平面向量的数量积和向量积的几何意义

向量数量积几何意义的应用　５１４７６２广东省梅州市梅县丙村中学广东梅州　李政辉　【摘要】向量是高中数学新课程新增　的知识，每一年都进入了高考试题．向量的　数量积是向量中的重点，它的几何意义帮助　学生理解向量作为工具的内涵．恰当应用向　量数量积的几何意义解题能事半功倍，能最　大限度地缩减思维量和运算量。　【关键词】几何意义；数量积；向量　设ａ、６是两个非零向量，ｌ　ｂ　Ｉｃｏｓ＜ａ，ｂ＞　叫做向量ｂ在ａ方向上的投影，当瑚，　＞　为锐角时，投影为正值；当＜口，ｂ＞为钝角　时，投影为负值；当　，ｂ＞为直角时，投　影为０．从而得到ａ・ｂ的几何意义：数量积　ａ・ｂ＝ｌａｌｉｂｌｅｏｓ＜ａ，ｂ＞等于ａ的长度ｌａ１与ｂ　在口方向上的投影ＩｂＩｃｏｓ＜ａ，ｂ＞的乘积。　一、用数量积几何意义解线性规划　教材对求解形如Ｚ＝ａｘ＋ｂｙ的目标函数在　线性约束条件下的最值一般都是将二元一次　函数（目标函数）转化为求直线在ｙ轴截距　的问题，然后利用线性规划知识来求解．但　如果把ｚ＝面・　，其中　＝（ａ，ｂ），　葫＝（ｘ，ｙ），因为面为定值，所以由数量　积的几何意义可知，ｚ的最值依赖于　在　方向上的投影Ｉ　ｌｅｏｓ　０的最值，此投　影点的最佳点即为最优点．当可行域存在点　Ａ，使　在面方向上的投影Ｉ　Ｉｃｏｓ　０最大　时，ｚ一＝６　・　；当可行域存在点Ｂ，使　历在面方向上的投影ｌ历Ｉｃｏｓ　０最小时，　ｚ　＝面・历。　例１设变量ｘ，Ｙ满足　≤１　≤１，　≥０，则Ｚ＝ｘ＋Ｚｙ的最大值和最小值分别为（）　（Ａ）ｌ，一１　（Ｂ）２，一２　（Ｃ）１，一２　（Ｄ）２，一１　Ｙ　Ｉ１，ｚ　）　＼　售ｘ＋ｙ＝ｌ　图１　解：作出图ｌ，设Ｎ（ｘ，Ｙ）为可行域内　任一点，　Ｍ（１，２），则ｚ＝面・　，由数量积　的几何意义：　当Ｎ（Ｘ，Ｙ）在点Ａ（０，１）处时，　Ｚ～＝２；　当Ｎ（ｘ，Ｙ）在点Ｂ（０，一１）处时，　Ｚ　＝－２。　二、用向量数量积几何意义解如下平面　几何的问题　１．平面多边形的问题　例２．如图２，正六边形Ｐ。．Ｐ　，　下列向量数量积最大的是（）　都市家教１２８　Ａ．　・　Ｂ　Ｃ．　・　Ｂ．　・　只　Ｄ．置　・Ｅ　

平面向量及应用

温州八中 林胜杰

向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

【考点梳理】

一、考试内容

1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。

2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。

3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。

4．平移及平移公式。

二、考试要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2．掌握向量的加法与减法。

3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。

4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

三、考点精析

1．平面向量知识结构

2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

（3）表示法

①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。

②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)

日日　方法指薄　——————　７妻●　≥蓦　

平面向量数量积硇　

安庆石化一中　黄玮　

平面向量是数学中的重要概念。它是沟通代数、几何和三角函数的有力工具，广泛应用于生　产实践和科学研究中。平面向量的数量积及其性质是平面向量知识的重点内容，在平面向量中　占有重要地位。利用平面向量的数量积及其性质可以解决有关向量长度，两向量夹角、垂直、平　行等问题。下面举例说明。　

一、长度问题　求向量长度的依据是：　

（１）ｌ口ｌ　：口．口。　

（２）设口：（　，），），贝０Ｉ口ｌ＿、　。十　。　例１　已知向量口与６的夹角为６０ｏ，ｌａｌ＝２，ｌａ＋ｂｉ＝２　，求　。　解析ｌ口曲Ｉ　：（口曲）。＝口ｚ＋２ａ．６曲　：４＋２×２×Ｉｂｌｃｏｓ６０。柏　：１２，　ｌ￣Ｐ　ｌｂｌ‘＋２１ｂｌ一８＝０。　

．・．Ｉｂｌ＝２或Ｉｂｌ＝一４（舍去）。　

．。．Ｉｂｌ＝２。　二、夹角问题　求两非零向量ａ与ｂ夹角的依据是：

　重ｌ难Ｉ点ｌ聚『焦　方法指导　》　

‘．’ｌａｌ＝１，Ｉｂｌ＝２，　，　，　＇　，　．・．口‘＝ｌａｌ‘＝１．６‘＝Ｉ６ｌ‘＝４。　

．’　・ｂ＝ｌ。￣，Ｓｔａ与ｂ的夹角为０，　

．’－ｃｏｓ　＝丢，又’．‘０≤　≤　，－．　詈。　

三、平行、垂直问题　判断两向量平行、垂直的依据是：　

已知：口＝（戈１，Ｙｔ），６＝（　２，Ｙ２），　＋　

贝Ｕ：口∥西《　口＝Ａ　《　１ｙ：ｘｚ￣ｔ＝Ｏ（ｂ＃０），　

ａ上６々　口・６＝０　ｌ　２＋ｙｌＹ２＝０（ｎ、ｂ＃Ｏ）。　

例３　已知向量口＝（２，一１），　＝（一１，ｍ），ｃ＝（一１，２），按下列条件求实数ｍ的值。　（１）（ｎ拍）／ｃ。　

（２）（　＿ｃ）上口。　解析’．。口＝（２，一１），６＝（一１，ｍ），ｃ＝（一ｌ，２），　

．’　＋　＝（１，ｍ一１），ｂ－ｃ＝（Ｏ，ｍ－２）。　（１）（ａ＋ｂ）∥ｃ￣ｌｘ２一（ｍ一１）×（一１）＝０＝　ｍ＝一１。　

（２）（　）＿１＿ａ＝＊．Ｏｘ２＋（ｍ－２）ｘ（－１）＝Ｏ　ｍ＝２。　四、不等式、最值问题　主要考查向量模或夹角的最值问题。　

平面向量的数量积

[过双基]

1．向量的夹角

定义 图示 范围 共线与垂直

已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB ―→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

2．平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.

结论 几何表示 坐标表示

模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22

a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22

[小题速通]

1．设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，则|a＋2b|＝( )

A．22 B.5 C．2 D．4

2．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )

A．－72 B．－12 C.32 D.52

3．已知|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为( )

A.π3 B.π6 C.π2 D．π