实验二：迭代法、初始值与收敛性
一：实验要求
考虑一个简单的代数方程
210,xx
针对上述方程，可以构造多种迭代法，如211111,1,1nnnnnnxxxxxx等。在实轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。
二：实验要求及实验结果
（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。
（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？
实验内容：
ⅰ）对211nnxx进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。
编写MATLAB运算程序如下：
%迭代法求解
%令x=x^2-1
clear
n=30;
x=-0.5;
x1=x^2-1;
for i=1:n
x1=x1^2-1;
xx(i)=x1;
end
m=linspace(0,29,n);
plot(m,xx)
title('x=-0.5')
02468101214161820-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10x=-0.602468101214161820-1-0.500.511.5x=1.6
如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。
２０１５年第１期 总第１４６期 数理化研究 Ｎｏ．１．２０１５ Ｓｕｍ１４６ 预条件ＡｏＲ迭代法的收敛性及其应用 薛 炜 （甘肃建筑职业技术学院基础课部甘肃兰州７３００５０） 摘要：本文利用一种新的预条件矩阵讨论了预条件ＡｏＲ迭代方法的收敛性，并分析了参数ｏ【、 和．ｙ的选取对收敛速度的影响 并在讨论其收敛性的基础上加以应用。 关键词：预条件；ＡＯＫ迭代法；谱半径；收敛性 中图分类号：Ｏ１７５．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—９０５２（２０１５）００１—０００１４７—０２ 一、引言 考虑线性系统 ｂ （１） 这里 ＝ ）∈Ｒ～非奇异。ｔ６ Ｒ一，其中 的主对角线元素全 为Ｉ，通常把分裂为Ａ；，－Ｌ—Ｕ， 其中 和一吩别是 的严格下三角阵和严格上三角部分，这样 基本的ＡＯＲ迭代法的迭代矩阵为 ，＝（，一己）＿’［（１一ｗ ＋（ｗ—ｒ）Ｌ＋ｗ【，】． 为了加快迭代法的收敛性，通常考虑预条件系统 ＰＡｘ＝Ｐｂ， （２） 其中Ｐ∈ ～非奇异，Ｎｉｋｉ，等在文献【１】中引用了一种预条件 矩阵 ， 。 。 ０ １ 一口 ｌ＿０ ＝０＋ ＋ ）： Ｍ ０ ０ ０ ．Ｍ ０ ０ ０ ０ 一ｕ Ｉ —ｕ —ｎ． １． 一 ．．１ Ｉ 其中
并讨论了在该预条件矩阵下Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ迭代法的收敛性． 假设 是非奇异的＾ 阵，在本文中我们引入一种新的预条件矩 阵 给出了一种预条件Ａ０Ｒ迭代方法，并讨论其收敛性和一些谱半 径的比较定理．让
其中
