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数学（文）试题一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】求出会合 B 对应不等式的解集，而后求其与会合 A 的交集即可 .【详解】由于, 又，所以.应选 A.【点睛】此题主要考察交集的运算，属于基础题型.2. 知足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】将原式子变形为，再由复数的除法运算获得结果 .【详解】∵，∴，即，应选 A.【点睛】这个题目考察了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝ a＋ bi(a ，b∈R)与复平面上的点 Z(a ， b) 、平面向量都可成立一一对应的关系( 此中 O是坐标原点 ) ；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．波及到共轭复数的观点，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．3. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：利用等差数列{a n} 的公差为2， a1， a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n} 的公差为2， a1， a3，a4成等比数列，∴（ a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．应选 D.点睛：此题考察等比数列的性质，考察等差数列的通项，考察学生的计算能力，比较基础．4. 某教育局为认识“跑团”每个月跑步的均匀里程，采集并整理了2017 年 1 月至 2017 年 11 月时期“跑团”每个月跑步的均匀里程（单位：公里）的数据，绘制了下边的折线图.依据折线图，以下结论正确的选项是（）A. 月跑步均匀里程的中位数为 6 月份对应的里程数B. 月跑步均匀里程逐月增添C. 月跑步均匀里程顶峰期大概在8、 9 月D. 1 月至 5 月的月跑步均匀里程相对于 6 月至 11 月，颠簸性更小，变化比较安稳【答案】 D【分析】由折线图知，月跑步均匀里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步均匀里程不是逐月增添的；月跑步均匀里程顶峰期大概在9，l 0 月份，故A，B， C错.此题选择 D选项.5.在直角坐标系 xOy中，角α的始边为 x 轴的非负半轴，其终边上的一点 P的坐标为（此中），则A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】依据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，因此，又由，应选 C.【点睛】此题主要考察了三角函数的化简求值问题，此中解答中依据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，联合双曲线定义可得从而获得双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点 M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为应选： A【点睛】此题考察了双曲线渐近线方程的求法，解题重点成立对于a， b 的方程，充足利用平面几何性质，属于中档题.7. 某几何体的三视图如下图，数目单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，依据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如下图，三视图复原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，应选 C.【点睛】此题考察由三视图求几何体体积，解答此类问题的重点是判断几何体的形状及几何尺寸 .8. 如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，结构直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为 a ，补正三棱柱 ABC-A 2B 2C 2（如图）．2 1与 BM 所成的角，平移 AB 1 至 A 2B ，连结 A 2M ，∠ MBA 即为 AB在△A 2BM 中，．应选： A ．【点睛】 此题主要考察了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用， 计算比较复杂， 要认真的做．9. 在等腰直角三角形中，，点 为 所在平面上一动点，且知足, 求的取值范围A.B.C.D.【答案】 D【分析】【剖析】成立平面直角坐标系， 用坐标表示向量， 用参数方程表示点P 的坐标，从而求出的取值范围．【详解】依据题意，成立平面直角坐标系，如下图则 A （ 0， 2）， B （ 2， 0）， C （0， 0），由| |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1 的圆上，设 P（2+cosθ， sin θ），θ∈ [0 ，2π）；则 =（cosθ， sin θ），又 + =（2， 2）；∴?（+ ）=2cosθ+2sin θ=2 sin （θ+ ），当θ+ = ，即θ=时，?（+ ）获得最大值 2 ，当θ+ = ，即θ=时，?（+ ）获得最小值﹣ 2 ，∴?（+ ）的取值范围是 [ ﹣ 2 ， 2 ] ．应选： D．【点睛】此题考察了平面向量的数目积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：重点是利用向量的意义、作用脱去“向量外套”，转变为我们熟习的数学识题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10. 如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四周体，使平面平面，若四周体的极点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【剖析】设 BC的中点是E，连结 DE，由四周体A′-BCD 的特点可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连结 DE，A′E，由于 AB＝ AD＝ 1， BD＝由勾股定理得： BA⊥AD又由于 BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形因此 DE为球体的半径应选 A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其本质是求球体的半径，解题的重点是结构对于球体半径R的方程式，结构常用的方法是结构直角三角形，再利用勾股定理成立对于半径R 的方程.11. 已知抛物线线与圆：交于的焦点为两点.若，过点的直线与抛物线交于，则直线的斜率为两点，且直A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，因此．设直线，将其代入抛物线方程消去x 获得对于y 的一元二次方程，而后依据弦长公式可得，于是获得．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，因此因此．设直线, 代入得，设直线则l 与抛物线C的交点坐标为，，则，因此，解得．应选 C．【点睛】（ 1）此题考察直线和抛物线的地点关系、圆的方程、弦长的计算，意在考察剖析推理和计算能力．(2)弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为率，是直线和椭圆的方程组消去化简后是的鉴别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为，此中表示直线的斜中的系数，．12. 已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】【剖析】将函数像即可求出结果. 【详解】由题意函数两函数恰有与2 个零点转变为两函数与有两不一样交点，作出函数图恰有 2 个零点，即是方程有两不等实根，即是有两不同交点，作出函数图像如下图，易适当时，有两交点，即函数恰有2个零点.应选【点睛】此题主要考察数形联合思想办理函数零点问题，只要将函数有零点转变为两函数有交点的问题来办理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.B.二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入检查了1 万人，并依据所得数据画出了样本频次散布直方图（如图）在. 为了深入检查，要从这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽出（元）段应抽出____________________ 人．100 人，则月收入【答案】 25【分析】【剖析】利用频次散布直方图的纵坐标是频次除以组距，因此频次等于纵坐标乘以组距，求出段的频次，联合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频次为，因此月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】此题主要考察分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于 __________．【答案】【分析】【剖析】先由正弦定理得a=b，而后由余弦定理求得【详解】a、 b，在用面积公式求得的面积 .化解得：即： A=B又解得： a=b=【点睛】此题考察了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转变 .15. 