中考数学 第17讲 全等三角形

2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。

中考数学专题复习全等三角形（公共角模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在ABC 中，∠BAC ＝90°，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为直角边在AD 右侧作等腰直角三角形ADE （90DAE ∠=︒，AD AE =），连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，猜想：BC 与CE 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；（3）如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．2．在四边形ABCD 中，∠DAB +∠DCB ＝180°，AC 平分∠DAB ．（1）如图1，求证：BC ＝CD ；（2）如图2，连接BD 交AC 于点E ，若∠ADB ＝90°，AE ＝2DE ，求∠ABD 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CH ∠AB 于点H ，∠BCH 沿BC 翻折，点H 的对应点为点F ，点G 在线段AB 上，连接FG ，若∠CGF ＝30°，S △CHG ＝9，求线段CG 的长．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG∠AH且AG＝AH，连接GC，HB．（1）证明：AHB∠AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．∠证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；∠当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．己知四边形ABCD中，AC∠BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝52．BC＝42，分别以∠ABC的边BC和AB向外作等腰Rt∠BCE和等腰Rt∠ABD；∠如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；∠如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝26，则S△ABC＝．5．已知，∠ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t为何值时，∠PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP 交点为M，请直接写出∠CMQ度数．6．（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：∠BCP∠∠DCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．∠若CD=2PC时，求证：BP∠CF；∠若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记∠BPF的面积为S1，∠DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．参考答案：1．（1）BC ∠CE ，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立【解析】【分析】（1）先证∠2=∠3，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；（2）先证∠2=∠3，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠ABD =∠ACE ，求出∠ABC =∠ACB =45°，得出∠ABD =∠ACE =135°即可；（3）先证∠BAD =∠CAE ，再证∠ABD ∠∠ACE （SAS ），得出∠ABD =∠ACE ，再求∠ABC =∠ACB =45°，得出∠ABD =∠ACE =45°．【详解】解：（1）BC 与CE 的位置关系是BC ∠CE ，理由是：∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC -∠1=∠DAE -∠1，即∠2=∠3，在△ABD 和△ACE 中，23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△ABD ∠△ACE （SAS ），∠∠4=∠5，∠∠BAC =90°，AB =AC ，∠∠4=∠6=45°，∠∠5=45°，∠∠BCE =∠5+∠6=45°+45°=90°，即BC ∠CE ；（2）成立.理由是：∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，即∠2=∠3，在△ABD 和△ACE 中，23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△ABD ∠△ACE （SAS ），∠∠ABD =∠ACE ，∠∠BAC =90°，AB =AC ，∠∠ABC =∠ACB =45°，∠∠ABD =∠ACE =135°，∠∠BCE =∠ACE -∠ACB =135°-45°=90°，即BC ∠CE ；（3）成立∠∠BAC =∠DAE =90°，∠∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠∠ABD=∠ACE，∠∠BAC=90°，AB=AC，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠ABD=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．2．（1）证明见解析；（2）30ABD∠=；（3）CG=6【解析】【分析】（1）过点C作CP∠AB于点P，作CQ∠AD的延长线于点Q，证明∠CQD∠∠CPB，即可得到答案；（2）延长ED，让MD=ED，∠AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案；（3）延长GC，过点F作FK∠GC的延长线于点K，过点H作HL∠GF于点L，连接HF，通过证明∠CFK∠∠HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半，求得FK=12GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=15，从求得到∠GCH=45，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案．