【精选】敏感性分析(运筹学教材)
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25敏感性分析
9
(二)、约束条件右端项 bj 的灵敏度分析 二、 (1)、bj 改变， B-1 b仍≥0时，最优方案不变。 、 改变， 仍 时 最优方案不变。 例中b 例中 1改变 B-1 b= 2 -1 -1 1 b1 20
≥0
2b1 -20 ≥0 -b1+20 ≥0
∴10≤ b1 ≤ 20
10
(2)、 b1改变 b1=30 ， -1 b= 、 改变, B CB 5 8 XB X1 X2 120 40 -10 100 5 0 X1 X4 20 10 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -2 2 -1
7
(2)、基变量系数Ci 、基变量系数 ① Ci 改变， 全部 i≤0，最优方案不变。 改变， 全部λ 最优方案不变。 例中C 例中 1改变 λA = C -CBB-1 A =(C1 ,8,6,0,0 ) -(C1 8) 1 0 0 2 -1 0 1 1 -1 1
=(0,0,-2,-2C1+8, C1 -8)≤ 0 -2C1+8 ≤ 0 C1-8 ≤ 0 4≤ C1≤ 8
λ6 = C6 - CBB-1 P6 = 10 - (5 8) 2 -1
-1 1 = 10 - 12 = -2 < 0
3 2
结论： 结论：无利
12
（1）产品D利润为多少时，投产有利？ 产品D利润为多少时，投产有利？ 有利
λ 6 = C6 - CBB-1 P6 = C6 - 12 >0 得 C6 >12
② λA = C - CBB-1 A λN = CN - CBB-1 N λj = Cj- CBB-1 Pj ③
~ A= B-1 A ~ Pj =B-1 Pj
2
例：
产品
原料
A 1 1 5
(二)、约束条件右端项 bj 的灵敏度分析 二、 (1)、bj 改变， B-1 b仍≥0时，最优方案不变。 、 改变， 仍 时 最优方案不变。 例中b 例中 1改变 B-1 b= 2 -1 -1 1 b1 20
≥0
2b1 -20 ≥0 -b1+20 ≥0
∴10≤ b1 ≤ 20
10
(2)、 b1改变 b1=30 ， -1 b= 、 改变, B CB 5 8 XB X1 X2 120 40 -10 100 5 0 X1 X4 20 10 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -2 2 -1
7
(2)、基变量系数Ci 、基变量系数 ① Ci 改变， 全部 i≤0，最优方案不变。 改变， 全部λ 最优方案不变。 例中C 例中 1改变 λA = C -CBB-1 A =(C1 ,8,6,0,0 ) -(C1 8) 1 0 0 2 -1 0 1 1 -1 1
=(0,0,-2,-2C1+8, C1 -8)≤ 0 -2C1+8 ≤ 0 C1-8 ≤ 0 4≤ C1≤ 8
λ6 = C6 - CBB-1 P6 = 10 - (5 8) 2 -1
-1 1 = 10 - 12 = -2 < 0
3 2
结论： 结论：无利
12
（1）产品D利润为多少时，投产有利？ 产品D利润为多少时，投产有利？ 有利
λ 6 = C6 - CBB-1 P6 = C6 - 12 >0 得 C6 >12
② λA = C - CBB-1 A λN = CN - CBB-1 N λj = Cj- CBB-1 Pj ③
~ A= B-1 A ~ Pj =B-1 Pj
2
例：
产品
原料
A 1 1 5
运筹学 敏感性分析
-3/2 0 -5/2 0 -3/2 -45
（2）基变量的系数
产品A单位利润c1变化： c1↘某一水平，不生产A，
上下限
c1↗某一水平，改变最优产品规划。
c1
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
c1 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 c1 /3-4 0 - c1/3+1 c1 /3-2
2 c2 3,5
1/ 1
3
c2
4
c2
4
如果产品B的单位利润增加到6（百元），则 2 2 ，生
产产品B会使总利润进一步提高，选非基变量x2为进基变量， 按最小比值原则，确定x3出基。
3
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1
-1/3
0
1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
B
1
b'r
0
bm
B-1 是当前基的你，解 上述不等式，求得保持可行 性不变的br的范围。
前例：原料在多大范围内变动， 最优性不变？
31500
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 -3 0 0 -1 -30
B1
1/3 1 / 5
x1,x2,x3
资源
A BC
总量 分 别 代
劳动力
《敏感性分析运筹学》课件
《敏感性分析运筹学》 PPT课件
探索《敏感性分析运筹学》的奥秘，揭示问题背景和概念，让您深入了解这 一重要领域的定义、作用和意义。
问题背景和概念
在这一部分，我们将探讨敏感性分析的历史背景和相关概念，帮助您全面了解这个领域的起源和基本概 念。
敏感性分析的定义
敏感性分析是一种运筹学方法，通过变化模型中各项参数的值，研究模型结 果的敏感程度，从而评估模型的稳定性和可靠性。
敏感性分析的作用和意义
敏感性分析在决策分析、风险评估、优化模型等领域具有广泛的应用，可以帮助决策者更好地理解和利 用模型的结果。
敏感性分析的方法和步骤
1
参数选择
选择需要进行敏感性分析的参数，确保参数具有实际意义和可调节性。
2
变量变化
对选择的参数进行变化，观察模型结果的变化情况。
3
结果分析
分析模型结果的敏感程度，从而评估参数对结果的影响程度。
实例分析二
进一步探索敏感性分析的实际 案例，并分析其在决策支持中 的重要作用。
实例分析三
