2021-2022年高一下学期期末考试数学试题解析版 含解析
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实用文档 2021年高一下学期期末考试数学试题解析版 含解析
一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）注：答案等价表示均对
1．（3分）（xx•上海）若函数f（x）=2x+1 的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）= ．
考点： 反函数．
专题： 计算题．
分析： 问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可
解答： 解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得
故答案为
点评： 本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．
2．（3分）若对数函数y=f（x）图象过点（4，2），则其解析式是 f（x）=log2x ．
考点： 求对数函数解析式．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用待定系数法求出对数函数的解析式．
解答： 解：设对数函数y=f（x）=logax，（a＞0且a≠1），
因为对数函数的图象过点（4，2），
所以f（4）=loga4=2，解得a=2，
所以对数函数的解析式为f（x）=log2x．
故答案为：f（x）=log2x．
点评： 本题的考点是利用待定系数法求对数函数的解析式，比较基础． 实用文档
3．（3分）若角θ满足sinθ•cosθ＜0，则角θ在第 二或四 象限．
考点： 三角函数值的符号．
专题： 三角函数的求值．
分析： 根据条件判断出sinθ和cosθ异号，根据三角函数的符号判断出θ所在的象限．
解答： 解：∵sinθ•cosθ＜0，
∴或，
则θ在第二或四象限，
故答案为：二或四．
点评： 本题考查了三角函数的符号的判断，即一全正、二正弦、三正切、四余弦，要熟练掌握．
4．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S= ．
考点： 扇形面积公式．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用S=，即可求得结论．
解答： 解：∵扇形的圆心角为，半径为5，
∴S===
故答案为：
点评： 本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．（3分）若，，则sin2θ= ．
考点： 二倍角的正弦．
专题： 三角函数的求值．
分析： 根据角的范围和平方关系，求出cosθ的值，再由倍角的正弦公式求出sin2θ．
解答： 解：∵，，
∴cosθ==﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=，
故答案为：．
点评： 本题考查了同角三角函数的平方关系和倍角的正弦公式，关键是熟练掌握公式，直接代入公式求解，难度不大． 实用文档
6．（3分）化简：= 1 ．
考点： 诱导公式的作用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用诱导公式化简求值即可．
解答： 解：原式====1．
点评： 本题考查诱导公式的求值应用，牢记公式是前提，准确计算是关键．
7．（3分）函数在区间[1，2]上的最小值是 log23 ．
考点： 二次函数在闭区间上的最值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用复合函数的性质求函数的最小值，可以考虑使用换元法．
解答： 解：设t=x2﹣6x+11，则t=x2﹣6x+11=（x﹣3）2+2，
因为x∈[1，2]，所以函数t=x2﹣6x+11，在[1，2]上单调递减，所以3≤t≤6．
因为函数y=log2t，在定义域上为增函数，所以y=log2t≥log23．
所以函数在区间[1，2]上的最小值是log23．
故答案为：log23．
点评： 本题考查了复合函数的性质和应用．对于复合函数的解决方式主要是通过换元法，将复合函数转化为常见的基本函数，然后利用基本函数的性质求求解．
对于本题要注意二次函数的最值是在区间[1，2]上进行研究的，防止出错．
8．（3分）已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则这个三角形底角等于 （用反三角函数值表示）．
考点： 解三角形．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 设△ABC中 AB=AC，作AD⊥BC于D，设∠CAD=α，则∠ABC=2α．利用二倍角的余弦公式列式，解出cosα=．进而在Rt△ACD中算出sinC=，由此即可得到此等腰三角形的底角大小．
解答： 解：设等腰三角形为△ABC，AB=AC，如图所示
作AD⊥BC于D，设∠CAD=α，则∠ABC=2α 实用文档 ∵cos∠ABC=，即cos2α=
∴2cos2α﹣1=，解之得cosα=（舍负）
因此，Rt△ACD中，sin∠C=cosα=，可得角C=
即此等腰三角形的底角等于
故答案为：
点评： 本题给出等腰三角形的顶角大小，叫我们用反三角函数表示底角的大小．着重考查了二倍角的三角函数公式和解三角形等知识，属于中档题．
9．（3分）方程的解是 x1=3， ．
考点： 函数的零点．
专题： 转化思想；函数的性质及应用．
分析： 先利用对数的运算性质和换底公式将方程进行化简，然后利用换元法，将方程转化为一元二次方程求解．
解答： 解：因为方程为，
