图像置乱

数字图像置乱技术研究6.3.1图像置乱原理图像置乱技术属于图像加密技术，它通过对图像像素矩阵的重排，破坏了图像矩阵的相关性，以此实现信息的加密，达到安全传输图像的目的。

图像置乱的实质是破坏相邻像素点间的相关性，使图像“面目全非”，看上去如同一幅没有意义的噪声图像。

单纯使用位置空间的变换来置乱图像，像素的灰度值不会改变，直方图不变，只是几何位置发生了变换。

置乱算法的实现过程可以看做是构造映射的过程，该映射是原图的置乱图像的一一映射，如果重复使用此映射，就构成了多次迭代置乱。

我们假设原始图像为0A ，映射关系用字母σ表示，得到的置乱图像为1A ，则原图到置乱图像的关系，可简单的表示为：10A A −→−σ例如：原始图像用矩阵0A 表示，置乱后的图像为1A , ij a 代表坐标为(),x y 的像素点的灰度：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=333231302322212013121110030201000a a a a a a a a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12002133112010023*******312322131a a a a a a a a a a a aa a a a A （6.3.1） 置乱映射σ的元素存在两种形式：一种是序号形式，用()j width i +*表示图像中像素的排列序号；一种是坐标形式，()j i ,表示第i 行第j 列。

则相应的置乱映射σ可表示如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1253720131011511948614σ或者()()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0,31,13,03,12,00,01,32,21,03,33,21,20,10,22,12,3 （6.3.2） 映射τ中的元素表示：原图中该点元素在置乱后图像中的位置。

比如坐标为(0,1)的像素点最后变换到(1,2)这个位置上。

因此使用置乱映射σ进行迭代置乱，原图0A 应用映射τ迭代适当的次数后，能够得到理想置乱图像。

对1A 应用逆置乱映射，还原得到原始图像0A ：110A A −−→−-σ6.3.2基于变换矩阵的图像置乱我们一般处理的图片都是平面图片，即所谓的二维图片。

二维数字图像可以看作是平面区域D 上的二元函数D y x y x F Z ∈=),(),,(。

在绝大多数情况下区域D 是一个矩形，对D 中任意的点y x y x ,),,(表示其像素点的位置，而),(y x F 代表图像的信息（灰度图像是灰度值，彩色图像是RGB 分量值等）。

当图像数字化之后，图像),(y x F Z =则对应于数学中的一个矩阵，其元素所在的行与列),(y x 对应于自变量取值，数字图像离散化后是相应于元素之间有相关性的一类特别的矩阵。

通过数学中矩阵的初等变换可以将图像转换为另一幅图像，从而达到置乱的目的，但其置乱作用较差，因为初等变换是整行或整列进行变换，并不是对矩阵中每个点进行变换。

而一些非线性变换则有可能对图像置乱起到较好的作用。

现介绍目前几种常见的图像置乱方法。

1 基于Fibonacci 变换的图像置乱Fibonacci 变换的基本原理与Arnold 变换一样，只是变换的矩阵稍有不同。

设图像的像素的坐标},1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ Fibonacci 变换为：)(mod 0111''N y x y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （6.3.3） 如图表示380×380的miingxing 图像进行Fibonacci 变换的置乱效果图6.3.1 fibonacci 算法的置乱图像 6.3.1 algorithm scrambling image（a ）原图(b)7次置乱(c)30次置乱用MATLAB实现fibonacci变换置乱的程序如下：function [ fibonacci ]i=imread('');%进行fibonacci变换的原图k=imresize(i,[380,380]);%把图片尺寸变换成380×380的j=rgb2gray(k);%灰度化处理subplot(1,3,1),imshow(j),title('原始图片')size_j=size(j);q=size_j;for t=1:7for a=1:qfor b=1:qc=a-1;d=b-1;e=mod(c+d,380);d=mod(c+0*d,380);m=e+1;n=d+1;h(m,n)=j(a,b);endendj=h;endsubplot(1,3,2),imshow(j),title('7次置乱图片')%输出7次置乱图片for t=1:23for a=1:qfor b=1:qc=a-1;d=b-1; e=mod(c+d,380); d=mod(c+0*d,380); m=e+1; n=d+1; h(m,n)=j(a,b); end end j=h; endsubplot(1,3,3),imshow(j),title('30次置乱图片')%输出30次置乱图片 end2 基于排列变换的图像置乱设图像像素的坐标}1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ ，排列变换表示为：Z k S y x N y x k k y x ∈∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,),(mod 111'' （6.3.4） 式子（6.3.4）和Arnold 变换的变换方法一样，也只是变换矩阵有些变化，很容易看出：Fibonacci 变换就是式（）中，k=0，Arnold 变换就是k=1。

