排列与组合知识点复习

A

C B

D 、

.~

① 我们‖打〈败〉了敌人。

②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）

排列、组合和二项式定理

1.排列数mnA中1,nmnmN、、组合数mnC中,1,0,nmnmnm、N.

(1)排列数公式

!(1)(2)(1)()()!mnnAnnnnmmnnm；!(1)(2)21nnAnnnn。如（1）1！+2！+3！+„+n！（*4,nnN）的个位数字为 （答：3）；（2）满足2886xxAA的x＝ （答：8）

(2)组合数公式

(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm；规定01！，01nC.如已知16mnmnmnCCA，求 n，m的值（答：m＝n＝2）

(3)排列数、组合数的性质：①mnmnnCC；②111mmmnnnCCC；③11kknnkCnC；④1121rnrnrrrrrrCCCCC；⑤!(1)!!nnnn；⑥11(1)!!(1)!nnnn.

2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合,,Mabc到集合1,0,1N的映射，且()()fafb

排列组合

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2，排列

排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数mnA

公式 mnA=!()!nnm 规定0！=1

3，组合

组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数 mnC

mnC=!!()!nmnm

性质 mnC=nmnC

排列组合题型总结

一． 直接法

1 .特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A，其余2位有四个可供选择24A，由乘法原理：25A24A=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有35A=60，1不在千位时，千位有14A种选法，个位有14A种，余下的有24A，共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252

二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462AAA=252

Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个，其中0在百位的有2242C22A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A=432

数学中的排列与组合知识点总结

在数学中，排列和组合是两个重要的概念。它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。

一、排列的概念与性质

排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。排列的计算公式为：

P(n, m) = n!/(n-m)!

其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

排列的性质如下：

1. 排列数P(n, m)满足如下关系：

P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)

2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n的阶乘。

3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。

4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。 二、组合的概念与性质

组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。组合的计算公式为：

C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )

组合的性质如下：

1. 组合数C(n, m)满足如下关系：

C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)

2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。

3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。

4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：

C(n, m) = P(n, m)/m!

三、排列与组合的应用

1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。例如，计算从牌组中抽取m张牌中，其中恰好有n张某种特定牌的概率。

1 排列组合练习题

类型1、涂色问题

1、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．84 B．72 C.64 D．56

2、[2014·北京模拟]如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )

A．72种B．96种C．108种D．120种

3、用五种不同的颜色，给右图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，（（2）（4）不相邻）则涂色的方法共有_______ 种。

类型2、必须相邻用（捆绑法）必须不相邻用（插空法）

1、某班班会,准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言,要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为 ．

2、一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法

A．7200 B．3600 C．2400 D．1200

3、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 ．（用数字作答）

类型3、定序问题

1、6个人站一排，甲必须站在乙的左边的排法总数是多少？

2、2个蓝色的小球与3个红色的小球排成一排小球除颜色外完全相同共有多少种不同的排法？

3、2个1,3个2能排成多少个不同的5位数

4、某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？