中考数学应用题最值问题求解策略

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题

解题策略

考点分析：

二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：

1.三角形面积最值问题

2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比

较高。

解决此类题目的基本步骤与思路:

1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标

2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解

三角形的面积从而得出面积的关系式

3. 根据二次函数性质求出最大值.

4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研

究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞

清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：

1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示

2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思

想.

3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂

线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同

的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理

计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使

△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积

最大值，若没有，请说明理由。

考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面

积最大值。

一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达

各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最

值，即出。

解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的

割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形

面积表达方法的一种非常重要的定理。

铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，

在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，

解析几ｔ＇，－Ｊ最值问题常用求解策略　

曹顺平　

（镇江市丹徒高级中学数学组，江苏丹徒２１２１２１）　

解析几何沟通了数学内数与形，代数与几何等最基本对　

象之间的联系．下面我举例说明最值问题的解题策略．　

一、几何策略　

若题目条件和结论能明显体现几何特征及几何意义．则　

可数形结合．考虑利用曲线的定义或几何性质来处理．　

１．巧用定义　

圆锥曲线的定义刻画了动点与定点（或定直线）距离之间　

的不变关系．我们利用这种不变关系，将动态问题赋予静态环　

境去处理．可很快解决问题．　

２　２　例１：已知点Ａ（７，３）为一定点，Ｆ为双曲线　一　＝１的右　９　２　７　

１　焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当ＩＡＭｌ＋　ＩＭＦＩ最小时，求点Ｍ　的坐标．　

解：过点Ｍ作ＭＰ上准线ｌ于　

点Ｐ．则　：２．所以一１　ＩＭＦＩ：　ｌＭＡＩ　２　

ＩＭＰ　１．ＩＡＭ　Ｉ＋１　ＩＭＦ　Ｉ＝ＩＡＭ　Ｉ＋　２　

ｌＭＰｌ≥ＩＡＰＩ，当且仅当Ａ、Ｍ、Ｐ三　●　‘ｙ　

ｌ　／　｛　Ｐ　矗●　｜Ｐ　Ｍ－－￣）ａ　

；ｏ‘　＼　

点共线时，ｌＡＭＩ＋￣　１　ＩＭＦＩＮｄ、，所以ｙＭ＝ｙａ＝３，代人双曲线方程，　

得ｘ　：２、／　，故Ｍ点的坐标为（２、／　，３）．　

２－并４用平几知识　

例２：求证：以抛物线ｙ　＝２ｐｘ￣　点的弦ＡＢ为直径的圆上　

习进步的重要资料，如自己特有的解题方法，最满意的作业。　印象最深的学习体验．探究性活动的记录．发现的日常生活中　

的数学问题或提出的有挑战性的问题，对解决问题的反思．单　

元知识总结，最喜欢的一本书，自我评价或他人评价，等等。　

（四）以知识与技能为基础．实现评价内容全面化　

在评价过程中要重视对数学学习过程的评价．既要关注　

学生知识与技能的理解和掌握，又要关注他们情感与态度的　形成和发展：既要关注学生学习数学的结果，又要关注他们在　

数学学习过程中的变化和发展。多元性的评价包括参与数学　

活动的程度、自信心、合作交流的意识、独立思考的习惯、数学　思考发展水平，等等。例如，是否积极主动地参与学习活动，是　

最值问题求法

例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2 +

（b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ）

A．27 B、 18 C、15 D、 12

例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +

1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ）

A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是———————— 。

例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S = 2a－3∣b∣的最大值为------------------- ，最小值为-------------------- 。

（二）、直接运用a2＋b2 ≥ 2ab ( a＋b≥ 2ab )性质求最值。

例题（6）、若X > 0，则函数Y = 3X＋31X＋21XX的最小值。

例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 =316 ，求a的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a、b、c中最大者的最小值 ；○2求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。

例题（9）、求函数Y =

12156322XXXX的最小值。

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。

例题（10）、abcde是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a

例题（11）、求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X－3│＋…＋│X－2003│的最小值。○2，求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X-3│＋…＋│X-2004│的最小值。

解法探究

２０２４

年１月下半月

巧用“将军饮马”模型求解最值问题

◉

哈尔滨师范大学教师教育学院　

李传煜

摘要:最值问题是初中数学常见的问题类型,其题型灵活多变,很多地区的中考试卷中有关动点最值的问题都涉及到

“将军饮马”,因此结合中考试题对最值问题加以探究,解读“将军饮马”基本模型,探究典型的考题类型．

关键词:将军饮马;最值;线段和

最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到

的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结

合特定的数学模型进行解决．

本文中以全国各地中考

题为例,对如何构建“将军饮马”模型求解最值问题进

行了探讨．

１“将军饮马”模型

基本模型:两定点＋

一动点．

图１已知两定点A,

B

在直线l

同一

侧,在直线l

上找一点P,使得

PA＋

PB

最小．

解法:如图１,作点

B

关于直线

l

的对称点B′,连接

AB′

与定直线l

的交点P

即为所求的点,且PA＋

PB

的最小值就等于AB′

的长,其基本原理是“两点之

间线段最短”．

２

模型应用

２．１求线段和的最值

图２例１　(２０２２

年山东德州)如图２,

正方形ABCD

的边长为６,点

E

在

BC

上,CE＝２,

M

是对角线BD

上

的一个动点,求EM＋CM

的最

小值．

分析:由题可知C,

E

是定点,

BD

为定直线,M

是BD

上一动点,且定点C,

E

在

BD

的同侧．

根据以上分析,可以联想到“两定点＋

一

动点”的“将军饮马”模型．

此类问题常通过平移、翻折、

旋转等方法转化为“两点之间线段最短”来求出最小

值．

本题定点C

比定点E

更容易找到其对称点,进而

将同侧两定点转化为异侧两定点,求出EM＋CM

的最小值．

图３解析:如图３,由正方形的性

质,可知点A,

C

关于直线BD

对称．

连接AM,根据对称性可知

AM＝CM．

所以(EM＋CM)

min＝

(

AM＋EM)

min．

根据两点之间线段最短,当

A,

M,

E

三点共线时,AM＋EM

取最小值,即为线段

AE

的长．

因为BE＝４,

AB＝６,所以

AE＝AB２＋BE２＝６

２＋４

２＝２１３．

所以EM＋CM

的最小值为２１３．