北京师范大学第二附属中学2021届高三数学10月月考试题(pdf 无答案)

北京市首师大附2020-2021学年度高二理十月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．抛物线214y x =-的焦点坐标是 A ．1(0,)16-B ．1(,0)16-C ．(0,1)-D ．(1,0)-2．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为 A ．对任意x ∈R ,都有20x < B ．不存在x ∈R ,都有20x < C ．存在0x ∉R ,使得200x <D ．存在0x ∈R ,使得200x <3．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点2(5,0)F ,则双曲线C 的方程为（ ）A ．22143x y -=B ．221169x y -=C ．221916x y -=D ．22134x y -=4．“0x <”是“(2)0x x ->”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．与曲线2212449x y +=共焦点，且与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．221169y x -=B ．221169x y -=C ．221916y x -=D ．221916x y -=6．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点,则k 的取值范围为A ．(1)-B ．C ．(D ．(7．已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于A ．24B ．36C ．48D ．968．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．29．点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR+的最大值为（ ）A ．3 B.4 C.5 D ．610．已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示,给定点(0,)A a ,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A 对称,则实数a 的取值范围是A ．(1,3)B ．(2,4)C ．3(,3)2D ．5(,4)2二、填空题11．若曲线22141x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是_________________．12．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________13．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 14．设动圆M 与y 轴相切且与圆C :2220x y x +-=相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为______.15．经过点(1,1)M 作直线l 交椭圆22149x y +=于A 、B 两点,且M 为AB 中点,则直线l 的方程为______.16．在平面直角坐标系中,动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P 的轨迹为曲线W .给出下列四个结论: ①曲线W 过点11(,)23; ②曲线W 关于原点对称; ③曲线W 关于直线y x =对称;④曲线W 与x 轴非负半轴,y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12; 其中,所有正确结论的序号是______.17．曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△FPF 的面积大于a ．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题18．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．已知命题:P x R ∃∈， 220x x a +-=；命题Q ：当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 4x a x +>恒成立.若P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 20．已知抛物线C :24y x =,P 是C 上一动点,F 是焦点,(3,0)A . （Ⅰ）求||PA 的取值范围;（Ⅱ）过点F 的直线l 与C 相交于,M N 两点,求使得MON △面积最小时的直线l 的方程.21．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ,且椭圆1C 经过点)2A ,(2,0)B -,抛物线2C 过点(1,2)D -. （Ⅰ）求1C 、2C 的标准方程; （Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件:①过2C 的焦点F ;②与1C 交不同两点M 、N 且满足OM ON ⊥. 若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.22．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ,且椭圆1C 经过点A ,(2,0)B -,抛物线2C 过点(1,2)D -. （Ⅰ）求1C 、2C 的标准方程; （Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件:①过2C 的焦点F ;②与1C 交不同两点M 、N 且满足OM ON ⊥. 若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.23．如图,已知椭圆T :22221x y b a +=（0a b >>）的离心率2e =,短轴右端点为A ,(1,0)P 为线段OA 的中点.（Ⅰ）求椭圆T 的方程;（Ⅱ）过点P 任作一条直线与椭圆T 相交于两点,M N ,试探究在x 轴上是否存在定点Q ,使得MQP NQP ∠=∠,若存在,求出点Q 坐标;若不存在,说明理由.参考答案1．C 【解析】 因为214y x =-，所以24x y =-，即焦点坐标是()0,1-，选C. 2．D 【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.3．B 【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，可得554c c a =⇒=，所以4,3a b ===， 所求双曲线的方程为221169x y -=，故选B ． 4．A 【解析】因为()20x x ->，所以20x x ><或；因此“0x <”是“()20x x ->”的充分不必要条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5．A 【解析】 试题分析:因且焦点在轴上，渐近线为,故应选A.考点：椭圆、双曲线的标准方程与几何性质.6．A 【解析】2226y kx x y =+-=代入得22(1)4100k x kx ---=，所以22221640(1)040111001k k k k k k ⎧⎪∆=+->⎪⎪><<-⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，选A. 7．C 【详解】 ∵双曲线中3,4,5a b c ===∴()()125,0,5,0F F -∵212PF F F =∴12261016PF a PF =+=+= 作1PF 边上的高2AF ，则18AF =∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF AF ⋅=⨯⨯=故选C 8．C 【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c ．因为12·0MF MF =所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以,c a c b <<，所以2222<=-c b a c ，所以22222122c c a e a <∴=< ，所以e ∈ ，故选C ． 【点睛】求离心率的值或范围就是找,,a b c 的值或关系．由12·0MF MF =想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得,c a c b <<，因为a b < ．所以由c b <得2222<=-c b a c ，由,a c 关系求离心率的范围．9．D【解析】因为两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点，max 1122(||||)||||222226PQ PR PF r PF r a +=+++=+=⨯+=.10．D 【解析】试题分析：由于封闭曲线关于y 轴对称，所以只需满足214y x =(04)x <<和(40)x -<<上仅各有一点关于点A 对称，所以222113255(04)41616a x x x x =-+=+<<，即52(5,8),,42a a ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，故选D. 考点：函数与方程. 11．33(4,)(,1)22k ∈--- 【详解】试题分析:由题设可得且,解之得且,故应填33(4,)(,1)22k ∈---. 考点：椭圆的标准方程及运用． 12．544-或 【分析】将焦点分为在,x y 轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得k 的值. 【详解】椭圆的离心率满足c e a ==当椭圆焦点在x 12=，解得4k =.当椭圆焦点在y 12=，解得54k =-.故填544-或.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 13．1 【解析】 若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1， 所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1. 所以答案应填:1.考点：1、命题；2、正切函数的性质.14．24y x =或0(0)y x =< 【解析】设2(,)10,4;0,0M x y x x y x x y =+∴≥=<=，即轨迹方程为24y x =或0(0)y x =< 15．94130x y +-= 【解析】 由点差法的119900,:1(1),94130.494944M M AB AB AB x y k k k l y x x y +⋅=∴+⋅==-∴-=--+-= 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 16．①③④【解析】由题意得曲线W ：1x y xy x y +==--，因为111112323⨯=--，所以曲线W 过点11,23⎛⎫⎪⎝⎭; 因为()()[1()()][1]x y x y xy x y -------≠--++，所以曲线W 不关于原点对称; 因为11xy x y yx y x -++=-++，所以曲线W 关于直线y x =对称; 因为0,0,(1)(1)2x y x y ≥≥++=，所以围成的封闭图形的面积小于1111=22⨯⨯； 因此正确结论的序号是①③④. 17．②③ 【解析】 试题分析：设，依题意，则，化简可得：，由，则曲线C 不过坐标原点，①错误；把曲线方程中的，原方程不变，所以曲线C 关于坐标原点对称正确；又方程原型则，，令，可得或，可知当时，取得最大值，此时，△F 1PF 2的面积不大于考点：1.直接法求轨迹方程；2.对称的判断方法；3.面积的最大值；18．（1）实数x 的取值范围是13x <<；（2）实数a 的取值范围是12a ≤≤. 