中考数学模拟试卷(导向一)(含解析)1
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2016年河北省中考数学模拟试卷（导向一）一、选择题（本大题共16小题，共42分）1．计算：（﹣3）+（﹣2）=（）A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．12．2015年6月20日，全球迎来第十五个世界难民日，联合国难民署6月18日发布最新《全球趋势》报告，报告显示，目前全球难民总数已接近6000万，创二战以来新高，用科学记数法表示6000万为（）A．6×103B．0.6×107C．6×107D．6×1083．由6个小立方体组成的几何体的俯视图如图1所示，每个小正方形上的数字表示该位置上摆放的小立方体的个数，则该几何体的左视图应为（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．（）﹣1=﹣B．5÷（﹣2）×=5÷（﹣1）=﹣5C．（2a+b）2=4a2+4ab+b2D．a2•（ab）3=a4b25．如图，AB∥CD，AF⊥AB，∠C=120°，则∠EAF的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．已知a=，b=，则=（）A．2a B．ab C．a2b D．ab27．根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=；当∠B=90°时，如图2，AC=（）A． B．2 C．2 D．8．已知e、f满足方程组，则2e+f的值为（）A．2 B．4 C．6 D．89．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（）A．40海里B．40海里C．40海里D．40海里10．如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使点D落到线段AB的垂直平分线上，则旋转角的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°11．已知函数y=的图象在第二、四象限，那么方程mx2﹣3x+2=0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，过点P作PE⊥BC交BC于E，交AC于D，连接BD，有下列结论：①ED=AB；②∠DBC=∠ABC；③BD=AC；④DE=DC．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④13．下列说法正确的是（）A．“抛掷一枚硬币，正面向上”是不可能事件B．一组数据2，3，4，5，5，2，4，2，2的中位数是3C．若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=1.2、S乙2=2.3，则乙组数据比甲组数据稳定D．掷一枚骰子，偶数点向上的概率为14．如图，过⊙O上一点E作圆的切线，交直径AC的延长线于点B，再取⊙O上一点D，连接AE、ED和CD，若⊙O的半径为2，∠EDC=30°，则CB的长为（）A．1 B． C． D．215．某学习小组在探究函数y=2x的图象时，得到了如下数据：x﹣2﹣10123y1248根据表格中的数据，画出此函数的图象应为（）A． B． C． D．16．如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数y1=（y1＞0）和y2=（y2＜0）的图象于点E、F，且=，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为（k1﹣k2）；③=﹣；④当∠EOF=90°时，=，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③二、填空题17．sin30°+20160=______．18．对于任意实数m，n，规定f（m，n）=m2﹣mn+2n，如f（3，4）=32﹣3×4+2×4=5，若f（x，2）=7，则x的取值是______．19．如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 延长线于点F，则BE：CE=______．20．如图，点p（﹣1，0），以O1，O2，O3，…为圆心在x轴正半轴上连续作圆，半径分别为1，2，3，…，过点P作各圆的切线，切点分别为A1、A2、A3，…，则sin∠A n OP n=______．三、解答题21．已知多项式M=（x﹣2）（x+2）+（﹣x+1）（x+3）（1）化简多项式M；（2）若x满足方程=，求M的值．22．如图，直线l与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴相交于点B，∠BAO=60°．（1）求直线l的解析式；（2）以点O为圆心，半径为2作圆，判断⊙O与直线l的位置关系；（3）直接写出△ABO的外接圆圆心O′的坐标．（不必写出过程）23．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AB=CD，请你再添加个条件，使得AE=DF，并说明理．24．小明上学期的数学成绩如表所示（单位：分）测验类别平时期中考试期末考试测试1测试2测试3测试4成绩107110114109110115（1）6次考试成绩的中位数是______，众数是______；（2）计算小明上学期平时测试的数学平均成绩；（3）如果上学期的数学总评成绩是根据如图所示的比例计算得到的，已知小明上学期的数学总评成绩为113分，那么请计算出数学总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例．25．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上．（1）证明：DE∥BC；（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置．①如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由；②若四边形AMCN为菱形，如图3，求旋转角α及k的值；③如图4，当直线MN过点B时，求k与旋转角α（0°＜α＜60°）之间的关系式．26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与x轴相交于点M，在抛物线的对称轴上找一点N，使得以M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似，求出点N的坐标．2016年河北省中考数学模拟试卷（导向一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16小题，共42分）1．计算：（﹣3）+（﹣2）=（）A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．1【考点】有理数的加法．【分析】根据有理数的加法，即可解答．【解答】解：（﹣3）+（﹣2）=﹣5，故选：A．2．2015年6月20日，全球迎来第十五个世界难民日，联合国难民署6月18日发布最新《全球趋势》报告，报告显示，目前全球难民总数已接近6000万，创二战以来新高，用科学记数法表示6000万为（）A．6×103B．0.6×107C．6×107D．6×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6000万=6×107，故选：C．