1. 大数定律为数理统计应用于统计学搭起了连接的纽带。大量观察法是现代统计学的基本方法之一，而大数定律又是大量观察法的基础。统计学若没有大量观察法的支撑，则统计分析中的基本指标——平均数与相对数，则失去其应有的作用和意义，可见数理统计在统计方法中的基础地位不容置疑。
2.中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明+只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
中心极限定理（林得贝格--莱维定理）意义：
如果一个随机现象是由众多的随机因素引起的，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理
1. 定义
中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理
中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：
当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用
中心极限定理在实际应用中非常广泛。例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律
1. 定义
大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理
大数定律的原理可以用数学公式表示为：
当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用
大数定律在实际应用中也非常广泛。例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系
1. 相似性
中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别
中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
第四章 大数定律与中心极限定理
第一节 大数定律
一、历史简介
概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.
二、大数定律
定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有
证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且
而
于是
由契比晓夫不等式有
又由独立性知道有
从而有
这就证明了定理1.
若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有
成立,则称随机变量序列服从大数定律.
定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有
则对于任意的,有
证明:利用契比晓夫不等式,有
因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到
从而有
从而定理2得证.
[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性
依概率收敛：设{X
n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有
P(|X
n−X|≥ϵ)→0(n→∞)
则称序列{X
n}依概率收敛于X，记作X
nP
→X
依概率收敛的性质：若
X
nP
→
a
Y
nP
→
b
则：
X
n±Y
nP
→
a±b
X
nY
nP
→
ab
X
n÷Y
nP
→
a÷b
弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X
1,X
2…的分布函数为F(x),F
1(x),F
2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有
lim
n→∞F
n(x)=F(x)
则称分布函数序列{F
n(x)}弱收敛于F(x),记作
F
n(x)W
→
F(x)
也称{X
n}按分布收敛于X,记作
X
nL
→
X特征函数
特征函数：设X是⼀个随机变量，则
φ(t)=E(eitX
)为X的特征函数。常⽤分布的特征函数
0-1分布：φ(t)=peit
+q
泊松分布:
φ(t)=∑
eitxλk
e−λ
k!
=e−λ∑(λeit
)k
k!
=eλ(eit−1)
均匀分布:
φ(t)=∫b
aeitx
b−a
dx=eitb
−eita
it(b−a)
标准正态分布:
φ(t)=e−1
2t2
证明：
φ(t)=∫∞
−∞eitx1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞∞
∑
n=0(itx)n
n!
e
−1
2x2
dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
[∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
]dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
E(Xn
)
当n为奇数时，
E(Xn
)=∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
dx=0
当n为偶数时，
E(Xn
)=E(X2m
)=∫∞
−∞x2m1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞−x2m−1d(e
−1
2x2
)
=1
√2π
(2m−1)∫∞
−∞x2m−2e
−1
2x2
dx
=(2m−1)(2m−3)…1∫∞
−∞1
√2π
e
−1
2x2
dx
=(2m−1)!!
=2m!
2m
(m−1)!
故φ(t)=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!
E(X2m
)
=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!2m!
2m
(m−1)!
=∞
∑
m=0(−t2