【解析】 【详解】（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<. （2）p 是q 的必要不充分条件，则BA ；设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，可得实数a 的取值范围是12a ≤≤. 19．()[),14,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：先分别求出命题P ,Q 为真时a 的取值范围.再由P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，得命题,P Q 一真一假.列对应方程组,解不等式可得实数a 的取值范围 试题解析：解：当P 为真命题时，440a ∆=+≥，解得1a ≥-； 当Q 为真命题时，()4f x x x =+在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增， min44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4a <.由于P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，则命题,P Q 一真一假.(1)若P 真Q 假，则14a a ≥-⎧⎨≥⎩，解得4a ≥；(2)若P 假Q 真，则14a a <-⎧⎨<⎩，解得1a <-. 综上所述，实数a 的取值范围为()[),14,-∞-⋃+∞. 20．(1) )+∞（2）1x =.【解析】试题分析：（1）根据两点间距离公式表示PA ，再根据抛物线将二元化为一元二次方程，最后根据二次函数性质求取值范围，（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物线定义得MN ，根据点到直线距离公式得高，代入三角形面积公式，根据斜率范围求面积取值范围，最后比较斜率不存在的情况得最小值. 试题解析：解:（Ⅰ）P 抛物线24y x =上一动点,∴设()()000,0P x y x ≥,则2004y x =.()3,0APA ∴==≥∴PA 的取值范围是)⎡+∞⎣.（Ⅱ）()1,0F当直线l 的斜率不存在时,直线l 方程为:1x =. 此时()()1,2,1,2M N -,4MN ∴=.O 到直线l 的距离1d =,1141222MONSMN d ∴=⋅=⨯⨯=; 当直线l 的斜率存在时,设为k ,则直线l 的方程为()()10y k x k =-≠ 设()()1122,,,M x y N x y由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 得()2222240k x k x k -++=. 21212224,1k x x x x k +∴+==. 122424MN x x k ∴=++=+ O 到直线l的距离d =2114422MONSMN d k ⎛⎫∴=⋅=⨯+= ⎪⎝⎭2==> 综上,MON 面积的取值范围是[)2,+∞.∴当MON 面积最小时,直线l 的方程为:1x =.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21．(1) 椭圆1C 的方程为2214x y +=,抛物线22:4C y x =（2）220x y ++=或220x y -+=.【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程以及抛物线方程，解方程组可得224,1,2a b p ===.（2）先设M,N 坐标，根据向量数量积化简OM ON ⋅，设直线方程代入化简，最后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简，解得直线斜率，即得直线方程.试题解析：解:（Ⅰ）由题意设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>,抛物线22:2(0)C y px p =>则2221221a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩和24p = 解得224,1,2a b p ===.所以椭圆1C 的方程为2214x y +=,抛物线22:4C y x =.（Ⅱ）依题意知()1,0F ,所以设直线l 方程为:1x my =+,()()1122,,,M x y N x y由221,440,x my x y =+⎧⎨+-=⎩得()224230m y my ++-=,显然m R ∈. 则12122223,44m y y y y m m --+==++. 因为()()1122,,,OM x y ON x y ==且OM ON ⊥, 所以()()1212121211OM ON x x y y my my y y ⋅=+=+++()()()2212122232111144mm y y m y y m m m m --=++++=+⋅+⋅+++224104m m -+==+ 解得12m =±. 所以直线l 的方程为:112x y =±+即220x y ++=或220x y -+=. 22．(1) 椭圆1C 的方程为2214x y +=,抛物线22:4C y x =（2）220x y ++=或220x y -+=.【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程以及抛物线方程，解方程组可得224,1,2a b p ===.（2）先设M,N 坐标，根据向量数量积化简OM ON ⋅，设直线方程代入化简，最后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简，解得直线斜率，即得直线方程.试题解析：解:（Ⅰ）由题意设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>,抛物线22:2(0)C y px p =>则2221221a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩和24p = 解得224,1,2a b p ===.所以椭圆1C 的方程为2214x y +=,抛物线22:4C y x =.（Ⅱ）依题意知()1,0F ,所以设直线l 方程为:1x my =+,()()1122,,,M x y N x y由221,440,x my x y =+⎧⎨+-=⎩得()224230m y my ++-=,显然m R ∈. 则12122223,44m y y y y m m --+==++. 因为()()1122,,,OM x y ON x y ==且OM ON ⊥, 所以()()1212121211OM ON x x y y my my y y ⋅=+=+++()()()2212122232111144mm y y m y y m m m m --=++++=+⋅+⋅+++224104m m -+==+ 解得12m =±. 所以直线l 的方程为:112x y =±+即220x y ++=或220x y -+=. 23．(1) 22148x y +=（2）在x 轴上存在定点(4,0)Q ,使得MQP NQP ∠=∠.【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得()2,0A ，即得2b =，再根据离心率2e =，解得a =（2）PNM QNM ∠=∠， 等价于0PN QN k k +=，.设()11,P x y ，()22,Q x y ，()0,0N x ，利用斜率公式及直线方程()1y k x =-，化简得()()()()120210110k x x x k x x x --+--=，即()()1201202120x x x x x x -+++=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得()040k x -=，即得04x =.试题解析：解：(Ⅰ)由已知2b =，又e =2=，得a = 所以椭圆方程为22148x y +=.(Ⅱ)假设存在点()0,0N x 满足题设条件.当PQ ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知恒有PNM QNM ∠=∠，即0x R ∈； 当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为()1y k x =-，代入椭圆方程化简得： ()22222280k x k x k +-+-=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则212222k x x k +=+，212282k x x k -=+， 121020PN QN y y k k x x x x +=+-- ()()12102011k x k x x x x x --=+--()()()()()()120210102011k x x x k x x x x x x x --+--=--，∵ ()()()()()()12021012012011212x x x x x x x x x x x x --+--=-+++()()220222821222k x kx kk-+=-+++.若PNM QNM ∠=∠， 则0PN QN k k +=，即()()22002228212022k x k k x k k ⎡⎤-+⎢⎥-+=++⎢⎥⎣⎦， 整理得()040k x -=， ∵k R ∈，∴04x =.综上在x 轴上存在定点()4,0N ，使得PNM QNM ∠=∠. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。

师大二附中2021届高三第一学期10月考数学试卷一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。

（共10小题；共40分）1. 设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B2. 若35log log 33b ⋅=，则b =（ ） A. 6 B. 5C. 53D. 35【答案】D3. 已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C4. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ） A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. {3|02x x -<<或502x ⎫<<⎬⎭D. {3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭【答案】D 5. 已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A.15B.C.D.【答案】B6. 若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 取值范围为（ ）A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 7. 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. (,0)(0,1]-∞ C. (0,1] D. (,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A.14B.34C. 43D. 4【答案】A9. 函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示，则有（ ）A. 0,0,0a c d ><>B. 0,0,0a c d <<>C. 0,0,0a c d <>>D. 0,0,0a c d >><【答案】C10. 已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=，且33a b m +>恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A. 8 B. 3 C.3 D. 2【答案】D二、填空题（共5小题；共25分）11. 若集合{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】21a -<≤12. 