2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)
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2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
2．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（ ）
A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（ ）
A．2π B．4π C． D．
4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（ ）
A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3
5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
6．（5分）已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（ ）
A．100 B．210 C．380 D．400
7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
8．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（ ）
A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1）
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9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（ ）
A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x
11．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
12．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．200种 D．280种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）在的展开式中常数项为 （用数字作答）．
14．（4分）圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1：S=2：9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1：R= ．
15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=
．
16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
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三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，
（1）求BC的长；
（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．
18．（12分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式an．
19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．
21．（14分）设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．
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2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
【分析】本题考查向量共线的充要条件，坐标形式的充要条件容易代错字母的位置，只要细心，这是一道送分的题目，但一些考试中会考到．
【解答】解：∥，
∴4×3﹣2x=0，
∴x=6，
故选：B．
【点评】向量平行、垂直是经常考到的问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．
2．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（ ）
A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
【分析】解出集合N，结合数轴求交集．
【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，
用数轴表示可得答案D
故选：D．
【点评】考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易
3．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（ ）
A．2π B．4π C． D．
【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．
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【解答】解：所以最小正周期为，
故选：D．
【点评】考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易
4．（5分）如果函数y=f（x）的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称，则y=f（x）的表达式为（ ）
A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3
【分析】先假设函数f（x）上的点（x，y），∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上代入即可得到答案．
【解答】解：设（x，y）为函数f（x）上的点，∵（x，y）关于原点对称的点为（﹣x，﹣y）在函数y′=3﹣2x上
∴以﹣y，﹣x代替函数y'=3﹣2x中的y′，x，
得y=f（x）的表达式为y=﹣2x﹣3
故选：D．
【点评】本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题．根据求谁设谁的原则，先假设函数f（x）上的点，根据对称性找关系式即可得到答案．
5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．
【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a=，
故选：C．
【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等
6．（5分）已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（ ）
A．100 B．210 C．380 D．400
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【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．
【解答】解：d=，a1=3，
∴S10=
=210，
故选：B．
【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．
【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，
在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，
所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，
所以AB：A'B'=，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度
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8．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（ ）
A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1）
【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；
将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．
【解答】解：由y=lnx+1解得x=ey﹣1，即：y=ex﹣1
∵x＞0，∴y∈R
所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=ex﹣1（x∈R）
故选：B．
【点评】由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数f（x）=lnx+1（x＞0）值域的确定，这里利用对数函数的值域推得．
9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，
得 =，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选：A．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
