高一(上)第一次月考数学试卷

高一〔上〕第一次月考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每题每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

𝐴={𝑥∈𝑄|𝑥>−1}，则〔 〕

A.⌀∉𝐴 B.√2∉𝐴

C.√2∈𝐴 D.{√2}⊆𝐴

𝐴到𝐵的映射𝑓:𝑥→𝑦=2𝑥+1，那么集合𝐴中元素2在𝐵中对应的元素是〔 〕

A.2 B.5 C.6 D.8

𝐴={𝑥|1<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥<𝑎}，假设𝐴⊆𝐵，则𝑎的范围是〔 〕

A.𝑎≥2 B.𝑎≥1 C.𝑎≤1 D.𝑎≤2

𝑦=√2𝑥−1的定义域是〔 〕

A.(12, +∞) B.[12, +∞) C.(−∞, 12) D.(−∞, 12]

𝑈={0, 1, 3, 5, 6, 8}，集合𝐴={1, 5, 8 }，𝐵={2}，则集合(∁𝑈𝐴)∪𝐵=( )

A.{0, 2, 3, 6} B.{0, 3, 6}

C.{2, 1, 5, 8} D.⌀

𝐴={𝑥|−1≤𝑥<3}，𝐵={𝑥|2<𝑥≤5}，则𝐴∪𝐵=( )

A.(2, 3) B.[−1, 5] C.(−1, 5) D.(−1, 5]

7.以下函数是奇函数的是〔 〕 A.𝑦=𝑥 B.𝑦=2𝑥2−3

C.𝑦=√𝑥 D.𝑦=𝑥2，𝑥∈[0, 1]

8.化简：√(𝜋−4)2+𝜋=( )

A.4 B.2𝜋−4

C.2𝜋−4或4 D.4−2𝜋

𝑀={𝑥|−2≤𝑥≤2}，𝑁={𝑦|0≤𝑦≤2}，给出以下四个图形，其中能表示以𝑀为定义域，𝑁为值域的函数关系的是〔 〕

A.

B.

C.

D.

𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+2，且𝑔(𝑥)为奇函数，假设𝑓(2)=3，则𝑓(−2)=( )

A.0 B.−3 C.1 D.3

11.𝑓(𝑥)={𝑥2,𝑥>0𝜋0,𝑥<0,𝑥=0，则𝑓{𝑓[𝑓(−3)]}等于〔 〕

A.0 B.𝜋 C.𝜋2 D.9

𝑓(𝑥)是 𝑅上的增函数，𝐴(0, −1)，𝐵(3, 1)是其图象上的两点，那么|𝑓(𝑥)|<1的解集是〔 〕

A.(−3, 0) B.(0, 3)

C.(−∞, −1]∪D.(−∞, 0]∪[3, +∞) [1, +∞)

二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕

𝑓(𝑥)={𝑥+5(𝑥>1)2𝑥2+1(𝑥≤1)，则𝑓[𝑓(1)]=________．

𝑓(𝑥−1)=𝑥2，则𝑓(𝑥)=________．

𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=2；则奇函数𝑓(𝑥)的值域是________．

以下命题：

①假设函数𝑦=2𝑥+1的定义域是{𝑥|𝑥≤0}，则它的值域是{𝑦|𝑦≤1}；

②假设函数𝑦=1𝑥的定义域是{𝑥|𝑥>2}，则它的值域是{𝑦|𝑦≤12}；

③假设函数𝑦=𝑥2的值域是{𝑦|0≤𝑦≤4}，则它的定义域一定是{𝑥|−2≤𝑥≤2}；

④假设函数𝑦=𝑥+1𝑥的定义域是{𝑥|𝑥<0}，则它的值域是{𝑦|𝑦≤−2}．

其中不正确的命题的序号是________．〔注：把你认为不正确的命题的序号都填上〕

三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕

𝑈={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0}，𝐵={𝑥|1≤𝑥≤5, 𝑥∈𝑍}，𝐶={𝑥|2<𝑥<9, 𝑥∈𝑍}

(1)求𝐴∪(𝐵∩𝐶)；

(2)求(∁𝑈𝐵)∪(∁𝑈𝐶)

𝐴={𝑥|𝑥2−𝑎𝑥+𝑎2−19=0}，𝐵={𝑥|𝑥2−5𝑥+6=0}，𝐶={𝑥|𝑥2+2𝑥−8=0}．

(1)假设𝐴=𝐵，求实数𝑎的值；

(2)假设⌀⊊𝐴∩𝐵，𝐴∩𝐶=⌀，求实数𝑎的值．

𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥

(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；

(2)用定义证明𝑓(𝑥)在(0, 1)上是减函数；

(3)函数𝑓(𝑥)在(−1, 0)上是单调增函数还是单调减函数？〔直接写出答案，不要求写证明过程〕．

𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥．

(1)现已画出函数𝑓(𝑥)在𝑦轴左侧的图象，如下图，请补出完整函数𝑓(𝑥)的图象，并根据图象写出函数𝑓(𝑥)的增区间；

(2)写出函数𝑓(𝑥)的解析式和值域．

𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎≠0, 𝑏∈𝑅)，假设𝑓(−1)=0，且对任意实数𝑥(𝑥∈𝑅)不等式𝑓(𝑥)≥0恒成立．

(1)求实数𝑎、𝑏的值； (2)当𝑥∈[−2, 2]时，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑘𝑥是增函数，求实数𝑘的取值范围．

𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的函数，假设对于任意的𝑥，𝑦∈𝑅，都有𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)，且𝑥>0，有𝑓(𝑥)>0．