设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩最小值为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞13. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若31a =，714S =，则5a =____________. 【答案】314. 已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭15. 已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】2(0,)e.三、解答题（共6小题；共85分）16. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）13n na =；（2）(1)2nn n b +=-. 17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 2B b ==，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2323+18. 函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （3）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程. 【答案】（1）,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；（2）2；（3）最小正周期2T π=；对称轴方程为,4x k k Z ππ=+∈. 19. 已知函数()2()22xf x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.20. 已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x eh x g x ，求整数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.21. 已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列()*n N ∈，且110ab =>.（1）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （2）若2244,a b a b ==.①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；②若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）. 【答案】（1）答案见解析；（2）是{}n a 中的第172项，理由见解析；（3）{1m m =或}*2,m n n N=∈.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

卜人入州八九几市潮王学校海淀区中国人民大学附属2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔〕A.{2x x <-或者}0x >B.{2x x <-或者}0x ≥C.{2x x ≤-或者}0x >D.{2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<，即{}|20A x x =-≤<，∵全集U =R ，∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔〕A. B.12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出． 【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔〕A.1y x=B.2x y = C.1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底． 4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔〕A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度C.向左平移23π个单位长度 D.向右平移23π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >>A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >>∴选A .考点：充分条件、必要条件. 6.假设实数集R 的子集X满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔〕A.任意开区间都不含有X中的元素B.存在开区间不含有X中的元素C.任意开区间都含有X的补集中的元素 D.存在开区间含有X的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X中的元素〞，应选：B ． 【点睛】R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下列图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A. 【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题. 8.()2log f x x=，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔〕A. B.8C. D.16【答案】B 【解析】 【分析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x x x x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x=的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=41111228m m ++-+=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕 9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________. 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x=有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()ln f x x=的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图，那么()f x =__________． 【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键．12.如下列图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k tk +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BGGO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是． 【答案】65【解析】 试题分析：因为所以.又CD ∥AG，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】(1).2()f x (2).{|,}k k m m Z π=∈【解析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】〔1〕假设1()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M∉；假设2()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T=，2()f x M∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T=-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈．故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期；〔2〕求()f x 的单调递增区间．【答案】〔1〕3a =，Tπ=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； 〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==． 〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下列图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕7；〔2〕【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEBα∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠. 于是，2πsin23sin 7CD EC α⋅===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+=在直角EAB中，BE == 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题. 17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ． 〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积 S ＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x 2＋260x ，x∈(0，20)． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x)x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab－4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ．当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f(x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x∈(0，30)． 那么f′(x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10，30)上单调递减． 因此当x ＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，此时a ＝b ＝60，x ＝10． 答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程；〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】 〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-，假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意，假设0a ≠， 2ax <-或者2a x>时，()0f x '>，22a a x -<<时，()0f x '<，∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a a f x f ==-极小值，∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值． 〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论．【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ． 〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-，由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x ax-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值． 20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积.假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表； 〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一.如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕， 那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+.解方程组，，，，得52xy z w ====.这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++=，……， 第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=.又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kln ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。

