天津市2020届高三数学上学期期末联考试题理

- 1 - 第（3）题 第一学期期末六校联考

高三数学（理）试卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．

（1）若集合22,R,230,RxAyyxBxxxx，那么RAB（）ð=（ ）.

（A）3,0 （B）3,1

（C）,3 （D）0,13,

（2）已知实数yx,满足11yxxyy≤，≤，≥，则目标函数12yxz的最大值为（ ）.

（A）3 （B）21 （C）4 （D）5

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）.

（A）64 （B）73

（C）512 （D）585

（4）设na是首项大于零的等比数列，则“2212aa”是

“数列na为递增数列”的（ ）.

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）已知双曲线 与抛物线xy42共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则22be的值是（ ）.

（A）21 （B）222 e)0,(12222babyax - 2 - 第（12）题 （C）422 （D）4

（6）已知函数2()2cosfxxx，则2(2)f,13(log2)f ,2(log3)f的大小关系是（ ）.

（A）)2(log31f)3(log2f)2(2f

（B）)2(log31f )2(2f)3(log2f

（C）)3(log2f

)2(log31f)2(2f

（D）)2(2f)3(log2f)2(log31f

（7）已知O是ABC△的外心，10,6ACAB，若ACyABxAO，且5102yx)0(x，则ABC△的面积为（ ）.

（A）24 （B）2023 （C）18 （D）220

（8）已知函数211)(xxxf，函数1)(2xaxxg．若函数)()(xgxfy恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）．

（A）),0( （B）),2()0,(

（C）),1()21,( （D）)1,0()0,(

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．

（9）在复平面内，复数2)21(1iii的共轭复数对应的点位于第______象限．

（10）直线l的参数方程为为参数），，ttytx(33.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为03cos42（＞0，02），则圆心C到直线l的距离为______.

（11）已知二项式nxx3的展开式中，各项系数的和与其各项

二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于______．

（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r的半球拼接组成一个

几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该 - 3 - 几何体的表面积为1620π，则r=______.

（13）在锐角ABC△中，cba,,分别为角CBA,,所对的边，且Acasin23，c＝7，且ABC△的面积为332，则ba=______．

（14）设函数()fx在R上存在导数()fx，对任意的Rx，有2()()fxfxx，且在(0,)上()fxx，若(2)()22fmfmm，则实数m的取值范围为______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知函数21()3sincoscos2fxxxx.

（Ⅰ）求()fx的最小正周期，并求当[,]62x时，函数()fx的值域；

（Ⅱ）当[,]62x时，若8()5fx，求()12fx的值.

（16）（本小题满分13分）

已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

（Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；

（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为321,,xxx，随机变量X表示321,,xxx中的最大数，求X的概率分布和数学期望)(XE．

（17）（本小题满分13分）

如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为菱形，60ABC，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．

（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥底面ABCD；

（Ⅱ）求斜线PD与平面PBC所成角的正弦值；

（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角CBDM的大小为60°，求CPCM的值．

- 4 -

（18）（本小题满分13分）

已知数列na的前n项和112(N*)2nnnSan，数列nb满足nnnab2．

（Ⅰ）求证：数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；

（Ⅱ）设nnanc2log，数列22nncc的前n项和为nT，求满足25(N*)21nTn的n的最大值．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆)0(1:2222babyaxC的焦距为2，且与椭圆1222yx有相同离心率，直线mkxyl:与椭圆C交于不同的BA,两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足OQOBOA，（O为坐标原点），求实数取值范围．

（20）（本小题满分14分）

已知函数)1(ln)(44xaxxxf，Ra．

（Ⅰ）求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；

（Ⅱ）若当1x≥时，0fx≥恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）fx的极小值为a,当0a时，求证：11414104aaeea≤．

（2.71828e为自然对数的底） - 5 - 参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

（1）A．提示：13,0xxxByyA或

（2）C．提示：11yyx相交于点)1,2(A

∴41122y．

（3）B．提示： 1,1;2,9;4,7350xSxSxS．

（4）B．必要而不充分条件．

（5）D．提示：由抛物线的焦点.1),0,1(22baF得到①

设公共点00000(,),12,1Pxyxx，代入到抛物线方程得到420y，

从而.14122ba②

由①②可得到22322,222ab．

于是2121caea，，224eb．

（6）A．提示：22cosfxxx 是偶函数，()22sinfxxx在)2,0(上恒大于零，

所以22cosfxxx在)2,0(单调递增.

∵13333(log2)(log2)(log2),0log21fff，21log32，2222,

)2(log31f)3(log2f)2(2f.

（7）D．提示：取AC中点D，因为O是ABC△的外心，则ACDO.

50105,ACADACDOACADACAODOADAO.

又ACyABxAO，

ACAOACACyABx)(=2ACyABACx=60cos10050xAy．

又5102yx，322sin,31cos,2cos6AAxAx．

22032210621S． - 6 - （8）D．提示：由2()(1)0fxaxx，得2()1fxxax．

2(1),()121(11),(1).xxfxxxxxx

作函数()1yfxx与函数2yax的图象，

当0a时，两个函数图象恒有两个公共点；

当0a时, 两个函数图象仅有一个公共点；

当0a时，

①若01a，此时函数2axy图象与函数()1yfxx，有两个公共点；

②若1a，此时函数2axy图象与函数12xy相切，函数2axy与函数()1yfxx的图象仅有一个公共点；

③若1a时，此时函数2axy与函数()1yfxx的图象无公共点．

所以a)1,0()0,(．

二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分．

（9）三． 提示：iziz2925,2925．

（10）235．提示：圆C和直线l的直角坐标方程分别是22430xyx，

3330xy，则圆心C到直线l的距离235133332d．

（11）135．提示：令1x，由已知61634:264,6,()()nnrrrrnTCxx，361,2,13522rrrTx．

（12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积2016222222S22rrrrrr，得到2r．

（13）5．提示：由正弦定理得33sin2sinsin,sin0sin2ACAAC．又三角形是锐角三角形，∴3C．133sin,622SabCab．再由余弦定理