1.3.2 函数的极值与导数 导学案(教师版)

1.3.2《函数的极值与导数》导学案制作马冰审核高二数学组2016-03-16【学习目标】1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．【预习导航】已知y＝f(x)的图象(如图)[问题1]当x＝a时，函数值f(a)有何特点？[问题2]试分析在x＝a的附近导数的符号．[问题3]f′(a)值是什么？【问题整合】1.极小值点与极小值2.极大值点与极大值3.函数极值的求法【问题探究】探究活动一求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x；(2)f(x)＝x4－4x3＋5；(3)f(x)＝ln xx.探究活动二已知函数极值求参数例2、设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．探究活动三极值的综合应用例3 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？【课堂巩固练习】1．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x 2e －x.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，取得极大值7， 当x ＝3时，取得极小值．求这个极小值及a ，b ，c 的值．3．将例3中(2)改为：①f (x )＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根．试求实数a 的取值范围．【总结概括】【课后作业】习题1.3A 组4,5。

3・3・2函数的极值与导数(导学案)一. 【知识链接】1 •用导数求函数单调区间的步骤：2. 求下列函数单调区间(1 )f(x)=2x~+2x-4; (2)f(x)=2x 3+4x; (3) f(x)=x+cosx; xW ( 0,§ ); 预习教材完成下列问题：探究一 •极值的概念1、观察下图中的曲线在a 、b 处的函数值f(a)、f(b)与它附近的函数值比较有什 么特点？ a 点的函数值f(a)比它临近点紅虽数值都点的函数值都2、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点X 。

附近有定义，如果对X 。

附近的所有的点，都有f(x)< f(Xo),我们就说Xo 是函数f(x)的一个 __________________ , f(x ())是函数f(x)的一个_________ ，记作y 极大值= f(xo);如果对Xo 附近的所有的点，都有f(x)>f(x 0),我们 就说&)是函数f(x)的一个 ________________________ , f(xo)是函数f(x)的一个 __________________ , •i 己作y 极小值=f(x 0)・注意：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指 的是函数值•请注意以下几点：(i )极值是一个局部概念•它只是某个点、的函数值与它吐近直的函数值比较 是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.・b 点、的理数值f(b)比它临近(ii )函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，工i是极大值点，•耳是极小值点，而畑>畑・(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.探究二、极值的求法3、观察下图中的曲线，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.上图中，曲线在极值点处切线的斜率为______________ ,极大值点左侧导数为_________,右侧为________ ;极小值点左侧导数为___________ ,右侧为_______ ・(填正、负)4、利用导数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点、xO处连续时，判别f(xO)是极大(小)值的方法是：(1)如果在xO附近的左侧f'(x)>0,右侧f *(x)<0,那么，f(xO)是________________ 值;⑵如果在x()附近的左侧f f(x)<0,右侧f'(x)>0,那么，f(xO)是__________________ 值;思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？三.【新知应用】例1求函数•并利用性质画出简图:［总结］:求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴.(2).(3).⑷巩固练习P96 1,2四.【课堂小结】1.函数的极值的定义：2.导数求极值的步骤：五.自我检测求下列函数的极值(1) f(x)=6x2+x+2 ; (2) f(x)=x3-12; (3) f(x)=6-12x+x3; (4) f(x)=48x-x3.33.3函数的最大(小)值与导数导学案一、学习目标：1 •连续函数在闭区间上的最大值与最小值定理；2•结合函数图象，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数最值.二、重难点：1・重点：会用导数求在给定区间上函数的最值；2•难点：最值与极值的区别.三、学习过程：1 •思考发现：能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函数的最小值必是函数的极小值？从下题中得出结论：如图为函数/(x)在区间［a,b］上的图象，请说出/(X)的极大值，极小值，最大值及最小值.2•由(1)你能总结出最值的概念吗？函数/(兀)在［a,b］上的最值，如果在区间［d,b］上的函数的图象是一条____ 的曲线，那么/(兀)必有最大值和最小值，此性质包括两个条件:(1) 给定函数的区间是 __________ :(2) 图彖在区间上的每一点必须 _______ •函数的最值是比较整个 __________ 的函数值得出 的，函数的极值是比较 _________ 的函数值取得的.例1求函数f(x) = -x 3-4x + 4在［0,3］上的最大值与最小值. 2•你能总结出求函数/(x)在［d,切上的最值的步骤吗?巩固练习1•下列命题中，真命题是()A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 C ・函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ・函数在开区间不存在最大值和最小值 2•函数.f (兀)-3x4-1在闭区间［-3,0］上的最大值，最小值分别是()3 •函数f\x) = l2x-x 3在区间［-3,3］上的最小值 _______ 4•函数/(兀)二In 兀一兀在(0, e ］上的最大值 ______5 •求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1) /(%) = 6x 2+x + 2, xe ［-l,l ］(2) /(x) = ?-12x, xe ［-3,3］7•稲于/©)=丘一丄/ 一2兀+ 5,当兀引一1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数加的取值范 2 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.3,-17 D.9,-19。

