结构力学6位移计算2

△
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体

(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
三、 本章位移计算的假定
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
Ni
例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
q
A
h b
Ni ( x) 0, N P ( x) 0 Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x)
l
2
P 1
q M P qkl2 M P M i ql N P Ni kQP Qi ip [ 设 : M ]ds , Q 8EI 2GA EA GA EI QP Q 4 EIk l q (l x ) k q(l x)3 [ ]dx P 1 0 M GAl2 M i GA 2 EI 2 4 qkl ql A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, () Qi 2GA 8EI h / l 1 / 10, E / G 2.5(钢砼) 位移方向是如 lx Q 对于细长杆,剪切变形 1 何确定的? 对位移的贡献与弯曲变 M 100 形相比可略去不计.
ip
M PMi N P Ni kQP Qi [ ]ds EA GA EI
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip M PMi ds EI N P Ni ds EA N P Nil EA
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8