第三章刚体定点转动
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第三章刚体定点转动
§3.1定点转动运动学
一、什么是定点转动？ 刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转
动。由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般
以定点为基点。陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方
面）等，都是刚体绕定点转动的实例。它们都只有一
点不动。如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称
轴zO′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕
固结于外悬架的z
z′
N外悬架
内悬架O
图3.1.1 此
，ON轴转动而外悬架又可绕固定轴
Oz转动，此三轴的交点O则是始终不动的，所以这
种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别
1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴
叫转动瞬轴。跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和
刚体内各描绘一个定点在O的锥面，前者叫空间极
面，后者则叫本体极面。刚体绕固定点的转动，也
可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，
如图3.1.2所示。
z
ξηζ
O转动瞬轴
空间极面
本体极面
图3.1.2 2．区别：
（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但
其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动
的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向
都是时间的函数。而定轴转动的角速度方向恒沿着
固定的转动轴，量值可以是时间的函数。 ω
1三、定点转动时刚体上任一点的速度
rdtrdvvvv×==ωυ （3.1.1）
O ω
P r v R
图3.1.3 如图3.1.3所示,刚体上任一点P的运动可以看成是
绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为Rωυ=.
四、定点转动时刚体上任一点的加速度
由加速度的定义知
rrrdtdrrdtdrdtddtdavvvvvvvvvvvvvvvvv2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==
而 Rrrvvvvv22)(ωωωω−=−⋅
则
Rrdtdavvvv2ωω−×= (3.1.2)
上式中的第一项rdtdvv×ω为转动加速度,第二项Rv2ω−为向轴加速度.
例:半径为a的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b的水平轴OA绕竖直轴OE以匀角
速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最
高点P的速度和加速度.
O
EP r
D A
B ω1ω
ω2xy
a R
图3.1.4 b θθ 解: 碾盘绕定点O运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,jaibrPˆˆ+−=v
要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时
角速度的方向为BO方向,且
iabjjiˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则
kbjaibiabjrPPˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vvv.
或用瞬轴法:
2P点速度大小:bPDP12ωωυ=⋅=.
方向:oz轴方向.
加速度: jabibrdtddtdaPPPˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==vvvvvv
3§3.2定点转动刚体对定点的动量矩
一、刚体的动量矩
xyz
OiriPiθiρω
图3.2.1 刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O的
动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O的动量矩之
和（矢量和）。如图3.2.1所示,设刚体上一质量为质点,
位于点,位矢为im
iPkzjyixriˆˆˆ++=v,到瞬时轴的垂直距离
为iP
iρ,刚体定点转动的角速度为kjizyxˆˆˆωωωω++=v,则质
点对定点O的动量矩为 iP
rrmrmrrmmrLiiiiiiiiiiivvvvvvvvvv)()(2⋅−=××=×=ωωωυ
刚体对定点O的动量矩为
(3.2.1) kLjLiLrrmrmLLzyxn
iiiiin
iiˆˆˆ))((121++=⋅−==∑∑==vvvvvvωω
其中
zzzyzyxzxin
iiizin
iiiyn
iiiixyzyzyyyxyxin
iiizin
iiiyn
iiiixyzxzyxyxxxin
iiizin
iiiyin
iiixx
IIIyxmyzmxzmLIIIzymzxmxymLIIIzxmyxmzymL
ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
+−−=++−−=−+−=−++−=−−=−−+=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
=========
)()()(
212111212111212
上式中的为刚体对x,y,z轴的转动惯量. 为惯量积,
其定义如下: zzyyxxIII,,zxxzzyyzyxxyIIIIII,,,,,
)(),(),(212212212in
iiizzin
iiiyyin
iiixxyxmIzxmIzymI∑∑∑===+=+=+=,
. (3.2.2) in
iiixzzxin
iiizyyzin
iiiyxxyzxmIIzymIIyxmII∑∑∑=========111,,,
定点转动的动量矩的方向与角速度的方向一般不同，而定轴转动动量矩的方向与角
速度的方向一致。
为便于记忆，定点转动的动量矩可表示成下面的矩阵相乘形式：
4⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−=⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
zyx
zzzyzxyzyyyxxzxyxx
zyx
IIIIIIIII
LLL
ωωω (3.2.3)
5§3.3定点转动刚体的转动动能
一、 刚体定点转动的转动动能 刚体定点转动的转动动能等于各个质点的动能之和.则
)222(21)(212121)(212121
22211112
xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxzzyyxxn
iiiiin
iiiin
iiin
iiiK
IIIIIILLLLmrrmmmE
ωωωωωωωωωωωωωυωωυυυυ
−−−++=++=⋅=×⋅=×⋅=⋅==
∑∑∑∑
====vvvvvvvvvv
(3.3.1)
推导中用到公式:)()(ACBCBAvvvvvv×⋅=×⋅
二、定点转动转动动能的另一表达式 刚体定点转动的转动动能也可写成
22121122121)()(2121ωρωωωυImrrmmTin
iiiin
iin
iii==×⋅×==∑∑∑===vvvv (3.3.2)
其中I为刚体绕瞬时轴的转动惯量。(3.3.2)式从形式上与定轴转动的表达式没有
区别，但由于瞬时轴随时间变化，因此转动惯量也可能随轴不同。
6§3.4刚体对过定点的任一轴的转动惯量，惯量张量，惯量主轴
一、刚体对过定点的任一轴的转动惯量
设瞬轴与x，y，z三坐标轴夹角的余弦分别为γβα,,，则
γωωβωωαωω===zyx,, (3.4.1)
将(3.4.1)代入(3.3.1)得
2222)222(21ωγαβγαβγβαzxyzxyzzyyxxKIIIIIIE−−−++= (3.4.2)
比较(3.4.2)式与(3.3.2)得刚体对瞬时轴的转动惯量为
γαβγαβγβαzxyzxyzzyyxxIIIIIII222222−−−++= (3.4.3)
上式用于求刚体对过定点，且方位角的方向余弦为γβα,,的瞬时轴的转动惯量。刚
体对轴的转动惯量及惯量积是不变的，因此在计算某瞬时轴的转动惯量时，只要已
知轴的方位，就能方便求出其转动惯量。
二、惯量张量（inertia tensor）
由于瞬时轴相对刚体的位置不断变化，因此刚体对瞬时轴的转动惯量也不断变
化，这样，描述刚体绕定点转动的惯量不能简单地用一转动惯量来描述，而是要用
由9个惯量系数组成的矩阵来描述，这一矩阵叫惯量张量。简言之，惯量张量是描
述刚体绕一点转动惯性的物理量。
(3.4.4) ⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−
zzzyzxyzyyyxxzxyxx
IIIIIIIII
由于xzzxzyyzyxxyIIIIII===,,，因此，惯量张量的9个惯量系数中只有6个是相互
独立的。
三、惯量主轴
1．什么量惯量主轴？
通过适当选择坐标系可使所有惯量积为0，使惯量张量对角化，这样的坐标系
叫该点的主轴坐标系，三坐标轴叫惯量主轴。对于刚体上不同的点，主轴一般是不
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