必修四任意角的三角函数、弧度制、诱导公式讲义
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1 1.1——1.3 任意角的三角函数、弧度制、诱导公式
一、任意角
（一）、角的分类：（
1）正角：按逆时针方向
．．．．．旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向
．．．．．旋转形成的角叫做负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转
．．．．．．．，我们称它为
零角； 说明：零角的始边和终边重合。
（二）、终边相同的角：
所有与角
终边相同的角，和同角
的内，可构成一个集
合S＝{｜＝
＋k×3600
，k∈Z}。注意：（1）对于集合S＝{｜＝
＋k×3600
，
k∈Z}的理解，注意集合中的角
是任意角；集合中的“k∈Z”是一个必不可少的条件；（2）当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同；始边相同，终边相同的角不一
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．定相等；终边相同的角有无数个，它
．．．．．．．．．．．．．．．．们相差
．．．360
．．．0
．的整数倍。
．．．．．（3）终边相同的角表示
方式不唯一。对于集合A＝{｜＝300
＋k×3600
，k∈Z}也可表示为A＝{｜＝－
3300
＋k×3600
，k∈Z} （三）、象限角与轴线角
1、象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2、轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限
．．．．．．．。
（四）、弧度制
1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
．．．．．．．．．．．．．．．．．1
．弧度的角
．．．．；用弧度作为单位来度量角
的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad。
2、度量：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果
半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角
的弧度数的绝对值是｜
｜＝
rl
(其中l是
以角为圆心角时所对的弧长，r是圆的半径，角
的正负由角
终边的旋转方向决定)。 在．
弧度制下
．．．．,
．角的集合与实数集合
．．．．．．．．．R
．之间建立起一一对应的关系
．．．．．．．．．．．．。
3、角度制与弧度制的互化
∵ 360＝2
rad, ∴ 180＝
rad.
∴ 1＝radrad01745.0
180
'185730.57180
1
rad
4、弧度下的弧长公式和扇形面积公式 2 弧长公式： l＝｜
｜r＝
180rn
扇形面积公式：S＝
3602rn＝
2rl＝
22r
例1：下列命题正确的是（ ）
A：第二象限的角必是钝角 B：相等的角终边必相同
C：终边相同的角一定相等 D：不相等的角终边必不相同
【解析】：B
例2：－1120°角所在象限是（ ）
A：第一象限 B：第二象限 C：第三象限 D：第四象限
【解析】：D
例3：已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为（ ）
A：2 B：
1sin2
C：2sin1 D：sin2
【解析】：
422
rllr
l＝2 r＝1，则｜｜＝
rl
＝2，则AB＝2sin1 C
变式练习1：若角
、角
的终边关于y轴对称，则（ ）
A：
＋
＝k
＋
(k∈Z) B：
＋
＝2k
＋
(k∈Z)
C：
＋
＝k＋
2
(k∈Z) D：
＋
＝2k＋
2
(k∈Z)
【解析】：B
与
－
的终边相同，则
＋
＝2k
＋(
－
)＋
＝(2k＋1)
变式练习2：把－
411
表示成
＋2k
(k∈Z)的形式，且使︱
︱的最小的
的值为（）
A：－
43
B：－
41
C：
41
D：
43
【解析】：－
411
＝－2－
43
＝－4＋
45
A
变式练习3：在周长为20的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为（ ）
A：3 B：2 C：4 D：5
【解析】：202rl，l＝20－2r，故S＝
21
r(20－2r)＝r(10－r)≤25 D
变式练习4：已知如图，在四面体ABCD中，DA＝DB＝DC＝1，
且DA、DB、DC两两垂直，在该四面体表面上与点A距离为
332
的点形成一条曲线，则这条曲线的长度为（ ）
A：
33
B
：3
C：
635
D：
23
AC
BD
3
变式练习5：正方体ABCD—A
1B
1C
1D
1的棱长为1，在正
方体表面上与点A距离是
332
的点形成一条曲线，这条曲
线的长度是（ ）
A：
33
B：
23
C
：3
D：
635
【解析】：D
DD1C
1
B
1A
1
A
BC
4
二、任意角的三角函数
（一）任意角的三角函数
1、锐角三角函数：初中所学习的锐有三角函数，如图，在Rt△ABC中，
角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则
sinA＝ca
cosA＝
c
b
tanA＝
ba
00 300 450 600 900
sin 0
21
22
23
1
cos 1
23
22
21
0
tan 0
33
1
3
2、单位圆：在直角坐标中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径
．．．．．．．．的圆为单位圆。 5 3、直角坐标系内用点的坐标表示三角函数。
在平面直角坐标中，设角
的顶点与坐原点重合，始边与x轴的
正半轴重合，终边上一的坐标为P(a，b)，它与原点的距离
OP
＝22ba＞0，则定义三角函数
sin＝
rb
cos＝
ra
tan＝
ab
(a≠0)
特别地，设
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(a，b)
则：sin＝
rb
＝b，cos＝
ra
＝a tan＝
ab
(a≠0)
（二）、三角函数的定义域、值域和三角函数值在
各象限的符号
1、三角函数的定义域、值域
2、三角函数在各象限的符号：简易记法“才”
．．．．．．．正
弦函数y＝sinx在第一象限、第二象限
．．．．．．．．．为正；余弦函数y＝
cosx在第一象限、第四象限
．．．．．．．．．为正；正切函数y＝tanx在第．
一象限、第三象限
．．．．．．．．为正。【对于正弦函数、余弦函数、
正切函数在各象限的正负可用“才”字简记，“横”为
正弦，“竖”为余弦，“切”为撇】
或[函(一)、弦(二)、切(三)、余(四)]
3、同角三角函数的基本关系式
sin2
＋cos2
＝1 tan
＝
cossin
sin
＝
±2cos1
例3：已知角
的终边经过点P(2，－3)，求
的三个函数值。
例4：有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角函数的值相等；（2）终边不同的角的同名
三角函数的值不等；（3）若sin
＞0，则
是第一、二象限的角；（4）若
是第二象限的
角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos＝
22yxx
。其中正确的命题的个数是（ ）
函
数 定 义 域 值 域
y＝sinx R [－1，1]
y＝cosx R [－1，1]
y＝tanx x≠k×1800
＋900
k∈Z R
![2020年高三总复习数学人教旧版-必修4[第1讲 三角函数的概念]讲义(教师版)](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/7bb4ddacbe23482fb5da4c67.webp)