3．由6个小立方体组成的几何体的俯视图如图1所示，每个小正方形上的数字表示该位置上摆放的小立方体的个数，则该几何体的左视图应为（）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】从左面看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，2，据此可以确定答案．【解答】解：根据题意可以确定从左面看从左到右2列正方形的个数依次为2，2，D符合，故选D．4．下列运算正确的是（）A．（）﹣1=﹣B．5÷（﹣2）×=5÷（﹣1）=﹣5C．（2a+b）2=4a2+4ab+b2D．a2•（ab）3=a4b2【考点】整式的混合运算；有理数的乘法；有理数的除法；负整数指数幂．【分析】A、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式从左到右依次计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；D、原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2，错误；B、原式=﹣，错误；C、原式=4a2+4ab+b2，正确；D、原式=a2•a3b3=a5b3，错误，故选C5．如图，AB∥CD，AF⊥AB，∠C=120°，则∠EAF的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，同位角相等以及垂直的定义即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EAB=∠C=120°，∵AF⊥AB，∴∠FAB=90°，∴∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=120°﹣90°=30°．故选A．6．已知a=，b=，则=（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2【考点】算术平方根．【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==××=a•b•b=ab2．故选D．7．根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=；当∠B=90°时，如图2，AC=（）A． B．2 C．2 D．【考点】菱形的性质．【分析】在图1中求出菱形的边长，再在图2中利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：如图1、2中连接AC．在图1中，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=，在图2中，∵∠B=90°，AB=BC=，∴AC==2．故选B．8．已知e、f满足方程组，则2e+f的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】二元一次方程组的解．【分析】方程组两方程相加即可求出2e+f的值．【解答】解：，①+②得：2e+f=8，故选D9．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（）A．40海里B．40海里C．40海里D．40海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】要求PR的长，需要构造直角三角形，作辅助线RA⊥PQ，然后根据题目中的条件可以得到PR的长，本题得以解决．【解答】解：作RA⊥PQ于点A，如右图所示，∵∠QPR=30°，∠PQR=45°，∠PAR=∠QAR=90°，PQ=20（1+）海里，∴PA=，QA=，PR=2RA，∴=20（1+），解得，RA=20海里，∴PR=2RA=40海里，故选A．10．如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使点D落到线段AB的垂直平分线上，则旋转角的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先连接BD，根据点D落到线段AB的垂直平分线上，得出AD=BD，再根据旋转的性质得出AD=AB，从而得出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出∠BAD=60°，即可得出旋转角的度数．【解答】解：连接BD，∵点D落到线段AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∴旋转角的度数为60°；故选C．11．已知函数y=的图象在第二、四象限，那么方程mx2﹣3x+2=0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式；反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，再根据根的判别式△=9﹣8m即可得出△的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：∵函数y=的图象在第二、四象限，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2．在方程mx2﹣3x+2=0中，△=（﹣3）2﹣4m×2=9﹣8m，∵m＜﹣2，∴△=9﹣8m＞25＞0，∴方程mx2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．故选A．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，过点P作PE⊥BC交BC于E，交AC于D，连接BD，有下列结论：①ED=AB；②∠DBC=∠ABC；③BD=AC；④DE=DC．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】直接利用基本作图的方法得出PE垂直平分线段BC，进而利用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质得出答案．【解答】解：∵以B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，过点P作PE⊥BC交BC于E，∴PE垂直平分线段BC，∵∠ABC=90°，∠DEC=90°，∴DE∥AB，又∵BE=EC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，故①正确；无法得出②∠DBC=∠ABC，故此选项错误；∵D为AC的中点，∠ABC=90°，∴BD=AC，故选项③正确；无法得出④DE=DC，故此选项错误；故选：C．13．下列说法正确的是（）A．“抛掷一枚硬币，正面向上”是不可能事件B．一组数据2，3，4，5，5，2，4，2，2的中位数是3C．若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=1.2、S乙2=2.3，则乙组数据比甲组数据稳定D．掷一枚骰子，偶数点向上的概率为【考点】概率公式；中位数；方差；随机事件．【分析】由随机事件的定义得出选项A错误；由中位数的定义得出选项B正确；由方差的意义得出选项C错误；由概率公式得出选项D错误；即可得出结论．