通过多个案例研究，总结敏感 性分析的实际应用经验和最佳展望未来发展方向，探讨该领 域可能带来的新的挑战和机遇。
敏感性分析的局限性和挑战
1 简化模型
敏感性分析往往需要对 模型进行简化，可能无 法完全反映实际情况。
2 参数关联性
模型的参数可能存在相 关性，敏感性分析难以 准确评估每个参数对结 果的独立影响。
3 不确定性处理
模型结果的不确定性可 能导致敏感性分析结果 的不稳定性。
案例研究和实例分析
实例分析一
通过实际案例分析，展示敏感 性分析在实际决策中的应用和 效果。
探索《敏感性分析运筹学》的奥秘，揭示问题背景和概念，让您深入了解这 一重要领域的定义、作用和意义。
问题背景和概念
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敏感性分析的定义
敏感性分析是一种运筹学方法，通过变化模型中各项参数的值，研究模型结 果的敏感程度，从而评估模型的稳定性和可靠性。
敏感性分析的作用和意义
敏感性分析在决策分析、风险评估、优化模型等领域具有广泛的应用，可以帮助决策者更好地理解和利 用模型的结果。
敏感性分析的方法和步骤
1
参数选择
选择需要进行敏感性分析的参数，确保参数具有实际意义和可调节性。
2
变量变化
对选择的参数进行变化，观察模型结果的变化情况。
3
结果分析
分析模型结果的敏感程度，从而评估参数对结果的影响程度。
实例分析二
进一步探索敏感性分析的实际 案例，并分析其在决策支持中 的重要作用。
实例分析三
通过多个案例研究，总结敏感 性分析的实际应用经验和最佳展望未来发展方向，探讨该领 域可能带来的新的挑战和机遇。
敏感性分析的局限性和挑战
1 简化模型
敏感性分析往往需要对 模型进行简化，可能无 法完全反映实际情况。
2 参数关联性
模型的参数可能存在相 关性，敏感性分析难以 准确评估每个参数对结 果的独立影响。
3 不确定性处理
模型结果的不确定性可 能导致敏感性分析结果 的不稳定性。
案例研究和实例分析
实例分析一
通过实际案例分析，展示敏感 性分析在实际决策中的应用和 效果。
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
运筹学02_对偶理论与敏感性分析
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 50
I
θi 300 400 250 50 75
０
B-1
cBB-1
最优解：x1 = 50, x2 = 250, x4 = 50 B=(P1, P4, P2) 对偶最优解：y1 = 50, y2 = 0, y3 = 50 B-1对应的检验数 σT = cBB-1。
系数变成约束 条件右侧值
变成目标函 数的系数
最小化问题的对偶问题： 最小化问题的对偶问题：
max w = − 25 y 1 + 2 y 2 + 3 y 3
反过来， 反过来，由下 往上也是一样 的。
− y1 − y 2 + y 3 ≤ 1 − y1 + 2 y 2 − y 3 ≤ − 1 − 2 y1 − y 2 + y 3 = − 1 y1 , y 2 ≥ 0
12
CB 0 0 0 z 0 0 100 z 50 0 100 z
XB x3 x4 x5 x3 x4 x2 x1 x4 x2
300 400 250 0 50 150 250
-25000
50 50 250
-27500
50 x1 1 2 0 50 (1) 2 0 50* 1 0 0 0
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
25
例： 已知线性规划 max z = x1 + x2 s.t. -x1 + x2 + x3 ≤ 2 -2x1 + x2 - x3 ≤ 1 x1, x2 x3 ≥ 0 试用对偶理论证明该线性规划无最优 解。
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学课程04-灵敏度分析资料
XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
A ( B, N )
XB X X N
C (CB , CN )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2019/4/12 4
NEUQ
B-1b
0
≤0
但B 1b 0不变
Z： CBB-1b
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
若C N C B B N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2019/4/12 9
1
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
设 ck 变化为
X B 检验数
CB CB I 0 CB CB B B 0
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2019/4/12
7
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
' k
运筹学讲义-灵敏度分析
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
bk
,n
i
ak ,ni
0
bi
min k
bk ak ,ni
ak ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函 数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收 益最大的生产方案。
产量 组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33
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sfsf
16
sfsf
17
例1：写出下面线性规划的对偶规划 min S x1 3x3
