中考数学总复习 分层提分训练 方程与方程组(2)(以真题为例)

初中笔刷题中考分类集训2方程2024方程是初中数学中的一个重要内容，也是中考中的重点之一。

掌握方程的解题方法对提高数学成绩至关重要。

下面将针对初中笔刷题中考分类集训2方程2024的题目进行详细的解答和讲解，希望能帮助你更好地理解和掌握方程的相关知识。

1. 题目一：求解方程2x + 5 = 13。

解答：首先，我们要让方程两边的等式相等，即通过运算找出方程的解。

对于这道题目，我们可以采用逆运算的方式来求解。

首先，将方程中的常数项5移至方程的右侧，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。

然后，再将方程中的系数2移到等号右侧，即得到x = 8 ÷ 2，最终解得x = 4。

所以，方程2x + 5 = 13的解为x = 4。

2. 题目二：解方程3(x + 2) = 21。

解答：这道题目中方程中含有括号，我们首先要将括号内的内容展开。

对于3(x + 2) = 21这个方程，我们首先将括号内的内容进行展开，得到3x + 6 = 21。

接下来，我们要继续对方程进行运算，将方程中的常数项6移到等号右侧，得到3x= 21 - 6，即3x = 15。

最后，将方程中的系数3移到等号右侧，即可解得x = 15 ÷ 3，最终得到x = 5。

所以，方程3(x + 2) = 21的解为x = 5。

3. 题目三：求解方程2(x - 3) = 4x + 6。

解答：这道题目中方程中含有括号，我们需要将括号内的内容展开，然后对方程进行整理。

首先，将方程2(x - 3) = 4x + 6中的括号展开，得到2x - 6 = 4x + 6。

接着，将方程中的4x移到等号左侧，得到2x - 4x = 6 + 6，即-2x = 12。

最后，将方程中的系数-2移到等号右侧，即可解得x = 12 ÷ (-2)，最终得到x = -6。

因此，方程2(x - 3) = 4x + 6的解为x = -6。

通过以上的解答，希望你能够更加熟练地掌握方程的解题方法，提高数学解题的能力。

中考数学总复习《方程(组)及其应用》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1一次方程(组)的解法及解的应用 1(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-72(2022株洲)对于二元一次方程组{y =x -1,①x +2y =7,②将①式代入②式,消去y 可以得到( )A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2x+2=73(2022随州)已知二元一次方程组{x +2y =4,2x +y =5,则x-y 的值为 .4(2022呼和浩特)解方程组{4x +y =5,x -12+y 3=2.5(2022荆州)已知方程组{x +y =3,①x -y =1②的解满足2kx-3y<5,求k 的取值范围.命题点2解分式方程6(2022北京)方程2x+5=1x 的解为 .7(2022成都)分式方程3−xx -4+14−x =1的解是 . 8(2022常德)方程 2x +1x (x -2)=52x的解为 .9(2022苏州)解方程:xx+1+3x =1.10(2022青海)解方程:x x -2-1=4x 2-4x+4.命题点3分式方程的解的应用 11(2022德阳)如果关于x 的方程2x+m x -1=1的解是正数,那么m 的取值范围是 ( )A.m>-1B.m>-1且m ≠0C.m<-1D.m<-1且m ≠-2 12(2021达州)若分式方程2x -ax -1-4=-2x+a x+1的解为整数,则整数a= .命题点4一元二次方程的解法及解的应用 13(2022天津)方程x 2+4x+3=0的两个根为 ( ) A.x 1=1,x 2=3 B.x 1=-1,x 2=3 C.x 1=1,x 2=-3 D.x 1=-1,x 2=-314(2022临沂)方程x 2-2x-24=0的根是( )A.x 1=6,x 2=4B.x 1=6,x 2=-4C.x 1=-6,x 2=4D.x 1=-6,x 2=-415(2022宜宾)已知m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,则m 2+mn+2m 的值为( )A.0B.-10C.3D.1016(2022广东)若x=1是方程x 2-2x+a=0的根,则a= .17(2022黄冈)若一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根是x 1,x 2,则x 1·x 2的值是 .18(2022鄂州)若实数a ,b 分别满足a 2-4a+3=0, b 2-4b+3=0,且a ≠b ,则1a +1b 的值为 .19(2022无锡)解方程:x 2-2x-5=0.20(2022齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.命题点5一元二次方程根的判别式21(2022北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m 的值为()A.-4B.-14C.14D.422(2022抚顺)下列一元二次方程无实数根的是() A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=023(2022滨州)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为()A.无实数根B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定24(2022随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1x2=5,求k的值.25(2022南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.命题点6方程的实际应用角度1变化率问题26(2022重庆A卷)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是() A.200(1+x)2=242 B.200(1-x)2=242C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=24227(2022哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是() A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96角度2购买、销售问题28(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件元.29(2022重庆A卷)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为.30(2022广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价分别是多少.角度3分配问题31(2021北京)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A 生产线分配了m 吨原材料,给B 生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn 的值为 . 角度4生产、工程问题32(2022云南)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x 棵,则下列方程正确的是 ( )A .400x -50=300x B .300x -50=400xC .400x+50=300xD .300x+50=400x33(2022宜昌)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量.(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m 的值.(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.角度5行程问题34(2022济宁)一辆汽车开往距出发地420 km 的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10 km,则提前1 h 到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是 ( )A.420x =420x -10+1B.420x +1=420x+10 C.420x=420x+10+1 D.420x+1=420x -1035(2022重庆A 卷)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A 地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A 地出发,则甲、乙恰好同时到达B 地,求甲骑行的速度.角度6几何问题36(2022泰州)如图,在长为50 m 、宽为38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m 2,道路的宽应为多少?角度7其他问题37(2022宜昌)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ( )A.30B.26C.24D.2238(2022安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.注:进出口总额=进口额+出口额.(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 x y5202021 1.25x1.3y(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.