北京师大附中2024-2025学年（上）高三数学10月考试卷班级_____________姓名_____________学号_____________考生须知1.本试卷有三道大题，共6页。

考试时长120分钟，满分150分。

2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效。

3.考试结束后，考生应将答题纸交回。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）（A（B ）（C（D ）（3）下列函数中，在区间上单调递减的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（4）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（5）欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（6）已知函数那么不等式的解集为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（7）设，，，则，，的大小关系是（ ）{}20M x x =+≥{10}N x x =-<M N = {21}x x -≤<∣{21}x x -<≤∣{}2x x ≥-{1}x x <z (-i z ⋅=i+ii-i+()0,+∞()2x f x =()ln f x x =-()1f x x=-()13x f x -=a b a b >2a ab>a b>a b >2ab b>cos sin ixe x i x =+i x π=10i e π+=ie ()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩()12f x x >()0,1()0,2()1,4()1,60.40.5a =0.5log 0.4b =4log 0.5c =a b c（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若，则“”是“”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ）23711130.3010.4770.8451.0411.114（A ）16（B ）15（C ）14（D ）13二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京师范大学第二附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是A． 2 B． 3 C． 4 D． 5参考答案：C略2. 直线与圆相交于两点（），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值是A． B．C． D．参考答案：C略3. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：A略4. 设全集,，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．参考答案：B5. 已知的图像关于（）对称。

A.y轴B. x轴C. 原点D.直线y=x参考答案：C略6. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.7. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D8. 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①；②f（3.4）=﹣0.4；③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；则其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【分析】在理解新定义的基础上，求出{﹣}、{3.4}、{﹣}、{}对应的整数，进而利用函数f （x）=|x﹣{x}|可判断①②③的正误；而对于④易知f（x）=|x﹣{x}|的值域为[0，]，则④错误．此时即可作出选择．【解答】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=∴①正确；②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4∴②错误；③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=|﹣0|=，∴f（﹣）=f（）∴③正确；④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]∴④错误．故选：B．9. 已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=， =此时cosα=， ?=??=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．10. 在△ABC中， ?=7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（）A．24 B．16 C．12 D．8参考答案：C【考点】平面向量的综合题．【分析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，由?=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，联立①②可得b2+c2=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由?=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，S△ABC=bcsinA=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，由①②消掉cosA得b2+c2=50，所以b2+c2≥2bc，所以bc≤25，当且仅当b=c=5时取等号，所以S△ABC=≤12，故△ABC的面积的最大值为12，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆平面区域：，若圆心 ,且圆与轴相切，则的最大值为_____________参考答案：37 【知识点】简单线性规划．E5解析：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37【思路点拨】根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．12. 已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，则= 。

北京市北师大附中2021-2022年高三10月阶段测试数学试题含详解姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共11题）1、设集合A ={ x |1≤ x ≤3} ，B ={ x |2< x <4} ，则A ∪ B = （）A ．{ x |2< x ≤3}B ．{ x |2≤ x ≤3}C ．{ x |1≤ x <4}D ．{ x |1< x <4}2、复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、下列函数中，在区间（ 0 ，+ ）上单调递增的是A ．B ．y =C ．D ．4、函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．5、已知，则A ．B ．C ．D ．6、设f ( x ) 为奇函数，且当x ≥0 时，f ( x )= ，则当x <0 时，f ( x )=A ．B ．C ．D ．7、记S n 为等比数列 { a n } 的前n 项和．若a 5 –a 3 =12 ，a 6 –a 4 =24 ，则= （）A ． 2 n –1B ．2–2 1–nC ．2–2 n –1D ． 2 1–n –18、等比数列的公比为q ，前n 项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件9、基本再生数R 0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数 . 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I ( t ) 随时间t ( 单位: 天) 的变化规律，指数增长率r 与R 0 ，T 近似满足R 0 =1+ rT . 有学者基于已有数据估计出R 0 =3.28 ，T =6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ． 1.2 天B ． 1.8 天C ． 2.5 天D ． 3.5 天10、已知，若存在，使，则称函数与互为“ 度零点函数” ．若与互为“1 度零点函数” ，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．11、已知只有 50 项的数列满足下列三个条件：① ;②；③ . 对所有满足上述条件的数列共有个不同的值，则A ．10B ．11C ． 6D ．7二、填空题（共4题）1、复数的共轭复数等于 ________ ．2、已知，函数若，则___________.3、若则的最小值是 ________ ．4、写出一个同时具有下列性质①②③ 的函数_______ ．① ；② 当时，；③ 是奇函数．三、解答题（共6题）1、已知函数( 为常数 ) 的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.(1) 求的值及函数的极值； (2) 证明：当时，．2、已知数列的前项和为，，从条件① 、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）设等比数列满足，，求数列的前项和.条件① ：；条件② ：；条件③ ：.3、如图，在正方体中，E 为的中点．（Ⅰ ）求证：平面；（Ⅱ ）求直线与平面所成角的正弦值．4、已知椭圆过点，且的离心率为．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．5、已知函数( 其中为常数且) 在处取得极值 .（ I ）当时，求的单调区间；（ II ）若在上的最大值为，求的值 .6、在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设，记使得成立的的最大值为.