(北师大版)北京市必修二第二章《解析几何初步》测试(答案解析)

一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．7C．22D ．33．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（ ）A ．23π B ．2πC ．2π D ．π4．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是（ ）A ．334B ．324C ．332D ．3225．若等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则关于,x y 的二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组有唯一解B ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组无解C ．当且仅当23q =-时，方程组有无穷多解 D ．当且仅当23q =-时，方程组无解 6．已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．221-B ．221+C ．422-D ．422+7．在空间四边形ABCD 中，AB BC =，AD DC =，则对角线AC 与BD 所成角的大小是（ ） A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．308．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π9．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（ ） A ．GH 平分EF ，BH AGHC GD = B ．EF 平分GH ，BH GDHC AG = C ．EF 平分GH ，BH AGHC GD= D ．GH 平分EF ，BH GDHC AG= 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则（ ）A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+ C ．8,16253V L ==+ D ．8,1625VL ==+11．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．312．平行六面体1111ABCD A BC D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.15．若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.16．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()254B x m y m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭外切，则实数m 的值为______________.17．直线y x b =+与曲线21x y =-有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是______. 18．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点AB 、间的距离为2，动点P 满足3PA PB=，当,,P A B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是_______________.19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，2AB ，且π2BAC ∠=，则球O 的表面积为_______．21．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．22．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =+m n α，其中m ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．23．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．24．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.三、解答题25．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.26．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.27．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 28．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C D ，的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P 的位置．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．B解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -=- 故选：B ． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．3．D解析：D 【分析】把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可. 【详解】把正四面体ABCD 放在正方体AFCE HBGD -中，并建立如图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为a ，因为正四面体ABCD 的棱长为422422a a a +=⇒=因此相应点的坐标为：(0,00),(22,0,22),(22,22,0),(0,22,22)D A B C ，， 因为N 是CD 上的动点，所以设点N 的坐标为：(0,,)n n ，设AM mAB =，000(,,)M x y z ，因此有000(22,,22)(0,22,22)x y z m --=-， 因此00022,22,2222x y m z m ===， 设MN 中点为(,,)P x y z ，因此有：22222222(1)2222222222x x m n y m n y m n z m n z ⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪+⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩+=⎪⎪⎩， 因为3MN =，222(22)(22)(2222)3m n m n +-+--=，化简得：22(22)(2222)1(2)m n m n -+-=，把(1)代入(2)中得：221(2)(2)4y z +=，显然 MN 中点的轨迹是圆，半径为12，圆的周长为：122ππ⋅=. 故选：D 【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.4．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(2A ，0，0)，(1E ，2，0)，(0F ，2，1)，1(2A ，0，2)，(1AE =-，2，0)，(2AF =-，2，1)， 设平面AEF 的法向量(n x =，y ，)z ，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1y =，得(2n =，1，2)， 设(P a ，2，)c ，02a ，02c ，则1(2A P a =-，2，2)c -， 1A P 平行于平面AEF ，∴12(2)22(2)0A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=，∴线段1A P 长度222222139||(2)2(2)(2)4(1)2()22A P a c a a a =-++-=-++--+当且仅当32a c ==时，线段1A P 32 故选：D ． 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.5．C解析：C 【分析】消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+，利用等比数列的性质可知14230a a a a -=， 讨论4332a a +，得到选项.【详解】解方程组，132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩，消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+数列{}n a 的公比为q (0)q ≠的等比数列，14230a a a a ∴-=，当43320a a +=，即4323a q a ==-时，方程组由无穷多解， 当43320a a +≠，即23q ≠-时，方程组无解. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质和方程组解的情况，意在考查讨论的思想和变形能力，属于基础题型.6．C解析：C 【分析】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，根据题意，求出1OM =，再由2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，得到PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP取最小，根据点到直线距离公式，求出OP 的最小值，即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且AB =，所以12OM ==⎝⎭，又2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥- 因此，PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP取最小， 又点P为直线40x y +-=上的任意一点， 所以点O 到直线40x y +-=的距离，即是min OP ，即min OP ==因此minmin 11PMOP =-=，即minmin2422PA PB PM+==-.