第四章多项式【模拟试题】

第4章 代数式专题【知识要点】1、 列代数式及代数式的求值：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式；代数式分为有理式、无理式，有理式又分为整式、分式，整式分为单项式、多项式。

列代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。

一般来说，先读的先写；要正确使用表明运算顺序的括号；列代数式时，出现乘法时，通常省略乘号，数与字母相乘，要将数写在字母前面；带分数要化成假分数，然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”号：出现除法运算时，一般按分数的写法来写。

代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出结果。

列代数式时，如果代数式后跟单位，应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。

2、 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变，系数相加。

同类项与系数的大小没有关系。

3、 单项式：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

单独一个数或一个字母也是单项式。

单独一个非零数的次数是0。

4、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式。

5、 π是数，是一个具体的数，而不是一个字母。

0是单项式，也是整式。

6、 整式的加减法则：整式的加减实质上是合并同类项。

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接起来，一般步骤是：（1）如果遇到括号，按去括号法则先去括号；（2）合并同类项。

【例题分析】例1. （2010•湛江）3的正整数次幂：13=3，23=9，3333=27，43=81，53=243， 63=729，73=2187，83=6561…观察归纳，可得20073的个位数字是（ ）A 、1B 、3C 、7D 、9例2. （2010•安顺）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直下去，则第2005次交换位置后，小兔所在的号位是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例 3. （2009•鄂州）为了求20083222221+++++ 的值，可令S= 20083222221+++++ ，则2S= 2009322222+++，因此2S-S= 20092-1，所以20083222221+++++ =20092-1．仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是（ ）A 、20095-1B 、20105-1C 、4152009-D 、4152010- 例4.. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____，_____，____这串数是由小明按照一定规则写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次按着写“2，3”，第三次接着写“6，7”第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是下面的（ ）A 、31，32，64B 、31，62，63C 、31，32，33D 、31，45，46例5. （2003•宁波）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）个．A 、25B 、66C 、91D 、120【模拟试题】选择题1、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，其中a 0a 1a 2均为0或1，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0=a 0+a 1，h 1=h 0+a 2．运算规则为：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A 、11010B 、10111C 、01100D 、000112、在一列数1，2，3，4，…，200中，数字“0”出现的次数是（ ）A 、30个B 、31个C 、32个D 、33个3、把在各个面上写有同样顺序的数字1～6的五个正方体木块排成一排（如图所示），那么与数字6相对的面上写的数字是（ ）A 、2B 、3C 、5D 、以上都不对4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形（如下图），再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①，②，③，④，相应长方形的周长如下表所示：）A 、288B 、178C 、28D 、1105、如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当==时，有==；②当==时，有=；③当==时，有=；…；则当=时，=（）A、B、C、D、二.填空题6、（2010•南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算，a100﹣a99=_________，a100=_________．7、（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=_________．8、（2007•防城港）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数_________．9、（2000•江西）有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了_________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m）时，共数了_________个数．10、我们把形如的四位数称为“对称数”，如1991、2002等．在1000～10000之间有_________个“对称数”．11、在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有_________个．12、（2008•武汉）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒______根．13、（2006•崇左）如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数是S，当n=50时，S=_________．14、请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成________段．15、观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为_________．16、如图所示，黑珠、白珠共126个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是_________颜色的，这种颜色的珠子共有_________个．17、观察规律：如图，PM1⊥M1M2，PM2⊥M2M3，PM3⊥M3M4，…，且PM1=M1M2=M2M3=M3M4=…=M n﹣1M n=1，那么PM n的长是_________（n为正整数）．18、探索规律：右边是用棋子摆成的“H”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要_个棋子．19、现有各边长度均为1cm的小正方体若干个，按下图规律摆放，则第5个图形的表面积是_____cm2．20、正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．三.解答题21、（试比较20062007与20072006的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（为正整数），从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论：（1）在横线上填写“＜”、“＞”、“=”号：12___21，23____32，34_____43，45______54，56______65，…（2）从上面的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n的大小关系是：当n≤_________时，n n+1_________（n+1）n；当n＞_________时，n n+1_________（n+1）n；（3）根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：20062007_________20072006．22、从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：（1）根据表中规律，求=_________．（2）根据表中规律，则=_________．（3）+++的值是_________．23、从1开始，连续的奇数相加，它们和的情况如下表：（1）如果n=11时，那么S的值为_________；（2）猜想：用n的代数式表示S的公式为S=1+3+5+7+…+2n﹣1=_________；（3）根据上题的规律计算1001+1003+1005+…+2007+2009= _________．。

