烟台大学土木工程学院课程名称：荷载与结构设计方法浅谈中心点法和设计验算点法的基本思路及优缺点专业:土木工程专业班级: 土111-6班姓名: 杨昌云学号:201159501640任课教师：逯静洲2013 年 4 月30 日浅谈中心点法和设计验算点法的基本思路及优缺点土111-6班 杨昌云 201159501640【摘要】：可靠度是对结构可靠性的概率度量，通常我们都是采用结构的可靠指标来度量结构的可靠度。
中心点法和验算点法是用随机变量的均值和标准差来描述其的分布特性，并在运算时采用线性化的近似手段估算可靠指标的方法。
这两种方法在一定程度上准确的解释了结构的可靠性，但是它们都有各自的适用范围和局限性。
【关键词】：中心点法、验算点法、基本思路、优缺点中心点法与验算点法是根据概率来计算结构可靠度的方法，是通过对正态变量与非正态变量的分析，计算出结构的可靠指标，它们也有各自的优缺点和基本理论。
以下就是对中心点法与验算点法的介绍。
一、中心点法不考虑随机变量的实际分布，假定它服从正态或者对数正态分布，导出有关的结构构件可靠度的解析表达式，进行分析和计算。
由于分析时采用了泰勒级数在平均值处（即中心点）展开，故简称为中心点法。
1、中心点法的基本思路：(1)、两个正态分布随机变量的模式假定抗力R 和荷载效应S 相互独立，且均服从正态分布，则结构的功能函数Z=R-S 亦服从正态分布。
按可靠指标的定义有β=z z σμ=22SR SR σσμμ+-。
可靠指标与失效概率关系可由失效概率的定义作标准正态变换求得，由于结构的功能函数Z=R-S 服从正态分布，则失效概率可写成dZ e Z Z f S R Z P P ZZZ ZZ f )(21021d )()0(σμσπ--∞-∞-⎰⎰==<-==。
引入标准正态变量代入公式得)(21221ZZt f dt eP ZZσμπσμ-Φ==⎰-∞--。
化为标准正态函数形式为)()(11ββΦ=-Φ-=-=f s P P 。
（2）、两个对数正态分布随机变量模式假定抗力R 和荷载效应S 相互独立且均服从对数正态分布，这时结构功能函数可以写成Z=lnR-lnS=lnSR。
依据概率论可求出Z μ和Z σ，即S R Z ln ln μμμ-=, 2ln 2ln S R Z σσσ+=。
由可靠指标β的定义有2ln 2ln ln ln SR S R Z Zσσμμσμβ+-==。
此时β是lnR 、lnS 的统计参数函数，实际很难确定，为此，应将lnR 、lnS 换算成R 、S 的统计参数。
由对数正态分布性质可知，当X 服从对数正态分布时有2ln ln 21ln X X X σμμ-=，22ln 1ln(X X δσ+=)。
因此可靠指标的计算公式可以写成用R 、S 统计参数表达的计算式，即)1ln()1ln()11ln(22222ln 2ln ln ln S R RS S R S R S R Z Zδδδδμμσσμμσμβ+++++=+-==。
利用Xe 在零点泰勒级数展开取线性项，并在两边取对数后得关系式)1ln(X X +=，又当SR δδ 很小或者很接近时，可将可靠指标的计算式化简为22ln ln SR SR Z Z δδμμσμβ+-==。
（3）、多个随机变量服从正态分布的情况假设随机变量1X ，2X ，…n X 服从正态分布，结构的功能函数(g Z =1X ，2X ，…n X )，在Z 的均值点处，按泰勒级数展开，并取线性项，可推导出Z 的平均值和标准差，因此，可靠指标β的定义有∑=∂∂⋅⋅⋅≈=n i X iX X X Z ZiIX nX g g 12)(),,,(21σμμμσμβμ。
当结构的功能函数为线性函数时，可靠指标β可以化简为∑=⋅⋅⋅++≈=n i X XX X ZZ In12)(21σμμμσμβ。
2、中心点法的特点中心点法可以直接给出可靠指标与随机变量统计参数之间的关系，计算简便。
对于β=1~2的正常使用极限状态可靠度的分析，尤为适用。
3、中心点法的优点中心点法最大的优点是计算简便，所得到的用以度量结构可靠程度的可靠指标β具有明确的物理概念和几何意义。
4、中心点法的缺点： （1）、该方法没有考虑有关基本变量分布类型的信息，因中心点法建立在正态分布变量基础上，当实际的变量分布不同于正态分布时，其可靠度（或失效概率）的计算结果必将不同，因而可靠度的计算结果会有误差。
（2）、当功能函数为非线性函数时，因该方法在中心点处取线性近似，因此得到的可靠性指标β将是近似的，其近似程度取决于线性近似的极限状态曲面与真正的极限状态曲面之间的差异程度。