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.7．A解析：A 【分析】取AC 中点O ，根据条件分析AC 与平面BOD 的位置关系，由此得到异面直线AC 与BD 所成角的大小.【详解】取AC 中点O ，连接,,BO DO BD ，如图所示：因为AB BC =，AD DC =，所以,BO AC DO AC ⊥⊥，且BO DO O =，所以AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，所以AC BD ⊥， 所以AC 与BD 所成角为90︒， 故选：A.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是通过找AC 中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.8．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．9．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点， 所以0BH AGHC GD==，EF 平分GH ，即BH AGHC GD=，所以舍去ABD ，选C 故选：C10．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．11．C解析：C 【分析】首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点F ，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值. 【详解】延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.12．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1AO ⊥平面11AB D ， 所以2222221111111111,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11AO ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键 5【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则22552(1)d ==+- 5【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程15．【分析】联立解得交点代入可得：再利用两点之间的距离公式二次函数的性质即可得出【详解】解：联立解得把代入可得：点到原点的距离当时取等号点到原点的距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了两条直线的交点【分析】 联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出． 【详解】解：联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n 到原点的距离5d ，当2n =-，1m =-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．16．0或16【分析】根据分层抽样的性质得出的值从而得出圆的方程根据圆与圆的位置关系即可得出实数的值【详解】由分层抽样方法知所以分别为所以圆的圆心为（86）半径为5圆的圆心为半径为5由两圆外切知：解得或故解析：0或16 【分析】根据分层抽样的性质得出,,a b c 的值，从而得出圆A 的方程，根据圆与圆的位置关系，即可得出实数m 的值. 【详解】由分层抽样方法知，400:300:2508:6:5=，所以,,a b c 分别为8,6,5 所以圆A 的圆心为（8,6），半径为5，圆B 的圆心为3(,)4m m ，半径为5 由两圆外切知：223(8)(6)554m m -+-=+，解得0m =或16m =. 故答案为：0或16 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用以及由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.17．或【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆进而画出图象来要使直线与曲线有且只有一个交点那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切交曲线与和另一个点以及与曲线交于点分别求出则的解析：11b -<≤或2b =- 【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况，分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线与()0,1-和另一个点，以及与曲线交于点()0,1，分别求出b ，则b 的范围可得. 【详解】解：由曲线21x y =-，可得()2210x y x +=≥，表示一个半圆.如下图可知，()0,1A ，()10B ,，()0,1C -， 当直线y x b =+经过点A 时，10b =+，求得1b =； 当直线y x b =+经过点B ，点C 时，01b =+，求得1b =-； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12b =，求得2b =-或2b =（舍），故b 的取值范围为11b -<≤或2b =-.故答案为：11b -<≤或b =. 【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，体现了数形结合的思想方法，属于中档题.18．【分析】首先求动点的轨迹方程再根据圆的性质求三角形面积的最大值【详解】以所在直线为轴的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系则化简为：整理为：圆是以为圆心半径当点到的距离最大时三角形面积最大距离的最大值是解析：34【分析】首先求动点P 的轨迹方程，再根据圆的性质求三角形面积的最大值. 【详解】以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(),P x y3= ，化简为：()()22221919x y x y ++=-+ ，整理为：2259416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆是以5,04⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径34r =，2AB =，∴当点P 到AB 的距离最大时，三角形PAB 面积最大，距离的最大值是34r =， 面积的最大值是1332244S =⨯⨯=. 故答案为：34【点睛】本题考查轨迹方程，与圆有关的面积的最值，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由23,2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===， 由3PE =，23PA =，得23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以 解析：6π【分析】经分析，正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥，可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的，可借助于正方体的外接球求解. 【详解】正三棱锥A BCD -中，π2BAC ∠=， 所以△BCD 为底面，且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的， 所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球. 设外接球的半径为R ,所以232R =⨯, 所以外接球的表面积为246S R ππ==． 故答案为：6π 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．21．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CD A CD SA B S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理. 22．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径．【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以(21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==+a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=． 设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ，则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 66【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．23．