A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为( )
A．2a－b＋cB．2a－b－c
C．2a＋b－cD．2a＋b＋c
4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是( )
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
9．3(a－b)(a＋b)
【解析】
【分析】
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b），
故答案为：3（a-b）（a+b）
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
【详解】
A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y)，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y)，正确.
故选：A．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．C

第四章多项式与矩阵计划课时：24 学时( P l59-220)・§ 4.1带余除法多项式的整除性(2学时)教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质教学重点、难点：带余除法及带余除法定理的证明本节内容分以下四个问题讲授：一. 多项式的定义(P159定义1), , 2 n -1 “ na0 a1x a2x m…"a n a n x注：在讲多项式的定义时，重点放在形式表达式上注意区分零多项式和零次多项式.二•消去律问题(P i6i推论4.1.2)f (x) = 0, f (x)g(x) = f (x)h(x)二g(x) = h(x)在证这个结论时要强调指出，并不是在上式两端除去f(x)而得结论，因为这时我们还没讲多项式的除法.三.带余除法仞1定理4.1.3)f (x) =g(x)q(x) r(x),g(x) =0,r(x) =0,或degr(x) < degg(x)这里要强调指出，用多项式g(x)去除f (x)时要求g(x)=0.注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。

先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。

四•整除的定义、性质以及整除的判定f (x)二u(x)g(x)注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法，不涉及多项式的除法，因此由该定义就可得到：零多项式整除零多项式，0=g(x) 0，所以0|0 (而不能用记号 -).作业：P214, 1 , 2, 3, 4, 5.§4.2 最大公因式(4学时)教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法教学重点、难点：1. 辗转相除法2. 辗转相除法的证明本节内容分以下三个问题讲授：—.最大公因式的定义(P l64 - 167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.2.最大公因式一定是存在的.二. 最大公因式的求法(P l66 - 167).(1)辗转相除的过程.(2)d(x)二f(x)u(x) g(x)v(x)注意：辗转相除过程中最后一个不为零的余式r s(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，推下去,容易得到r s(x) = f(x)u(x) g(x)v(x)但满足上式的u(x),v(x)不唯一(可举例说明).三. 多项式的互素(P170)注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时，应详细讲解两个多项式互素问题：f (x)与g(x)互素= (f (x), g(x)) =1.另外，补充三个性质：(1) . (f(x),h(x)) =1,(g(x), h(x)) =1,则(f(x)g(x),h(x)) =1.(2) . h(x) f(x)g(x),且(h(x), f (x)) =1,则h(x) g(x).(3) . g(x) f (x), h(x) f (x),且(g(x),h(x)) =1,则g(x)h(x) f (x).注意下面两个结论的不同之处：(f (x),g(x)) =d(x)= f(x)u(x) g(x)v(x)二d(x)(f(x),g(x)) =1= f (x)u(x) g(x)v(x) =1作业：P215 7 , 8, 10, 11, 12, 19.§ 4.3 多项式的分解(4学时)教学目的及要求：理解不可约多项式、k重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理本节内容分为下面三个问题讲授：一. 不可约多项式的定义及性质(P170-172)(1) .不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的•换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题•(2) .