分类训练4方程(组)及其应用1.C2.B【解析】将①代入②,得x+2(x-1)=7,去括号,得x+2x-2=7.3.1【解析】{x+2y=4,①2x+y=5,②②-①,得x-y=5-4=1.4.【参考答案】{4x+y=5,①x-12+y3=2,②由②,得3x+2y=15,③①×2-③,得5x=-5解得x=-1.把x=-1代入①,得y=9故方程组的解为{x=−1, y=9.5.【参考答案】①+②,得2x=4,∴x=2.①-②,得2y=2,∴y=1.将x=2,y=1代入2kx-3y<5,得4k-3<5解得k<2.6.x=5 【解析】 方程两边同时乘x (x+5),得2x=x+5,解得x=5.检验:当x=5时,x (x+5)≠0.故x=5是原分式方程的解.7.x=3 【解析】 去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.8.x=4 【解析】 方程两边同乘2x (x-2),得2×2(x-2)+2=5(x-2),解得x=4.检验:当x=4时,2x (x-2)=16≠0,∴x=4是原方程的解.9.【参考答案】 方程两边同乘以x (x+1),得x 2+3(x+1)=x (x+1). 解方程,得x=-32.经检验,x=-32是原方程的解. 10.【参考答案】 x x -2-1=4(x -2)2x (x-2)-(x-2)2=4 解得x=4检验:当x=4时,(x-2)2≠0 故x=4是原方程的解.11.D 【解析】 方程两边同时乘(x-1),得2x+m=x-1,解得x=-1-m.∵方程的解是正数,∴x>0,且x ≠1,∴-1-m>0,且-1-m ≠1,∴m<-1且m ≠-2. 12.±1 【解析】2x -a x -1-4=-2x+a x+1可变形为2x -2+2-a x -1-4=-2x -2+2+a x+1,即2+2−a x -1-4=-2+2+a x+1,∴2−a x -1=2+ax+1,∴(2-a )(x+1)=(2+a )(x-1),∴x=2a .又∵x 为整数,且x ≠±1,∴整数a=±1. 13.D 【解析】 方法一:∵x 2+4x+3=0,∴x 2+4x=-3,∴x 2+4x+4=-3+4,∴(x+2)2=1,∴x+2=±1,∴x 1=-1,x 2=-3.方法二:x 2+4x+3=0可化为(x+1)(x+3)=0,∴x 1=-1,x 2=-3. 14.B 【解析】 移项,得x 2-2x=24,配方,得x 2-2x+1=25,即(x-1)2=25,∴x-1=±5,∴x 1=6,x 2=-4.15.A 【解析】 ∵m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,∴m 2+2m-5=0,mn=-5,∴m 2+2m=5,∴m 2+mn+2m=m 2+2m+mn=5-5=0.故选A . 16.1 【解析】 将x=1代入x 2-2x+a=0,得1-2+a=0,∴a=1.17.3 【解析】 ∵x 1,x 2是一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根,∴x 1·x 2=c a =31=3. 18.43 【解析】 由题意得a ,b 是方程x 2-4x+3=0的两个不相等的实数根,∴a+b=4,ab=3,∴1a +1b =a+b ab =43. 19.【参考答案】 移项,得x 2-2x=5 配方,得x 2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6开方,得x-1=±√6解得x1=1+√6,x2=1-√6.20.【参考答案】等号两边同时开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2 解得x=1或x=-1.21.C【解析】由题意可知Δ=1-4m=0,解得m=14.22.C【解析】逐项分析如下:选项分析是否符合题意A Δ=1+8=9>0,方程有两个不相等的实数根.否B Δ=4>0,方程有两个不相等的实数根.否C Δ=1-20=-19<0,方程没有实数根.是D Δ=4-4=0,方程有两个相等的实数根.否23.A【解析】∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0,∴一元二次方程2x2-5x+6=0无实数根.24.【参考答案】(1)依题意可得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0化简,得4k-3>0解得k>34.(2)依题意得x1x2=k2+1=5解得k1=2,k2=-2.由(1)知k>34,故k=2.25.【参考答案】(1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0即32-4(k-2)=-4k+17≥0解得k≤174.(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1 ∴k-2-3+1=-1,解得k=3.26.A 【解析】 根据题意,得第二天揽件200(1+x )件,第三天揽件200(1+x )(1+x )=200(1+x )2(件),故200(1+x )2=242,故选A .27.C 【解析】 第一次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )元,第二次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )2元,故150(1-x )2=96.28.15 【解析】 设该商品的标价为每件x 元,由题意得80%x-10=2,解得x=15. 29.3∶5 【解析】 根据题意设未知数,列表如表(1)所示.由“甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3”,可列方程5a -4b 6a -3b =23,∴a=2b ,可得表(2).设香樟原价为每棵m 元,红枫原价为每棵n 元,则16b (1-6.25%)·m (1-20%)+20b ·n (1+25%)=16bm+20bn ,∴12bm+25bn=16bm+20bn ,∴m=54n ,∴12bm 25bn =12×54n 25n =15n 25n =35.表(1) 甲 乙 丙 香樟 4b 3b 9b 红枫 5a-4b 6a-3b合计5a6a7a表(2)甲 乙 丙 合计 香樟 4b 3b 9b 16b 红枫6b9b 5b 20b 合计 10b12b 14b30.【参考答案】 设学生人数为x 根据题意,得8x-3=7x+4 解得x=7∴7x+4=53.答:学生人数为7,该书单价为53元.31.2∶3 12 【解析】 设第一天分配到A,B 两条生产线的原材料分别为x 吨、y 吨,根据题意,得{x +y =5,4x +1=2y +3,解得{x =2,y =3,故分配到A 生产线的原材料的质量与分配到B 生产线的原材料的质量的比为2∶3.由题意得4(2+m )+1=2(3+n )+3,整理,得2m=n ,故m n =12.32.B 【解析】 由实际每天植树x 棵,可知原计划每天植树(x-50)棵,根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”,可列方程为400x =300x -50.33.【参考答案】 (1)设3月份再生纸产量为x 吨,则4月份再生纸产量为(2x-100)吨.由题意,得x+(2x-100)=800解得x=300∴2x-100=500.答:4月份再生纸的产量为500吨.(2)由题意,得500(1+m%)·1 000(1+m 2%)=660 000解得m 1=20,m 2=-320(不合题意,舍去) ∴m=20.(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y , 5月份再生纸的产量为a 吨,根据题意得1 200(1+y )2·a (1+y )=(1+25%)×1 200(1+y )·a∴1 200(1+y )2=1 500.答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.34.C 【解析】 这辆汽车原计划的速度是 x km/h,则实际的速度是(x+10)km/h,原计划用时420x h,实际用时420x+10 h.由实际比原计划提前1 h 到达目的地,可列方程为420x =420x+10+1.35.【参考答案】 (1)设乙骑行的速度是x 千米/时,则甲骑行的速度是1.2x 千米/时由题意,得12×1.2x=12x+2 解得x=20则1.2x=24.答:甲骑行的速度是24千米/时.(2)设乙骑行的速度是y 千米/时,则甲骑行的速度是1.2y 千米/时.由题意,得301.2y +2060=30y解得y=15.经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.则1.2y=18.答:甲骑行的速度为18千米/时. 名师点拨由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准题中的等量关系;(3)设未知数;(4)根据找到的等量关系列出方程(组).36.【参考答案】 设道路的宽应为x 米由题意,得(50-2x )(38-2x )=1 260解得x 1=4,x 2=40(舍去).答:道路的宽应为4米.37.B 【解析】 设1艘大船可满载x 人,1艘小船可满载y 人,根据题意,得{x +2y =32①,2x +y =46②,由①+②,得3x+3y=78,∴x+y=26,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26.38.【参考答案】 (1)1.25x+1.3y(2)由题意得{x +y =520,1.25x +1.3y =520+140,解得{x =320,y =200,∴1.25x=400,1.3y=260.答:2021年进口额为400亿元,出口额为260亿元.。