【解答】解：A、“抛掷一枚硬币，正面向上”是随机事件；故选项A错误；B、一组数据2，3，4，5，5，2，4，2，2的中位数是3，故选项B正确；C、若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=1.2、S乙2=2.3，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项C错误；D、掷一枚骰子，偶数点向上的概率为，故选项D称为；故选：B．14．如图，过⊙O上一点E作圆的切线，交直径AC的延长线于点B，再取⊙O上一点D，连接AE、ED和CD，若⊙O的半径为2，∠EDC=30°，则CB的长为（）A．1 B． C． D．2【考点】切线的性质．【分析】首先证明∠EOB=60°，在RT△BOE中，由OB=2OE，求出OB即可解决问题．【解答】解：如图，连接OE，∵∠A=∠EDC，∠EDC=30°，∴∠A=30°，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO=30°，∴∠EOB=∠A+∠AEO=60°，∵BE是切线，∴∠BEO=90°，∴∠B=30°，在RT△BOE中，∵∠OEB=90°，OE=2，∠B=30°，∴OB=2OE=4，∵OC=2，∴BC=OB﹣OC=4﹣2=2．故答案为D．15．某学习小组在探究函数y=2x的图象时，得到了如下数据：x﹣2﹣10123y1248根据表格中的数据，画出此函数的图象应为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据表中数据画出图象即可．【解答】解：根据表中数据得出的图象与A相符，故选A16．如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数y1=（y1＞0）和y2=（y2＜0）的图象于点E、F，且=，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为（k1﹣k2）；③=﹣；④当∠EOF=90°时，=，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【考点】反比例函数综合题．【分析】①③由点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出=﹣，由此即可得出①③错误；②由反比例函数系数k的结合意义，结合k1、k2的正负即可得出S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，根据勾股定理表示出OE、OF，再根据∠EOF=90°利用勾股定理即可得出b2=15a2，将其代入OE、OF中，即可得出=，即④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵点E在反比例函数y1=（y1＞0）的图象上，点F在反比例函数y2=（y2＜0）的图象上，且=，∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA，∴=﹣，∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；②∵点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上，∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；③由①可知=﹣，∴③错误；④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，由勾股定理可知：OE=，OF=．∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．故选B．二、填空题17．sin30°+20160= ．【考点】零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据非零的零次幂等于1，特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=+1=，故答案为：．18．对于任意实数m，n，规定f（m，n）=m2﹣mn+2n，如f（3，4）=32﹣3×4+2×4=5，若f（x，2）=7，则x的取值是 1 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据新定义得到x2﹣2x+8=7，然后把方程整理为一般式后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：根据题意得x2﹣2x+8=7，整理得x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，所以x1=x2=1．故答案为1．19．如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 延长线于点F，则BE：CE= 2：1 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】先用平行四边形的性质得出∠BAF=∠F，再用角平分线的定义得出∠BAF=∠DAF，进而得出∠DAF=∠F，求出CF=2，最后用平行线得出比例式==．【解答】解：在平行四边形ABCD中，CD=AB=4，BC=AD=6，AB∥CD，∴∠BAF=∠F，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD=6，∴CF=DF﹣CD=6﹣4=2，∵AB∥CD，∴==，故答案为：2：1．20．如图，点p（﹣1，0），以O1，O2，O3，…为圆心在x轴正半轴上连续作圆，半径分别为1，2，3，…，过点P作各圆的切线，切点分别为A1、A2、A3，…，则sin∠A n OP n= ．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．【分析】利用切线的性质结合PO n的变化得出其长度，再根据三角函数的定义即可解决问题．【解答】解：如图，连接O3A3，∵PA3是⊙O3的切线，∴PA3⊥O3A3，∴∠PA3O3=90°，在RT△PA3O3中，∵∠PA3O3=90°，PO2=22+1=5，A3O3=3，PO3=32+1=10，故A n O n=n，PO n=n2+1，∴sin∠A n PO n==．故答案为：．三、解答题21．已知多项式M=（x﹣2）（x+2）+（﹣x+1）（x+3）（1）化简多项式M；（2）若x满足方程=，求M的值．【考点】解分式方程；多项式乘多项式；平方差公式．【分析】（1）多项式M利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验确定出分式方程的解，代入计算即可求出M的值．【解答】解：（1）M=x2﹣4﹣x2﹣2x+3=﹣2x﹣1；（2）分式方程去分母得：4x+2=x﹣1，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，则M=2﹣1=1．22．如图，直线l与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴相交于点B，∠BAO=60°．（1）求直线l的解析式；（2）以点O为圆心，半径为2作圆，判断⊙O与直线l的位置关系；（3）直接写出△ABO的外接圆圆心O′的坐标．（不必写出过程）【考点】圆的综合题．