不可约多项式p(x)与任意多项式f(x)的关系是：要么(p(x), f(X)) =1 ,要么p(x) | f (x),仅仅只有一个成立•二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关若F, F都是数域，且F F, f(x)・ F[x},则f(x)在F[x]中的不可约分解与 f (x)在F[x}中的不可约分解一般不同•例若f(x) =x4 -4, Q是有理数域，R是实数域•则在Q[x]中，f (x)的不可约分解是2 2f(x)=(x -2)(x 2).而在R[x]中，f (x)的不可约分解是f(x) =(x-、2)(x 、2)(x2• 2).三. 多项式的导数(P174的定义3)设f (x)二a0 a/ a2x2亠亠a n」x n」-a n x n记f (x)的导数为f (x),则f (x) =a1 2a2x (n_ 1)a n4x n^ na n x nJ这里导数的定义是纯粹形式上的.不涉及函数、连续、极限等概念.作业：P215 13 ，14，15，16，17，18.§ 4.4最大公因式的求法(I ) (2学时)教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法教学重点、难点：1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法2. 定理4.4.7的证明本节内容分下面三个问题讲授：多项式系矩阵A 的最大公因式（R 75定义1 ） 注：给定一个矩阵A,则A 一定能确定一个多项式系 「fjx ）, f 2（x ）,…，f m （x ）l 而这m 个多项式的最大公因式又叫矩阵 A 的最大公因式. 二.矩阵的准等价与矩阵的准初等变换（R 76）A 三Bu A 与B 有相同的最大公因式,行数不一定等，列数也不一定相等相A 与B 准等价,A 是3行4列,B 是2行3列. 要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大 三•准初等变换与矩阵最大公因式的关系 （R 77）定理445准初等变换不改变矩阵的最大公因式 .（证明略）.该定理的证明比较长，但并不复杂•可由3个引理直接得到，这样的证明简明扼要• 有了定理445,定理446,定理447,便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法 •与辗转相除法比较，该方法优越的多•作业：P 215-21620.§ 4.5最大公因式的矩阵求法（II ） （4学时）教学目的及要求： 掌握用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法 教学重点、难点：1. 用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法2. 定理4.5.3的证明本节内容分下面四个问题讲授： 一.方法（I ）与方法（I ）的区别.§ 4.4的例2给出了求f,X ）, f 2（X ）,f 8（X ）最大公因式的矩阵准初等变换法.它们的最大公0 -1 0 例如 A = 0 1 0 -10 2 -2 B 』3 0 4 <0 1 一1 丿注：两个矩阵准等价时因式是(X-1).因此一定有u1 (x), u2 (x)^ , u8(x)使f i（x）U i（x） f2（x）U2（x）：”-h f8（X）U8（X）=X — 1.但方法(I)并没有告诉我们U i (x),U2(x)^ ,U8(x)如何求•本节讲的方法(n )就弥补了这一点.二.x-矩阵与初等变换(P182)⑴ 以F[x]中多项式为元素的矩阵称为F上的x-矩阵，根据这一定义，以数为元素的矩阵是x-矩阵的特殊情形•换句话说，以数域F上的数为元素的矩阵也是F上的x-矩阵•此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式•⑵ 由于以F上的为元素的矩阵也是x-矩阵，因此，通常讲的矩阵的初等变换必是x-矩阵的初等变换的特殊情形•三• n个基本结论(P182」84)引理 4.5.1 ，定理 4.5.2 ,定理4.5.3.(证明略).在上述几个结论的支持下，可得到求多项式f'x), f2(x)，…,f s(x)最大公因式d(x),并同时可求出相应的U i(x)，U2(x)，，U s(x)使得f^xlu^x) f2(x)U2(x) f s(x)U s(x) =d(x)详细讲解例1( P185).作业：P216 21 ( 1)，22.§ 4.6多项式的根(4学时)教学目的及要求：理解多项式函数、k重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理,掌握综合除法、有理根的筛选法教学重点、难点：1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法2. 定理4.6.9的证明本节内容可分下面四个问题讲授:•从函数的观点看多项式(P187)前面我们总是把多项式看做形式表达式本节我们将从函数的视角考察多项式f（x）二a n X n ' a n_x n4「' a1X ' a。

