相似三角形的判定AA

相似三角形的识别 用数学符号表示： 用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∠ ， ∠ ∴ ∆ABC ∽ ∆A'B'C'
B C B' C'
(两个角分别对应相等的两个三角形相似) 两个角分别对应相等的两个三角形相似)
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？ 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
复习
1、相似三角形有哪些判定方法? 相似三角形有哪些判定方法?
A A/
B
C
B/
C/
2、相似三角形与全等三角形 有什么内在的联系呢？ 有什么内在的联系呢？
观 察
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30° 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与 60° 45° 45° 的两个三角尺大小可能不同， 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同， 但它们看起来是相似的．一般地， 但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角 形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
A A'
B
C
B'
C'
已知：等腰△ 和等腰△ 已知：等腰△ABC AB = AC 和等腰△A'B'C' ， A'B'=A'C' 且有∠B=∠B',求证 △ABC∽△A'B'C' 且有∠ ∠ 求证 求证:△ ∽ 证明： ∴∠B=∠ 证明：∵等腰三角形 AB=AC ∴∠ ∠C ∴∠B'=∠C' ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∴∠ ∠ ∵∠B=∠ ∵∠ ∠B', ∴∠C=∠ ∴∠ ∠C' ∴△ABC∽△A'B'C' ∽

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

相似三角形的判定公式有两种，分别是AA判定和边长比判定。

1. AA判定（Angle-Angle Criterion）：
如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

具体表达式为：如果∠A₁= ∠A₂且∠B₁= ∠B₂（或∠A₁= ∠B₂且∠B₁= ∠A₂），其中A₁B₁C₁和A₂B₂C₂是两个三角形的顶点标记，那么三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂是相似的。

2. 边长比判定（Side-Length Ratios）：
如果两个三角形的对应边长度之比相等，则这两个三角形是相似的。

具体表达式为：如果A₁B₁/ A₂B₂= B₁C₁/ B₂C₂= A₁C₁/ A₂C₂，其中A₁B₁C₁和A ₂B₂C₂是两个三角形的顶点标记，且对应边的长度分别为A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁和A₂B₂、B₂C₂、A₂C₂，那么三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂是相似的。

这些判定公式可以用于判断给定三角形是否相似。

请注意，在使用边长比判定时，要确保对应边之间的比值是相等的，而不仅仅是单个边的比值相等。

B
例题分析
例1.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD
A D
O
P B
C
变式１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P， 结论还成立吗？ A
B
O
C
P D
变式２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什 么结论？
A
O
C
P D
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA· AC=AB· AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴ DA · AC=AB · AE
27.2
相似三角形的判定
判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B C B' C' A A'
口答
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？ B
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
例1.已知：如图， ∠AED=∠ABC，
求证： AB · AD=AE · AC A D A E D
E
B C B
C
∵ ∠AED=∠ABC， ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △AED
∴ AB :AE=AC :AD
∴ AB · AD=AE · AC
已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
D
o
①
30
o
30 30
o
30
o