适用精选文件资料分享2019 年中考数学复习提分训练-- 方程（组）与不等式（组）的综合应用（湘教版附答案）提分专练 ( 二)方程(组)与不等式(组)的综合应用|种类1|解方程( 组) 与不等式 ( 组) 1.(1)[2018? 东营 ] 解不等式组:{ ■(x+3>0", ①" @2"(" x" - " 1")" +3≥3x", ②" ) ┤并判断 - 1, √2这两个数能否为该不等式组的解 .(2)[2018? 武汉 ]解方程组:{■(x+y=10",①" @2x+y=16".②" )┤(3)[2018? 大庆 ]解方程x/(x+3)-1/x=1.2.[2018? 玉林 ] 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x-k-2=0 有两个不相等的实数根 . (1) 求 k 的取值范围 ; (2) 给 k 取一个负整数值 , 解这个方程 .| 种类 2| 方程与不等式的综合应用 3.[2018? 贵阳 ] 某地区党支部在精准扶贫活动中 , 给结对帮扶的贫穷家庭赠予甲、乙两种树苗让其栽种 . 已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵 10 元, 用 480 元购置乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购置甲种树苗的棵数同样 . (1) 求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元 ? (2) 在实质帮扶中 , 他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50 棵. 此时, 甲种树苗的售价比第一次购置时降低了 10%,乙种树苗的售价不变 , 假如再次购置两种树苗的总花费不超出 1500 元, 那么他们最多可购置多少棵乙种树苗 ?4.[2018? 昆明 ] 水是人类生命之源 . 为了鼓舞居民节约用水 , 相关部门推行居民生活用水阶梯式计量水价政策 . 若居民每户用水量不超出 10 立方米 , 每立方米按现行居民生活用水水价收费 ( 现行居民生活用水水价 =基本水价 +污水办理费 ); 若每户每个月用水量超出 10 立方米 , 则超出部分每立方米在基本水价基础上涨价 100%,每立方米污水办理费不变 . 甲用户 4 月份用水 8 立方米 , 缴水费 27.6 元; 乙用户 4 月份用水 12 立方米 , 缴水费 46.3 元.( 注: 污水办理的立方数 =实质生活用水的立方数 ) (1) 求每立方米的基本水价和每立方米的污水办理费各是多少元 ? (2) 假如某用户 7 月份生活用水水费计划不超出 64 元, 那么该用户 7 月份最多可用水多少立方米 ?5.[2018? 连云港 ] 某村在推动漂亮乡村活动中 , 决定建设幸福广场 , 计划铺设同样大小规格的红色和蓝色地砖 . 经过检查 , 获守信息以下 : 购置数目低于 5000 块购置数目不低于 5000 块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售假如购置红色地砖4000 块, 蓝色地砖 6000 块, 需付款 86000 元; 假如购置红色地砖 10000块, 蓝色地砖 3500 块, 需付款 99000 元. (1) 红色地砖与蓝色地砖的单价各是多少元 ? (2) 经过测算 , 需要购置地砖 12000 块, 此中蓝色地砖的数目许多于红色地砖的一半 , 而且不超出 6000 块, 如何购置付款最少?请说明原由 .参照答案 1. 解:(1) 解不等式① , 得 x>-3; 解不等式② , 得2x- 2+3≥3x, 解得 x≤1. 因此这个不等式组的解集是- 3<x≤1, 因此在- 1, √2中,-1 是这个不等式组的解 , √2不是 . (2) 方程② - 方程①,得x=6. 将 x=6 代入① , 得 6+y=10,解得 y=4. 因此方程组的解是{ ■(x=6"," @y=4"." )┤ (3)化简,得x2-(x+3)=x2+3x,移项,合并同类项 , 得-4x=3,解得x=-3/4.经检验x=-3/4时,x(x+3)不为0,所以 x=-3/4 为原分式方程的解 . 2. 解:(1) 因为原方程有两个不相等的实数根 , 因此>0, 即 4+4(k+2)>0, 解得 k>-3. (2)取k=-2,原方程化为 x2-2x=0, 即 x(x-2)=0, 因此 x1=0,x2=2. 3. 解:(1) 设甲种树苗的价格是 x 元/ 棵, 则乙种树苗的价格为 (x+10) 元/ 棵. 依题意得360/x=480/(x+10), 解此方程得 x=30. 经检验 x=30 是原方程的解 , 且吻合实质 . x+10=30+10=40. 答: 甲种树苗的价格是每棵 30 元, 乙种树苗的价格是每棵 40 元. (2) 设购置乙种树苗 y 棵, 则购置甲种树苗(50-y) 棵. 依题意得 30(1-10%)(50- y)+40y ≤1500, 解此不等式得y≤150/13, 因为 y 取整数 , 因此 y 最大为 11. 答: 他们最多可购置 11 棵乙种树苗 . 4. 解:(1) 设每立方米的基本水价和每立方米的污水办理费各是 x 元,y 元. 由题意可得 { ■(8x+8y=27"." 6"," @10x+"("12"- " 10")"×"(" 1+100"%)" x+12y=46"." 3"," )┤ 解得{ ■(x=2"." 45"," @y=1"." ) ┤答: 每立方米的基本水价和每立方米的污水办理费各是 2.45 元,1 元. (2) 设该用户 7 月份用水 z 立方米, ∵64>10×(1+2.45),∴z>10.由题意得10×2.45+(z - 10) ×2.45 ×(1+100%)+z≤64, 解得 z≤15, ∴10<z≤15.答: 该用户 7 月份最多可用水15 立方米 . 5. 解:(1) 设红色地砖每块a 元, 蓝色地砖每块 b 元. 由题意得 { ■(4000a+6000b×0"."9=86000"," @10000a×0"." 8+3500b=99000"," ) ┤解得 { ■(a=8","@b=10"." ) ┤答 : 红色地砖每块 8 元, 蓝色地砖每块 10 元. (2) 设购置蓝色地砖 x 块, 则购置红色地砖 (12000-x) 块, 所需的总花费为 y 元.由题意知 x≥1/2(12 000-x), 得 x≥4000, 又 x≤6000, 因此蓝砖块数 x 的取值范围为 4000≤x≤6000. 当 4000≤x<5000时,y=10x+8 ×0.8(12000 -x),即y=76800+3.6x,有最小值 91200. 当 5000≤x≤6000时,y=0.9 ×10x+8×0.8(12000 -x)=2.6x+76800,因此当 x=4000 时,y 因此当 x=5000 时,y有最小值 89800. 因为 89800<91200, 因此购置蓝色地砖 5000 块, 红色地砖 7000 块, 付款最少 , 最少花费为 89800 元.。