已知函数，若对于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】∵函数的定义域为，恒成立 ,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单一递加，故当时，，函数单一递减；当时，，函数单一递加，则，故，故答案为.点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用，是一道中档题；考察恒成立问题，正确分别参数是重点，也是常用的一种手段．经过分别参数可转变为或恒成立，即或即可，利用导数知识联合单一性求出或解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值 .16. 如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱点．以下命题正确的为_____. 即得于①存在点，使得// 平面；②对于随意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于随意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【分析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；知足// 平面，∴①正确．②平面，∴不行能存在点，使得，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥 B1-BED1F 的体积等于设正方体的棱长为 1，∵不论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 已知函数的最小正周期为．求的值；中，角 A，B， C的对边分别为a， b， c，，，面积，求 b．【答案】 (1) (2)3【分析】【剖析】（1）化简，依据函数的最小正周期即可求出的值2）由（ 1）知，. 由，求得，再依据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（ 1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（ 1）知，. 由，得（）.因此（）. 又，因此.的面积，解得. 由余弦定理可得，因此.【点睛】此题主要考察三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考察运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想，属于中档题．18. 等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记, 求数列的前项和．【答案】（ 1），；（ 2）【分析】【剖析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出 a n=a5+（ n-5 ）d=2n-1 ；由，推导出 {b n} 是等比数列，，，由此求出．（2）由（ 1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n} 的前 n 项和 T n【详解】（ 1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（ 1）知∴T n＝，①，②①- ②，得即【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，考察数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19. 如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（ 1）看法析；（ 2）【分析】【剖析】(1) 先证从而可得(2) 由平面平面平面, 可得，从而可得可得是直线，再由四边形为正方形可得；与平面所成的角，利用勾股定理求出，OA,OB,即可得出.【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，平面，又，又，平面，.（2）设由（ 1）得是直线设，则，连结平面，与平面，.所成的角. ，，在直线中，与平面，所成角的正切值为.【点睛】此题主要考察线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型. 20.为提升衡水市的整体旅行服务质量，市旅行局举办了旅行知识比赛，参赛单位为本市内各旅行协会，参赛选手为持证导游. 现有来自甲旅行协会的导游 3 名，此中高级导游 2 名；乙旅行协会的导游 3 名，此中高级导游 1 名 . 从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛 .（1）求选出的 2 名都是高级导游的概率；（2）为了进一步认识各旅行协会每年对当地经济收入的贡献状况，经多次统计获得，甲旅游协会对当地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅行协会对当地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅行协会对当地经济收入的贡献不低于乙旅行协会对当地经济收入的贡献概率.【答案】（ 1）；（ 2）【分析】【剖析】(1)用列举法求出基本领件数，即可计算所求的概率值；(2) 依据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（ 1）设来自甲旅行协会的 3 名导游为，此中为高级导游，来自乙旅行协会的 3 名导游为，此中为高级导游，从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛，有以下基本状况：，，，，；；；；共 15 种，此中选出的 2 名都是高级导游的有，，，共 3种因此选出的 2 人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅行协会对当地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅行协会对当地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】此题主要考察古典概型和几何概型，属于惯例题型.21. 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不一样两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（ 1）；（2）的值为或．【分析】【剖析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的鉴别式、韦达定理、中垂线的性质，联合已知，即可求出的值．【详解】（ 1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不一样两、，∴，得，点设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】此题主要考察椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的地点关系的应用问题, 解答此类题目，往常利用的关系，确立椭圆（圆锥曲线）方程是基础，经过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，获得“目标函数”的分析式，确立函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，此题能较好的考察考生的逻辑思想能力、运算求解能力、剖析问题解决问题的能力等．22. 已知函数，此中．(1) 试议论函数的单一性；(2) 若，且函数有两个零点，务实数的最小值．【答案】（ 1）看法析；（ 2） 2【分析】【剖析】⑴求出⑵等价于调性，研究零点问题【详解】 (1) ，分别议论的范围，求出单一性有两个零点，联合⑴中的结果求导后判断函数的单，则当时，，因此函数在上单一递加；当时，若，则，若，则因此函数在上单一递减，在上单一递加；综上可知，当时，函数在上单一递加；当时，函数在上单一递减，在上单一递加；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点 .由(1) 可知，当时，函数在上单一递加，最多一个零点，不切合题意。
第一章 章末测试题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝1，A ＝130°，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 B解析 因为a >b ，A ＝130°，所以A >B ，角B 为锐角．因此该三角形只有一解．2．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定 答案 C解析 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12， 即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0.3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135° 答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.设a ＝b ＝k ，c ＝3k (k >0)， 则cos C ＝k 2＋k 2－(3k )22×k ×k＝－12.故C ＝120°，应选C.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且c ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴方程①可化为2ab (1＋cos C )＝4. 因此，ab ＝21＋cos C.又∵C ＝60°，∴ab ＝43.5．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案 C解析 ∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b 2＋c 2)－4(a 2＋bc )＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.6．