（ 1 ）设数列为 1 ， 3 ， 5 ，7 ，，写出，，的值；（ 2 ）若为等差数列，求出所有可能的数列；（ 3 ）设，，求的值 . （用表示）============参考答案============一、选择题1、 C【分析】根据集合并集概念求解 .【详解】故选： C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题 .2、 A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置 .【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选： A.3、 A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可 .函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题 .4、 B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可 .【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选： B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5、 B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选 B ．本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6、 D【分析】先把x <0 ，转化为- x> 0, 代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选 D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7、 B【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可 .【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选： B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力 .8、 B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选： B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．9、 B【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果 .【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天 .故选： B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题 .10、 B【分析】首先根据题意，求得，利用条件得到，即，转化为函数在区间上存在零点，进一步得，令，利用导数研究函数的值域，从而求得结果 .【详解】由题意可知，且在上单调递减，所以函数只有一个零点.即，得.函数在区间上存在零点，由，得.令，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以只需即有零点，故选 B.【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数在区间上存在零点，再进行参变量分离，应用导数解决 .11、 C【详解】设中有项取值，由条件② 知，取值的项数为，取值的项数为，再由条件③ 得，解得，又若为偶数，则为偶数，因为，所以必为奇数，故，它们对应个不同的值，共有个不同的值，故选 C.【方法点睛】本题主要考查数列求和以及数学的转化与划归思想，属于难题 . 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度. 运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将的不同值的个数，转化为中的个数问题是解题的关键 .二、填空题1、【分析】根据复数乘法运算求得，进而可求得.【详解】因为，所以.故答案为：.2、 2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值 . 【详解】，故，故答案为： 2.3、 6【分析】根据基本不等式可求得结果 .【详解】因为，则，所以，当且仅当时，的最小值是 6.故答案为： 6.4、（答案不唯一，均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的.【详解】取，则，满足① ，，时有，满足② ，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）三、解答题1、 (1) ；当时，取得极小值，且极小值为，无极大值； (2) 祥见解析．【详解】试题分析： (1) 利用导数的几何意义求得 a ，再利用导数法求得函数的极值；(2) 构造函数g （x ）=e x -x 2 ，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．试题解析： (1) 由得.又，得. 所以，.令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．(2) 证明：令则.由 (1) 得，，故在上单调递增，又，所以当时，，即考点：１．利用导数求函数的极值；２．利用导数证明不等式．2、（ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）若选择①②作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d ，代入公式即可求得答案；若选择②③ 作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差，根据，即可求得，代入公式即可求得答案；（ 2 ）根据题干条件，结合（ 1 ）可求得，的值，代入公式，即可求导、q ，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案 .【详解】解： ( 不能选择①③作为已知条件)若选择①② 作为已知条件.因为，，所以数列是以为首项，公差的等差数列 .所以.若选择②③ 作为已知条件.因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列 .因为，所以.所以，解得.所以.（ 2 ）设等比数列的公比为，结合（ 1 ）可得，，所以，所以.所以等比数列的通项公式为.所以所以.3、（Ⅰ ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值 . 【详解】（Ⅰ ）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（Ⅱ ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题 .4、（ 1 ）；（ 2 ）．【分析】（ 1 ）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可求得椭圆的方程；（ 2 ）对直线分两种情况讨论，直线与轴重合时，直接求出的值，在直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的代数式，综合可得出的取值范围．【详解】（ 1 ）由题意得，解得.所以椭圆的方程为；（ 2 ）分以下两种情况讨论：① 若直线与轴重合，则；② 若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立，消去可得，则恒成立，由韦达定理可得，，由弦长公式可得，，则，所以，.综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（ 1 ）设直线方程，设交点坐标为、；（ 2 ）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（ 3 ）列出韦达定理；（ 4 ）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（ 5 ）代入韦达定理求解.5、（ I ）的单调递增区间为, 单调递减区间为；（ II ）或.【分析】（ I ）依题意结合可求得，从而可得，结合定义域由可解得增区间，由可解得减区间；(II) 对分类讨论得出的极值，将极值同端点处的函数值进行比较得到最大值，然后根据条件建立关于的方程求解可得结果 .【详解】因为所以，因为函数在处取得极值，则.（ I ）当时，，，随的变化情况如下表：0 0极大值极小值所以的单调递增区间为, ；单调递减区间为.(II) 因为，令得，因为在处取得极值，所以.当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得；当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值 1 可能在或处取得，而，所以，解得；当时 , 在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值 1 可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾；当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值 1 可能在处取得，而，矛盾 .综上所述，或.6、（ 1 ），，；（ 2 ）；（ 3 ）．【详解】试题分析：（ 1 ）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（ 2 ）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（ 3 ）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值．试题解析：（ 1 ），，.（ 2 ）由题意，得，结合条件，得.又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，.设，则.假设，即，则当时，；当时，.所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中.这与矛盾，所以.又因为，所以，由为等差数列，得，其中.因为使得成立的的最大值为，所以，由，得.（ 3 ）设，因为，所以，且，所以数列中等于 1 的项有个，即个；设，则，且，所以数列中等于 2 的项有个，即个；以此类推，数列中等于的项有个 . 所以.即.。