2024-2025学年七年级数学上学期期中测试卷（人教版2024）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章~第四章（人教版2024）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（ ）A．﹣2024B．12024C．―12024D．2024【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．【解答】解：∵a与﹣2024互为相反数，∴a+（﹣2024）＝0，∴a＝2024．故选：D．2．（3分）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）A．80.16×108B．8.016×109C．0.8016×1010D．80.16×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：80.16亿＝8016000000＝8.016×109，故选：B．3．（3分）下列说法正确的是（ ）A．多项式2x3﹣4x﹣1的常数项是1B．―3πx2y35的次数是6C．―2x2y3的系数是﹣2D．多项式x2+2x+1是二次三项式【分析】根据多项式与单项式的相关概念解答即可．【解答】解：A、多项式2x3﹣4x﹣1的常数项是﹣1，原说法错误，不合题意；B、―3πx2y35的次数是5，原说法错误，不合题意；C、―2x2y3的系数是―23，原说法错误，不合题意；D、多项式x2+2x+1是二次三项式，原说法正确，符合题意；故选：D．4．（3分）若单项式2x3y m和―15y2x n的和也是单项式，则m n的值为（ ）A．8B．6C．5D．9【分析】根据同类项定义列式求出m与n的值，代入求解即可得到答案．【解答】解：∵单项式2x3y m和―15y2x n的和也是单项式，∴2x3y m和―15y2x n是同类项，∴n＝3，m＝2，∴m n＝23＝8，故选：A．5．（3分）数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（ ）A．8B．2C．﹣8或2D．8或﹣2【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．【解答】解：由题意得，M表示的数可能为5或﹣5．∴点N表示的数是5+3＝8或﹣5+3＝﹣2．∴点N表示的数是8或﹣2．故选：D．6．（3分）已知a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a、b、﹣a、﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．b＜﹣a＜﹣b＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【分析】根据绝对值和不等式的性质，求解即可．【解答】解：∵a＜0，b＞0，∴|a|＝﹣a，|b|＝b，又∵|a|＞|b|∴﹣a＞b＞0，∴a＜﹣b＜0，则a＜﹣b＜b＜﹣a，故选：D．7．（3分）已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+d）﹣（b﹣c）的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【分析】根据括号前是正号，去掉括号及正号，各项都不变，括号前是负号，去掉括号及负号，各项都变号，可去括号，再根据有理数的加减，可得答案．【解答】解：∵a﹣b＝3，c+d＝2，∴（a+d）﹣（b﹣c）＝a+d﹣b+c＝（a﹣b）+（c+d）＝5，故选：D．8．（3分）某商店在甲批发市场以每包a元的价格购进35包茶叶，又在乙批发市场以每包b（a＞b）元的价格购进同样的茶叶25包，如果以每包13(2a+b)元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店在这次交易中（ ）A．盈利了B．亏损了C．不盈不亏D．不能确定【分析】用销售额减去成本，列式计算后判断结果的符号即可．【解答】解：13（2a+b）×（35+25）﹣35a﹣25b＝40a+20b﹣35a﹣25b ＝（5a﹣5b）元，∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，∴这家商店在这次交易中盈利了；故选：A．9．（3分）将从1开始的连续的自然数按照如下规律排列，则2024所在的位置是（ ）A．第674个三角形的左下角B．第674个三角形的右下角C．第675个三角形的左下角D．第675个三角形的右下角【分析】根据所给图形发现每三个数为一组，再结合着三个数的排列规律，即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，每三个数为一组，又因为2024÷3＝674余2，674+1＝675，所以2024在第675个三角形上．