1. 二阶RC 有源滤波器滤波器是一种选频电路，在输出信号中保留输入信号中特定频率范围的有用信号，抑制其他频率的干扰信号或无用信号。
滤波器的用途非常广泛，在通信、控制、测量等各个领域都有重要的应用，它是电路中不可缺少的功能模块。
最早出现的滤波器是LC 滤波器，其主要优点是噪声低，不用电源，Q 值一般为数百。
但在低频时，电感、电容的体积大、重量重、价格高，而且这种滤波器也没法集成。
随着半导体技术的发展，电子设备日益小型化，各种无感滤波器也相继问世，如晶体滤波器、陶瓷滤波器、有源RC 滤波器等。
尤其是有源RC 滤波器，它能实现低通、高通、带通、带阻、全通等各种滤波器，最大Q 值可达1000，最高频率可达MHz 量级。
有源滤波器具有尺寸小、重量轻，采用集成电路，价格低、可靠性高，可以提供增益，可与数字电路集成在同一芯片上等优点，因而得到广泛的应用。
但有源滤波器的应用也受到以下一些因素的限制：适用频率范围受有源器件带宽的限制，受元件值的容差和漂移的影响较大，灵敏度较高等。
有源RC 滤波器由电阻、电容和有源器件组成，其历史可追溯到20世纪30年代。
然而只有在1965年以后，随着集成运算放大器的出现才受到人们的重视并迅速发展起来。
从原则上讲，有源RC 滤波器是可集成的，而且也有商品，但从单片集成的观点来看，这种滤波器并不令人满意。
原因之一是它需要容量较大的电容，这种电容没法集成到芯片上，而大电阻又占很大的芯片面积。
其次，滤波器的特性参数与RC 时间常数有关，而集成电阻和集成电容的精度很差，准确的时间常数很难获得。
1.1 二阶滤波函数滤波器根据所处理的信号的不同，可分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。
这里只讨论模拟滤波器，它所处理的是时间连续的模拟信号。
滤波器按频率特性分为：低通（LP ）、高通（HP ）、带通（BP ）、带阻（BR ）和全通（AP ）。
通常滤波器是二端口网络，其网络函数称为传递函数。
传递函数的分子、分母都是s 的二次多项式的传递函数称为双二次函数：120122a s a s b s b s b )s (D )s (N )s (H ++++== (7−1)或 2pp p 22z z z 20s )Q /(s s )Q /(s H )s (H ω+ω+ω+ω+= (7−1')式中ωp 和ωz 分别称为极点角频率和零点角频率，Q p 和Q z 分别称为极点Q 值和零点Q 值。
ωp 和Q p 决定了双二次函数的极点，即在滤波器设计中常取共轭复数极点，这时有Q p >0.5。
在s 平面上，极点与原点之间距离等于ωp ，当ωp 一定时，参数Q p 便决定了极点与j ω轴的距离，从而决定了滤波器的选择性。
Q p 值越高，极点距j ω轴越近，滤波器的选择性越好。
传递函数分子多项式的系数决定了双二次传递函数的传输零点，进而决定了双二次函数的滤波类型。
一．低通滤波器(Low Pass)低通滤波器传递函数分母多项式D(s)的次数高于分子多项式N(s)的次数。
当分子为常数时称为全极点函数。
二阶低通滤波器的传递函数为2pp 22p0s )Q /(sH )s (H ω+ω+ω=(7−2)极点角频率ωp 常称为无阻尼固有角频率，或特征角频率；H 0是滤波器的直流增益。
理想低通滤波器的幅频特性曲线在通带内幅度恒定，在阻带内幅度为0，如图7.1(a)所示，显然这样的特性是不可能用电路实现的。
实际低通滤波器的特性总是出现不断下降的过渡带，如图7.1(b)所示。
图中ωc 是指增益下降3dB （即幅频特性|H(j ω)|下降至峰值的0.707倍）对应的角频率。