【分析】（1）由已知得出OA=2，在Tt△AOB中，由三角函数求出OB=OA•tan60°=2，得出B（0，2）；设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，2）代入得出方程组，解方程组即可；（2）作OD⊥AB于D，求出∠ABO=30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB=2OA=4，由△AOB的面积=AB•OD=OA•OB，求出OD=，得出d＜r即可；（3）由Rt△ABO的外接圆圆心O′为AB的中点，即可得出圆心O′的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，在Tt△AOB中，∵∠BAO=60°，∴OB=OA•tan60°=2×=2，∴B（0，2）；设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，2）代入得：，解得：k=，b=2，∴直线l的解析式为y=x+2；（2）作OD⊥AB于D，如图所示：∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，∵△AOB的面积=AB•OD=OA•OB，∴OD===，∵⊙O的半径r=2＞，即d＜r，∴⊙O与直线l相交；（3）∵△ABO是直角三角形，OA=2，OB=2，∴△ABO的外接圆圆心O′为AB的中点，∴△ABO的外接圆圆心O′的坐标为（﹣1，）．23．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AB=CD，请你再添加个条件，使得AE=DF，并说明理．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据AB∥CD，得到∠B=∠C，推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：添加条件为：∠A=∠D，理由：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴AE=DF．24．小明上学期的数学成绩如表所示（单位：分）测验类别平时期中考试期末考试测试1测试2测试3测试4成绩107110114109110115（1）6次考试成绩的中位数是110 ，众数是110 ；（2）计算小明上学期平时测试的数学平均成绩；（3）如果上学期的数学总评成绩是根据如图所示的比例计算得到的，已知小明上学期的数学总评成绩为113分，那么请计算出数学总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例．【考点】扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）把6个数从小到大排列，按照中位数、众数的概念即可得出结论；（2）把平时测试成绩相加，再求出其平均数即可；（3）设其中、期末成绩各自所占的比例为x，y，列出关于x、y的方程组，求出xy的值即可．【解答】解：（1）这6个数从小到大排列为：107，109，110，110，114，115，中位数是110，众数是110．故答案为：110，110；（2）平时测试的数学平均成绩==×110=110（分）；（3）设其中、期末成绩各自所占的比例为x，y，由题意得，解得．答：数学总评成绩中期中、期末成绩各自所占的比例分别为：30%，60%．25．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上．（1）证明：DE∥BC；（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置．①如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由；②若四边形AMCN为菱形，如图3，求旋转角α及k的值；③如图4，当直线MN过点B时，求k与旋转角α（0°＜α＜60°）之间的关系式．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据两个图形必须是相似形得到∠ADE=∠B，根据平行线的性质证明即可；（2）①延长AM交BC于D，根据等腰三角形三线合一得到∠DAC=30°，求出∠AFM=90°，得到答案；②由四边形AMCN为菱形，得到AC平分∠MAN，∠MAC=30°，于是得到∠BAM=30°，根据四边形AMCN为菱形，得到AF=AC，AC⊥MN，解直角三角形得到AF=AM，AM=AC，AC=AM，由于△ABC为等边三角形，得到AC=AB，求得AB=AM 根据相似三角形的性质得到，即可得到结论；③如图4，过A作AH⊥MN于H，由于△AMN 是等边三角形，同时代的AH=AM•cos30°=AM，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC；（2）①AC⊥MN，证明：如图2，延长AM交BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，又∠AMN=60°，∴∠AFM=90°，即AC⊥MN；②∵四边形AMCN为菱形，∴AC平分∠MAN，∠MAC=30°，∴∠BAM=30°，∴α=30°，∵四边形AMCN为菱形，∴AF=AC，AC⊥MN，在Rt△△AFM中，cos30°=，∴AF=AM，∴AM=AC，AC=AM，∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∴AB=AM，∵△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，∴△AMN∽△ABC，位似比为k：1，，AM=kAB，∴k=，③如图4，过A作AH⊥MN于H，∵△AMN是等边三角形，∴AH=AM•cos30°=AM，在Rt△AHB中，∠BAH=α+30°，∴cos∠BAH=cos（α+30°）=，∴AH=AB•cos（α+30°），AB•cos（α+30°）=AM，由②得：AM=kAB，∴cos（α+30°）=k．26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与x轴相交于点M，在抛物线的对称轴上找一点N，使得以M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似，求出点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）先求出AO，CO，BM，然后点N在在x轴上方的抛物线上的对称轴上分两种情况①当△AOC∽△BMN时，②当△AOC∽△NMB时，得到比例式求出点N的坐标，再利用对称性求出在x轴下方的物线线的对称轴上的点N．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，（2）∵抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4与y轴相交于点C，∴C（0，﹣4），抛物线对称轴为x=，∴M（，0），OC=4，∴MB=，设x轴上方抛物线的对称轴上点N（，n），∴MN=n，①当△AOC∽△BMN时，∴，∴=，∴n=10，∴N（，10），根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（，﹣10），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；②当△AOC∽△NMB时，∴，∴=，∴n=，∴N（，），∴根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（，﹣），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；综上所述，符合题意的点N（，10），（，﹣10），（，），（，﹣）．。
