QE=QF ．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ，∵AE ∥BF ，∴∠1=∠D ，在△AQE 和△BQD 中123D AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AQE ≌△BQD （AAS ），∴QE=QD ，∵BF ⊥CP ，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE=QF ．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形1．D2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，42．D3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3．C4．（2013•河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远4．C5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D5．C6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确6．A7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC7．A8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°8．B9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．C二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．10．6011．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．11．2012．（2013•巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）12．CA=FD13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，13．∠B=∠C （答案不唯一）14．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．14．20132m三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证：△ABC ≌△AED ．15．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，即∠BAC=∠EAD ，∵在△ABC 和△AED 中，D C BAC EAD AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△AED （AAS ）．16．（2013•湛江）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AC=DF ．16．证明：∵FB=CE ，∴FB+FC=CE+FC ，∴BC=EF ，∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，∵在△ABC 和△DEF 中，B E BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC=DF ．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ；（2）证明推论AAS ．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．17．解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS 指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．（2）已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，BC=EF ．求证：△ABC ≌△DEF ．证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F （已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F （等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E ．∵在△ABC 与△DEF 中，C F BC EF B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．18．（2013•随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．18．解：不能；选择条件：①AB=DE ；∵BF=CE ，∴BF+BE=CE+BE ，即EF=CB ，在△ABC 和△DFE 中，AB DE ABC DEF EF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFE （SAS ）．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．19．证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD ，∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴BD=AE ．20．（2013•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？20．（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （AAS ）；（2）解：∵△ABE ≌△DCE ，∴BE=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．21．（2013•荆门）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．21．证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BF AFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．。