s.t. 2 x1 3x2 6 x3 7 16x 2 x 2 x 1 1 3 4 7 x 7 x 6 x x 0 1 2 3 4 x1 , x2 , x3 , x4 0
第三 讲 线性规划：灵敏度分析与对偶
李勇建 博士
sfsf
1
主要内容
线性规划的对偶问题 线性规划的灵敏度分析问题
sfsf
2
线性规划的对偶问题
•对偶问题的来源 •对偶问题的应用和经济解释
•对偶问题的转化
sfsf 3
对偶问题
原问题
max z 50x1 100x2
约束：
x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250
sfsf
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
x1 0, x2 0
最优解：x1=50, x2=250；Z*=27500
sfsf 4
如果把三种资源分别以价格 y1 , y 2 , y3 出租或买出， 那么出 让相对于生产一单位第 j 种产品的资源消耗的价值应不低 于第 j 种产品的单位利润价值 max z 50x 100x
1
因此有
sfsf 9
影子价值的内涵
影子价格不是资源的实际价格，反映了资源配置结构，
其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。
对资源i总存量的评估：购进 or 出让 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少
第一，影子利润说明增加哪种资源对经济效益最有利 第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源 第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价 第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策 第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性 第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益 第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺
* y* 0, y 0 4 5
sfsf
12
阅读和自学：
参考书 P60-61，第3.3.4节
sfsf
13
想一想
产品的机会成本是什么:
j 表示减少一件产品 j 所节省的资源可以增加的 利润. 产品的差额成本是什么:
sfsf
14
对偶问题的经济解释
如果 则用这些资源来生产这种产品更为有利可图. 如果
sfsf
7
举例
原问题
Max 50x1+30x2 S.t. 4x1+3x2120 2x1+x250 x1,x20
对偶问题
Min 120y1+50y2 S.t. 4y1+2y250 3y1+y2 30 y1,y20
sfsf
8
对偶规划的应用
一般来说，线性规划问题是确定资源的最优分 配方案；对偶问题则是确定对资源的恰当估价， 以确定资源的最有效利用； 可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格， 以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营 的好坏； 对于一些紧缺资源，可以借助于影子价格机制 规定上交的利润额，控制一些经济效益低的公 司自觉地节约使用紧缺资源。
f min 27500 z *
sfsf 6
影子价格在原问题当中是什么意思? 设原问题的松弛变量为 s1 , s 2 , s3 , （对应资源的剩余量） ，那么原问题的 最优解为 ( x1 , x2 , sy s22,,y s3 ) = (50, 250, 50, 0, 50)。 1, 1,y 松弛变量不为 0，即有剩余的资源，其影子价格为 0。 没有剩余、比较紧缺的资源其影子价格，代表了其紧缺程度。 比如，当 x1 x2 300改为 x1 x2 301时, 最优解为 x1 51, x2 250 , 利润增加 50 元, 资源增加一个单位, 利润增加 50 元, 称为资源 1 的影子 价格。
max Z 7 x1 12x2 9 x1 4 x2 360 4 x 5 x 200 1 2 s.t. 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
X * (20, 24,84,0,0)T
sfsf
11
资源定价的决策方案
2、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
对偶问题
决策变量：yi 收买该公司一单位 i 种资源时付给的价格 目标函数： 约束：
min f 300y1 400y2 250y3
y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100
.
y1 , y2 , y3 0
此极小问题称为原问题的对偶问题，解是 y1 50, y2 0, y3 50 分别称为原料1，2，3的影子价格或对偶价格.
y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
x1 x2 300 y2： 2 x1 x2 400 x2 250 y3 ：
y1 ：
2
但是买方会把价格压到最低 ：
min f 300y1 400y2 250y3
sfsf 5
min w 360 y1 200 y2 300 y3 9 y1 4 y2 3 y3 7 s.t. 4 y1 5 y2 10 y3 12 y , y , y 0 1 2 3
* * y1 0 y* 1.36 y 0.52 2 3
Z * 428
表明已经在其他地方以更为有利可图的方式使用这些资源，没有必 要生产产品j . 其经济解释是:在利润最大化的生产计划中 (1)边际利润大于0的资源没有剩余; (2)有剩余的资源边际利润等于0; (3)安排生产的产品机会成本小于等于利润; (4)机会成本大于利润的产品不安排生产.
sfsf 15
对偶的一般形式