【详解】解：（1）过点C作CP∠AB于点P，作CQ∠AD的延长线于点Q，如下图：∠AC平分∠DAB，CP∠AB，CQ∠AD∠CQ=CP在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC=90∠∠QAP+∠PCQ=180又∠∠DAB+∠DCB＝180°∠∠PCQ=∠DCB∠∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB∠∠QCD=∠PCB又∠∠CQD=∠CPB=90∠∠CQD∠∠CPB（ASA）∠CD=CB（2）延长ED，让MD=ED，如下图：∠∠ADB＝90°∠AD∠ME又∠MD=ED∠AM=AE，ME=2DE又∠AE=2DE∠ME=AE=AM∠∠AME是等边三角形∠60AED∠=又∠∠ADE＝90°∠30DAE∠=∠AC平分∠DAB∠30EAB DAE∠=∠=又∠AED EAB ABD∠=∠+∠∠30ABD∠=（3）延长GC，过点F作FK∠GC的延长线于点K，过点H作HL∠GF于点L，连接HF，如下图：∠在Rt CHB中，90,60CHB CBH ABD CBD∠=∠=∠+∠=∠∠HCB=30又∠折叠∠CH=CF, ∠HCB=∠FCB=30∠∠HCF=60∠∠CHF是等边三角形∠∠CFH=∠CHF=60，CF=HF又∠在Rt GFK△中，∠CGF=30，∠GKF=90∠∠GFK=60∠∠CFH=∠GFK∠∠CFK +∠CFG =∠CFG +∠HFL ∠∠CFK =∠HFL又∠∠CKF =∠LHF =90，CF =HF∠∠CFK ∠∠HFL∠FK =FL又∠在Rt GFK △中，∠CGF =30∠FK =12GF∠FL =12GF∠GL =FL又∠HL ∠GF∠HG =HF∠∠FGH =∠GFH又∠∠CHF =60，∠CHB =90∠∠FHB =∠CHB -∠CHF =30∠∠FGH =15∠∠CGH =∠CGF +∠FGH =45又∠∠CHG =90∠∠GCH =45∠GH =CH ，∠GCH 是等腰直角三角形又∠9CHG S =△∠192GH CH ⋅= ∠2218GH CH ==在Rt CHG 中，由勾股定理得：22236CG GH CH =+=∠CG ＞0∠CG =6【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含30︒的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点．3．（1）见解析；（2）∠见解析；∠当∠AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．【解析】【分析】（1）根据SAS可证明∠AHB∠∠AGC；（2）∠证明∠AEH∠∠AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；∠分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，∠∠BAC=90°，∠∠BAH=∠CAG，∠AB=AC，∠∠ABH∠∠ACG（SAS）；（2）∠证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠点E，F分别为AB，AC的中点，∠EF是∠ABC的中位线，∠EF∠BC，AE=12AB，AF=12AC，∠AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，∠∠EAH=∠F AG，AH=AG，∠∠AEH∠∠AFG（SAS），∠∠AFG=∠AEH=45°，∠∠HFG=45°+45°=90°；∠分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，∠AQ=QG，∠∠QAG=∠AGQ，∠AG∠AH且AG=AH，∠∠AHG=∠AGH=45°，∠∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，∠∠EAH=∠F AH=45°，∠AE=AF，AH=AH，∠∠AEH∠∠AFH（SAS），∠∠AHE=∠AHF，∠∠AHE+∠AHF=180°，∠∠AHE=∠AHF=90°；ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，∠∠AEH=∠AGQ=45°，∠∠GAQ=∠AQG=180452︒-︒=67.5°，∠∠EAQ=∠HAG=90°，∠∠EAH=∠GAQ=67.5°，∠∠AHE=∠AQG=67.5°；∠H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），∠不存在AG=AQ的情况．综上，当∠AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．4．（1）见解析；（2）∠146；∠7 2【解析】【分析】（1）根据AC∠BD可以得到，AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD²=DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² 即可得到答案;（2）连DC、AE相交于点F，先证明∠ABE ∠∠DBC得到∠CDB=∠BAE 从而证得AE∠CD 再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP∠BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（42）²=32，DP²+PC²=DC²=（46）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=7210，再证明AB∠PC则S△ABC＝12AB×BP.【详解】解：（1）证明：∠AC∠BD∠，AOB=90°在Rt∠AOB中AB²=AO²+OB²∠，COD=90°在Rt∠COD中CD² =DO²+OC²∠AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² ∠ AB2＋CD2＝AD2＋BC ²(2)∠解：连DC、AE相交于点F ∠Rt∠BCE和Rt∠ABD是等腰三角形∠BE=BC AB=BD∠CBE=∠ABD=90°∠∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∠∠ABE ∠∠DBC∠∠CDB=∠BAE∠∠ABD=90°∠∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∠∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∠∠AFD=90°∠AE∠CD∠AB=52，BC=42∠ACB=90° ∠AC=2232AB