|类型1| 解二元一次方程组1．解方程组：{x4+y3=3，3x -2(y -1)=20．解：∵{x4+y 3=3，3x -2(y -1)=20，∴{3x +4y =36，①3x -2y =18，②①-②，得：6y=18， 解得y=3， 把y=3代入①， 可得：3x +12=36， 解得x=8， ∴原方程组的解是{x =8，y =3．2．[2019·潍坊]已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x -3y =5，x -2y =k的解满足x>y ，求k 的取值范围． 解：方法1：{2x -3y =5，①x -2y =k ，②①-②得，x -y=5-k ． ∵x>y ， ∴5-k>0，∴k<5，即k 的取值范围为k<5． 方法2：{2x -3y =5，x -2y =k ，解得：{x =-3k +10，y =-2k +5．解方程（组）与不等式（组）提分专练02∵x>y ，∴-3k +10>-2k +5，∴k<5，即k 的取值范围为k<5．|类型2| 解一元二次方程3．解一元二次方程3x 2=4-2x ． 解：3x 2=4-2x ，即3x 2+2x -4=0，Δ=b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0， ∴x=-2±√526， ∴x 1=-1+√133，x 2=-1-√133．4．解方程：5x (3x -12)=10(3x -12)． 解：由5x (3x -12)=10(3x -12)， 得5x (3x -12)-10(3x -12)=0， ∴(3x -12)(5x -10)=0， ∴5x -10=0或3x -12=0， 解得x 1=2，x 2=4．5．解方程：(x+2)(x -1)=4． 解：原方程整理得：x 2+x -6=0， ∴(x +3)(x -2)=0， ∴x +3=0或x -2=0， ∴x 1=-3，x 2=2．6．解方程：(y+2)2=(2y+1)2． 解：∵(y +2)2=(2y +1)2， ∴(y +2)2-(2y +1)2=0， ∴(y +2+2y +1)(y +2-2y -1)=0， ∴3y +3=0或-y +1=0， ∴y 1=-1，y 2=1．7．已知a 2+3a+1=0，求(2a+1)2-2(a 2-a )+4的值． 解：(2a +1)2-2(a 2-a )+4=4a 2+4a +1-2a 2+2a +4 =2a 2+6a +5=2(a 2+3a )+5．∵a 2+3a +1=0， ∴a 2+3a=-1， ∴原式=2×(-1)+5=3． 8．当x 满足条件{x +1<3x -3，12(x -4)<13(x -4)时，求出方程x 2-2x -4=0的根．解：由{x +1<3x -3，12(x -4)<13(x -4)，解得2<x<4．解方程x 2-2x -4=0，得x 1=1+√5，x 2=1-√5． ∵2<√5<3，∴3<1+√5<4，符合题意；-2<1-√5<-1，不符合题意，舍去． ∴x=1+√5．|类型3| 解分式方程9．[2019·随州]解关于x 的分式方程：93+x =63-x ． 解：方程两边同时乘以(3+x )(3-x )， 得9(3-x )=6(3+x )， 整理得15x=9，解得x=35， 经检验，x=35是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x=35． 10．[2019·自贡]解方程：xx -1−2x =1．解：方程两边同时乘x (x -1)得，x 2-2(x -1)=x (x -1)，解得x=2． 检验：当x=2时，x (x -1)≠0， ∴x=2是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x=2．11．[2019·黔三州]解方程：1-x -32x+2=3xx+1．解：去分母，得2x +2-(x -3)=6x ， 去括号，得2x +2-x +3=6x ， 移项，得2x -x -6x=-2-3， 合并同类项，得-5x=-5， 系数化为1，得x=1．经检验，x=1是原分式方程的解． ∴原方程的解是x=1．|类型4| 解一元一次不等式(组)12．解不等式：2(x -6)+4≤3x -5，并将它的解集在数轴上表示出来．解：2(x -6)+4≤3x -5， 2x -12+4≤3x -5， -x ≤3，x ≥-3．解集在数轴上表示如图所示：13．[2019·菏泽]解不等式组：{x -3(x -2)≥-4，x -1<2x+13．解：解不等式x -3(x -2)≥-4，得x ≤5， 解不等式x -1<2x+13，得x<4，∴不等式组的解集为x<4．14．[2019·黄石]若点P 的坐标为(x -13，2x -9)，其中x 满足不等式组{5x -10≥2(x +1)，12x -1≤7-32x ，求点P 所在的象限．解：{5x -10≥2(x +1)，①12x -1≤7-32x ，②解不等式①得x ≥4，解不等式②得x ≤4， 则不等式组的解是x=4． ∵4-13=1，2×4-9=-1， ∴点P 的坐标为(1，-1)， ∴点P 在第四象限．15．[2019·凉山州] 根据有理数乘法(除法)法则可知：①若ab>0(或ab >0)，则{a >0，b >0或{a <0，b <0；②若ab<0(或ab <0)，则{a >0，b <0或{a <0，b >0．根据上述知识，求不等式(x -2)(x+3)>0的解集． 解：原不等式可化为：①{x -2>0，x +3>0或②{x -2<0，x +3<0，由①得，x>2，由②得，x<-3，∴原不等式的解集为：x<-3或x>2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： (1)不等式x 2-2x -3<0的解集为 ． (2)求不等式x+41-x <0的解集(要求写出解答过程)． 解：(1)-1<x<3[解析]原不等式可化为(x -3)(x +1)<0， 从而可化为①{x -3>0，x +1<0或②{x -3<0，x +1>0，由①得不等式组无解； 由②得-1<x<3，∴原不等式的解集为：-1<x<3． 故答案为：-1<x<3．(2)原不等式可化为①{x +4>0，1-x <0或②{x +4<0，1-x >0，由①得x>1； 由②得x<-4，∴原不等式的解集为x>1或x<-4．。