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径 解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】 解：因为42BC =，8AC =，AB BC ⊥，所以42AB =，又因为4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，22DE =，22DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 224EP DP DE =+=， 所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.24．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面 解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角， 所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠， 令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+， 当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角M BC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角MBC A --的4倍，进而可求得结果. 三、解答题25．（1）200π（2）80【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可.【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形，所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ，则R ==24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==，在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△ 11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.26．（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案.【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点， ,,AB DA BH AE HBA EAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥，因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，因为2PA AD ==，所以PD =DE在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅，所以4DG =DG =所以在Rt PDG △中，sin 5DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.27．（1）证明见解析；（232211 【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，证明AF ⊥平面DEB ；即可推出AF DB ⊥；（2）先由题意，得到AEB △是等腰直角三角形时，三棱锥D ABE -体积最大，设点C 到平面EBD 的距离为h ，由C DBE E CBD V V --=，根据等体积法，即可求出结果.【详解】（1） EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥，AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，AE ⊂平面DAE ，DA ⊂平面DAE ，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，EB ⊂平面DEB ，DE ⊂平面DEB ，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ， AF DB ∴⊥； （2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即12AEB EA EB S=⋅最大， 因为211222AEB EA EB B S EA E ⎛⎫+=⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当EA EB =相等时，等号成立； 即AEB △是等腰直角三角形时，AEB △的面积最大； 3DA =，2AB =，2BE ∴=()223211DE =+=点E 到平面ABCD 的距离112AB =， 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则C DBE E CBD V V --=，即11112113213232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得：32211h =. 【点睛】方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m ⋅=.28．（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P 为AM 中点．【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM ⊥平面ADM ；（2）首先作辅助线，连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，，在ACM △中，利用中位线，证明线线平行，说明线面平行，同时得到点P 的位置.【详解】连结CM ，（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， AD ∴⊥半圆面,CMD AD ∴⊥平面MCD ．CM 在平面MCD 内，AD CM ∴⊥，又M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，CM MD ∴⊥．又,AD DM D CM ⋂=∴⊥平面ADM CM ，在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM ．（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；。

一、选择题1．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO 的最大值是22．如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴,,Ox Oy Oz 上，则定点D 的坐标为（ ）A ．()1,1,1B ．2,2,2C ．3,3,3D ．()2,2,23．已知点P 是直线:3420l x y +-=上的一个动点，过点P 作圆()()222:23C x y r +++=的两条切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，若MPN ∠的最大值为120°，则r 的值为（ ） A 3B ．3C ．4D ．64．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤B ．12k ≥-C ．1322k -≤≤ D ．12k ≤-或32k ≥ 5．若直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6，则4b aab+的最小值为（ ） A ．32 B ．322+C ．5D ．76．直线3y x m =+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．3,2)B ．3,3)C ．323⎝⎭D ．23⎛ ⎝⎭7．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行；②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．964π B ．934π C ．962π D ．93π 9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．2610．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π11．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．已知圆2260x y x +-=，过点1,2的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______. 14．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.15．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．16．经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 两点关于直线0x y +=对称，则20182019k m -=______.19．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11B C CB 所成角的正弦值是______.20．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值为32，则这个球的表面积为______. 21．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.22．在正三棱锥S ABC -中，23AB =，4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为_________.23．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =，则三棱锥P ABC -的体积为_____________.24．