又因为在每个三角形边上的数从最上面的数按逆时针从小到大排列，所以2024在所在三角形的左下角．故选：C．10．（3分）在多项式x﹣y﹣z﹣﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．要使其运算结果与原多项式之和为0，则运算结果应为﹣x+y+z+m+n，由x＞y＞z＞m＞n可知，无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现﹣x+y+z+m+n，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n ＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）中国最早采用负数的记载可以追溯到公元前200年的《九章算术》，在《九章算术》中，负数被称为“负数”或“盈不足”，并被用于解决一些代数问题．如果把收入5元记作+5元，那么支出9元记作 ．【分析】根据正负数表示相反意义的量即可作答．【解答】解：把收入5元记作+5元，那么支出9元记作﹣9元．故答案为：﹣9元．12．（3分）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，m是最大的负整数，那么m3+ab+c+d4m= ．【分析】由题意a、b互为倒数，c、d互为相反数，m是最大的负整数，可得ab＝1，c+d＝0，m＝﹣1，然后把他们整体代入m3+ab+c+d4m进行计算．【解答】解：∵a、b互为倒数，、d互为相反数，m是最大的负整数，∴ab＝1，c+d＝0，m＝﹣1，∴m3+ab+c+d4m=―13+1+4×(―1)=23．故答案为：2 3．13．（3分）飞机无风航速为x千米/小时，风速为y千米/小时，飞机顺风飞行5小时后，又逆风飞行3小时，则这两次飞行的航程一共是 千米．【分析】由顺风速度＝飞机无风航速+风速；逆风速度＝飞机无风航速﹣风速，根据已知可得：顺风行程与逆风行程相加即可．【解答】解：∵飞机无风航速为x千米/小时，风速为y千米/小时，∴顺风速度为：（x+y）千米/小时，逆风速度为：（x﹣y）千米/小时，∴飞机顺风飞行5小时后行程为：5（x+y）千米，逆风飞行3小时后行程为：3（x ﹣y ）千米，∴这两次飞行的航程一共是5（x +y ）+3（x ﹣y ）＝（8x +2y ）km ，故答案为：（8x +2y ）．14．（3分）若关于x 的多项式﹣x 2+mx +nx 2﹣6x ﹣1+x 的值与x 的取值无关，则m ﹣n ＝　　．【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与的取值无关可得含x 的项的系数都等于0，从而可求出m 、n 的值，然后代入计算即可得．【解答】解：﹣x 2+mx +nx 2﹣6x ﹣1+x ＝﹣x 2+nx 2+mx ﹣6x +x ﹣1＝（﹣1+n ）x 2+（m ﹣5）x ﹣1，∵关于x 的多项式﹣x 2+mx +nx 2﹣6x ﹣1+x 的值与x 的取值无关，∴﹣1+n ＝0，m ﹣5＝0，解n ＝1，m ＝5，∴m ﹣n ＝5﹣1＝4．15．（3分）下列四个结论：①若a 3+b 3＝0，则a ，b 互为相反数；②若x 3y |m |+（m ﹣1）x 2y +xy 2是关于x ，y 的四次三项式，则m ＝1；③若abc ＞0，则|a|a +|b|b+|c|c 的值为3或﹣1；④若b ＜0＜a ，且|a |＜|b |，则|a +b |＝﹣|a |+|b |．其中结论正确的是 （填写序号）．【分析】根据相反数，多项式的次数与系数，绝对值的定义逐项进行判断即可．【解答】解：①若a 3+b 3＝0，即a 3＝﹣b 3，也就是a ＝﹣b ，a ，b 互为相反数，因此①正确；②因为x 3y |m |+（m ﹣1）x 2y +xy 是关于x ，y 的四次三项式，所以|m |＝1，即m ＝1或m ＝﹣1，而m ﹣1≠0，因此m ＝﹣1，所以②不正确；③若abc ＞0，即a 、b 、c 同为正数或a 、b 、c 三个数中两负一正，当a 、b 、c 同为正数时，|a|a+|b|b +|c|c =1+1+1＝3，当a 、b 、c 三个数中两负一正时，|a|a +|b|b +|c|c =1﹣1﹣1＝﹣1，因此|a|a+|b|b+|c|c 的值为3或﹣1，因此③正确；④因为b ＜0＜a ，且|a |＜|b |，所以a +b ＜0，则|a +b |＝﹣a ﹣b ，而﹣|a |+|b ＝﹣a ﹣b |．因此有|a +b |＝﹣|a |+|b |，所以④正确；综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．16．（3分）第十四届国际数学教育大会 （ICME ﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份，则八进制数2024换算成十进制数是 （注：80＝1 ）．【分析】根据题意可知：2024＝2×83+0×82+2×81+4×80，然后计算即可．