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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质

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第三课时 椭圆的简单几何性质

教学目标

1、能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程

2、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题

3、培养理解能力，知识应用能力

教学过程

1、复习回顾

⑴说出椭圆x2/4＋y2＝1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。

⑵求中心在原点，过点)2/3,1(P，一条准线方程是043x的椭圆方程。

1211673,142222yxyx

⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且A、B、F2在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星的运行轨道方程（精确到1km）。

分析：几个概念的理解，坐标系的建立，由a＋c，a－c求a、b、c。x2/77832+y2/77222=1

2、探索研究

椭圆参数方程的推导

以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标为(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角。取φ为参数，则sin||cos||OBNMyOAONx，即sincosbyax

这就是点M的轨迹的参数方程，

消去参数φ后得到方程x2/a2＋y2/b2＝1，由此可知点M的轨迹是椭圆。

点评：这道题给出了椭圆的一种画法。

大家想一想：画椭圆的方法有几种？

3、反思应用

例1 将椭圆方程x2/16＋y2/9＝1化为参数方程。）＜是参数，20(sin3cos4yx

例2 在椭圆x2＋8y2＝8上到直线l：x－y＋4＝0距离最短的点的坐标是______，最短距离是___。

解一（化归法）：设平行于l的椭圆的切线方程为：x－y＋a＝0,

由

880422yxyx消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0

∴Δ＝4a2―4•9(a2―8)＝0，解得a＝3或a＝－3，

此时3/13/8yx或3/13/8yx，

与直线l距离较小的切线方程为x－y＋3＝0，

这条切线与直线l的距离为2211|34|22d，此时点P(－8/3,1/3)

解二：（参数法）设点)sin,cos22(P，则点P到直线l的距离2|4)sin(3|2|4sincos22|d，

其中3/1cos3/22sin,

当sin(α－θ)＝－1时，d取得最小值2/2，此时3/22sincos3/1cossin,∴点P(－8/3,1/3)

解三：（换元法）设vyxu22,，则u2＋v2＝8，直线l：02822,0422vuvu，

由022822vuvu解得3/223/8vu或3/223/8vu（舍），3/13/8yx，∴点P(－8/3,1/3)

点P到直线l的最短距离为222|43/13/8|d

例3 已知椭圆x2/25＋y2/16＝1，点P(x,y)是椭圆上一点，⑴求x2＋y2的最大值与最小值；⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。

分析⑴一（消元法）：由x2/25＋y2/16＝1得y2＝16(1－ x2/25),∴x2＋y2＝x2＋16(1－ x2/25)＝16＋9x2/25

∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16

二（参数法）：设x=5cosθ,y=4sinθ,∴x2＋y2=(5cosθ)2+(4sinθ)2=16+9sin2θ, ∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16

⑵方法一：设x=5cosθ,y=4sinθ,则3x＋5y＝15 cosθ＋20 sinθ＝25 sin(θ+α),∴3x

＋5y的范围是［－25,25］

方法二：设t＝3x＋5y，则直线3x＋5y－t＝0与椭圆x2/25＋y2/16＝1有交点

由400251605322yxtyx消去y得：25x2－6tx＋t2－400＝0，∴Δ＝36t2―100(t2―400)≥0,解之得： t∈［－25,25］，即3x＋5y的范围是［－25,25］

⑶由椭圆方程知A(5,0),C(0,4),∴直线AC的方程是4x＋5y－20＝0，

设B(5cosθ,4sinθ)(0<θ<π/2),D(5cosα,4sinα)(π<α<2π),则点B到直线AC的距离是412022041|20)4sin(220|41|20sin20cos20|Bd

412022041|20)4sin(220|41|20sin20cos20|Dd

∴四边形ABCD的最大面积是S＝|AC|(dB+dD)/2＝220

例4 已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，求点P到椭圆距离的最大值与最小值。

分析：以点P(0,5)为圆心，内切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最小值；以点P(0,5)为圆心，外切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最大值。

解：∵0＋2·52＜98，∴点P在椭圆的内部，设以点P(0,5)为圆心，与椭圆相切的圆的方程为：x2＋(y－5)2＝r2,将椭圆方程x2＋2y2＝98代入得r2＝98－2y2＋(y－5)2＝－(y＋5)2＋144(－7≤y≤7)

∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝372 ；当y＝7时，rmin2＝4，即rmin＝2。

注意：本题的解法称为辅助圆法

例5 求定点A(a,0)到椭圆x2＋2y2＝2上的点之间的最短距离。

分析：设点B(x,y)为椭圆上的任一点，由|AB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋1－x2/2＝(x－2a)2＋1－a2

。有－时，有－当；有时当；有时当|2a||AB|2x/22a|2-a|AB||2x/22aa-1|AB|2ax/22|a|,22minmin2minx

注意：本题的解法称为函数法

随堂练习

⑴曲线的参数方程是参数）(sin2cos22yx，则此曲线是（ ）

A、椭圆 B、直线 C、椭圆的一部分 D、线段

⑵把参数方程）＜是参数，20(sin4cos3yx，写成普通方程，并求出离心率，准线方

程。

x2/9＋y2/16＝1，离心率4/7e，准线方程7/716y

⑶已知椭圆的参数方程）＜是参数，20(sin3cosyx，则此椭圆的长轴长是____，短轴长是___。

32，2

4、归纳总结

• 数学思想：数形结合、类比的思想、特殊到一般

• 数学方法：图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法

• 知识点：椭圆的参数方程、椭圆中的最值问题

5、作业

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人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用

人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用

第 1 页 共 33 页 选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》

§2.1.1 椭圆及其标准方程

【知识要点】

 椭圆的定义：到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹．

 标准方程：（1）222210xyabab，22cab，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0）；

（2）222210yxabab，22cab，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c）．

【例题精讲】

【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22，求椭圆的标准方程．

点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程． 第 2 页 共 33 页 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a，b，c的值．

【例4】已知ΔABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

【基础达标】

1．椭圆221259xy上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P到另一个焦点的距离为（ ）

A．5 B．6 C．4 D．10

2．椭圆2211312xy上任一点 P到两个焦点的距离的和为（ ）

A．26 B．24 C．2 D．213

陕西省西安交大阳光中学高中数学教案 选修2-1 第三章圆锥曲线与方程

陕西省西安交大阳光中学高中数学教案 选修2-1 第三章圆锥曲线与方程

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教材解析

与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．

另外对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.

同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

课时安排

3．1 椭圆 4课时

3.1.1 椭圆及其标准方程

3.1.2 椭圆的简单性质

3．2 抛物线 3课时

3.2.1 抛物线及其标准方程

3.2.2 抛物线的简单性质

3．3 双曲线 3课时

3.3.1 双曲线及其标准方程

3.3.2 双曲线的简单性质

3．4 曲线与方程 3课时

3.4.1 曲线与方程

高二数学课本《选修11第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修11第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程

在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。

一、引言

圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。

二、基本概念

1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。

2. 圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。

三、主要内容

1. 椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

2. 双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2

- (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。 3. 抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。抛物线的方程可以写为y^2 =

2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。

4. 圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。

四、方法与技巧

1. 代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案

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word 1 / 6 第1课时 椭圆的简单几何性质

[A 基础达标]

1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

A．5、3、0.8 B．10、6、0.8

C．5、3、0.6 D．10、6、0.6

解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x29＋y225＝1，

知a＝5，b＝3，c＝4.所以2a＝10，2b＝6，ca＝0.8.

2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是(

)

A.x216＋y29＝1或x29＋y216＝1

B.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1

C.x225＋y216＝1或y225＋x216＝1

D．椭圆的方程无法确定

解析：选C.由题可知，a＝5且c＝3，所以b＝4，

所以椭圆方程为x225＋y216＝1或y225＋x216＝1.

3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是(

)

A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1 B.x24＋y216＝1

C.x216＋y24＝1 D.x216＋y220＝1

解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x216＋y24＝1.故选C.

4．已知焦点在x轴上的椭圆：x2a2＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )

A.32 B.12 word

2 / 6 C.154 D.33

解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a2－1，0)，不妨设Aa2－1，12，可得a2－1a2＋14＝1，

解得a＝2，椭圆的离心率为e＝a2－1a＝32.故选A.

5．已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值X围是( )

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