如图6.3.2用大小为380×380的baoba 灰度图像表示置乱效果，假设k=6。

图6.3.2 排列算法（k=6）的置乱图片 6.3.2 a algorithm scrambling image3 基于亚仿射变换的图片置乱设图像像素坐标}1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ ，亚仿射变换为:Z d c b a S y x N y x d c b a y x ∈∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,,,,,),(mod '' （6.3.5） 其中1c b d a ±=⨯-⨯，同样亚仿射变换依然和前面介绍的Arnold 变换方法一样。

只是变换矩阵更加的一般化。

取33d ,7c ,14b ,3a ====，如图6.3.3是用大小为450×450的图像表示其置乱效果。

图6.3.3 亚仿射算法的置乱图片Fig.6.3.3 The affine algorithm scrambling image6.3.3基于Arnold 变换的数字图像置乱Arnold 变换置乱Arnold 变换又称猫脸变换，设想在平面单位正方形内绘制一个猫脸图像，通过下述变换，猫脸图像将由清晰变的模糊。

矩阵表示即为：)mod(2111''N y x y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6.3.6） )','(y x 是图像中),(y x 的像素变换后的新的位置。

反复进行此变换，即可得到置乱的(a)原图 (b)1次置乱 (c)10次置(a)原图(b)10次置(c)50次置图像。

图像的二维Arnold变换，实现像素位置的置乱，所以经过Arnold变换处理的图像，其灰度直方图与原图一样。

下面以380×380的renwu图像进行10次、50次、90次置乱之后的图像，在90次置乱后，又回到原始图像。

图6.3.4 Arnold算法置乱图片Fig.6.3.4 Arnold algorithm scrambling image用MATLAB实现Arnold变换的程序如下：function [ Arnold ]i=imread('');%进行Arnold变换的原始图片k=imresize(i,[380,380]);%图片尺寸变换为380×380的j=rgb2gray(k);%图片进行灰度化处理subplot(1,4,1),imshow(j),title('原始图片')size_j=size(j);q=size_j;for t=1:10for a=1:qfor b=1:qh(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b);%进行矩阵变换endendj=h;end(a)原图(b)10次置(c)50次置(d)90次置subplot(1,4,2),imshow(j),title('10次置乱图片')%输出10次置乱图片for t=1:40for a=1:qfor b=1:qh(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b);endendj=h;endsubplot(1,4,3),imshow(j),title('50次置乱图片')for t=1:40for a=1:qfor b=1:qh(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b);endendj=h;endsubplot(1,4,4),imshow(j),title('90次置乱图片')%输出一个变换周期后的图片Arnold变换的周期性对于数字图像来说,可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值,这样我们就得到了一个表示图像的矩阵.矩阵中元素的值是对应点处的灰度值。

对于正方形数字图像，我们的离散化的Arnold变换式（6.3.6），其中N为图像的宽度和高度，即图像矩阵的阶数。

数字图像经过Arnold变换后，变得混乱不堪，继续使用Arnold变换若干次后，会呈现与原图一样的图片，说明Arnold变换具有周期性。

置乱变换的周期性变换性质，对于研究图像的恢复有积极的作用。

定理6.3.1 给定自然数2>N ，Arnold 变换式（）的周期N m ,是使式（）成立的最小自然数n :⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++11)mod (251251512512515132322222N n n n n（6.3.7）此定理的证明此处不再详细描述。

由定理6.3.1可以得出以下推论：给定自然数2>N ,Arnold 变换式（）的周期N m ，是使式（）成立的最小自然数n :()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11N mod 11n A （6.3.8）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ，N 是图像矩阵的阶数。