【解答】解：由题意可得，2024＝2×83+0×82+2×81+4×80＝2×512+0×64+2×8+4×1＝1024+0+16+4＝1044．故答案为：1044．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）计算：（1）(―16―23+14)÷(―112)；（2）―32―18÷(―2)3+(―4)2×(―18 )．【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右的顺序进行计算．【解答】解：（1）(―16―23+14)÷(―112)=(―16―23+14)×(―12)=―16×（﹣12）―23×（﹣12）+14×（﹣12）＝2+8﹣3＝7；（2）―32―18÷(―2)3+(―4)2×(―1 8 )=―9―18÷(―8)+16×(―1 8 )=―9+94―2=―35 4．18．（6分）若|x+3|＝5，y2＝9，且|x+y|＝﹣x﹣y，求x﹣y的值．【分析】根据绝对值，有理数乘方的定义求出x、y的值，再分4种情况分别进行解答即可．【解答】解：∵|x+3|＝5，∴x+3＝5或x+3＝﹣5，即x＝2或x＝﹣8，∵y2＝9，∴y＝3或y＝﹣3，于是有：（1）当x＝2，y＝3时，|x+y|＝|2+3|＝5≠﹣x﹣y，故舍去；（2）当x＝2，y＝﹣3时，|x+y|＝|2﹣3|＝1＝﹣x﹣y，∴x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5：（3）当x＝﹣8，y＝3时，|x+y|＝|﹣8+3|＝5＝﹣x﹣y，满足题意，∴x﹣y＝﹣8﹣3＝﹣11；（4）当x＝﹣8，y＝﹣3时，|x+y|＝|﹣8﹣3|＝11＝﹣x﹣y，满足题意；∴x﹣y＝﹣8﹣（﹣3）＝﹣5；综上所得，x﹣y的值是5或﹣11 或﹣5．19．（8分）先化简，再求值：(32x2―5xy+y2)―[―3xy+2(14x2―xy)+23y2]，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0．【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，列出关于x，y的方程，解方程求出x，y，再根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把所求x，y的值代入化简后的式子进行计算即可．【解答】解：∵|x﹣1|+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，原式=32x2―5xy+y2―(―3xy+12x2―2xy+23y2)=32x2―5xy+y2+3xy―12x2+2xy―23y2=32x2―12x2+y2―23y2+3xy+2xy―5xy=x2+13y2，当x＝1，y＝﹣2时，原式=12+13×(―2)2=1+13×4=1+4 3=7 3．20．（8分）已知多项式A与多项式B的和为12x2y+2xy+5，其中B＝3x2y﹣5xy+x+7．（1）求多项式A；（2）当x取任意值时，式子2A﹣（A+3B）的值是一个定值，求y的值．【分析】（1）根据题意列出相应的式子，再结合整式的加减的运算法则进行运算即可；（2）把所求的式子进行整理，再结合条件分析即可．【解答】解：（1）由题意得：A＝12x2y+2xy+5﹣（3x2y﹣5xy+x+7）＝12x2y+2xy+5﹣3x2y+5xy﹣x﹣7＝9x2y+7xy﹣x﹣2；（2）2A﹣（A+3B）＝2A﹣A﹣3B＝A﹣3B＝9x2y+7xy﹣x﹣2﹣3（3x2y﹣5xy+x+7）＝9x2y+7xy﹣x﹣2﹣9x2y+15xy﹣3x﹣21＝22xy﹣4x﹣23，∵当x取任意值时，式子2A﹣（A+3B）的值是一个定值，∴22xy﹣4x＝0，2x（11y﹣2）＝0，则11y﹣2＝0，解得：y=2 11．21．（10分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣9﹣15﹣140+25+31+32（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km；（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？（3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.4元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为35度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（3）结合（2）中所求列式计算即可．