所以可得，
即，所以．
设t=log3x，则原不等式等价为2t2+t﹣3=0，解得t=1或t=．
当t=1时，得log3x=1，解得x=3．
当t=时，得，解得．
所以方程的两个解是x1=3，．
故答案为：x1=3，．
点评： 本题主要考查与对数函数有个的方程求解问题．首先利用对数的运算性质将方程化简是解决本题的关键，然后利用换元法转化为一元二次方程去求解．这种转化思想要学会使用． 实用文档
10．（3分）方程sinx=cos2x的解集是
．
考点： 函数的零点．
专题： 三角函数的求值．
分析： 方程sinx=cos2x，可化为2sin2x+sinx﹣1=0，由此可得方程的解集．
解答： 解：∵sinx=cos2x，
∴2sin2x+sinx﹣1=0
∴sinx=﹣1或
∴
∴方程sinx=cos2x的解集是{}
故答案为{}．
点评： 本题考查三角方程，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．（3分）（xx•长宁区二模）函数f（x）=2sin2x+6cosx+3的最大值为
9 ．
考点： 三角函数的最值．
专题： 计算题．
分析： 把函数化简为关于cosx的二次函数f（x）=﹣2cos2x+6cosx+5，利用二次函数在闭区间[﹣1，1]上的最值求解即可．
解答： 解：f（x）=2sin2x+6cosx+3
=﹣2cos2x+6cosx+5
=
∵﹣1≤cosx≤1
∴函数在[﹣1，1]单调递增
∴函数在cosx=1时取得最大值9
故答案为：9
点评： 本题以三角函数的值域为载体，考查二次函数在闭区间[﹣1，1]上的最值的求解，解题中需注意的是不能忽略﹣1≤cosx≤1的范围限制．
12．（3分）（xx•青浦区二模）若为y=sin（2x+α）+cos（2x+α）奇函数，则最小正数α的值为 ． 实用文档
考点： 正弦函数的奇偶性；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
专题： 计算题．
分析： 首先分析题目已知y=sin（2x+α）+cos（2x+α）是奇函数，则由奇函数的性质得：在原点的函数值为0．可把函数化为标准型再求解，取最小正数即可直接得到答案．
解答： 解因为y=sin（2x+α）+cos（2x+α）为奇函数，
且y=sin（2x+α）+cos（2x+α）=是奇函数，
则x=0时y=0 所以且α是正数，
所以，
故答案为．
点评： 此题主要考查三角函数的奇偶性的问题，其中涉及到奇函数的基本性质：在原点的函数值为0．题目计算量小，属于基础题型．
二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.
13．（3分）（xx•上海）“”是“tanx=1”成立的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的值域．
专题： 计算题．
分析： 得出，“”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件．
解答： 解：，所以充分；但反之不成立，如．
故选A
点评： 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．
14．（3分）下列命题：
①第一象限的角是锐角．
②正切函数在定义域内是增函数．
③．
正确的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 命题的真假判断与应用．
专探究型． 实用文档 题：
分析： ①根据第一象限角和锐角的定义判断．②利用正切函数的图象和性质判断．③利用反三角函数的定义判断．
解答： 解：①因为锐角的范围是0°＜θ＜90°．而第一象限角的范围是k360°＜θ＜k＜360°+90°，∈z，所以①错误．
②正切函数的单调增区间为，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以②错误．
③根据反三角函数的定义可知，函数y=arcsinx的定义域为（﹣1，1）．因为，所以③错误．
故正确的个数是0个．
故选A．
点评： 本题主要考查命题的真假判断，比较基础．
15．（3分）（xx•安徽模拟）在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（ ）
A． 直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形
考点： 诱导公式的作用．
分析： 利用cos（﹣α）=sinα及正弦函数的单调性解之．
解答： 解：因为cosA＞sinB，所以sin（﹣A）＞sinB，
又角A，B均为锐角，则0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，
且△ABC中，A+B+C=π，所以＜C＜π．
故选C．
点评： 本题考查诱导公式及正弦函数的单调性．
16．（3分）（xx•北京）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）
A． y=cos2x B． y=2|sinx| C． D． y=﹣cotx
考点： 三角函数的周期性及其求法；函数单调性的判断与证明．
专题： 计算题．
分析： 分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可．
解答： 解：由题意考察选项，C的周期不是π，所以C不正确；
由于Ay=cos2x在在区间（，π）上为增函数，选项A不正确；
y=2|sinx|以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数，正确；
y=﹣cotx且在区间（，π）上为减函数，错误；