【2021名校试卷】师大二附2021届高三10月考一、选择题（共10小题；共40分）1．设集合{03}M x x =<≤，{02}N x x =<≤那“a M ∈”“a N ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若35log log 33b ⋅=，则b =（ ）A ．6B ．5C ．53D ．353．已知xy R ∈，且0x y >>，则（ ） A ．110x y -> B ．cos cos 0x y -< C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln()0x y -> 4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ）A ．502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．302x x ⎧-<<⎨⎩或502x ⎫<<⎬⎭ D ．32x x ⎧<-⎨⎩或502x ⎫≤<⎬⎭ 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B C D 6．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a << B ．11a e << C ．111a e -<< D ．111a e+<< 7．函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,0)(0,1]-∞⋃C ．(0,1]D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．14 B ．34 C ．43 D ．49．函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示，则有（ ）A ．0,0,0a c d ><>B ．0,0,0a c d <<>C ．0,0,0a c d <>>D ．0,0,0a c d >><10．已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=，且33a b m +>恒成立，那么m 的最大值等于（）A ．8B ．CD ．2二、填空题（共5小题；共25分）11．若集合{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是_______．12．设函数,1()2,1xx a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是_______．13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若371,14a S ==，则5a =_______．14．已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______．15．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题（共6小题；共85分）16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222b c a bc +=+．（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC 的面积． 18．函数cos2()2sin sin cos x f x x x x=++． （1）求函数()f x 的定义域；（2）求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （3）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．19．已知函数()2()22x f x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值．20．已知2()sin ,()ln ,()1f x x g x x h x x ax ===--．（1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(0,1]x ∈，都有()()()0f x e h x g x +->，求整数a 的最大值．21．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列()*n N∈，且110a b =>．（1）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==．①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由； ②若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）．答案第一部分1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．D第二部分11．21a -<≤12．3a ≥【解析】当1x ≥时，()2x f x =为增函数，且(1)2f =．当1x <时，()f x x a =-+为减函数，且(1)1f a =-．要满足题意，必有12a -≥，解得3a ≥．13．314．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】2()32f x ax x '=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x ∈使得()0f x >成立，即23a x >成立，因为01x <<时，2233x >，所以23a >． 15．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()xx g x e =在R 上有2个交点， 22()xxg x e '-=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增；(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故max 2()(1)g x g e==， 而20x x e >恒成立，所以20a e<<． 第三部分16．（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得22349a a =， 所以219q =． 由条件可知0q >，故13q =． 由12231a a +=得11231a a q +=， 所以113a =． 故数列{}n a 的通项式为13n n a =． 31323log log log n n b a a a =+++ （2）(12)n =-+++(1)2n n +=-． 17．（1）因为222b c a bc +=+， 所以2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为(0,)A π∈， 所以3A π=．（2）因为cos (0,)B B π=∈，所以sin 3B == 由正弦定理sin sin a b A B=，得sin 3sin b A a B==． 因为222b c a bc +=+，所以2250c c --=，解得1c =±， 因为0c >，所以1c =+．故ABC 的面积1sin 2S bc A == 18．（1）由sin cos 0x x +≠得4x k ππ≠-，k Z ∈，（2）cos 22sin 44sin cos 4422f πππππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭+ （3）因为22cos2cos sin ()2sin 2sin cos sin sin cos sin cos 4x x x f x x x x x x x x x x π-⎛⎫=+=+=+=+ ⎪++⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2T π=．因为函数sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，k Z ∈， 又由42x k πππ+=+，k Z ∈，得,4x k k Z ππ=+∈，所以()f x 的对称轴的方程为,4x k k Z ππ=+∈． 19．（1）因为()2()xf x x a e '=+若0,(,)a ≥-∞+∞单调递增；若0,(,)a <-∞+∞单调递增；(单调递减；（2）由（1），得0a ≥时，()f x 的最小值为(0)2f a =+16a <-时，最小值为4(4)(10)f a e =+160a -≤<时，最小值为(2f =-20．（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x =-+'， 注意到(0)0F '=，因为[0,1]x ∈， 因为21()sin (1)F x x x ''=-+，则()F x ''在[0,1]单调递减， 所以1()(1)sin104F x F ''''>=-<，()(0)10F x F ''''<=>， 所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减， 又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=， 所以(0)0F '>在(0,1)上恒成立，所以()F x 在[0,1]上单调递增，则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥．所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(0,1]x ∈，不等式()()()0f x eh x g x +->， 即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln2>，所以ln 2sin1123ee e =<<<， 由于a 为sin 21ln 0x ex ax x +--->整数，则2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明sin 2()21ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+，故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--，设2()ln ,(0,1]G x x x x x =--∈， 则1(21)(1)()210x x G x x x x'+-=-⋅=≤， 所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立． 综上所述，a 的最大值为2．21．（1）设数列{}n b 的公比为q ，则2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b =当2b =22a b >；当2b =132b b +≥13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>22a b >． 综上所述，22a b >．。

2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。

北京师范大学第二附属中学2021届高三10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若35log log 33b ⋅=，则b =（ ）A ．6B ．5C ．53D ．35 3．已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A ．110x y-> B ．0cosx cosy -< C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()ln 0x y ->4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ） A ．502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{3|02x x -<<或502x ⎫<<⎬⎭D ．{3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭ 5．已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15 BC ．3D 6．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e +<< 7．函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,0)(0,1]-∞C ．(0,1]D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．14B ．34C ．43D ．49．函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示，则有（ ）A ．0,0,0a c d ><>B ．0,0,0a c d <<>C ．0,0,0a c d <>>D ．0,0,0a c d >><10．已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=，且33a b m +>恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．8B ．CD ．2二、填空题11．