ａ ， 。ｙ 分别是参向量ａ， ，７的第ｆ个分量．ａ，≥０， ｉ＝１，２，…， 一１；届≥０，ｉ＝２，。一， ；ｙｆＩ＞０，ｉ＝１，２，…，＂一２ 把预条件矩阵腓用于（１）得到 Ｐ ＝ （３） 其中 ｒ ＾＝Ｐ ｑ—ｌ—Ｕ１＝ｑｔ Ｒ＋ｓ’ＯｉＯ～ｌ—Ｕ、 ｜一Ｌ—Ｕ Ｒ～Ｈｉ 一ＲＵ Ｓ—ｓｔ—ＳＵ｛Ｑ—Ｑｌ，Ｑ０ ～Ｉ Ｌ－＇Ｕ Ｒ—１） —Ｕｔ Ｐ，Ｕ—Ｓ—ｓｌ—１ 【ｌ—ｔ’Ｑ—Ｄ。一ｂ ｄ。ｌ， Ｑ１ ＝ｔ—Ｄ Ｄ ￡） ）ｅ ＋／ｒ，）《 Ｕ ＋ＲＵ ａ） ｍ ４： 其中 ：１一Ｄ 一Ｄ —Ｄ。， ：， 一 ＋ＳＬ＋ ＋ ， Ｕ Ｒ＋ＵＲ＋ＲＵ＋Ｕ口一Ｑ．而ＤＲ和 分别是 Ｌ矩阵的对角和严格上三角 阵，Ｄ 和Ｌ 别是 ｕ矩阵的对角和严格下三角阵，Ｄ口，％和ＬＱ分 别是旦吧的对角阵，严格上三角阵和严格下三角阵．Ｏｕ＝ｏ． 现取松弛因子∞和加速因子ｒ得到（３）式的ＡＯＲ分裂为 Ｐ，Ａ＝ＭＰ—Ｎ Ｐ 其中 Ｍ 一１ （ ， ）， （Ｏ Ｎ ： 【（１一‘。） ＋ ｏ—ｒ）Ｚ＋∞ 】， ０’ 那么预条件ＡＯＲ迭代法的迭代矩阵为 ．，）＝（Ｄ一， ） 【１一ｗ）Ｄ＋（ｗ—ｒ）Ｌ＋ｗ己，】＝＾ ； ＮＰ． 二、相关的结论 定理１设Ａ＝（ａ，）是对角线元素全为１的非奇异的Ｍ一矩阵，且 满足Ｏ≤ａ，≤ｌ，（ｆ＝１，２，…， 一１）；Ｏ≤ ｆ≤１，（ｉ＝２，…，”）；Ｏ≤ｙｆ≤０， （ｆ＝１，２，…， 一２）．０≤ｐ１ａ｛ａ —１＋ｙ 一１ ｏｃｆｎ ｏｃ ｎ｛＜ｌ，（ｉ＝２，…， 一２）．如 果０＜，≤∞≤ｌ，则有 ｐ（Ｍ Ｎ ）≤Ｐ（Ｍ’＾，）＜１． 证明由于Ａ是非奇异的 矩阵，且满足０≤ｐ， ａ．．．＋ ．一 ｌｄＩｎ ｉ＜１，ｆ＝２，…， 一２，又Ｏ＜ｒ≤０９≤１，则 吖 ∞（ 一， ’ ，【【，＿ 一 一』） ，一， ￡一Ｓ＋ ＋１ｉ＋ ４Ｉｒ ，ａｆｔ＾，Ｄ Ｄ ） （ １ ＳＬ ｒ ｚ ‘＿ｆ¨ ｆ，＋ ‘，一Ｄ＾一 一 一Ｓ＋ ＋￡ｆ・Ｌｅ）＋Ｉｌ ．－＇ｚ０． Ｎ， ｌ（１ｌｎ∞ （ｍ－ｒｌ￡＋Ｉ：’ ＋（￡ 一Ｒ＋Ｕ 十 Ｕ＋ 一ａ） 因而Ａ ＝Ｍ，一Ⅳ 为正规分裂，同理可得Ａ：Ｍ—Ｎ也为正规 分裂＿由于ｔ， 一１ （Ｄ 十Ｄ ‘ ）＋（Ｄ～ｒ １ ０ ） ’ ｝， 又因为￡一 ＋ ＋三 ＋Ｌａ≥Ｌ／＞－０，因此 作者简介：薛炜（１９８１－），男，汉族，甘肃静宁人，硕士研究生，甘肃建筑职业技术学院基础课部讲师，研究方向：数学教育、应用数学。 一ｌ４７一 。。Ｍ Ｌ ｏ ｏ ０ Ｍ 。～Ｍ。 Ｍ一 ０ Ｍ ０ ０ ０ Ｍ ． 一 Ｉ，ｆ●● ｌ ０ ０～０ ０ Ｒ
第３７卷第２期 ２０１ ６年１ １月 （ ）Ｊ ｊ ・ ｃＪ 一２・ 一３７ 新疆大学学报（自然科学版） 一ｌｌ 一２０１６
１６７１—５２３３（２ｏ１６）０２—０４８—０８： ４Ｊ
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解线性方程组的新广义高斯。赛德尔迭代法及其收敛性比较