如图在长方形ABCD 中，AB 6=BC 2=E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起．使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ．则K 所形成轨迹的长度为_____．三、解答题25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD 上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V，求12V V . 26．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．27．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值.28．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=， 当a 变化时，0x =，1y =恒成立， 所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立， 所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确. 对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2:10l x ay ++=， 得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立， 故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以MO ==≤， 所以MOD 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题.2．A解析：A 【解析】的正四面体ABCD 可以放到正方体中，已知D 点、O 点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为()1,1,1，选A.3．B【分析】由切线得四边形PMCN 的性质，要使得MPN ∠最大，则PC 最小，PC 的最小值即为圆心C 到直线的距离，再由已知角的大小可求得r ． 【详解】由题意,PM PN CM CN r ===，sin MC rCPM PC PC∠==，2MPN MPC ∠=∠，所以MPN ∠最大时，PC 最小． 由题意知min 223(2)4(3)2434PC ⨯-+⨯--==+，又120MPN ∠=︒，所以sin 604r=︒，23r =． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，过圆外一点P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 是两切点），C 是圆心，则PC 是四边形PMCN 的对称轴，90PMC PNC ∠=∠=︒，P 点对圆的张角MPN ∠取得最大值时，PC 最小． 4．D解析：D 【分析】直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，分别求出PM k 和PN k ，结合图形，可求出答案. 【详解】由题意，直线10kx y k ---=可化为()110k x y ---=，令1x =，得1y =-，即该直线过定点()1,1P -，111312PM k +==---，213312PN k +==-，所以当12k ≤-或32k ≥时，直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段故选：D. 【点睛】本题考查了直线系方程的应用，以及过两点的直线的斜率的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．B解析：B 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即12ab +=，再由基本不等式即可得解. 【详解】由题得圆的方程可以化为22(2)(1)9x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为3r =， 因为直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6， 所以直线经过圆心，所以2440a b +-=，即12ab +=，所以441433322b a a b a b ab a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当41a b =-=时取等号，所以4b aab +的最小值为3+ 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．D解析：D 【分析】求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 【详解】 解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =1=，解得：m =或m =（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为2313m<<．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．7．C解析：C【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】对于A，若直线AB与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB平行，错误；对于B，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB Mα=，过平面α外直线AB上一点P作PCα⊥，垂足为C，则在平面α内过点C一定可以作一条直线CD，使得CD CM⊥，所以CD AB⊥，而在平面α内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，若直线AB与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，正确；对于C，若直线AB与平面α相交，设AB Mα=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M的直线与直线AB异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB异面，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB异面，正确；对于D，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB Mα=，过平面α外直线AB上一点P作PCα⊥，垂足为C，所以平面ABC与平面α垂直，若直线AB与平面α垂直，则过直线AB的所有平面都与平面α垂直，当直线AB与平面α平行时，在直线AB上取一点P作PCα⊥，垂足为C，所以平面ABC与平面α垂直，正确．故真命题的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．8．A解析：A【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====，所以22361832BE CE CB =-=-=，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=， 所以曲面面积为1961868ππ⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 9．A解析：A 【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值，因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M =， 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥， 则222211111(2)3M B A A M B =+=+=，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.10．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R = 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．11．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．2【分析】由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系求出弦长的最小值即圆心到直线的距离的最大时而当直线与垂直时最大求出的最大值进而求出弦长的最小值【详解】由圆的方程可得圆心坐标半径；设解析：2 【分析】由相交弦长||AB 和圆的半径r 及圆心C 到过(1,2)D 的直线的距离d 之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD 垂直时d 最大，求出d 的最大值，进而求出弦长的最小值． 【详解】由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =；设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时弦长||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，这时||d CD ==所以最小的弦长||2AB =， 故答案为：2 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，弦长||AB 最小. 与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答.14．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程15．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.16．