热点02 方程（组）与不等式（组）中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3题，3~12分）四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。

其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。

一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。

分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。

不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。

虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。

考向一：一元一次方程与二元一次方程组【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得()A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．240(12)150x x-=D．240150(12)x x=+2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【题型2 二元一次方程组的解法相关】满分技巧解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。

解方 1 ______ 2 A'2—X X 2 —2x+ r8. 第2课时分式方程一级训练 2 11. （2012年浙江丽水）把分式方程攵=普转化为一元一次方程时，方程两边需同时乘以 （ ）A. xB. 2xC. x+4D. x （x+4） , 3 12. （2012年四川成都）分式方程元==7的解为（）乙X X 1A.尤=1B. x=2C.D. x=41 — x 13. 解分式方程：=+2==,可知方程的（）A.解为x=2B.解为x=4C.解为x=3D.无解4. 解关于x 的方程土会产生增根，则常数〃，的值等于（）X —1 X —1A. -2B. -1C. 1D. 2 4 35. （2012年江苏无锡）方程;一==0的解为 _________ . •X Z6. 在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了 90下，小群跳了 120下.已知小群每分钟 比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为.3 —x 17. 解方程：¥+土=1. X —4 4—x9. 如图2 —1 — 1,海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大 幅下降.请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前从台湾采购苹果的成本 价格.图 2—1 — 113 . （2011年广东茂名）解分3.『—12x~\~22x.二级训练10.（2011年湖北荆州）对于非零的两个实数a, Z?,规定若l®（x+l）=l,则x 的值为（）A，2 C，2 D. —211.在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达.已知两车队的行驶速度相同，求车队走南线所用的时间.12.已知la —11+0+2 = 0,求方程《+敞=1的解.三级训练14.关于x的分式方程兰=1,下列说法正确的是（）A.方程的解是x=m+5B. m>~5时，方程的解是正数C. 〃?<一5时，方程的解为负数D.无法确定15.（2012年贵州安顺涨家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%,结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？第2课时分式方程【分层训练】1. D2.C3.D4.A5.工=890 120x=x+207.解：方程两边同时乘以（x-4）, 得（3—x）—1 =工一4,解得x=3. 经检验，工=3是原方程的解.1 28.解：原方程变形为=7 772，X（X— 1）（X— 1）方程两边都乘以x（x—1）2,去分母，得X—l=2x, 解得-A'= — 1.经检验，x= — 1是原方程的解.9.解：设该公司今年从台湾采购苹果的成本价格为x元/千克，则“二通”前苹果的成本价格为2x元/千克，根据题意列方程，得100 000 100 000 m EC 尸=2。

