第２０ １ ２麓２ Ｊｏｕｒｎａｌ浙ｏｆ江师Ｚｈｅｊ范ｉａｎ大ｇ Ｎ学。学ｒｍ报ａｌ（Ｕ自ｎｉｖ然ｅｒ科ｓｉｔ ｙ版）Ｎａｔ．Ｓｃｉｖ。ＬＦｅ。ｂ ２０１ ２‘ 年月 （ ． ．） ．
文章编号：１００１－５０５１ Ｉ２０１２）０１－０００５－０６
不可微非线性方程的修正牛顿迭代法的收敛性分析
金皓苹，徐秀斌
（浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华３２１００４）
摘要：在求解非线性算子方程Ｆ（ ）＝０时，若导数不存在，则可用修正牛顿法代替牛顿法进行迭代，并用优 函数的方法证明了它的收敛性，从而给出了收敛性判断的条件、收敛性证明及迭代法收敛球半径和方程具有 唯一解的球的半径估计，并由此得到了几个推论．主要定理推广了相关文献的结果． 关键词：非线性算子方程；修正牛顿迭代法；收敛半径；不可微；优序列 中图分类号：０２４１ 文献标识码：Ａ
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ
Ｎｅｗｔｏｎ Ｓ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＪＩＮ Ｈａｏｐｉｎｇ，ＸＵ Ｘｉｕｂｉｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｑ２ａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．］ｉｎｈｕａ Ｚｈｅｆｉａｎｇ ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｂｏｕｔ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｆ（ ）＝０，ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ
ｄｉｄ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ．Ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｍａｊｏｒａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒ－ ｇｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂａｌｌ，ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｔｈｅ ｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｒｅｌａｔｅｄ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ ｗｅｒｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ．
文档
实验报告一：实验题目
一、 实验目的
掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。
二、 实验内容
1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算02)(xexxf 在[0,
1]区间的解，要求误差小于 410 ，比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根 ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程 的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。
三、 实验程序
第1题：02)(xexxf 区间[0,1]
函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数：
function Test1()
% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0
r = 0:0.01:1;
y = r + exp(r) - 2
plot(r, y);
grid on
二分法程序：
计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)
function[c,num]=bisect(a,b,delta)
%Input –a,b是取值区间范围
% -delta是允许误差
%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值
% -num是迭代次数
ya = a + exp(a) - 2;
yb = b + exp(b) - 2; 文档
if ya * yb>0
return;
end
for k=1:100
c=(a+b)/2;
yc= c + exp(c) - 2;
if abs(yc)<=delta
第ｌ１卷第１期 ２０１２年２月 江南大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．１１ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ． ２０１２
多分裂形式下的ＳＯＲ迭代法收敛性分析
雷刚
（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３）
摘要：在预条件方法解大型线性方程组Ａ ＝ｂ时，给出预条件后多种分裂形式的ＳＯＲ迭代方法，
说明这些方法能够使ＳＯＲ迭代法收敛，并与一般的预条件方法进行比较分析，证明了这些分裂形 式加速效果更好。最后用数值例子加以验证。
关键词：预处理；收敛性；ＳＯＲ迭代法
中图分类号：０ ２４１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—７１４７（２０１２）０１—００９１—０４
Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ＳＯＲ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍｅｔｈｏｄ
ｉｎ ａ Ｖａｒｉｅｔｙ ｏｆ Ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ
ＬＥＩ Ｇａｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂａｏｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ ７２１０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ Ａｘ＝ｂ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｅｓ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ＳＯＲ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ，ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｎｅｗ ｓｐｌｉｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｃａｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｎｄ ｅｘｐｌａｉｎｓ ｗｈｙ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｉｓ ｆａｓｔｅｒ ｔｈａｎ ｇｅｎｅｒａｌ ＳＯＲ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｔｈｅ ＳＯＲ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ
实验五
一、实验目的与要求：
1、通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；
2、比较二者的计算速度和计算精度。
二、实验内容：
通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点。
二分法
算法：给定区间[a,b]，并设与符号相反，取为根的容许误差，为的容许误差。
（1）令c=(a+b)/2
（2）如果(c-a)
（3）如果，则令；否则则令，重复（1），（2），（3）。
牛顿迭代法
算法：给定初值 ， 为根的容许误差，为 的容许误差，N为迭代次数的容许值。
（1）如果 =0或迭代次数大于N，则算法失败，结束；否则执行（2）。
（2）计算 = -
（3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。 x0)(xf)('xfx1x0)()('0xxoffxx01)(1xfx1（4）令 = ，转向（1）。
三、实验题目：
1、用二分法求方程 f(x)=x^3+4*x*x-10在区间[1，1.5]上的根，要求求出具有3位有效数的近似根。
2、 用牛顿法求方程x^3-3x-1=0在x=2附近的根。
四、程序：
一、二分法
#include
float f(float x)
{
return x*x*x+4*x*x-10;
}
void main()
{
float a,b,c;
a=1.0;
b=1.5;
for(;b-a>=0.01;)
{
c=(a+b)/2;
if(f(a)*f(c)==0)
break; x0x1 else if(f(a)*f(c)<0)
b=c;
else
a=c;
}
printf("方程的近似根为%f\n",c);
printf("保留三位有效数字为%0.2f\n",c);
}
二、牛顿迭代法