或【分析】直接求两直线的交点与等距离的直线一条过AB 的中点一条平行AB 【详解】两直线和的交点为的中点为因为所求直线过且与等距离故所求直线过的中点或与直线平行当直线过的中点时直线方程为即当直线与直线平解析：790x y +-=或210x y ++= 【分析】直接求两直线的交点，与(3,2),(1,6)A B --等距离的直线，一条过AB 的中点，一条平行AB . 【详解】两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点为(2,5)-，(3,2),(1,6)A B --的中点为(1,2)，因为所求直线过(2,5)-且与()3,2A -，()1,6B -等距离， 故所求直线过AB 的中点或与直线AB 平行，当直线过AB 的中点时，2(5)712k --==--， 直线方程为27(1)y x -=--，即790x y +-=，当直线与直线AB 平行时，26823(1)4k ---===---，直线方程为52(2)y x +=--，即210x y ++=. 故答案为：790x y +-=或210x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.17．【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆的上半圆解析：15【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．2【分析】由圆的方程得出圆心坐标根据圆的对称性可知直线通过圆心得出再由直线与直线相互垂直得出代入求解即可【详解】方程一定表示圆则圆心坐标为根据圆的对称性可知直线通过圆心则MN 两点关于直线对称直线与直解析：2 【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线0x y +=通过圆心，得出k m =-，再由直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直，得出1k =，代入20182019k m -求解即可. 【详解】22160k m ++>∴方程2240x y kx my +++-=一定表示圆则圆心坐标为,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 根据圆的对称性可知，直线0x y +=通过圆心 则022k mk m --=⇒=- M 、N 两点关于直线0x y +=对称∴直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直(1)11k k ∴⨯-=-⇒=20182019201820191(1)112k m ∴-=--=+=故答案为：2 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的应用以及由直线与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.19．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的解析：10【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11B C CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B A C ==，111A D B C ∴⊥， 又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11B C CB ，1A B ∴在平面11B C CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+= 111Rt B A C 中，1112212122B C A D ===，1Rt A BD ∴中，1112102sin 5A D A BD AB ∠===10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.20．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：254π【分析】先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果. 【详解】根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为()2213333322S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，ABC 外接圆的半径为131260r ==，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==；由于底面积ABCS不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ⋅=，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即2221(2)R R =+-，54R ∴=， 则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：254π. 【点睛】 思路点睛：求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解.21．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 82π取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积.【详解】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B O C O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==,所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==， 所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=， 故答案为：823π. 【点睛】解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.22．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的 21取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===，227EF DE DF =+=，故321cos 77DE DEF EF ∠===，进而得答案. 【详解】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，依题意：//l BC ，//DE BC ，所以//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥，又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ，所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥.因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点，所以//DF SA .所以DE DF ⊥.Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB === 所以227EF DE DF +.所以321cos 7DE DEF EF ∠===.故异面直线l 和EF 所成角的余弦值为：217 故答案为：217 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题. 23．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查 解析：38【分析】作BH PA ⊥于H ，可证得PA ⊥平面BCH ，得60BHC ∠=︒，得等边三角形BCH ，利用PA 是球的直径，得PB AB ⊥，然后计算出BH ，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合，∴PAB PAC ≅△△，作BH PA ⊥于H ，连接CH ，则,CH PA CH BH ⊥=，60BHC ∠=︒，∴BC BH CH ==．又PA 过球心，∴PB AB ⊥，而2,3PA PB ==，∴1AB =，同理1AC =，313PB AB BH PA ⋅⨯===，223333344216BCH S BH ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 由BH PA ⊥，CH PA ⊥，CHBH H =，得PA ⊥平面BCH ， ∴11333233P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△． 故答案为：38．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BH PA ⊥于H ，利用旋转重合，得PA ⊥平面BCH ，这样只要计算出BCH 的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC ∠=︒，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60︒，即为60CAB ∠=︒．旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒．应用作出二面角的平面角． 24．【分析】由题意分析可得可知K 所形成轨迹为一个圆弧求出圆心角再求弧长即可【详解】由题意D′K ⊥AE 所以K 的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K 设AD′的中点为O ∵长方形ABCD′中ABBC ∴∠D′AC 解析：23π 【分析】 由题意分析可得DK AE ⊥可知K 所形成轨迹为一个圆弧,求出圆心角再求弧长即可.