提分专练(二)方程与不等式的实际应用|类型1| 分配购置问题1.[2021·泸州] 某图书馆方案选购甲、乙两种图书.甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购置甲图书比用800元单独购置乙图书要少24本.(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?(2)如果该图书馆方案购置乙图书的本数比购置甲图书本数的2倍多8本,且用于购置甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购置多少本乙图书?|类型2| 打折销售问题2.[2021·连云港] 某村在推进美丽乡村活动中,决定建立幸福广场,方案铺设一样大小规格的红色和蓝色地砖.经过调查,获取信息如下:购置数量低于5000块购置数量不低于5000块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售如果购置红色地砖4000块,蓝色地砖6000块,需付款86000元;如果购置红色地砖10000块,蓝色地砖3500块,需付款99000元.(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各是多少元?(2)经过测算,需要购置地砖12000块,其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半,并且不超过6000块,如何购置付款最少?请说明理由.3.[2021·南京] 刘阿姨到超市购置大米,第一次按原价购置,用了105元.几天后,遇上这种大米8折出售,她用140元又买了一些,两次一共购置了40 kg.这种大米的原价是多少?|类型3| 行程工程问题4.[2021·襄阳] 正在建立的“汉十高铁〞竣工通车后,假设襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,那么从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.|类型4| 图形面积问题5.一幅长20 cm、宽12 cm的图案,如图T2-1,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm,图案中三条彩条所占面积为y cm2.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)假设图案中三条彩条所占面积是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.图T2-16.如图T2-2,有一块长20 cm、宽10 cm的长方形铁片,如果在铁皮的四个角上截去四个一样的小正方形,然后把四边折起来,做成一个底面积为96 cm2的无盖的盒子,求这个盒子的容积.图T2-2|类型5| 增长率问题7.[2021·安顺] 某地2021 年为做好“精准扶贫〞,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2021年在2021 年的根底上增加投入资金1600万元.(1)从2021 年到2021年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2021年异地安置的具体实施中,该地方案投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2021年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.8.[2021·重庆B卷] 在美丽乡村建立中,某县政府投入专项资金,用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建立.该县政府计划:2021年前5个月,新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个,且沼气池的个数不少于垃圾集中处理点个数的4倍.(1)按方案,2021年前5个月至少要修建多少个沼气池?(2)到2021年5月底,该县按原方案刚好完成了任务,共花费资金78万元,且修建的沼气池个数恰好是原方案的最小值.据核算,前5个月,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1∶2.为加大美丽乡村建立的力度,政府方案大投入,今年后7个月,在前5个月花费资金的根底上增加投入10a%,全部用于沼气池和垃圾集中处理点建立.经测算: 从今年6月起,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2021年前5个月的根底上分别增加a%,5a%,新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2021年前5个月的根底上分别增加5a%,8a%.求a的值.参考答案1.解:(1)设乙图书每本价格为x元,那么甲图书每本价格为2.5x元.根据题意得-=24,解得x=20,经检验,x=20是原分式方程的解.2.5x=50.因此,甲、乙两种图书每本价格分别为50元、20元.(2)设购置乙图书y本,那么购置甲图书本,根据题意得50·+20y≤1060,解得y≤28.因为y最大可以取28,所以图书馆最多可以购置28本乙图书.2.解:(1)设红色地砖每块a元,蓝色地砖每块b元.由题意得解得答:红色地砖每块8元,蓝色地砖每块10元.(2)设购置蓝色地砖x块,那么购置红色地砖(12000-x)块,所需的总费用为y元.由题意知x≥(12000-x),得x≥4000,又x≤6000,所以蓝色地砖块数x的取值范围为4000≤x≤6000.当4000≤x<5000时,y=10x+8×0.8(12000-x),即y=76800+3.6x.所以x=4000时,y有最小值91200.当5000≤x≤6000时,y=0.9×10x+8×0.8(12000-x)=2.6x+76800.所以x=5000时,y有最小值89800.∵89800<91200,所以购置蓝色地砖5000块,红色地砖7000块,付款最少,最少费用为89800元.3.解:设这种大米的原价为每千克x元,根据题意,得+=40.解这个方程,得x=7.经检验,x=7是所列方程的解且符合题意.答:这种大米的原价为每千克7元.4.解:设高铁的速度为x千米/时,那么动车的速度为=0.4x千米/时.依题意得,-=1.5,解得x=325.经检验,x=325是原方程的根且符合题意,答:高铁的速度为325千米/时.5.解:(1)根据题意可知,横彩条的宽度为x cm,∴解得0<x<8,y=20×x+2×12·x-2×x·x=-3x2+54x,即y与x之间的函数关系式为y=-3x2+54x(0<x<8).(2)根据题意,得-3x2+54x=×20×12.整理,得x2-18x+32=0.解得x1=2,x2=16(舍).∴x=2,x=3.答:横彩条的宽度为3 cm,竖彩条的宽度为2 cm.6.解:设截取的小正方形的边长为x cm.根据题意,得(20-2x)(10-2x)=96.解得x=13或x=2.∵2x<10,∴x=13舍去,∴x=2.这个盒子的容积是96×2=192(cm3).答:这个盒子的容积为192 cm3.7.解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意得1280(1+x)2=1280+1600,解得x=0.5或x=-2.5(舍).答:从2021 年到2021年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2021年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,∵8×1000×400=3200000<5000000,∴a>1000.根据题意得1000×8×400+(a-1000)×5×400≥5000000,解得a≥1900.答:2021年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.8.解:(1)设2021年前5个月要修建x个沼气池,那么修建垃圾集中处理点(50-x)个,根据题意,得x≥4(50-x),解得x≥40.答:按方案,2021年前5个月至少要修建40个沼气池.(2)由题意可知,到2021年5月底,该县修建沼气池40个,修建垃圾集中处理点10个,假设设修建的沼气池每个花费资金为y万元,那么修建的垃圾集中处理点每个花费资金为2y万元,从而由题意得40y+10×2y=78,解得y=1.3,即到2021年5月底,修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为1.3万元和2.6万元.根据题意,得40×(1+5a%)×1.3×(1+a%)+10×(1+8a%)×2.6×(1+5a%)=78×(1+10a%).令a%=t,那么52(1+5t)(1+t)+26(1+8t)(1+5t)=78(1+10t),整理,得10t2-t=0,解得t1=0.1,t2=0(不合题意,舍去),从而a%=0.1,a=10.答:a的值为10.。

提分专练(二)解方程(组)与解不等式(组) |类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2.已知关于x,y的方程组的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程3.[2018·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.4.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.5.当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.|类型3| 解分式方程6.[2018·柳州]解方程:=.7.[2018·南宁]解分式方程:-1=.8.[2017·泰州]解分式方程:+=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)9.[2018·桂林]解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.10.[2018·天津]解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得.(2)解不等式②,得.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.图T2-1 (4)原不等式组的解集为.11.[2017·北京]解不等式组:12.[2018·黄冈]求满足不等式组的所有整数解.参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18,解得y=-2a+4,∴原方程组的解是∵x>0,y>0,∴由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.3.解:解法一:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=.解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,所以Δ=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28.所以x=,所以x1=,x2=.4.解:原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.5.解:由解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.6.解:去分母,得2(x-2)=x,去括号、移项、合并同类项,得:x=4.检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,故x=4是原分式方程的根.7.解:方程两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x,解得x=1.5.检验:当x=1.5时,3(x-1)≠0,∴原分式方程的解为x=1.5.8.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.9.解:去分母,得5x-1<3(x+1),去括号,得5x-1<3x+3,解得x<2,它的解集在数轴上表示如下图:10.解:(1)x≥-2(2)x≤1(3)如图所示.(4)-2≤x≤111.解:由①得:x<3,由②得:x<2,∴不等式组的解集为x<2.12.解:解x-3(x-2)≤8,得x≥-1;解x-1<3-x,得x<2.所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为-1,0,1.。

