最新北师大版八年级数学上册第一学期期末专题复习资料

北师大版八年级数学上册期末专题复习+期末试卷

第 1 页 共 30 页 1、解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为( )

A.1013 B.1513 C.6013 D.7513

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为________．

◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝7cm，c＝5cm，则Rt△ABC的面积是( )

A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．15cm2

4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B，C点外的任意一点，则代数式AP2＋PB·PC等于(提示：过点A作AD⊥BC)( )

A．25 B．15 C．20 D．30

◆类型三 巧妙割补求面积

5．如图所示是一块地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求这块地的面积．【方法5②】

第 2 页 共 30 页 6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

◆类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积

7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝( )

A．25 B．31 C．32 D．40

8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )

A．9 B．36 C．27 D．34

9．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．

10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．

第 3 页 共 30 页 1、参考答案与解析

1．C 2.2.4

3．A 解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.∵a＋b＝7cm，∴(a＋b)2＝49，∴2ab＝49－(a2＋b2)＝49－c2＝24，∴12ab＝6，故面积为6cm2.

4．A 解析：首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°.由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD.由勾股定理可得AP2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2.则AP2＋PB·PC＝AP2＋(BD＋PD)(BD－PD)＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25.

5．解：连接AC.∵AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，∴AC2＝CD2＋AD2，即AC＝10米．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S＝S△ABC－S△ACD＝12AC·BC－12AD·CD＝12×10×24－12×8×6＝96(平方米)．

6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝169，∴AC＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝12AD＝12×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2＝AC2－AE2，解得CE＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝12AB·BC＋12AD·CE＝12×(12×5＋10×12)＝90.

7．B 解析：由题意得AB2＝S1＋S2＝13，AC2＝S3＋S4＝18，∴BC2＝AB2＋AC2＝31，∴S＝BC2＝31.

8．B 解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.

9．12 解析：∵图中的八个直角三角形全等，∴设每个三角形的面积为S，则S1－S2＝4S，S2－S3＝4S，∴S1－S2＝S2－S3，∴S1＋S3＝2S2.由题意得S2＝22＝4，∴S1＋S3＝8，∴S1＋S2＋S3＝4＋8＝12.

10．1 解析：如图所示：

由正方形的性质得AC＝CE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∠1＝∠3，∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，∴△ABC≌△CDE(AAS)．∴AB＝CD.同理可得△FGH≌△HMN.∴FG2＝HM2＝NH2－MN2＝5－2＝3.∴DE2＝FG2＝3.∴CD2＝CE2－DE2＝4－3＝1.∴AB2＝1.∴S5＝AB2＝1.

第 4 页 共 30 页 2、思想方法专题：勾股定理中的思想方法

◆类型一 分类讨论思想

一、直角边和斜边不明时需分类讨论【易错1】

1．在一个直角三角形中，若其中两边长分别为5，3，则第三边长的平方为( )

A．16 B．16或34 C．34 D．不存在

2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )

A．5 B．7 C．7或25 D．16或25

二、锐角和钝角不明时需分类讨论【易错2】

3．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2.

【变式题】一般三角形→等腰三角形

等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为________．

三、腰和底不明时需分类讨论

4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为( )

A.76，2或3 B．3或76 C．2或76 D．2或3

◆类型二 方程思想

一、利用两直角三角形“公共边”相等列方程

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )

A．4 B．5 C．6 D．8

6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.【方法5①】

第 5 页 共 30 页 二、折叠问题中利用勾股定理列方程

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上与点B′重合，AE为折痕，则EB＝________．

8．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．【方法3】

◆类型三 利用转化思想求最值

9．(2016－2017·张掖期中)课外小组的同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠绕4圈后，恰好上升至108cm的高度，则此时牵牛花藤的长度至少是________．【方法4②】

10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________．

第 6 页 共 30 页

2、参考答案与解析

1．B 2.D

3．126或66 解析：当∠B为锐角时，如图①，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×21×12＝126(cm2)；

当∠B为钝角时，如图②，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66.

【变式题】90或10 解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.

4．A 解析：分三种情况：①当AD＝AB时，得CD＝BC＝3；②当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x＋3，由勾股定理列出方程(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝76；③当BD＝AB时，由勾股定理求出AB＝5，即可得出CD＝5－3＝2.故CD的长为3，76或2.

5．C 解析：设BD＝2x，则AD＝5x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，即BD＝6.

6．84 7.32

8．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.由折叠的性质可知∠D′＝∠D，CD＝CD′，∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.又∵∠AEB＝∠CED′，∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设AE＝xcm，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8－x)2＝x2，∴x＝254，∴CE＝AE＝254cm.∴S阴影＝12·CE·AB＝12×254×6＝754(cm2)．

9．180cm 解析：将水管展开，则最短藤如图所示，其中BC＝1084＝27(cm)，AC＝36cm，∴由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝272＋362＝2025，∴AB＝45cm.故藤的最短长度为45×4＝180(cm)．

10．125cm