第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。

(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。

2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。

微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。

二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。

2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。

3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。

2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。

注意分清题设和结论。

高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。

(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。

中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理复习目标1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；考点梳理一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP△AQ．【答案】证明：（1）△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，△△1+△CAE=90°，△2+△CAE=90°．△△1=△2,△在△AQC和△PAB中，△△AQC△△PAB．△ AP=AQ.(2)△ AP=AQ，△QAC=△P，△△PAD+△P=90°，△△PAD+△QAC=90°，即△PAQ=90°．△AP△AQ．二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且△1＝△2,△3＝△4,求证：BE＋CF＞EF.【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF,在△BDE和△CDM中，△△BDE△△CDM（SAS）．△BE=CM.又△△1＝△2，△3＝△4 ，△1＋△2＋△3＋△4＝180°，△△3＋△2=90°，即△EDF＝90°，△△FDM＝△EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中△△EDF△△MDF（SAS）,△EF＝MF （全等三角形对应边相等）,△在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,△BE＋CF＞EF.三、常见的几种辅助线添加△遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；△遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；△遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；△过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；△截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，△ D为BC中点，△ BD=DC，在△ADC和△HDB中，△ △ADC△△HDB(SAS)，△ AC=BH, △H=△HAC，△ EA=EF，△ △HAE=△AFE，又△ △BFH=△AFE，△ BH=BF，△ BF=AC．综合训练1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．SAS【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使△A′=△A，A′B′=AB，△B′=△B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：C．2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED 的面积：四边形ADGF的面积＝（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2【答案】D【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF 的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE△△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．【详解】解：设三角形ABC的面积是2，△三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，△BG：GF＝CG：GD＝2，△三角形CGF的面积是13，△四边形ADGF的面积是2−1−13＝23，△//l BC,△EAD CBD∠=∠,△,=∠=∠,BD AD ADE BDC△△ADE△△BDC（ASA）△△ADE的面积是1△△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：2＝3：2．3故选：D．3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形ABCD中，210AB=﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将BCF△沿BF△的面积是（）翻折得到BPF△，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则QGFA．25B．25C．20D．15 2【答案】D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得QB，可求出S△BQF=25，再证明△ABE△△BCF（SAS），△BGE△△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN△AB交AB于N，可证明△ANG△△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．【详解】解：将BCF△，△沿BF翻折得到BPF∴PF =FC ，△PFB =△CFB ，四边形ABCD 是正方形∴△FPB =90°，CD △AB ，,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒△△CFB =△ABF ， △△ABF =△PFB ， △QF =QB ，△PF =FC =12CD 12AB =PB =AB 在Rt △BPQ 中，222QB BP PQ =+，△222(QB QB =+，△QB△S△BQF =1252=，△AB =BC ，BE =CF ，△ABE =△BCF =90°， △△ABE △△BCF （SAS ）， △△AEB =△BFC ， 又△△EBG =△CBF ， △△BGE △△BCF ，GE BG BECF BC BF∴==， △CF，BC △BF△GEBG ， 过点G 作GN △AB 交AB 于N ，△△GAN=△EAB，△ANG=△ABE=90°，△△ANG△△ABE，△GN GABE EA=△GA=AE-GE =42△GN=4105△S△BQG=12×QB×GN=1510410225⨯⨯=10，△S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD△、ABE△、BCF△，则下列结论正确的是（）A．EBF DFC≌B．四边形ADFE为矩形C．四边形ADFE为菱形D ．当AB AC =，120BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形【答案】A【分析】利用SAS 得到△EBF 与△DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到EF ＝AC ，再由△ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF ＝AD ，AE ＝DF ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，只能得到AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【详解】解：△△ABE 、△BCF 为等边三角形，△AB ＝BE ＝AE ，BC ＝CF ＝FB ，△ABE ＝△CBF ＝60°，△△ABE −△ABF ＝△FBC −△ABF ，即△CBA ＝△FBE ，在△ABC 和△EBF 中，AB EB CBA FBE BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABC △△EBF （SAS ），△EF ＝AC ，又△△ADC 为等边三角形，△CD ＝AD ＝AC ，△EF ＝AD ＝DC ，同理可得△ABC △△DFC ，△DF ＝AB ＝AE ＝DF ，△四边形AEFD 是平行四边形，故B 、C 选项错误；△△FEA ＝△ADF ，△△FEA ＋△AEB ＝△ADF ＋△ADC ，即△FEB ＝△CDF ，在△FEB 和△CDF 中，EF DC FEB CDF EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． △△FEB △△CDF （SAS ），故选项A 正确；若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，则有AE ＝AD ，△EAD ＝120°，此时AEFD 为菱形，选项D 错误故选A ．5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形ABEC 中，BEC ∠和BAC ∠都是直角，且AB AC =．现将BEC ∆沿BC 翻折，点E 的对应点为E '，BE '与AC 边相交于D 点，恰好BE '是ABC ∠的角平分线，若1CE =，则BD 的长为（ ）A ．1.5B 2C ．2D 3【答案】C【分析】 如图，延长CE '和BA 相交于点F ，根据翻折的性质可以证明△BE′C △△BE′F ，可得CF =2，再证明△FCA △△DBA ，可得BD =CF =2．【详解】解：如图，延长CE '和BA 相交于点F ，由翻折可知：90BE C E ∠'=∠=︒，1CE CE '==，BE '是ABC ∠的角平分线，CBE FBE ∴∠'=∠'，BE BE '='，∴()BE C BE F ASA '≅'，1E F CE ∴'='=，2CF ∴=，90FCA F ∠+∠=︒，90DBA F ∠+∠=︒，FCA DBA ∴∠=∠，90FAC DAB ∠=∠=︒，AB AC =，()FCA DBA ASA ∴≅，2BD CF ∴==．故选：C ．6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BD ，BE ，使BD BE =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点F ；作射线BF 交AC于点H．若2HA=，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．12B．2C．1D．无法确定【答案】B【分析】根据作图过程可得BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．【详解】解：根据作图过程可知：BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，△HP＝HA＝2．故选：B．7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在Rt ABC中，90C∠=︒，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若54B∠=︒，则CDA∠=______度．【答案】72°利用三角形内角和180°，解得36CAB ∠=︒，由角平分线性质解得18CAD ∠=︒的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．【详解】解：90,54C B ∠=︒∠=︒905436CAB ∴∠=︒-︒=︒ AD 平分CAB ∠ 1182CAD DAB CAB ∴∠=∠=∠=︒ 185472CDA DAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：72．8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 中，3OA =，6OC =，将ABC 沿对角线AC 翻折，使点B 落在B '处，AB '与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为______．【答案】9(0,)4-【分析】设OD m =，则6CD m =-，由题意可以求证AOD CB D '△≌△，从而得到6AD CD m ==-，再根据勾股定理即可求解．解：由题意可知：3OA BC B C '===，6OC AB ==，90B B AOD '∠=∠=∠=︒ 设OD m =，则6CD m =-，又△B DC ADO '∠=∠△()AOD CB D AAS '△≌△△6AD CD m ==-在Rt AOD △中，222AD AO OD =+，即222(6)3m m -=+ 解得：94m =△点D 的坐标为9(0,)4-故答案为9(0,)4-9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠，求证：ABC DCB △≌△．【答案】证明见解析【分析】由条件△ABC ＝△DCB ，△ACB ＝△DBC ，根据ASA 证明△ABC △△DCB 即可．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABC △△DCB （ASA ）；10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE 和△CDF 中，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，BF ＝CE ，若AB △CD ，△A ＝△D ．求证：AB ＝CD ．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得△B ＝△C ，根据已知条件可得BE ＝CD ，结合已知条件△A ＝△D ，即可证明△ABE △△DCF ，进而即可得证AB ＝CD ．【详解】解：△AB △CD ，△△B ＝△C ．△BF ＝CE ，△BF ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF ．△△A ＝△D ，△B ＝△C ，BE ＝CF△△ABE △△DCF （AAS ）．△AB ＝CD ．。