若集合{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是_______. 12．设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是______. 13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若31a =，714S =，则5a =____________. 14．已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______. 15．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b =，求ABC 的面积. 18．函数cos2()2sin sin cos x f x x x x=++. （1）求函数()f x 的定义域；（2）求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （3）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.19．已知函数()2()22xf x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.20．已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax . （1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ；（2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x e h x g x ，求整数a 的最大值.21．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列()*n N∈，且110a b =>.（1）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==.①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由； ②若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.参考答案1．B【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．解：因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B ．2．D【分析】利用换底公式进行化简求值即可．【详解】355lg lg 3lg log log 3log 3lg 3lg 5lg 5b b b b ⋅=⋅=== 35b ∴=故选：D3．C【分析】 利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.【详解】取2,1x y ==，则1102-<，所以A 选项错误. 取4,2x y ππ==，则cos4cos2110ππ-=-=，所以B 选项错误. 由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，而0x y >>，所以111102222x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C选项正确.取2,1x y ==，则()ln 210-=，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.4．D【分析】根据()y f x =是定义在R 上的奇函数，求得函数解析式，然后再由分段函数的定义域，分0x <，0,0>=x x 三种情况讨论求解.【详解】设0x <，则0x ->，所以()2-=--f x x ，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()2=--=+f x f x x ，(0)0f =，所以2,0()0,02,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩， 不等式1()2f x <等价于0122x x <⎧⎪⎨+<⎪⎩或0102x =⎧⎪⎨<⎪⎩或0122x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得32x <-或0x =或502x <<， 综上：不等式1()2f x <的解集是{3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求解析式以及分段函数与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【点睛】 本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．6．C【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解. 【详解】 由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e-<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．D【分析】 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，求函数()f x 的导函数，参变分离求最值即可.【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增， 所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，即21'()10f x ax=-≥在(,1)-∞-上恒成立. 即2min 1()x a ≤，即11a ≤，解得：1a ≥或0a <. 检验，当1a =时，()f x 不是常函数，所以1a =成立.故选：D【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.方法点睛：（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立；（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.易错点睛：必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数.8．A【分析】 根据115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，令1,1m n ==，2,1m n ==，得到数列{}n a 是等比数列，然后利用等比数列的前n 项和公式求得S n ，再由n S a <恒成立求解.【详解】 因为115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=， 令1,1m n ==，得211125a a a ==， 令2,1m n ==，得3211125a a a ==， 所以数列{}n a 是以15为首项，以15为公比的等比数列， 所以111115551415n n n S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，因为1105n n nS S -=>-， 所以{}n S 是递增数列， 所以14n S <， 因为n S a <恒成立， 所以14a ≥， 所以实数a 的最小值14. 故选：A9．C【分析】先求解出()f x '，再根据()f x 的图象分析,,a c d 的取值情况，由此判断出结果.【详解】因为32()f x ax x cx d =-++，所以()232f x ax x c '=-+，由图象可知：()f x 先减后增再减，所以()f x '先为负，再为正，最后又为负，所以0a <， 因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且120x x <，所以03c a <，所以0c >， 又因为()00f >，所以0d >，故选：C.【点睛】易错点睛：分析函数()f x 与其导函数()f x '的关系时需注意：（1）()f x 的单调性和()f x '取值的正负相对应；（2）()f x 的极值点一定是()f x '的零点，但()f x '的零点却不一定是()f x 的极值点. 10．D【分析】由|lg ||lg |a b =，得()()f a f b =，结合对数知识可得1ab =，利用基本不等式可得332a b +>，从而可得2m ≤.【详解】()|lg |f x x =的定义域为(0,)+∞，所以0a b >>，由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =，得lg lg a b =或lg lg a b =-，因为a b >，所以lg lg a b >，所以lg lg a b =-，即lg lg 0a b +=，则lg()0ab =，1ab =，即1b a=，所以333312a b a a +=+≥=，当且仅当1a =时，等号成立， 而当1a =时，11b a==，与a b >矛盾，所以基本不等式中的等号取不到， 所以332a b +>，所以由33a b m +>恒成立，可得2m ≤，则m 的最大值等于2.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11．21a -<≤【分析】 直接根据{2}A B x x ⋃=>-分析得解.【详解】 因为{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，所以实数a 的取值范围是21a -<≤.故答案为：21a -<≤12．[)3,+∞ 【分析】分别求1≥x 和1x <时函数的值域，再根据题意比较两部分的最小值，求a 的取值范围. 【详解】当1≥x 时，()22xf x =≥，当1x <时，()1f x a >-，由题意知，12a -≥，3a ∴≥. 故答案为：[)3,+∞ 【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数的取值范围，属于基础题型. 13．3 【分析】根据题意，由{}n a 为等差数列，31a =，714S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求出1a 和d ，即可求出5a . 【详解】解：已知{}n a 为等差数列，31a =，714S =，设公差为d ，则112172114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：111a d =-⎧⎨=⎩，所以514143a a d =+=-+=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 14．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】等价于存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即2()3min a x>成立，即得解. 【详解】由题得2()32f x ax x '=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间， 所以存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即23a x>成立， 因为01x <<时，2233x >， 所以23a >. 故答案为：2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】易错点点睛：本题是一个存在性的问题，存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，不是一个恒成立的问题，所以23a x>成立时，即2()3min a x >，不是2()3max a x >.遇到这样的题目，要注意区分存在性问题和恒成立问题. 15．2(0,)e. 【分析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()x xg x e=在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可． 【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()xf x ae x =-有两个极值点， 则y a =和2()xxg x e =在R 上有2个交点， 22()xxg x e -'=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e=， 而20x xe >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 16．（1）13n na =；（2）(1)2nn n b +=-. 【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的性质求出公比，再由基本量运算求出首项，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得22349a a =，所以219q =. 由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=得11231a a q +=， 所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n na =. （2）31323log log log n nb a a a =+++(12)n =-+++(1)2n n +=-.17．（1）3π；（2）2+ 【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。

