概率论
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引例甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙8, 7, 10, 9, 8, 8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲= 8.3,乙= 8.3§4.2 方差有五个不同数有四个不同再比较稳定程度34.13)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(222222=-+-+-+-+-⨯甲：乙：34.5)3.87()3.88(3)3.89()3.810(2222=-+-⨯+-+-乙比甲技术稳定，故乙技术较好.Ch4-50进一步比较平均偏离平均值的程度甲])3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(2[61222 22-+-+-+-+-⨯乙])3.87()3.88(3)3.89()3.810[(612222-+-⨯+-+-22.26/34.13==89.06/34.5==()∑=-512)(kkkpXEx()∑-42)(kkpXExE [X -E(X)]2Ch4-51若E [X -E (X )]2存在, 则称其为随机称)(X D 为X 的均方差或标准差.方差概念定义即 D (X ) = E [X -E (X )]2变量X 的方差,记为D (X ) 或Var (X )两者量纲相同D (X ) ——描述r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度——数Ch4-52,2,1,)(===k p x X P k k 若X 为离散型r.v.，分布律为()∑∞+=-=12)()(k kk p X E x X D 若X 为连续型r.v.，概率密度为f (x )()dxx f X E x X D )()()(2⎰∞+∞--=计算方差的常用公式：)()()(22X E X E X D -=Ch4-53❑D (C ) = 0❑D (aX ) = a 2D (X)D (aX+b ) = a 2D (X )❑()))())(((2)()()(Y E Y X E X E YD X D Y X D --±+=±特别地，若X ,Y 相互独立，则)()()(Y D X D Y X D +=±方差的性质Ch4-54若n X X ,,1 相互独立，b a a a n ,,,,21 为常数则∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni i i n i i i X D a b X a D 121)(若X ,Y相互独立)()()(Y D X D Y X D +=±)()()(Y E X E XY E=❑对任意常数C, D (X ) ≤E (X –C )2 ,当且仅当C = E (X )时等号成立❑D (X) = 0P (X = E (X ))=1称为X 依概率1 等于常数E (X )常见随机变量的方差(P.159 )分布方差概率分布参数为p 的0-1分布pX P p X P -====1)0()1(p (1-p )B (n,p )nk p p C k X P kn kk n,,2,1,0)1()( =-==-np (1-p )P (λ)!)(==-k ek X P k λλλ分布方差概率密度区间(a,b )上的均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,,1)(b x a ab x f 12)(2a b -E (λ)⎩⎨⎧>=-其它,0,0,)(x e x f xλλ21λN (μ,σ2)222)(21)(σμσπ--=x ex f 2σ例4已知X ,Y 相互独立, 且都服从N (0,0.5), 求E ( | X –Y | ).解)5.0,0(~),5.0,0(~N Y N X 1)(,0)(=-=-Y X D Y X E 故)1,0(~N Y X -dzez Y X E z 2221|||)(|-∞+∞-⎰=-πππ22222==-∞+⎰dz ez zCh4-64例5设X 表示独立射击直到击中目标n 次为止所需射击的次数, 已知每次射击中靶的概率为p , 求E (X ),D (X ).解令X i 表示击中目标i -1 次后到第i 次击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n1,2,1,)(1=+===-q p k pq k X P k i∑∑∞+-∞+-==11)(k k i kq p kpqX E p q p 1)1(12=-=n X X X ,,,21 相互独立，且∑==ni iX X 1Ch4-65∑∑∞+=-∞+=-+-=11112)1()(k k k k ikpqpqk k X E p q k k pq k k 1)1(22+-=∑∞+=-px dx d pq q x k k 1022+⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑p x pq q x 1)1(23+-==22pp -=222112)(pp X D i -=--=Ch4-66p n X E X E ni i ==∑=1)()(故21)1()()(p p n X D X D ni i -==∑=本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差例6将编号分别为1 ~ n 的n 个球随机地放入编号分别为1 ~ n 的n 只盒子中,每盒一球. 若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对. 求配对个数X 的期望与方差.解ni i i X i ,,2,1,0,1 =⎩⎨⎧=其它号盒号球放入则∑==ni iX X 1X X X ,,, 不相互独立，但11)()(1=⋅==∑=n n X E X E ni i 212)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X E X E iX P1 0n1n11-ni ,,2,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑≤<≤=nn j i j i n i i X X X E 1122∑∑+=nj i niX X E X E 2)(2)(2iXP 1 0n 1n 11-ni ,,2,1 =nj i ,,2,1, =ji X X P1 0)1(1-n n )1(11--n n nX E i 1)(2=)1(1)(-=n n X X E j iCh4-70∑∑≤<≤=+=nnj i j i ni iX X E X E X E 1122)(2)()(∑∑≤<≤=-+=nn j i ni n n n 11)1(121)1(1212-⋅⋅+⋅=n n C n n n 2=1)()()(22=-=X E X E X D标准化随机变量设随机变量X 的期望E (X )、方差D (X )都存在, 且D (X ) ≠0, 则称)()(X D X E X X -=*为X 的标准化随机变量. 显然，1)(,0)(==**X D X E仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布X P -1 0 1 0.1 0.8 0.1Y P-2 0 2 0.025 0.95 0.025与2.0)(,0)(==XDXE2.0)(,0)(==YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如例7已知X 服从正态分布, E (X ) = 1.7, D (X ) = 3, Y =1 –2 X , 求Y 的密度函数.解1234)(,4.27.121)(=⨯=-=⨯-=Y D Y E +∞<<∞-=+-y ey f y Y ,621)(24)4.2(2π在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.作业P.170 习题三9 11 1617 19 21附例在[0, 1] 中随机地取两个数X , Y ,求 D (min{ X ,Y })解⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,1),(y x y x f 110<<<<1010},min{y x dxdyy x .3/1=()()d ydx y dx dy x yx⎰⎰⎰⎰+=1111=}),(min{Y X E()()d ydx y dx dy x Y X E yx⎰⎰⎰⎰+=1121122}),{(min .6/1=()()},min{},{min }),(min{22Y X E Y X E Y X D -=.18/1=例8已知X 的d.f.为⎩⎨⎧<<+=其它,0,10,)(2x Bx Ax x f 其中A ,B 是常数，且E (X ) = 0.5.(1)求A ,B.(1)设Y = X 2, 求E (Y ),D (Y )解(1)1)()(12=+=⎰⎰∞+∞-dx Bx Ax dx x f 21)()(12=+=⎰⎰∞+∞-dx Bx Ax x dx xxf 2134123=+=+B A BA 6,6=-=B ACh4-79(2).10/3)66(1022=+-=⎰dx x x x .7/1)66(124=+-=⎰dx x x x .70037)()()(22=-=Y E Y E Y D ⎰∞+∞-==dxx f x X E Y E )()()(22⎰∞+∞-==dxx f x X E Y E )()()(442。