BC-=∠AB=52，BD=52∠ABD=90°∠AD=2210AB BD+=∠BC=42，BE=42∠CBE=90°∠CE=228BC BE+=由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∠(10)²+（8）²=（32）²+DE²∠DE=146∠连DC、AE相交于点F∠点G、H分别是AD、AC中点，GH＝26∠ DC=2GH =46作CP∠BD交DB延长线于点PBP²+CP²=BC²=（42）²=32DP²+PC²=DC²=（46）²=96∠(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∠DP²-BP²=64∠（BD+BP)²-BP²=64∠（52+BP)²-BP²=64∠BP=7210∠∠PBA=90°，∠P=90°，∠∠PBA+∠P=90°+90°=180°则S △ABC ＝12AB ×BP =12×52×772=102【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．（1）不变，60°；（2）43或83；（3）120°． 【解析】【分析】（1）通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°；（2）需要分类讨论：分∠PQB =90°和∠BPQ =90°两种情况；（3）通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°．【详解】（1）不变．在∠ABQ 与∠CAP 中，∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ），∠∠BAQ =∠ACP ，∠∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°；（2）设时间为t ，则AP =BQ =t ，PB =4-t ，∠当∠PQB =90°时，∠∠B =60°，∠4-t =2t ，43t =； ∠当∠BPQ =90°时，∠∠B =60°，∠BQ =2BP ，∠ t =2（4-t ），t =83； ∠当第43秒或第83秒时，∠PBQ 为直角三角形； （3）在∠ABQ 与∠CAP 中，∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ），∠∠BAQ =∠ACP ，∠∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）∠证明见解析；∠证明见解析．【解析】【分析】（1）由SAS 即可证明∠BCP ∠∠DCE ．（2）∠在（1）的基础上，再证明∠BCP ∠∠CDF ，进而得到∠FCD +∠BPC =90°，从而证明BP ⊥CF ；∠设CP =CE =1，则BC =CD =n ，DP =CD -CP =n -1，分别求出S 1与S 2的值，得()()11112S n n =+-，()2112S n =-，所以S 1=（n +1）S 2结论成立． 【详解】证明：（1）∠在∠BCP 与∠DCE 中，90BC CD BCP DCE CP CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠DCE （SAS ）．（2）∠∠CP =CE ，∠PCE =90°，∠∠CPE =45°，∠∠FPD =∠CPE =45°，∠∠PFD =45°，∠FD =DP ．∠CD =2PC ，∠DP =CP ，∠FD =CP ．∠在∠BCP 与∠CDF 中，90BC CD BCP CDF CP FD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠CDF （SAS ），∠∠FCD =∠CBP ．∠∠CBP +∠BPC =90°，∠∠FCD +∠BPC =90°，∠∠PGC =90°，即BP ⊥CF ．∠设CP =CE =1，则BC =CD =n ，DP =CD -CP =n -1 易知∠FDP 为等腰直角三角形，∠FD =DP =n -1．∠()1111222BCDF BCP FDP S S S S BC FD CD BC CP FD DP ∆∆=--=+⋅-⋅-⋅梯形 ()()()()()221111111111122222n n n n n n n n =+-⋅-⋅--=-=+- ()()2111111222S DP CE n n =⋅=-⋅=- ∠S 1=（n +1）S 2．【点睛】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的综合性强，难度较大．。

第十七讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【名师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形又称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角和是，2、三角形三边关系定理是确定三条线段能否构成三角形和判断线段间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段：1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这点是三角形的心它到得距离相等2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形直角三角形有一条高线在部，另外两条和重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，另外两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒：三角形的角平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】五、全等三角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°鄂州点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．宜宾点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．4．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练5．（2013•昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．【聚焦山东中考】（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，1．AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．3．