2020-2021学年天津市高三(上)联考数学试卷
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试卷第1页，总18页 2020-2021学年天津市高三（上）联考数学试卷
一、选择题（每题5分，共45分）
1. 命题𝑝：“∀𝑥≥0，都有𝑒𝑥≥𝑥+1”，则命题𝑝的否定为（ ）
A.∀𝑥≥0，都有𝑒𝑥<𝑥+1 B.∀𝑥<0，都有𝑒𝑥≥𝑥+1
C.∃𝑥0≥0，使 D.∃𝑥0<0，使
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】
命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃𝑥0≥0，使，
2. 已知集合𝐴＝{−1, 0, 1, 2, 3}，𝐵＝{𝑥||𝑥−1|≤1}，则𝐴∩𝐵＝（ ）
A.{0, 1, 2, 3} B.{0, 1, 2} C.{1, 2} D.{1, 2, 3}
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合𝐵，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ 𝐴＝{−1, 0, 1, 2, 3}，𝐵＝{𝑥|0≤𝑥≤2}，
∴ 𝐴∩𝐵＝{0, 1, 2}．
3. 已知复数𝑧满足𝑧⋅(3−2𝑖)＝13𝑖，则𝑧的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
根据复数的四则运算化简复数𝑧，然后求出其共轭复数对应的点，即可得到答案．
【解答】
试卷第2页，总18页 ，
则𝑧的共轭复数为−2−3𝑖，
故𝑧在复平面内对应的点为(−2, −3)，在第三象限．
4. 设𝑎＝𝑒−0.3，𝑏＝log0.40.3，𝑐＝cos，则（ ）
A.𝑏>𝑎>𝑐 B.𝑐>𝑎>𝑏 C.𝑎>𝑏>𝑐 D.𝑎>𝑐>𝑏
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用对数与指数函数的单调性、三角函数的单调性即可得出大小关系．
【解答】
∵ 𝑎＝𝑒−0.3∈(0, 1)，𝑏＝log0.40.3>log0.40.4＝1，𝑐＝cos<0，
∴ 𝑏>𝑎>𝑐．
5. 已知的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且𝑓(𝑥)的图象关于点对称，则下列判断错误的是（ ）
A.要得到函数𝑓(𝑥)的图象，只需要现将𝑦＝cos𝑥的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位
B.函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥＝𝜋对称
C.函数𝑓(𝑥)在上单调递减
D.当时，函数𝑓(𝑥)的最小值为-
试卷第3页，总18页 【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
命题的真假判断与应用
【解析】
𝐴根据函数图象伸缩与平移变换判断；𝐵根据正弦函数性质用特值法；𝐶求单调递减区间判断；𝐷求最小值判断．
【解答】
由已知得𝐴＝，𝑇＝2•＝𝜋，⇒𝜔＝2，
𝑓(𝜔(−）+𝜑)＝𝑓(2(−）+𝜑)＝𝑓(−+𝜑)＝0⇒−+𝜑＝𝑘𝜋，𝑘∈𝑍⇒𝜑＝，𝑘∈𝑍，
又因为|𝜑|<，所以𝜑＝，故𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+）．
对于𝐴，将𝑦＝cos𝑥的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得𝑦＝cos2𝑥，
再向右平移个单位得𝑦＝cos2(𝑥−）＝cos(2𝑥−）；
＝cos（−2𝑥)＝sin（-（−2𝑥)）＝sin(2𝑥+），所以𝐴对；
对于𝐵，𝑓（）＝sin(2•+）＝，达最大值，所以𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥＝𝜋对称，所以𝐵对；
对于𝐶，𝑥∈⇒2𝑥∈[，]⇒2𝑥+∈[，]，
因为sin𝑥在[，]上单调递减，所以𝑓(𝑥)在上单调递减，所以𝐶对；
对于𝐷，⇒2𝑥∈[−，]⇒2𝑥+∈[−，]，
试卷第4页，总18页 函数𝑓(𝑥)的最小值为𝑓(−）＝-≠−，所以𝐷错．
6. 函数𝑦=𝑥+sin𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
判断函数的奇偶性，以及特殊值的符号，最后利用极限思想进行排除即可．
【解答】
𝑓(−𝑥)=−𝑥−sin𝑥𝑒−𝑥+𝑒𝑥=−𝑓(𝑥)，则函数𝑓(𝑥)是奇函数，图象关于原点对称，排除𝐶，
𝑓(1)=1+sin1𝑒+1𝑒>0，排除𝐴，
当𝑥→+∞时，𝑦→0，排除𝐷，
故选：𝐵．
7. 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，＝3，𝐸为边𝐵𝐶的中点，若＝+，则𝜆+𝜇＝（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
试卷第5页，总18页 【解析】
根据平面向量线性运算法则将用表示，再结合平面向量基本定理即可得答案．
【解答】
连接𝐴𝐶，因为𝐸为𝐵𝐶的中点，
所以＝+（+）＝++＝，