(1)求证：𝑓(0)=0；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)判断函数𝑓(𝑥)在𝑅上的单调性，并证明你的结论．

答案

1. 【答案】B

【解析】根据题意，易得集合𝐴的元素为全体大于−1的有理数，据此分析选项，综合可得答案．

【解答】解：∵集合𝐴={𝑥∈𝑄|𝑥>−1}，

∴集合𝐴中的元素是大于−1的有理数，

对于𝐴，“∈”只用于元素与集合间的关系，故𝐴错；

对于𝐵，√2不是有理数，故𝐵正确，𝐶错，𝐷错；

故选：𝐵．

2. 【答案】B

【解析】由已知集合𝐴到𝐵的映射𝑓:𝑥→𝑦=2𝑥+1中的𝑥与2𝑥+1的对应关系，可得到答案．

【解答】解：∵集合𝐴到𝐵的映射𝑓:𝑥→𝑦=2𝑥+1，∴2→𝑦=2×2+1=5．

∴集合𝐴中元素2在𝐵中对应的元素是5．

故选：𝐵．

3. 【答案】A

【解析】根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得2≤𝑎．

【解答】解：∵集合𝐴={𝑥|1<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥<𝑎}，𝐴⊆𝐵，∴2≤𝑎，

故选：𝐴．

4. 【答案】B 【解析】原函数只含一个根式，只需根式内部的代数式大于等于0即可．

【解答】解：要使函数有意义，则需2𝑥−1≥0，即𝑥≥12，所以原函数的定义域为[12, +∞)．

故选：𝐵．

5. 【答案】A

【解析】利用补集的定义求出(𝐶𝑈𝐴)，再利用并集的定义求出(𝐶𝑈𝐴)∪𝐵．

【解答】解：∵𝑈={0, 1, 3, 5, 6, 8}，𝐴={ 1, 5, 8 }，

∴(𝐶𝑈𝐴)={0, 3, 6}

∵𝐵={2}，

∴(𝐶𝑈𝐴)∪𝐵={0, 2, 3, 6}

故选：𝐴

6. 【答案】B

【解析】分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．

【解答】解：把集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥<3}，𝐵={𝑥|2<𝑥≤5}，

表示在数轴上：

则𝐴∪𝐵=[−1, 5]．

故选𝐵

7. 【答案】A

【解析】由条件利用函数的奇偶性的定义，得出结论．

【解答】解：∵函数𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥的定义域为𝑅，且满足𝑓(−𝑥)=−𝑥=−𝑓(𝑥)，故函数𝑓(𝑥)是奇函数；

∵函数𝑦=𝑓(𝑥)=2𝑥2−3的定义域为𝑅，且满足𝑓(−𝑥)=2(−𝑥)2−3=2𝑥2−3=𝑓(𝑥)，故函数𝑓(𝑥)是偶函数；

∵函数𝑦=√𝑥的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；

∵函数𝑦=𝑥2，𝑥∈[0, 1]的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，

故选：𝐴．

8. 【答案】A 【解析】由𝜋<4，得√(𝜋−4)2=4−𝜋，由此能求出原式的值．

【解答】解：√(𝜋−4)2+𝜋=4−𝜋+𝜋=4．

故选：𝐴．

9. 【答案】B

【解析】此题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．

【解答】解：由题意可知：𝑀={𝑥|−2≤𝑥≤2}，𝑁={𝑦|0≤𝑦≤2}，

对

在集合𝑀中(0, 2]内的元素没有像，所以不对；

对

不符合一对一或多对一的原则，故不对；

对

在值域当中有的元素没有原像，所以不对；

而

符合函数的定义．

故选：𝐵． 10. 【答案】C

【解析】由已知可知𝑓(2)=𝑔(2)+2=3，可求𝑔(2)，然后把𝑥=−2代入𝑓(−2)=𝑔(−2)+2=−𝑔(2)+2可求

【解答】解：∵𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+2，𝑓(2)=3，

∴𝑓(2)=𝑔(2)+2=3

∴𝑔(2)=1

∵𝑔(𝑥)为奇函数

则𝑓(−2)=𝑔(−2)+2=−𝑔(2)+2=1

故选：𝐶

11. 【答案】C

【解析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围．根据不同的范围代不同的解析式．

【解答】解：由题可知：∵−3<0，∴𝑓(−3)=0，

∴𝑓[𝑓(−3)]=𝑓(0)=𝜋>0，

∴𝑓{𝑓[𝑓(−3)]}=𝑓(𝜋)=𝜋2

故选𝐶

12. 【答案】B

【解析】|𝑓(𝑥)|<1等价于−1<𝑓(𝑥)<1，根据𝐴(0, −1)，𝐵(3, 1)是其图象上的两点，可得𝑓(0)<𝑓(𝑥)<𝑓(3)，利用函数𝑓(𝑥)是𝑅上的增函数，可得结论．

【解答】解：|𝑓(𝑥)|<1等价于−1<𝑓(𝑥)<1，

∵𝐴(0, −1)，𝐵(3, 1)是其图象上的两点，

∴𝑓(0)<𝑓(𝑥)<𝑓(3)

∵函数𝑓(𝑥)是𝑅上的增函数，

∴0<𝑥<3

∴|𝑓(𝑥)|<1的解集是(0, 3)

故选：𝐵．

13. 【答案】8

【解析】先求𝑓(1)的值，判断出将1代入解析式2𝑥2+1；再求𝑓(3)，判断出将3代入解析式𝑥+5即可．

【解答】解：∵𝑓(1)=2+1=3

∴𝑓[𝑓(1)]=𝑓(3)=3+5=8

故答案为：8