专题考纲要求1.能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.掌握等式的根本性质.3.会解一元一次方程，简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程〔方程中的分式不超过两个〕.4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.专题考点清单1．等式的性质1：等式两边都加上或减去一个同一个数或式子所得结果仍是____.2．等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个数，所得结果仍是____.二、一元一次方程.1．含有未知数的____叫方程；2.含有____个未知数并且未知数的次数是____的____方程叫一元一次方程；3.使方程左右两边相等的未知数的___叫方程的解.三、二元一次方程组1. 含有____个未知数并且的次数是____的____方程叫二元一次方程；2.由________叫二元一次方程组；3.解二元一次方程组的思想是____;4.解二元一次方程组的方法有____,____.四..一元二次方程1.含有一个未知数，并且未知数的次数是____的方程叫一元二次方程.2.解一元二次方程的根本思想是____.4.当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根时b2-4ac____0,有两相等的实数根时b2-4ac____0,没有实数根时b2-4ac____05.假设x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，那么x1+x2＝____, x1×x2＝____.6.解一元二次方程的方法有____,____，____.五. 分式方程.1._________________叫分式方程.2.____________________________叫分式方程的增根.3.分式方程要____________.六.方程的应用1.解应用题的关键步骤是_____________________.2.应用题的解一要符合_______________,二要符合__________________. 三年中考概况. 2.试题特点及题型：方程在中考的主要题型和特点比较灵活：以选择题、填空题型为主，这类题型是考查方程的根底知识，且所占比例也较大；二是综合题型，这类问题有两种一是以应用题的形式出现，考查的知识比较单一，以方程的应用为主，此类问题要注意两点，一是它的结果要符合方法的意义二是它的结果要有实际意义，另一类以一元二次方程为主，主要与与函数、相似三角形、结合在一起，主要考查的内容是方程的应用，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系等等，着重考查同学们的分析问题和解决问题的能力.3.分值及难度： 马年中考策略在求解有关方程的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：掌握解题的关键点．〔1〕方程的解法；〔2〕分式方程的增根；〔3〕一元二次方程根的送别式及根与系数的关系；〔4〕方程的应用题，要恰当设未知识数，根据题中的等量关系列出方程；〔5〕与其它的知识点结合起来，此类问题一般来说难度较大一此，依赖考生平时知识的积累．三年中考回放例1.〔2022•株洲〕一元一次方程2x=4的解是〔〕考点二、二元一次方程组.例1〔2022•眉山〕假设212135a b a b x y ++--==0,是关于x,y 的二元一次方程,那么a =_______,b =_______.例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，方案甲先做假设干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了方案时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是方案时间的2倍，那么原方案甲、乙各做多少天？考点三、一元二次方程.例1〔2022•郴州〕关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，那么b 的值是．例2〔2022•衡阳〕某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得〔〕 2545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩A ． 168〔1+x 〕2=128B ． 168〔1﹣x 〕2=128C ． 168〔1﹣2x 〕=128D ． 168〔1﹣x 2〕=128 例3〔2022，永州〕方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个等腰三角形的周长为．考点四、分式方程. 〔2022•广安〕解方程：﹣1=，那么方程的解是． 2022•〔郴州〕乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg ，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量． 马年中考演练1 〔m －1〕x |m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.2解方程：1121(1)3232x x x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 3y ＝3是6＋14(m －y )＝2y 的解，那么关于x 的方程2m (x －1)＝(m ＋1)(3x －4)的解是多少? 4二元一次方程x+y =7的非负整数解有 ( )A.6个B.7个C.8个D.无数个5用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x .6解方程〔3x +2〕2－8〔3x +2〕+15＝0.8.a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根?。