1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法。

2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结合的方法解决问题。

教学重难点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。

教学过程一、复习回忆：1.函数的单调性与导数的关系：一般地，设函数y =f (x )在某个区间(a ，b )内有导数，如果在这个区间内f '(x )>0，那么函数y =f (x )为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x )<0，那么函数y =f (x )为这个区间内的减函数.如果在某个区间内恒有f '(x )=0，则y =f (x )为常数。

2.函数f (x )=2x 3－6x 2+7，求f (x )的单调区间,并画出其图象; 二、讲授新课：a b y=f (x ) x o y y=f (x ) xo y a b观察画出函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象，答复下面问题：问题1：在点x =0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x =0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x =0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x =0处的导数是多少？思考1 分析讨论函数在x =0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？ 函数极大值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义假设x 0满足1. f (x 0)＞f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左正右负〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极大值，点x 0叫做函数y =f (x )的极大值点。

思考2 你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？函数极小值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义，假设x 0满足：1. f (x 0)＜f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左负右正〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极小值，点x 0叫做函数y =f (x )的极小值点。

1.3.2函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解 由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6， 令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0， 解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数； 当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在， 当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.要点三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 【答案】D【解析】由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 【答案】9【解析】f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。

《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课前部分编写人：审查：高二数学组【学习目标】1．知识与技术目标：（1）理解极大值、极小值的观点；（2）可以运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；（3）掌握求可导函数的极值的步骤 .2．过程与方法目标：培育学生察看、剖析和归纳的能力，使学生进一步感觉数形联合思想.3.感情、态度与价值观目标进一步培育学生合作、沟通的能力和团队精神；激发学生踊跃主动地参加数学学习活动，养成优秀的学习习惯.【学习要点、难点】要点：极值的观点与求法.难点：函数在某点获得极值的必需条件和充足条件一、【复习回首】函数的单一性与其导函数正负的关系？二、【学习研究】问题：察看以下图，从图 2 中精选出与图 1 点a地点相像的点，函数y f ( x) 在这些点处的函数值与这些点邻近的函数值有什么大小关系？y f ( x) 在这些点的导数值是多少？在这些点左右双侧， y f ( x) 的导数的正负有什么规律？从图2中精选出与图1点 b 地点相像的点，并回答上述问题图 1图 2新知：极值的观点阅读教材 p27内容，自主学习函数极值的观点，回答以下问题.1.若函数 y f ( x) 在x0处存在导数，则x0左右双侧及x0处的导数知足哪些条件时x0才会是f (x)的极值点？2．函数的极值点能出此刻定义域区间的端点处吗?3．函数的极值是独一的吗？一个函数的极大值必定大于它极小值吗？提示：极值反应了函数在某一点邻近的函数值的大小状况，刻画的是函数的局部性质 . 做一做图 3 是导函数y f ( x) 的图象，函数y=f ( x)的极大值点有__, 极小值点有图 3思虑： 1. 可导函数y f (x) 在一点的导数值为0 是函数在这点取极值的什么条件？2.在导函数图象上怎么找极值点？三、【典型例题】四、【怀疑汇总】例 1求函数 y1x34x 4 的极值. 1. 我的迷惑？32. 小组合作研究后的迷惑你能总结出求极值的一般步骤吗？五、【自学总结】我的收获自我检测已知函数 f (x) 4x3ax2bx 5在 x 3与 x1时有极值，求函数的分析式.2《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案 3 ．其余组展现的问题及成就：（评论与反省）课上部分编写人：审查：高二数学组【展现沟通】1.课上要解决的问题是：2．展现纲要：《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课后部分编写人：审查：高二数学组【课后反省】【课后作业】1.选修 2-2 p29练习 1、 22.第 9 课时卷子【高考链接】1.（2012 陕西 7 题 5 分）设函数 f ( x)xe x则（）A..x 1为f ( x)的极大值点B..x1为 f ( x)的极小值点C..x1为f (x)的极大值点D..x1为f ( x)的极小值点2（. 2012 重庆 8 题 5 分）设函数f ( x)在R上可导，其导数为 f ' ( x),且函数 y1 x f /x的图象如下图，则以下结论中必定建立的是（）A. 函数f x 有极大值f 2 和极小值 f 1B. 函数f x 有极大值 f2和极小值 f1C. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2D. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2达标检测 （限时独立达成）达标检测 （限时独立达成）．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题： ．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题：1 ) 3 1 ) 3 ①f ( x) 是增函数，无极值； ①f ( x) 是增函数，无极值； ②f ( x) 是减函数，无极值；②f ( x) 是减函数，无极值；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ，(2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ， (2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；④f (0) ＝0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． ④f (0) ＝ 0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． 此中正确的命题有 ( )此中正确的命题有 ( )A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个．函数 f ( x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x ) 在 ( a ， b 内的图象如图所．函数 f x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x 在 a ， b 内的图象如图所2 ) )) 2 ( ) )) ( )示，则函数f x 在开区间(a ，b 内有极小值点()示，则函数 f (x 在开区间(a ，b内有极小值点()( ))))A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个3 2 在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3 2在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3. 函数 f (x) xax 3x 9 3. 函数 f ( x) x ax 3x 9．已知函数 y ＝ x 3 ＋ax 2＋bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则 ．已知函数 y ＝x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则44a ＝，b ＝________.a ＝，b ＝________.____________。

一、教学目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、教学重点与难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程一、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）h t=-4.9t2+6.5t+10的图2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()象，回答以下问题：（1）在点t=a附近的图象有什么特点？（2）函数在t=a处的函数值和附近函数值之间有什么关系？（3）在点t=a附近的导数符号有什么变化规律？（4）函数在t=a处的导数是多少？h t单调递增,共同归纳:函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数()()'h t＞0;当t＞a时,函数()h t单调递减, ()'h t＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, ()'h t先正后负,且()'h t连续变化,于是h/(a)=0.3、观察下列函数的图像，回答问题。

问题同上（略）学生讨论回答。

4、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ 二、函数极值概念的形成1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点a 附近有定义，如果对a 附近的所有的点，都有f(x)＜f(a)，0)(,=a f 且在点x=a 附近的左侧0)(,>x f ，右侧0)(,<x f 就说f(a)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(a)，a 是极大值点 2、极小值：仿照极大值的定义让学生自己写出来。

3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x ＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学 (对应学生用书第58页)函数y ＝f (x )的图象如图所示．1．函数在x ＝a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小 . 2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 【提示】 f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)例题1 (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→fx ＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝x －x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，－23＝b 3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . ∴⎩⎨⎧ f ＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。

1.3.2函数的极值与导数一、教材分析《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、教学目标 1. 教学目标（1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.（2）过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点： 0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.4、教学过程3 再观察再认识再观察跳水在波峰时的状态.寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：(1) 如果在x附近的左侧()f x'﹥0，右侧()f x'﹤0,那么,)(xf'是极大值；(左正右负为极大)(2) 如果在x附近的左侧()f x'﹤0,右侧()f x'﹥0,那么,)(xf'是极小值.(右正左负为极小)根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.4应用1 求函数)(xf=44313+-xx的极值.教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。