率H 0减δ内，在过渡带(ωc <ω<ωs )内应快速衰减。
当Q>0.707时，幅频曲线出现极值，Q 值愈高，对应极值点角频率ωmax 愈接近极点角频率ωp ，如图7.2所示。
工程上，特性曲线纵轴通常取对数坐标：20log|H(j ω)|。
当Q>5时，可认为ωmax ≈ωp 。
当ω>>ωp 时，二阶低通滤波器的幅频特性为由此可知，当工作频率很高时特性曲线按40dB/dec 衰减。
二．高通滤波器(High Pass)高通滤波器传递函数分子、分母多项式次数相同，其二阶传递函数为2pp 220s )Q /(s s H )s (H ω+ω+=(7−3)二阶高通滤波器理想特性见图7.3(a)所示。
同样，实际滤波器的特性曲线是连续变化的，如图7.3(b)所示。
|H(j ω)|出现极值，如图7.4所示。
三．带通滤波器(Band Pass)通常带通滤波器的传递函数有一半零点位于s=0处，另一半零点位于s=∞处，由于极点与零点数应相同，所以极点数总是为偶数。
二阶带通滤波器的传递函数为2pp 2p 0s )Q /(s s )Q /(H )s (H ω+ω+ω=(7−4)其理想频率特性和实际频率特性如图7.5(a)、(b)所示，容差图如图7.5(c)所示。
带通滤波器具有两个阻带，分别为下阻带(0≤ω≤ωs1)和上阻带(ω≥ωs2)。
一般并不要求带通滤波器具有对称性，在上、下阻带及过渡带的衰减也可以不一样。
实际频率特性幅值最高处的角频率为ωp 。
通带左右端的截止角频率分别为ωc1、ωc2，带宽定义为BW=ωc2−ωc1(1-δ图7.3 二阶高通滤波器幅频特性及容差图(a)0.707H (b)(a) 图7.1 二阶低通滤波器幅频特性及容差图(b)(1-δ1δ220 10 0 -10-20 -30 -400.1110ω/ωp 图7.2 不同Q 值幅频特性20 10 0-10-20 -30 -400.1110/ωp图7.4 不同Q 值幅频特性几何中心角频率定义为几何中心角频率ωp 与带宽BW 的比值即为带通滤波器的品质因数 Q 表示频率响应曲线的尖锐程度，Q 越大，带宽越窄，选频性能越好。
带阻滤波器有上下二个通带。
零点为s 1=j ωz ，s 2=−j ωz ，当ωz =ωp 时，幅频特性左右对称，如图7.6(a)所示。
当ωz >ωp 时，为低通陷波器，幅频特性如图7.6(b)所示；当ωz <ωp时，为高通陷波器，幅频特性如图7.6(c)所示。
五．全通滤波器(All Pass)前面考虑的主要是幅频特性，而对滤波器的相频特性未考虑。
在音频应用场合，由于人耳对相位畸变不十分敏感，相频特性不像幅频特性那么重要，但在视频和数字传输中，滤波器引入的相位变化会在信号的时域波形中导致无法容许的失真。
为了取得无失真视频传输，相位函数必须随频率线性变化，即时延为一常数。
2pp 22p0s )Q /(s H )s (H ω+ω+ω= (7−6) 全通滤波器对所有频率的幅值恒为H 0。
如果s k 是H(s)的极点，那么−s k 就是H(s)的零点，所以全通函数的极点都在s 平面的左半平面，而零点位于s 平面的右半平面。
相位在ω=0～∞的范围内变化2π弧度，可用作相位延迟和相位校正。
1.2 运放的时间常数常用运算放大器和RC 元件来构成有源滤波器，所以需要考察运放的频率特性。
理想运放模型取运放的增益为无穷大，但实际运放的增益只能是有限值，而且与频率有关。
实际运放的开环增益可以近似用单极点传递函数表示c/s 1A )s (A ω+=(7−7)式中A 0为运放的直流增益，一般可达100dB 。