【解答】解：（1）32﹣（﹣15）＝32+15＝47（km），即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走47km，故答案为：47；（2）50×7+（﹣9﹣15﹣14+0+25+31+32）＝350+50＝400（千米），即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米；（3）400÷100×6.5×8.4﹣400÷100×35×0.56＝218.4﹣78.4＝140（元），即小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省140元．22．（10分）某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下．A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用；B快车：计费项目起步价里程费远途费计费价格8元2元/千米1元/千米注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元.（1）如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元；（2）如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元；（3）如果乘车路程是x（x＞12）千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元（用含x的式子表示）；（4）如果乘车路程是y千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，求y的值．【分析】（1）根据A专车和B快车两种出租车的收费标准，即可求出结论；（2）根据A专车和B快车两种出租车的收费标准，即可求出结论；（3）根据A专车和B快车两种出租车的收费标准，即可用含x的代数式表示出结论；（4）分0＜y≤3，3＜y≤12及y＞12三种情况考虑，根据使用B快车出行的费用比使用A专车出行省3元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是10元；使用B快车出行，需支付的费用是8+2×（3﹣2）＝10（元）．故答案为：10，10；（2）根据题意得：如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是10+2.5×（10﹣3）＝27.5（元）；使用B快车出行，需支付的费用是8+2×（10﹣2）＝24（元）．故答案为：27.5，24；（3）根据题意得：如果乘车路程是x（x＞12）千米，使用A专车出行，需支付的费用是10+2.5（x﹣3）＝（2.5x+2.5）（元）；使用B快车出行，需支付的费用是8+2（x﹣2）+（x﹣12）＝（3x﹣8）（元）．故答案为：（2.5x+2.5），（3x﹣8）；（4）①当0＜y≤3时，A专车费用为10元，B快车费用最少需要8元，∴不可能比A专车省3元，舍去；②当3＜y≤12时，A专车费用为（2.5y+2.5）元，B快车费用为8+2（y﹣2）＝（2y+4）元，根据题意得：2.5y+2.5＝2y+4+3，解得：y＝9；③当y＞12时，A专车费用为（2.5y+2.5）元，B快车费用为（3y﹣8）元，根据题意得：2.5y+2.5＝3y﹣8+3，解得：y＝15．答：y的值为9或15．23．（12分）把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…．（1）①数阵中排在第6行第1列的数是 ，数阵中排在第7行第1列的数是 ；②数阵中共有 个数，2023在数阵中排在第 列，数阵中排在第n 行第5列的数可用n 表示为 ．（2）按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为x ，是否存在这样的x ，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）数阵中用一个“▱”形框框住的四个数的和记为“S ”，直接写出S 的最大值与最小值的差．【分析】（1）①根据每一行的第1个数的特点可得出第n 行第1列的数是：1+（n ﹣1）×16，由此可得出第6行第1列的数；第7行第1列的数；②设数阵中共有m 个数，根据数阵中的数均为奇数，且最后一个数为2023，得2m ﹣1＝2023，解此方程可得答案；设2023在数阵中排在第k 行，依题意得1+16（k ﹣1）≤2023，解得k ≤12738，因此2023在数阵中排在第127行，然后根据第127行的第1个数为2017即可得出答案；根据数阵中排在第n 行第1列的数是（n ﹣1），进而可得出第n 行第5列的数；（2）假设存在这样的数x ，使得被框的四个数的和为1308．依题意得x +（x +2）+（x +14）+（x +16）＝1308，解得x ＝319，再设319在第h 行，进而得1+16（h ﹣1）≤319，解得h ≤21，进而得出319是第21行的第1个数，由此可得出答案；（3）要使框住的四个数的和为最大，因此框住的4个数为最大，再根据数阵中最大的数是2023可得出框住的四个最大的数为2007，2009，2021，2023，同理再求出框住的最小的四个数为3，5，17，19，由此可得出答案．