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . ∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c . 故此三角形为等边三角形．7．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若此三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3 答案 C解析 方法一 要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1. ∵由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ， 即sin A ＝a sin Bb ＝2x4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2，24x <1.∴2<x <2 2.方法二∵要使三角形有两解，则⎩⎨⎧b <a ，b >a sin B ，即⎩⎨⎧2<x ，2>x sin45°，∴2<x <2 2.8．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小答案 C 解析设山顶为点P ，山高为PD ，第一、二、三辆车分别为A ，B ，C ，俯角差为α，作出图像如右图，由题知∠CPB ＝∠BP A ＝α，由正弦定理，得d 2sin α＝PB sin ∠PCB ，d 1sin α＝PB sin ∠P AB，即PB sin α＝d 2sin ∠PCB ＝d 1sin ∠P AB ， 又∵sin ∠P AB >sin ∠PCB ，∴d 1<d 2.9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为( )A ．1<a <5B ．1<a <7 C.7<a <5 D.7<a <7答案 C解析 由锐角三角形及余弦定理知：⎩⎨⎧32＋a 2－42>0，32＋42－a 2>0，a >0⇔⎩⎨⎧a 2>7，a 2<25，a >0⇔7<a <5.10．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈(0，π2)，∴cos A ＝15.∵cos A ＝36＋b 2－492×6b ＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．11.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(3＋6) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h 答案 B解析 在△MNS 中，∠SMN ＝45°，∠MNS ＝105°，∠MSN ＝30°，于是MN sin30°＝20sin105°，解得MN ＝10(6－2)(n mile)．故所求货轮的速度为10(6－2)12，即20(6－2)(n mile/h) 12．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理，得b sin B ＝c sin C . ∴sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，则C 的度数为________．答案 120°解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，得a ∶b ∶c ＝7∶8∶13. 设a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k (k >0)， 则有cos C ＝(7k )2＋(8k )2－(13k )22×7k ×8k ＝－12.又∵0°<C <180°，∴C ＝120°.14．在△ABC 中，已知D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5 解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k . 再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理，得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·(－22)＝x 2＋2＋2x .①在△ADC 中，由余弦定理，得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， 即k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 故BD ＝2＋ 5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝2， ∴sin(π4＋B )＝1.又∵0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又∵a <b ，∴A <B .∴A ＝π6.16．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误．∵cos A ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k <0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，sin A ＝32，若b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，则S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解答下列各题：(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值；(2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值．解析 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°. ∴C <A <B .∴c <a <b ，即c 边最小．由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin60°sin75°＝32－6， c ＝b sin C sin B ＝2sin45°sin75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°. (2)∵A ＝30°，B ＝120°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝30°.∴A ＝C .∴a ＝c .由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝5sin30°sin120°＝533. 综上可知，C ＝30°，a ＝c ＝533.18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解析 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π， ∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝2 6.故⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.19．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由题意结合正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又B 为三角形的内角，因此B ＝45°.(2)由于sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.20．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2c sin A .(1)求角C 的值；(2)若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解析 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin A sin C . ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)方法一 c ＝7，C ＝π3，由面积公式，得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.方法二 前同方法一，联立①②得⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝7，ab ＝6⇔⎩⎨⎧a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4或a 2＝9，即⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2.故a ＋b ＝5.21．(12分)已知△ABC 的面积是30，其内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解析 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－(1213)2＝513.又∵12bc sin A ＝30，∴bc ＝156.(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又∵a >0，∴a ＝5.22．(12分)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )．所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。
