(必考题)高中数学必修一第二单元《函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题

1．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）

A．lgyx与21lg2yx

B．211xyx与1yx

C．21yx与1yx

D．yx与logxaya(0a且1a)

2．若函数22(3)8,1,1xaxxfxaxx在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．4,5 B．5,4 C．3,4 D．3,5

3．函数1ln24fxxx的定义域是（ ）

A．2,4 B．2, C．2,44, D．2,44,

4．设函数()yfx的定义域D，若对任意的1xD，总存在2xD，使得121fxfx，则称函数()yfx具有性质M.下列结论：

①函数3xy具有性质M；

②函数3yxx具有性质M；

③若函数8log(2)yx，0,xt具有性质M，则510t.

其中正确的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A．1yx B．yx C．2xy D．||yxx

6．已知函数2()(3)1fxmxmx，()gxmx，若对于任意实数x，()fx与()gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）

A．(1,9) B．(3,+) C．(,9) D．(0,9)

7．若函数22,2()13,22xaxxfxaxx是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为（ ）

A．115,24 B．4,215 C．41,152 D．152,4

8．已知的2()(1)()fxxxxaxb图象关于直线1x对称，则fx的值域为（ ）

A．4, B．9,4 C．9,44 D．0,4

9．符号x表示不超过x的最大整数，如3，1.082，定义函数xxx．给出下列结论：①函数x的定义域是R，值域为0,1；②方程12x有无数个解；③函数x是增函数；④函数x为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知函数1,12,1xmxxfxnx，在R上单调递增，则mn的最大值为（ ）

A．2 B．1 C．94 D．14

11．若函数2()34fxxx的定义域为0m，，值域为2544，，则m的取值范围是（ ）

A．3,42 B．3,32 C．0,4 D．3,2

12．已知函数fx是R上的单调函数，且对任意实数x，都有21213xffx成立，则2020f的值是（ ）

A．202021 B．202021 C．202020202121 D．202020202121

二、填空题

13．已知1()1xfxx，则135199()()()()100100100100ffff______________

14．已知实数0a，函数2,12,1xaxfxxax，若11fafa，则a的取值范围是___________.

15．若fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且20f，则方程0fx

在区间0,6内的解的个数的最小值是__________ .

16．如果定义在区间[3＋a，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a的值为________.

17．若对任意02x，恒有2xaxbc成立，则当c取最小值时，函数24fxxaxbxc的最小值为________．

18．下列给出的命题中：

①若()fx的定义域为R，则()()()gxfxfx一定是偶函数；

②若()fx是定义域为R的奇函数，对于任意的xR都有()(2)0fxfx，则函数()fx的图象关于直线1x对称；

③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；

④若1()2axfxx在区间(2,)上是增函数，则12a；

其中正确的命题序号是__________．

19．已知函数2()10fxxaxa，若“()fx的值域为0,”为真命题，则3f________.

20．设2(),0()1,0xaxfxxaxx，若(0)f是()fx的最小值，是a的取值范围为________________．

三、解答题

21．已知定义在R上的函数()fx的单调递增函数，且对∀x，y∈R，都有()()()1fxyfxfy，f(2)=5.

（1）求f(0)，f(1)的值；

（2）若对11,32x，都有2()(21)1fkxfx成立，求实数k的取值范围.

22．已知函数yfx是1,1上的奇函数，当10x时，2112xfxx.

（1）判断并证明yfx在1,0上的单调性；

（2）求yfx的值域.

23．已知函数()yfx的定义域为D，如果存在区间,abD，使得|(),,,yyfxxabab，则称区间,ab为函数()yfx的一个和谐区间．

（1）直接写出函数3()fxx的所有和谐区间；

（2）若区间0,m是函数3()22fxx的一个和谐区间，求实数m的值；

（3）若函数2()2()fxxxmmR存在和谐区间，求实数m的取值范围．

24．已知函数12()12xxafx是R上的奇函数(a为常数)，22.gxxxmmR+，

（1）求实数a的值；

（2）若对任意12[]1x，，总存在2]3[0x，，使得12()()fxgx成立，求实数m的取值范围.

25．已知函数20fxaxxca满足：①函数14fx是偶函数；②关于x的不等式0fx的解集是,11mm.

（1）求函数fx的解析式；

（2）求函数43gxfxkxkR在1,3上的最小值hk.

26．已知函数()11fxxx．

（1）求()fx的定义域和值域；

（2）设2()()216fxhxx，若不等式231()42hxmam对于任意[1,1]x及任意[1,1]a都恒成立，求实数m的取值范围．

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一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果.

【详解】

A项：函数lgyx定义域为0,，函数21lg2yx定义域为0xx，A错误；

B项：函数211xyx定义域为1xx，函数1yx定义域为R，B错误；

C项：函数21yx值域为1,，函数1yx值域为R，C错误；

D项：函数yx与函数logxaya(0a且1a)定义域相同，对应关系相同，D正确.

故选：D

【点睛】

方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.

2．B

解析：B

【分析】

函数fx在R上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138aa，从而得到答案.

【详解】

函数22(3)8,1,1xaxxfxaxx在R上是增函数，则满足下列条件：

（1）2238yxax在,1递增，2312a，即5a或5a

（2）yax在1,递增，则0a

（3）当1x时满足2138aa，解得34a

综上可得函数fx在R上是增函数，实数a的取值范围是54a

故选：B.

【点睛】

关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138aa，这也时容易出错的地方，属于中档题.

3．C

解析：C

【分析】

先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可.

【详解】

解：因为函数的解析式：1ln24fxxx

所以2040xx，解得24xx

故函数的定义域为：(2,4)4,

故选：C

【点睛】

数学常见基本初等函数定义域是解题关键.

4．C

解析：C

【分析】

根据函数性质M的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.

【详解】

解：对于①：3xy的定义域是R，所以1212()()13xxfxfx，则120xx.

对于任意的1xD，总存在2xD，使得121fxfx，

所以函数3xy具有性质M，①正确； 对于②：函数3yxx的定义域为R，

所以若取10x，则1()0fx，此时不存在2xR，使得12()()1fxfx，

所以函数3yxx不具有性质M，②错误；

对于③：函数8log(2)yx在0,t上是单调增函数，其值域为88log2,log(2)t，

要使得其具有M性质，则88881log2log(2)1log(2)log2tt，即88log2log(2)1t，

解得3(2)8t，510t，

故③正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.

5．D

解析：D

【分析】

利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A中，函数1yx，由幂函数性质知1yx是奇函数，且其在,0,0,两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；

选项B中，函数yx，定义域是0,，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；

选项C中，指数函数2xy，22xx，且22xx，故不是奇函数，故错误；

选项D中，函数22,0,0xxyxxxx，记()yfx，

当0x时，0x，故22(),()fxxfxx，故()()fxfx，

当0x时，(0)0f，故()()fxfx，

当0x时，0x，故22(),()fxxfxx，故()()fxfx，

综上，()yfx是奇函数，又0x时，2()fxx是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()yfx在定义域R上是减函数，故正确.

故选：D.

【点睛】

本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，