ωc 为3dB 截止角频率，f c =ωc /2π一般很小，只有几赫兹至几十赫兹。
当电路工作频率较高，即ω>>ωc 时，则上式近似简化为τ=ω≈s 1s A )s (A c 0 (7−8) A 0ωc 的倒数定义为运放的时间常数τ，理想情况下τ为0。
运放的非理想特性对有源RC 滤波器的分析和设计带来一定的复杂性。
一般情况下运放的输入电阻和输出电阻对滤波器性能的影响较小可以不考虑，但当滤波电路的截止频率f c 达到运放A 0f c 的1/100时，需要考虑运放的时间常数对电路的影响。
设理想滤波电路的频谱函数为(a) (c)(b) 图7.6 二阶带阻滤波器特性-δ1)H δ2图7.5 二阶带通滤波器特性及容差图 (a) (b) (c)而实际滤波电路的频谱函数可表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωω∆+ω=ω)j (H )j (H 1)j (H )j (H ~(7−9) 实际电路产生的频谱函数的微变量为 将上式代入式(7−9)得⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωϕ∆+ωω∆+ω=ω)(j |)j (H ||)j (H |1)j (H )j (H ~(7−10)上式表明，实际传递函数误差的实部为幅值的相对变化量，虚部为相位的变化量。
下面分析运放的时间常数τ对一些常用电路的影响。
一．同相放大器同相放大器电路如图7.7所示，根据电路可得电压关系式 由此得式中K=1+R 1/R 2。
在理想情况下，A →∞，H(s)=K当K ωτ<<1，即工作频率不高时，可得近似频域函数为上式中忽略了τ2项。
对比式(7−10)可知，频谱函数的幅值、相位的变化量运放的时间常数对同相放大器的幅度没有影响，可使相位产生误差，且是随着频率的增加，误差增大。
当电路的工作频率增加到接近运放的A 0f c 时，电路的特性明显变坏。
二．反相放大器反相放大器电路如图7.8所示，其输入输出关系式为 式中K=R 2/R 1。
当电路的工作频率较低，考虑运放时间常数影响时 所以幅值、相位变化量为 三．反相积分器反相积分器电路如图7.9所示，根据电路可列出电路方程为 代入A(s)=1/s τ整理后得式中H(s)=−1/sRC ，运放τ引起的频谱函数变化量 对于由多个积分器构成的有源RC 相位误差对电路特性的影响要比幅值误差的影响严重得多。
为了减小非零τ值的影响，可采用无源补偿或有源补偿方法。
一种有源补偿反相积分器如图7.10所示，设两个运放的时间常数分别为τ1和τ2，其电路方程为 以上式子中消去U 1(s)和U 1(s)并整理后得式中ωc =1/RC ，通常应用同一芯片上两个运放，而同一芯片上的运放可取τ1=τ2=τ，则有 式中H(s)=−1/sRC ，对比式(7−10)可得由此可知，图7.9所示反相积分器经有源补偿后可使相位变化为0。
1.3 有限增益正反馈滤波器实现双二次传递函数的有源滤波器称为双二次型有源滤波器，它是用级联法实现高阶滤波器的基本u i图7.7 同相放大器 u o图7.10 具有补偿的反相积分器组成环节，所以常简称为“二阶节”。
二阶节还作为主要模块用于多环反馈结构的有源滤波器中，在滤波器性能要求不高的情况下，也可单独使用。
二阶节可由一个或多个运放与R 、C 元件构成。
实现二阶节的单运放二阶RC 有源滤波器主要有两类：有限增益正反馈滤波器和无限增益多路负反馈滤波器。
将作为反馈路径的RC 网络接至运放的同相输入端，并引入负反馈使增益有限，由此构成了有限增益正反馈型有源二阶滤波器。