伊马木・麦麦提，娜扎开提・阿迪力，阿布都热西提・阿布部外力 摘要：本文利用ｇａｕｓｓ．ｓｅｉｄｅｌ迭代法构造一种新的广义Ｇａｕｓｓ—ｓｅｉｄｅｌ迭代法并分析了该 方法的收敛条件和收敛速度。为了改进收敛速度，又给出了广义Ｇａｕｓｓ．ｓｅｉｄｅｌ迭代法的预 测一校正方法。该方法以两种广义Ｇａｕｓｓ—ｓｅｉｄｅ！迭代法相匹配建立。本文从理论上证明了预 测一校正算法在收敛方面优于两种广义Ｇａｕｓｓ—ｓｅｉｄｅｌ迭代法。数值例子表明提出的迭代方法 是有效的。 关键词：广义Ｇａｕ￣ｓ一￣ｃｉｄｃｌ达代法；预测一校正方法；收敛性；谱半径；Ｍ一矩阵 Ａ： Ｊ ０２４１： Ｌ ｊ ｊ Ｌ
ｊ
Ｘ＝ｂ
Ｕ ｔ Ｌ・Ｄ 妓 ・ 乜。 ＝Ｄ—Ｌ—Ｕ Ａ 【－． 。ｌ －ｊ 。 ．一 ｔ 【．ｏ 。 ・ Ｌ ＪＬ， ｌ 一
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Ｘ‘ ＝（Ｄ一 ）一 Ｕｘ‘ ＋（Ｄ一 ）～ｂ，ｋ＝１，２，３，…，
． ｂ 一３ 一９ 一２０１６ Ｊ Ｌ｝Ｌ ．． 山 Ｌ Ｌ ：． 。 ・ ｊ卜＾上— Ｌ（一１９８８）￣ｒ ： ． — 。Ｌ五一 ．． １卜＾－ Ｌ．Ｊ，二 ｊ，— ・（一１ ９６３） ； ＿ ＿Ｉ；＿ ： 蚰 ｕ亏 ｄ＿Ｌ 也
数值分析中的迭代法收敛性分析
迭代法是数值分析领域中常用的一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解数值问题。在使用迭代法时，我们需要关注其收敛性，即迭代过程是否能够逼近问题的解。本文将探讨数值分析中的迭代法收敛性分析方法。
一、迭代法的基本概念
迭代法是一种通过逐次逼近的方式求解数值问题的方法。在求解问题时，我们通过不断使用公式迭代计算，直到满足某个特定的条件为止。迭代法在实际应用中广泛使用，例如求解方程组、求解最优化问题等。
二、迭代法的数学模型
我们可以用以下数学模型描述迭代法的过程：
设迭代公式为：
x_(n+1) = g(x_n)，其中x_n表示第n次迭代的结果，g(x)为迭代函数。
三、迭代法的收敛性
在使用迭代法时，我们希望迭代过程能够收敛到问题的解。迭代法的收敛性分析是判断迭代过程是否能够收敛的关键。
1.线性收敛 如果迭代法满足以下条件：
1）对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*| ≤ C (0 < C < 1)，其中x*为问题的解，那么称迭代法是线性收敛的。
2）线性收敛的迭代法需要满足条件|x_1 - x*| / |x_0 - x*| ≤ C (0 < C <
1)。
2.超线性收敛
如果迭代法满足以下条件：
对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^p ≤ C (0 < C < 1, p >
1)，那么称迭代法是超线性收敛的。
3.二次收敛
如果迭代法满足以下条件：
对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^2 ≤ C (0 < C < 1)，那么称迭代法是二次收敛的。
四、判断迭代法的收敛性
在实际应用中，判断迭代法的收敛性是非常重要的。下面介绍几种常用的判断方法。
1.收敛准则
根据数列极限的定义，如果一个数列{x_n}满足：对于任意ε > 0，存在正整数N，当n > N时，有|x_n - x*| < ε，则称{x_n}收敛于x*。在迭代法中，我们可以通过判断迭代过程中x_n的变化趋势，以及|x_n -