（2013•菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．4．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．6．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°4．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远衡阳5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D邵阳6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°陕西9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是柳州13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．达州14．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．16．（2013•湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．18．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．20．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？21．（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．。

备考2019中考数学高频考点剖析专题十七平面几何之全等三角形问题考点扫描☆聚焦中考全等三角形，是每年小考的必考内容么一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。

解析题主要以证明为主。

结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：(1)全等三角形的性质；(2)全等三角形的判定；(3)涉及到全等三角形的综合应用.考点剖析☆典型例题頑(2018-黔南州)下列各图中纸b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ ABC全等的是( )【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与AABC全等，甲与AABC不全等.【解答】解：乙和AABC全等;理由如下:在AABC和图乙的三角形屮，满足三角形全等的判定方法：SAS,所以乙和AABC全等；在AABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：A AS,所以丙和△ABC全等；不能判定甲与AABC全等；故选：B.例2 (2018-安顺)如图，点D, E分别在线段AB, AC上，CD与BE相交于0点,已知AB二AC,//° wA.ZB=ZCB. AD二AEC. BD二CED. BE二CD【分析】欲使△ ABE^AACD,己知AB=AC,可根据全等三角形判定定理MS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.【解答】解：TAB二AC, ZA为公共角，A、如添加ZB=ZC,利用ASA即可证明厶ABE^AACD；B、如添AD=AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；C、如添BD二CE,等量关系可得AD二AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；D、如添BE二CD,因为SSA,不能证明厶ABE^AACD,所以此选项不能作为添加的条件. 故选：D.硕冋（2018*南充）如图，已知AB二AD, AC二AE, ZBAE^ZDAC.求证：ZC=ZE.【分析】由ZBAE=ZDAC可得到ZBAC=ZDAE,再根据“SAS”可判断△ BAC^ADAE,根据全等的性质即可得到ZC=ZE.【解答】解：TZBAE二ZDAC,・•・ ZBAE - ZCAE二ZDAC - ZCAE,即ZBAC二ZDAE,在ZXABC 和AADE 中，'AB二AD•・・< ZBAC二ZDAE,,AC二AEAAABC^AADE (SAS),AZC=ZE.（2018*哈尔滨）已知：在四边形ABCD屮，对角线AC、BD相交于点E,且AC丄BD,作BF 丄CD,垂足为点F, BF 与AC 交于点C, ZBGE=ZADE.(1) 如图1,求证:AD=CD ；(2) 如图2, BII 是AABE 的中线，若AE 二2DE, DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出图2屮四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于AADE 面积的2倍.【分析】(1)由 AC 丄BD 、BF 丄CD 知 ZADE+ZDAE 二ZCGF+ZGCF,根据 ZBGE=ZADE=ZCGF 得出ZDAE 二ZGCF 即可得；⑵设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a> EG 二DE P 、AH 二HE 二a 、CE=AE=2a,据此知 S^DC 二2/二2S MDE , 证厶ADE^ABGE 得BE 二AE 二2°,再分别求出 S AA BE 、 S AACE 、 S ABHG ， 从而得出答案.【解答】解：(1) VZBGE=ZADE, ZBGE=ZCGF,・・・ZADE 二 ZCGF,TAC 丄BD 、BF 丄CD,・•・ ZADE+ ZDAE= ZCGF+ ZGCF,•••ZDAE 二 ZGCF,「•AD 二 CD ；(2)设 DE 二a,・・・ S AA DE=-yAE • • 2a • a=a 2,TBH 是Z\ABE 的中线, •: AH=HE=a,TAD 二CD. AC 丄BD,CE=AE=2a,在ZiADE 和ZXBGE 中, "ZAED 二 ZBEG「DE 二 GE ,,ZADE=ZBGEAADc=yAC*DE=y- (2a+2a ) • a =2a.2=2S AADE ;「•△ADE竺△BGE (ASA), /• BE 二AE=2a,・・・S“E二寺AE・BE二+• (2a) *2a=2a2,综上，面积等于ZkADE面积的2倍的三角形有ZXACD、AABE^ ABCE> ABIIG. 考点过关☆专项突破类型一全等三角形的性质1.如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）解析：能够完全重合的两个图形叫做全等形.A、B、D图案均与题干屮的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180。