【解答】解：（1）①第1行第1列的数是1，第2行第1列的数是17＝1+1×16，第3行第1列的数是33＝1+2×16，第4行第1列的数是49＝1+3×16，第5行第1列的数是65＝1+4×16，…，以此类推，第n行第1列的数是：1+（n﹣1）×16，∴第6行第1列的数是：1+（6﹣1）×16＝81；第7行第1列的数是：1+（7﹣1）×16＝97．故答案为：81，97．②设数阵中共有m个数，∵数阵中的数均为奇数，且最后一个数为2023，∴2m﹣1＝2023，解得：m＝1012，∴数阵中共有1012个数；设2023在数阵中排在第k行，则第k行的第一个数是：1+16（k﹣1），依题意得：1+16（k﹣1）≤2023，解得：k≤127又3/8，∴2023在数阵中排在第127行，又∵第127行的第1个数为：1+（127﹣1）×16＝2017，∴第127行的第1个数为2017，第2个数为2019，第3个数为2021，第4个数为2023，∴2023在数阵中排在第4列；∵数阵中排在第n行第1列的数是：1+16（n﹣1），∴数阵中排在第n行第5列的数是：1+16（n﹣1）+8＝16n﹣7．故答案为：1012，4，16n﹣7．（2）假设存在这样的数x，使得被框的四个数的和为1308．∵被框的四个数中最小的数为，∴x右边的数为（x+2），x下面的数为（x+16），（x+16）左边的数为（x+14），∴x+（x+2）+（x+14）+（x+16）＝1308，解得：x＝319，设319在第h行，依题意得：1+16（h﹣1）≤319，解得：h≤21，∴319是第21行的第1个数，依题意可知：无论如何也框不住每一行的第一个数，∴假设不成立，故不存在这样的数x，使得被框的四个数的和为1308．（3）框住的四个数中最大值与最小值的差8016，理由如下：要使框住的四个数的和为最大，因此框住的4个数为最大，∵框住的4个数中，一定有2023，又∵2023在数阵中排在低127行的第4列，∴2023左边的数为2021，2023上边的数为2007，2007右边的数为2009，∴框住的4个数和的最大值为：2007+2009+2021+2023＝8060，∵框不住每一行的第一个数，∴框住4个最小的数为3，5，17，19，∴框住的4个数和的最小值为：3+5+17+19＝44，∵8060﹣44＝8016．故答案为：8016．24．（12分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．（1）在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b 的值及点Q所表示的数；（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N 的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得点Q 所表示的数；（3）根据AM ﹣k •MN 列出式子，AM ﹣k •MN 的值不会随t 的变化而改变，所以t 的系数为0，可求得k 的值．【解答】解：（1）AC ＝|8﹣（﹣2）|＝10，刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，点C 对齐刻度6.0cm ，∴在图2中刻度尺上，AC ＝6cm ，6÷10＝0.6cm ，数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm ，1÷0.6=53，刻度尺上的1cm 对应数轴上的53个单位长度，故答案为：10，6，0.6，53；（2）∵点B 对齐刻度1.2cm ，∴数轴上点B 所对应的数为b ，b ＝﹣2+1.2÷0.6＝0，∵CQ ＝2AB ，AB ＝|﹣2﹣0|＝2，设点Q 在数轴上对应的点为x ，则CQ ＝|8﹣x |，∴|8﹣x |＝4，解得：x ＝4或x ＝12，点Q 所表示的数为4或12，∴b 的值是0，点Q 所表示的数为4或12；（3）由题意得，点M 追上点N 前，即t ＜4，AM ＝AB +BM ＝2+5t ，k •MN ＝k （BC +CN ﹣BM ）＝k （8+3t ﹣5t ）＝k （8﹣2t ），AM ﹣k •MN ＝2+5t ﹣k （8﹣2t ）＝2﹣8k +（5+2k ）t ，∵AM ﹣k •MN 的值不会随t 的变化而改变，∴5+2k ＝0，解得：k =―52，点M 追上点N 后，即t ＞4，AM ＝AB +BM ＝2+5t ，，k •MN ＝k （BM ﹣CN ﹣BC ）＝k （5t ﹣3t ﹣8）＝k （2t ﹣8），AM ﹣k •MN ＝2+5t ﹣k （2t ﹣8）＝2+8k +（5﹣2k ）t ，∵AM ﹣k •MN 的值不会随t 的变化而改变，∴5﹣2k ＝0，5解得：k=2。