一般来说，中心点离极限状态曲面的距离越近，则差别越小，然而，出于结构可靠性的要求，中心点一般总离开极限状态曲面有相当的距离，因此，对于非线性函数问题β的计算误差很难避免。
(3)、不能考虑随机变量的实际分布，如极限I 型分布。
二、验算点法考虑随机变量的实际分布，将非正态分布当量正态化，并在设计验算点进行迭代计算可靠指标，故简称为验算点法。
1、验算点法的基本思路： (1)、两个正态分布随机变量假定抗力R 和荷载效应S 为两个相互独立的正态随机分布变量，其均值R μ和s μ，标准差分别是Rσ和S σ，这是极限状态方程为g(R,S)=R-S=0。
在SOR 坐标系中，极限状态方程是一条直线，与R 和S 两坐标轴的夹角为45度，把SOR 平面划分为可靠区和失效区。
在新坐标系中的极限状态的方程也可用下式表达0cos cos =-+∧∧βθθS R S R由于在坐标系SOR 中，极限状态方程为R-S=0，所以，在这条极限状态直线上的*P 点，其他坐标的**R S 也必然满足0**=-S R 。
（2）、多个正态分布随机变量在结构设计与可靠性分析中，影响结构可靠度的因素一般为多个随机变量，假定n X X X ,,,21⋅⋅⋅ 为n 个相互独立的正态基本变量，均值、标准差分别为i i σμ,（i=1,2,…,n ）。
极限状态方程为n X X X g ,...,,(21）=0。
在多维情况下，极限状态面（或称为边界条件）为一曲面，可以证明，与二维情况一样，新坐标系原点到极限状态曲面的发线距离就是可靠度指标的绝对值。
经过一系列表换推倒，验算点*P 的坐标可写为βαθβi i i X -==∧cos *i i i i i i X μβσαμθβσ+-=+=cos *与两个随机变量的情况一样，*i X 是极限状态方程的临界点，因此*i X 可作为设计验算点。
可得0),...,(111=+-+-n n n g μβσαμβσα。
（3）、非正态变量设X 为非正态连续型随机变量，如图a 所示，在某点*x 处进行正太化处理，即要找一个正态随机变量'X ，使得在*x 处满足：图a（a ）、正态变量'X 的概率分布函数在*x 处的*('x F X ）与非正态变量X 的概率分布函数在*x 处的值)(*x F X 相等，即*('x F X ）=)(*x F X 。
（b ）、正态变量'X 的概率密度函数在*x 处的值)(*'x f X 与非正态变量X 的概率密度函数在*x 处的值)(*x f X 相等，即)(*'x f X =)(*x f X 。
这样的正态变量'X 称为非正态变量X 相对于*x 处的正态变量，首先需要求出的是当量正态变量'X 的均值'X μ和标准差'X σ。
经过当量正态化条件，整理后可得'X σ=X X f x F /)]}([{*1-Φϕ(*x )。
对于非正态变量i X 情形，以当量的正态变量'i X 的统计参数'iX μ，'iX σ代替i X 的统计参数ii X X σμ,后，则前述正态基本变量情况下计算β的方法均适用。
根据以上讨论，对于结构极限状态函数中包含多个正态基本变量的一般情况，只要知道了各个基本变量的概率分布类型及统计参数，则可以采用迭代法计算β值及设计验算点的坐标值。
2、验算点法的特点验算点法能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对安全指标β进行精度较高的近似计算，求得满足极限状态方程的“验算点”设计值，便于根据规范给出的标准值计算分项系数，以利于设计工作人员采用惯用的多系数设计表达式。
3、验算点法的优点设计验算点法克服了中心点法的缺点,其具有不易发散,收敛速度快和计算结果精度高的特点。
根据设计验算点法的几何意义与数学分析,得出在工程实际中的物理意义,使此种方法在解决结构可靠度分析问题中具有很大的实用性。
4、验算点法的缺点迭代次数较多，而且当极限状态方程为高次非线性时，其误差较大。
【结束语】：在对中心点法和设计验算点法的学习中了解到了，这两种方法能准确地计算不服从正态分布的随机变量的概率，也解决了随机变量虽服从正态分布，但是功能函数的非线性程度影响可靠度指标计算精度。
通过对可靠指标的计算能够更加详细准确的知道结构的可靠度，有利于建筑结构的进一步发展，从而使结构更加安全，符合建筑规范的要求。
【参考文献】：1、《荷载与结构设计方法》， 白国良主编， 高等教育出版社。
2、《工程结构设计原理》， 曹双寅主编， 东南大学出版社。
3、《工程结构可靠度》， 赵国藩、曹居易、张宽权编， 水利电力出版社。
4、《工程结构荷载与可靠度设计原理》， 李国强、吴迅编， 中国建筑工业出版社。