第一节实数1.命题角度3[2021湖北荆州]解分式方程-3=时,去分母可得()A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4 D.1-3(2-x)=42.命题角度3[2021山东德州]分式方程-1=的解为() A.x=1 B.x=2C.x=-1D.无解3.命题角度3[2021湖南衡阳]衡阳市某生态示范园方案栽种一批梨树,原方案总产值30万千克,为了知足市场需求,现决定改进梨树品种,改进后均匀每亩产量是本来的倍,总产量比原方案增添了6万千克,栽种亩数减少了10亩,那么本来均匀每亩产量是多少万千克?设本来均匀每亩产量为x万千克,依据题意,列方程为()A.-=10B.-=10C.-=10D. +=104.命题角度2[2021山东东营]小岩打算购买气球装束学校“毕业典礼〞活动会场,气球的种类有笑容和爱心两种,两种气球的价钱不一样,但同一种气球的价钱同样.因为会场部署需要,购买时以一束(4个气球)为单位,第一、二束气球的价钱以以下图,那么第三束气球的价钱为()5.命题角度1[2021山东德州]对于实数a,b,定义运算“◆〞:a◆b=比如4◆3,因为4>3,因此4◆3==5.假定x,y知足方程组那么x◆y=.6.命题角度2[2021江西]中国的?九章算术?是世界现代数学的两大源泉之一,此中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?〞译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金x两、y两,依题意,可列出方程组为.7.命题角度2[2021山东青岛]5月份,甲、乙两个工厂用水量共200吨.进入夏天用水巅峰期后,两工厂踊跃响应国家呼吁,采纳节水举措.6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共174吨,求两个工厂5月份的用水量各是多少吨.设甲工厂5月份用水量为x吨,乙工厂5月份用水量为y吨,依据题意列对于x,y 的方程组为.8.命题角度1[2021四川攀枝花]解方程:-=1.19.命题角度1[2021浙江舟山]用消元法解方程组时,两位同学的解法以下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②得,3x+(x- 3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.反省:上述两个解题过程中有无计算错误?假定有误,请在错误处打“ד.请选择一种你喜爱的方法,达成解答.第二节一元二次方程1.命题角度2[2021山西]以下一元二次方程中,没有实数根的是()．．2-2x=02+4x-1=022-4x+3=0=5x-22.命题角度1[2021广西柳州]一元二次方程x2-9=0的解是.3.命题角度1[2021四川南充]假定2n(n≠0)是对于x的方程x2-2mx+2n=0的根,那么m-n的值为.4.命题角度1[2021贵州黔西南州]三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,那么此三角形的周长是.命题角度3[2021辽宁沈阳]某企业今年1月份的生产本钱是400万元,因为改进技术,生产本钱逐月降落,3月份的生产本钱是361万元.假定该企业2,3,4月每个月生产本钱的降落率都同样.(1)求每个月生产本钱的降落率;请你展望4月份该企业的生产本钱.命题角度3[2021重庆A卷改编]在漂亮农村建设中,某县经过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造 .到今年5月尾,道路硬化和道路拓宽的里程数分别为40千米和10千米.已知2021年经过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2,且里程数之比为 2∶1.为加速漂亮农村建设,政府决定加大投入.经测算,从今年6月起至年末,假如政府投入经费在2021年的根基上增添10a%(a>0),并所有用于道路硬化和道路拓宽,且每千米道路硬化、道路拓宽的经费也在2021年的根基上分别增添a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的根基上分别增添5a%,8a%,求a的值.第三节一次不等式与一次不等式组1.命题角度1[2021山东临沂]不等式组的正整数解的个数是()2.命题角度1[2021湖北天门]假定对于x的一元一次不等式组的解集是x>3,那么m的取值范围是()2A.m>4≥4C.m<4≤43.命题角度1[2021原创]不等式组的解集在数轴上应表示为()4.命题角度2[2021河南B卷]为奖赏在社会实践活动中表现优秀的同学,某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品.文具袋的单价是水性笔单价的5倍,购买5支水性笔和3个文具袋共需60元.求文具袋和水性笔的单价.(2)学校准备购买文具袋10个,水性笔假定干支(超出10支).文具店给出两种优惠方案:购买一个文具袋,赠予1支水性笔;B:购买水性笔10支以上,高出10支的局部按原价的八折优惠,文具袋不打折.①设购买水性笔x支,选择方案A的总花费为y1元,选择方案B的总花费为y2元,分别求出y1,y2与x的函数关系式.②该学校选择哪一种方案更合算?请说明原因.5.命题角度2[2021河南省实验三模]某车行销售的A型自行车昨年 6月份销售总数为万元,今年因为改造升级,每辆车的售价比昨年增添了200元,今年6月份与昨年同期对比,销售数目同样,销售总数增添了25%.(1)求今年每辆A型车的售价是多少元.(2)该车行方案7月份用不超出万元的资本购进A型车和B型车共50辆,今年A,B两种型号自行车的进价和售价以下表:A型车B型车进价/(元/辆)800950售价/(元/辆)1200那么应怎样进货才能使这批车售完后赢利最多?参照答案一次方程(组)与分式方程第一节两边同乘以x-2,得1-3(x-2)=-4,应选B.去分母,得x2+2x-x2-x+2=3,解得x=1.查验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,故该分式方程无解.本来均匀每亩产量为x万千克,那么改进后均匀每亩产量为万千克,原方案需要栽种亩,改进后总产量增添6万千克,那么需要栽种亩.因改进后栽种亩数减少了10亩,故可列方程为-=10.3设笑容气球的单价为x元,爱心气球的单价为y元,依据题意得(①+②)÷2,得2x+2y=18.故第三束气球的价钱为18元.解方程组得∵x<y,∴x◆y=5×12=60.6.依据“牛的单价×牛的数目+羊的单价×羊的数目=总价〞,可得7.依据“5月份,甲、乙两个工厂用水量共200吨〞可列方程为x+y=200;依据“6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共174吨〞可列方程为(1-15%)x+(1-10%)y=174.综上所述,可列方程组为8.去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项、归并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.9.(1)解法一中的解题过程错误.(2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2.故原方程组的解是第二节一元二次方程当一元二次方程根的鉴别式小于零时,该方程没有实数根.对于A中的一元二次方程, =4>0,对于B中的一元二次方程, =20>0,对于C中的一元二次方程,Δ=-8<0,对于D中的一元二次方程,2=1>0,故2C中的一元二次方程没有实数根.1=3,x2=-3∵x-9=0,∴x=9,解得x1=3,x2=-3.∵2n(n≠0)是对于x的方程x2-2mx+2n=0的根,∴4n2-4mn+2n=0,∴4n-4m+2=0,∴m-n=.原方程可化为(x-2)(x-4)=0,∴x-2=0或x-4=0,∴x1=2,x2=4.当x=2时,2+3<6,不切合三角形的三边关系,故舍去;当x=4时,切合三角形的三边关系,故三角形的周长是3+6+4=13.5.(1)设每个月生产本钱的降落率为x,依据题意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产本钱的降落率为5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元).答:展望4月份该企业的生产本钱为万元.6.易得2021年村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为30千米和15千米.设2021年每千米道路硬化的经费为y万元,那么每千米道路拓宽的经费为2y万元,由题意,得30y+15×2y=780,解得y=13,故2021年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.由题意得,从今年6月起至年末,政府投入经费为780(1+10a%)万元,每千米道路硬化、道路拓宽的经费分别为13(1+a%)万元、26(1+5a%)万元,道路硬化和道路拓宽的里程数分别为40(1+5a%)千米和10(1+8a%)千米,那么13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%),令a%=t,原方程可化为4520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t),2解得t1=0(不合题意,舍去),t2=0.1,∴a%=0.1,即a=10.第三节一次不等式与一次不等式组解不等式1-2x<3,得x>-1;解不等式≤2,得x≤3,因此原不等式组的解集是-1<x≤3,此中正整数解是1,2,3,有3个.解不等式6-3(x+1)<x-9,得x>3;解不等式x-m>-1,得x>m-1,因为原不等式组的解集是x>3,因此m-1≤3,即m≤4.解不等式①,得x>1,解不等式②,得x≤2,故不等式组的解集为1<x≤2,应选C.4.(1)设水性笔的单价是m元,那么文具袋的单价是5m元.由题意得,5m+3×5m=60,解得m=3,那么5m=15,因此水性笔的单价是3元,文具袋的单价是15元.①依据题意,得y1=10×15+3(x-10)=3x+120,y2=10×15+3×10+3×0.8(x-10)=2.4x+156.②当y1>y2时,可知3x+120>2.4x+156,解得x>60,因此当购买数目超出60支时,选择方案B更合算;当y1=y2时,可知3x+120=2.4x+156,解得x=60,因此当购买数目为60支时,选择方案A或方案B均可;当y1<y2时,可知3x+120<2.4x+156,解得x<60,因此当购买数目超出10支而缺少60支时,选择方案A更合算.5.(1)设今年每辆A型车的售价为 x元,那么昨年每辆A型车的售价为(x-200)元,依据题意,得=,解得x=1000.经查验,x=1000是原分式方程的解,且切合题意.答:今年每辆A型车的售价为1000元.设购进A型车m辆,那么购进B型车(50-m)辆,依据题意,得800m+950(50-m)≤43000,解得m≥30.设售完这批车后所获收益为w元,那么w=(1000-800)m+(1200-950)(50-m)=-50m+12500,-50<0,∴w随m的增大而减小,∴当m=30时,w获得最大值.答:当购进A型车30辆、B型车20辆时,才能使这批车售完后赢利最多.5。