2021年高三数学10月月考试卷 理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合，集合 ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为 ，，所以.考点：集合的交集.2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：()()()()()622lim 2lim 0'000000-==+-+=+-+→→x f h h x f h x f h h x f h x f hh . 考点：导数的定义及应用.3．函数的定义域为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以函数的定义域为.考点：函数的定义域.4．已知函数，，若，则（ ）A.1B.2C.3D.-1【答案】A【解析】试题分析：由题意可得：()[]()10115111=⇒=-⇒==-=-a a a f g f a .考点：幂函数方程求解.5．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以.考点：函数奇偶性的应用.6．已知集合，={|，，}，则集合中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．【答案】B【解析】试题分析：当或，又因为，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；所以，所以集合中所有元素之和为-2.考点：元素与集合的关系.7．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．B ．C ．2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由可得：，所以，所以曲线在点处切线的斜率.考点：导数的几何意义.8．.若则（ ）A. B. C. D.1【答案】B【解析】试题分析：令，则，所以()()()()m m dx x dx m x dx dx x f x dx x f m 2312221021021010210+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰， 所以考点：定积分的应用.9．下列四个图中，函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：因为是奇函数，所以向左平移一个单位可得：，所以的图像关于中心对称，故排除A,D当时，恒成立，所以应选C考点：函数的图像.10．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．【答案】D【解析】试题分析：由图像可得：，所以，由题意可得：是函数的两个极值点，故是方程的根，所以，则.考点：利用导数研究函数极值.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．物体运动方程为，则时瞬时速度为【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以当时瞬时速度为考点：导数的几何意义.12．已知=是奇函数，则实数的值是【答案】【解析】试题分析：因为，所以对于定义域内的所有的有，即：⇒-+-=+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛++axaxxaxaaxaxxaxaaxax211221lg12lg12lg12lg()()111221222222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒-+=-aaaxaax考点：奇函数性质的应用.13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为3|34)4(22322222abxabdxxabsaaaa=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=--⎰，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.14．不等式的解集为____________．【答案】【解析】试题分析：原不等式等价于设，则在上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或所以原不等式的解集为：.考点：解不等式.15．已知为上增函数，且对任意，都有，则____________．【答案】10【解析】试题分析：令，则且，所以，所以，所以.考点：函数单调性的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．已知函数的定义域为，函数（1）求函数的定义域；（2）若是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得：，解此不等式组即可得出函数的定义域；（2）由不等式可得根据单调性得进而可得不等式的解集.试题解析：（1）由题意可知：，解得 3分∴函数的定义域为 4分（2）由得， ∴又∵是奇函数， ∴ 8分又∵在上单调递减，∴ 11分∴的解集为考点：函数的定义域、奇偶性、单调性的应用.17．已知曲线 在点 处的切线 平行直线，且点 在第三象限.（1）求的坐标；（2）若直线 , 且 也过切点 ,求直线的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导数等于4得到关于的方程，求出方程的解，即为的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于，可得直线的斜率为，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线的方程.试题解析：由，得， 2分由 平行直线得，解之得.当时，; 当时，. 4分又∵点在第三象限,∴切点的坐标为 6分（2）∵直线, 的斜率为4, ∴直线的斜率为, 8分∵过切点,点的坐标为 （－1,－4）∴直线的方程为 11分即 12分考点：利用导数研究曲线方程.18．若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；【答案】（1）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，；（2）.【解析】试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后根据的取值范围讨论导数的正负进而得出函数的单调区间；（2）由题意可得：，解方程组可得.试题解析：（1）因，故. 1分当时，显然在上单增； 3分当时，由知或. 5分所以，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为， 6分（2）由条件知，于是， 8分即，解得 11分从而. 12分考点：函数性质的综合应用.19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤，已知甲、乙两地相距100千米（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】（1）17.5；（2）以80千米／小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为11.25升.【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 2分要耗油 4分答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 5分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设油耗为升，依题意得（） 7分方法一则（） 8分所以当时，有最小值． 11分方法二 8分＝11.25 10分当且仅当时成立，此时可解得 11分答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升． 12分考点：基本不等式及函数模型的应用.20．已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）对的取值分类讨论，化简绝对值求出得到和导函数相等，代入到即可；（2）根据基本不等式得到的最小值即可求出；（3）根据（2）知，首先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可.试题解析：（1）∵,∴当时,，当时,,.∴当时,函数. 4分（2）∵由（1）知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴. 8分（3）由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积= 13分考点：导数及函数单调性、定积分的应用.21．设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】（1）＋；（2）单调递增；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）因为是方程的的两个实根，利用韦达定理即可得到的解析式，求出进而即可求出的值；（2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（3）首先求出的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论.试题解析：（1）∵是方程的两个根， ∴，， 1分∴，又，∴， 3分即，同理可得∴＋ 4分（2）∵， 6分将代入整理的 7分又，∴在区间的单调递增; 8分（3）∵，∴ 10分由（2）可知，同理()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12分由（1）可知，，， ∴11()()||||||f f αβαβαβαβαβ--=-==- ∴f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭14分考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明.I37858 93E2 鏢vCL35541 8AD5 諕731076 7964 祤31161 79B9 禹3@36434 8E52 蹒22231 56D7 囗25356 630C 挌38136 94F8 铸。