复变函数02

习题二解答

A 类

1．下列函数何处可导？何处解析？

（1）yxzfi2 （2）yxxyzf22i

（3）2222iyxyxyxyxzf （4）zzfIm

解 （1）由于

1,0,0,2yvxvyuxxu

在z平面上处处连续，且当且仅当21x时，u,v才满足C-R条件，故yxvuzfii仅在直线21x上可导，在z平面上处处不解析。

（2）由于

2yxu，xyyu2，xyxv2，2xyv

在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故yxxyzf22i仅在点0z处可导，在z平面处处不解析。

（3）yxyxyxyxyxyxyxzfiii1i222222

zzzzi1i1

且

故zf在除原点外的z平面上处处可导，处处解析。

（4）由于

0,1,0yvxvyuxu

可知u、v在z平面上处处不满足C-R条件，故zf在z平面上处处不可导，处处不解析。

2．试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数。

（1）3122zzzf； （2）zzzfi23；

（3）112zzf； （4）1123zzzf

解 （1）由于

131212312222zzzzzzzzzf32122zzz

故zf在z平面上处处可导，处处解析。

（2）由于i232zzf，知zf在z平面上处处可导，处处解析。 0i12zzzf（3）由于222211212zzzzzzf

一、计算题：

1. 解方程：440za 0a

.解:44za

422cossin,0,1,2,344kkkzaikππππ

2. 将复数：1cossini （0）化为指数形式

解:21cossin2sin2sincos222iiψψψψψ

2sinsincos222iψψψ

2sincossin22222iψπψπψ

222sin2ieπψψ

3. 求函数1wz将Z平面上曲线11z变成W平面上的曲线

解:设,,zxiywuiv则曲线11z,可写成222xyx

2222221zxivxywizxyxyxyzz

即22122xxuxyx

故1wz将z平面上曲线11z变成w平面上的直线12u

4. 求复数111zwzz的实部，虚部，模.

解:设zxiy,则

22221211111xyyixiyzwzxiyxy

故22221Re1xywxy 2221myIwxy

22222221121wxyxyxy 5. ()cossincossinxxfzexyyyieyyxy是否在Z平面上解析？如果是，求其导函数。

解：,cossin,cossinxxuxyexyyyvxyeyyxy

cossincosxxyuexyyyyv

sinsincosxyxuexyyyyv

1.设z=(1+i)100，则Imz= .

2.设z=e2+i，则argz= .

3.方程310z的所有复数根为___________.

4.复数2i1z的指数形式为___________.

5. 解方程440(0)zaa.

6. 求方程380z的所有复根。

7. 证明3()1fzz在zS上解析。

8. 计算积分2(1)Cdzzz,其中C为圆周2z。

9.计算积分24Cdzz，其中C为圆周2zi。

10. 将函数1azb（a，b为复数，且0b）在点0z处展成幂级数，并指出收敛域。

11. 将函数221()(1)fzz在zi的邻域内展成洛朗级数，并指出其收敛域。

12. 将函数4zez在其有限孤立奇点领域展成洛朗级数。

13. 求函数2sin()(9)zfzzz在其所有孤立奇点（包括）的留数。

14. 利用留数定理，求积分12333(1)(3)zzdzzz。

15. 函数)(zf在区域D内解析. 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D 内为常数.

16.课本里，不解析的函数有哪些？

17.sinz具有哪些性质？

18.指数函数的基本周期？

19.幂级数的收敛半径怎么求？

1 福建师范大学网络与继续教育学院

《复变函数》作业

一、单项选择题

1．在复平面上方程|z-i|+|z+i|=4表示（C ）

A．直线 B．圆周

C．椭圆周 D．抛物线

2．在z平面上处处解析的函数是( A )

A. ()fzz B. 1()fzz C. ()fzz D. ()Refzzz

3．幂级数1132nnnnnnzz的收敛半径是( B )

A.13 B.2 C.3 D.12

二、填空题

1. 132iz，则z= 1 .

2.方程38z在复数域中共有_ 3 个根.

3. (),()fzgz以z=a为m级和n级极点，则z=a为()()fzgz m+n+2 级极点.

三、完成下列各题

1. 函数1()fzz在复平面上何处可导？何处解析？

解：显然z=0时，函数不连续。

令z=𝑟𝑒𝑖𝜃

f(z)=1√z=1√𝑟𝑒𝑖𝜃=1√r ei(θ2+kπ)=√rre−i(θ2+kπ)(𝑘=0,1)

当k=0

f(z)=√rrcos(−𝜃2)+𝑖√rr𝑠𝑖𝑛(−θ2)

2 =√rrcos(𝜃2)−𝑖√rr𝑠𝑖𝑛(θ2)

=r−12cos(𝜃2)−𝑖∗r−12 𝑠𝑖𝑛(θ2)

因为u(r,θ)=r−12cos(𝜃2) ,v(r,θ)=−r−12𝑠𝑖𝑛(θ2)，故

ur=−(12)r−32 cos(θ2)=−12∗1r∗√rr∗cos(θ2)

uθ=−√rrsin(θ2)∗ 12

vr=12∗1r∗√rr∗𝑠𝑖𝑛(θ2)

vθ=−√rrcos(θ2)∗12

由柯西－黎曼定理：

{ −12∗1r∗√rr∗cos(θ2)=−√rrcos(θ2)∗12

−√rrsin(θ2)∗ 12=−12∗1r∗√rr∗𝑠𝑖𝑛(θ2)