连续小波变换2012

和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else

2
h(t)=

2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。

一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。

（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。

（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。

（25分）四、平时成绩。

（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(⎰∞+∞--=ψψ （ 1.1）其中，a ∈R 且a ≠0。

式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b 为时间平移因子。

其中)(||1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。

从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。

① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。

② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。

如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。

C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。

小波变换系数依赖于所选择的小波。

因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。

图1.5 计算小波变换系数示意图③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。

0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2

2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。

（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。

小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。

（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。

由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。

从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。

CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。

随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。

STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。

二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。

低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。

举例说明。

信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。

与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。

这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。

若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。