1.1：探索勾股定理 教案 2022-2023学年北师大版八 年级上册

第一章 勾股定理

1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

2.勾股定理定义的应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

例. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

3.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc

4.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么cbaHGFEDCBAbacbaccabcabka，kb，kc同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

第 1 页 1. 探究勾股定理

1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.

2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.

1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.

2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.

3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.

通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.

【重点】 勾股定理的探究及应用.

【难点】 勾股定理的探究过程.

【老师准备】 分发给学生打印的方格纸.

【学生准备】 有刻度的直尺.

导入一: 第 2 页 展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔 电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?

事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.

[设计意图] 创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.

导入二:

如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?

【师生活动】 在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?

在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧! 第 3 页 [过渡语] 古代人已经认识到直角三角形的三条边的长度之间存在着特殊的平方关系,终究存在怎样的关系呢?大家一起来探究下吧.

一、用测量的方法探究勾股定理

思路一

【学生活动】

1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.

2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.

北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理（教案）

一、教学内容

北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理：

1. 理解勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用；

2. 掌握勾股定理的证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法；

3. 能够运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度；

4. 了解勾股定理在生活中的应用，例如建筑、测量等领域；

5. 通过探索勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观想象力。

二、核心素养目标

1. 培养学生的逻辑推理能力，通过自主探究和合作交流，理解并掌握勾股定理的证明过程；

2. 发展学生的空间想象力，能够运用勾股定理解决实际问题，并在不同情境中识别和应用直角三角形的性质；

3. 增强学生的数学应用意识，将勾股定理与生活实际相结合，体会数学知识在实际问题解决中的价值；

4. 培养学生的数据分析和解决问题的能力，通过对勾股定理相关问题的探讨，学会收集、整理和分析数据，形成严谨的数学思维；

5. 激发学生的创新意识，鼓励他们尝试多种方法探索勾股定理，培养勇于探索和创新的科学精神。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

- 掌握勾股定理的证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法，使学生能够从多角度理解定理的本质。

- 学会运用勾股定理解决实际问题，如给定直角三角形两边长度，计算第三边的长度。

举例解释：

- 通过具体的直角三角形图形，强调a²+b²=c²的关系，确保学生能够记住并理解这一核心公式。

- 以图形为例，演示几何拼贴法，如何通过拼接正方形来证明勾股定理。

- 给出实际例子，如房屋建筑中的直角三角形问题，引导学生运用勾股定理进行计算。

2. 教学难点

- 理解和掌握勾股定理的证明过程，尤其是代数推导过程中涉及到的平方概念和代数运算。

- 在实际问题中识别和应用勾股定理，特别是在非标准直角三角形情况下，如何将问题转化为勾股定理的应用。

1.1 探索勾股定理

第2课时 验证勾股定理

第一环节： 复习设疑，激趣引入

内容：教师提出问题：

（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）

（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.

效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.

第二环节：小组活动，拼图验证.

内容：

活动1： 教师导入，小组拼图.

教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）

活动2：层层设问，完成验证一.

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

图2

在此基础上教师提问：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；

（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×

图1

21ab+c2.并得到222cba）

从而利用图1验证了勾股定理.

活动3 ： 自主探究，完成验证二.

教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？

（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）

意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.