81 空间几何体的三视图、表面积和体积

1 专题八 立体几何

【真题典例】

8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积

挖命题

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情 预测

热度 考题示例 考向 关联考点

1.三视图

与直观图 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式.

④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严2018课标Ⅰ,7,5分 三视图、直观图 最短路径

★★★ 2018课标Ⅲ,3,5分 三视图、直观图 几何体的结构特征

2017课标Ⅰ,7,5分 三视图、直观图 梯形的面积

2014课标Ⅰ,12,5分 三视图、直观图

2.空间几

何体的

表面积

和体积 2018课标Ⅱ,16,5分 圆锥的性质和侧面积 异面直线所成

角、线面角

★★★ 2016课标Ⅰ,6,5分 三视图、球的

体积与表面积

2015课标Ⅰ,11,5分 三视图、柱体、球体

的表面积 组合体的表面积

2018课标Ⅲ,10,5分 锥体的体积 球内接三棱锥

2017课标Ⅰ,16,5分 翻折问题、锥体体积 利用函数、导数求值

2017课标Ⅲ,8,5分 柱体的体积 球的内接圆柱

2016课标Ⅲ,10,5分 球的组合体、

体积的最值 三角形内切圆半径求法 2 格要求).

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式

分析解读 从近5年高考情况来看,空间几何体的三视图、表面积和体积等问题一直是高考的重点和热点,主要考查由三视图还原几何体的直观图,求几何体的表面积、体积,有时也以三视图为背景,考查几何体与球的切接问题,一般为选择题、填空题.正确还原几何体三视图所对应的直观图,对复杂几何体进行巧妙的分割转化是解决本节题目的关键.

破考点

【考点集训】

考点一 三视图与直观图

1.(2018山东胶州质检,5)铜钱:古代铜质辅币,俗称铜钱,是指秦汉以后的各类方孔圆钱,方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体的三视图中不可能有下列哪种图形( )

A.正方形 B.圆 C.三角形 D.矩形

答案 C

2.(2017湖南益阳调研,8)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则该几何体相应的侧视图可以为( )

答案 D

3.(2018河南百校联盟4月联考,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A.2√3 B.3 C.√6 D.√5

答案 B 3 考点二 空间几何体的表面积和体积

1.(2018云南玉溪模拟,5)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( )

A.6+2√3 B.6+√3 C.6+4√3 D.10

答案 A

2.(2018广东茂名模拟,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.7 B.152 C.233 D.476

答案 D

3.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为( )

A.24+52π,34+52π B.24+52π,36+54π

C.24+54π,36+54π D.24+54π,34+52π

答案 C

炼技法

【方法集训】

方法1 空间几何体的三视图与直观图

1.(2018四川南充模拟,6)已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )

A.92 B.4 C.3 D.3√102

答案 A 4 2.(2018安徽合肥二模,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )

答案 C

方法2 空间几何体表面积和体积的求解方法

1.已知多面体MN-ABCD的底面ABCD是矩形,其直观图和正(主)视图、侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的表面积为( )

A.24 B.8√5+8 C.40 D.32

答案 B

2.(2018河北衡水中学、河南郑州一中联考,9)榫卯是中国传统建筑中极为精巧的发明,这种构件连接方式,超越了当代建筑排架、框架或者钢架的特殊柔性结构体.榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( )

A.36 B.45 C.54 D.63

答案 C

方法3 与球有关的切、接问题的求解方法

1.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( )

A.32√3π B.48π C.24π D.16π

答案 A

2.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为43的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是 .

答案 92π 5 过专题

【五年高考】

A组 统一命题·课标卷题组

考点一 三视图与直观图

1.(2017课标Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )

A.10 B.12 C.14 D.16

答案 B

2.(2014课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A.6√2 B.6 C.4√2 D.4

答案 B

考点二 空间几何体的表面积和体积

1.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )

A.17π B.18π C.20π D.28π

答案 A

2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )

A.1 B.2 C.4 D.8

答案 B 6 3.(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )

A.90π B.63π C.42π D.36π

答案 B

4.(2018课标Ⅲ,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )

A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3

答案 B

5.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )

A.π B.3π4 C.π2 D.π4

答案 B

6.(2016课标Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )

A.4π B.9π2 C.6π D.32π3

答案 B

7.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )

A.36π B.64π C.144π D.256π

答案 C

8.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 . 7 答案 40√2π

9.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .

答案 4√15

B组 自主命题·省(区、市)卷题组

考点一 三视图与直观图

1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案 C

2.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

答案 B

考点二 空间几何体的表面积和体积

1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

答案 C

2.(2016课标Ⅲ,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )

A.18+36√5 B.54+18√5 C.90 D.81 8 解析 B

3.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 .

答案 112

4.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .

答案 43

5.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则𝑉1𝑉2的值是 .

答案 32

6.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .

答案 92π

7.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是