又因为＝+，根据平面向量基本定理可得
，于是．
8. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，则“𝑏cos𝐴−𝑐<0”是“△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形”的（ ）条件
A.充分必要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分也不必要
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先化简𝑏cos𝐴−𝑐<0，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
在△𝐴𝐵𝐶中，𝑏cos𝐴−𝑐<0，则sin𝐵cos𝐴−sin𝐶<0，
所以sin𝐶＝sin(𝐴+𝐵)＝sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵>sin𝐵cos𝐴，
则有sin𝐴cos𝐵>0，
因为sin𝐴>0，
所以cos𝐵>0，故角𝐵为锐角，
当𝐵为锐角时，△𝐴𝐵𝐶不一定是锐角三角形，
当△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形时，𝐵为锐角，
故“𝑏cos𝐴−𝑐<0”是“△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形”的必要不充分条件．
9. 设函数𝑓(𝑥)＝，满足对任意的实数𝑥1≠𝑥2都有
试卷第6页，总18页 <0成立，则实数𝑎取值范围是（ ）
A.[2, +∞) B.[0, 3] C.[2, 3] D.[2, 4]
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
由已知条件可得函数𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数，再由分段函数的单调性求参数即可．
【解答】
对任意的实数𝑥1≠𝑥2都有<0成立，可知𝑓(𝑥)为𝑅上的增函数，
由𝑥2−𝑥−2＝0，解得𝑥＝−1或𝑥＝2，
又当𝑥＝时，<0，
∴ 𝑦＝|𝑥2−𝑥−2|在[2, +∞)上单调递增，
∵ 函数𝑓(𝑥)＝为𝑅上的增函数，
∴ ，解得2≤𝑎≤4．
∴ 实数𝑎取值范围是[2, 4]．
二、填空题（每题5分，共30分）
已知𝑖为虚数单位，则||＝________．
【答案】
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】
试卷第7页，总18页 ||＝．
已知，则的值为________．
【答案】
【考点】
两角和与差的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据条件求出tan𝛼的值，结合两角和差的正切公式进行求解即可．
【解答】
由得sin𝛼+cos𝛼＝2sin𝛼−4cos𝛼，
得5cos𝛼＝sin𝛼，
则tan𝛼＝5，
则＝＝＝，
已知函数，则𝑓(𝑥)≥3的取值范围是________．
【答案】
(−∞, −log23]∪[8, +∞)
【考点】
分段函数的应用
【解析】
由已知把𝑓(𝑥)≥3转化为两边不等式组求解，取并集得答案．
【解答】
∵ ，
∴ 𝑓(𝑥)≥3⇔或，
试卷第8页，总18页 解得𝑥≤−log23或𝑥≥8，
则𝑓(𝑥)≥3的取值范围是(−∞, −log23]∪[8, +∞)．
设𝑓(𝑥)为定义在𝑅上的奇函数，𝑔(𝑥)与𝑦＝lg𝑥关于直线𝑦＝𝑥对称，若当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)＝𝑔(𝑥)+𝑚，则𝑓(lg0.5)＝________．
【答案】
−1
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据题意，由反函数的定义求出𝑔(𝑥)的解析式，即可得当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)的解析式，利用奇函数的定义可得𝑚的值，进而求出𝑓(lg2)的值，由对数的运算性质和奇函数的性质分析可得答案．
【解答】
根据题意，𝑔(𝑥)与𝑦＝lg𝑥关于直线𝑦＝𝑥对称，则𝑔(𝑥)＝10𝑥，
当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)＝𝑔(𝑥)+𝑚＝10𝑥+𝑚，
𝑓(𝑥)为定义在𝑅上的奇函数，则𝑓(0)＝1+𝑚＝0，则𝑚＝−1，
故当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)＝10𝑥−1，则𝑓(lg2)＝10lg2−1＝1，
则𝑓(lg0.5)＝−𝑓(lg2)＝−1，
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，，点𝐸在线段𝐴𝐷上移动（不含端点），若，则＝________，𝜆2−𝜇的最小值是________．
【答案】
2,-
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量基本定理，利用向量共线进行求解，转化为一元二次函数求最值即可．
【解答】
（1）∵ ，
∴ -＝（-），