【详解】由题意,D ′K ⊥AE ,所以K 的轨迹是以AD ′为直径的一段圆弧D ′K ,设AD ′的中点为O , ∵长方形ABCD ′中,AB 6=,BC 2=, ∴∠D ′AC ＝60°,∴∠D ′OK ＝120°23π=, ∴K 所形成轨迹的长度为222323ππ⨯=,2 【点睛】 本题主要考查了空间中的轨迹问题,主要是找到定量关系分析轨迹,属于中等题型.三、解答题25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1227V V =. 【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需证明线线平行，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，证明//MN AT ；（Ⅱ）利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.【详解】（Ⅰ）如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN .因为N 为PC 的中点，所以TN //BC ，且122TN BC ==. 又因为223AM AD ==，且//AD BC ， 所以TN //AM ，TN AM =，即四边形AMNT 为平行四边形，所以MN //AT ，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）设四棱锥P ABCD -的高为h ，AD 与BC 间的距离为d .则()21117343326ABCD V h S h d hd =⨯⨯=⨯+=梯形， 11114323223BCM h h hd V S d =⨯⨯=⨯⨯⨯=△ 因此1227V V =. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.26．723S =侧.【分析】过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案.【详解】如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ，所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C EEF E =，所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，()11293322CE CO EO CO C O =-=-=⨯-=， 又2sin 453232EF CE =⋅=⨯=， ∴高()22231132333C F C E EF =+=+=， ∴()1393347232S =⨯+⨯⨯=侧．【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.27．（1）证明见解析；（2）33. 【分析】(1)用分析法：要证平面NMC ⊥平面NCD ，只需证明CD ⊥平面NMC ，只需CM CD ⊥和NM CD ⊥；(2)由(1)的证明，以M 为原点，MB ，MD ，MN 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系M xgz -，用向量法计算.【详解】解：（1）如图，梯形ABCD 中，过点C 作CH DM ⊥于点H ，连接CM ，。

一、选择题1．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1BC．D ．32．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） ABC．D．3．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）A ．210x y --=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．210x y -+=4．若等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则关于,x y 的二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组有唯一解B ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组无解C ．当且仅当23q =-时，方程组有无穷多解 D ．当且仅当23q =-时，方程组无解 5．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭7．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111DC B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（） A ．30B ．45C ．60D ．908．在正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是梭BC，CD 的中点，则1A F 与1C E 所成角的余弦值为（）ABC D 9．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3⎤⎦B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,410．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．567B ．527C ．497D ．14711．已知四面体ABCD ，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．73π B ．7π C ．712π D ．79π 12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（ ）A ．32B ．62C 322D ．34二、填空题13．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()254B x m y m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭外切，则实数m 的值为______________.14．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.15．若圆()()2234x a y a ++--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为______.16．函数2291041y x x x =+-+_________.17．若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.18．已知点()3,2A ，()2,3B -，直线():32260l k x y k ---+=.若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是________.19．已知三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积为12π，PA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，2PA =，则ABC 面积的最大值为__________．20．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.21．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________.22．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=AB ，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 23．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．24．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，23AB AC ==，2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.三、解答题25．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90DBA ∠=︒，2BA BD ==，10,,PA PD E F ==分别是棱,AD PC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若二面角P AD B --为60︒，求点B 到平面PAD 的距离.26．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ； （2）求H 到平面AEC 的距离．27．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.28．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//AB EF ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -=- 故选：B ． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．2．C解析：C 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为2d = 所以公共弦长为：22222l r d =-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】圆1C ：221x y +=的圆心坐标为(0,0)，圆2C ：()()22124x y -++=的圆心为(1,2)-，由题得线段AB 的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以02201AB k +==--, 所以线段AB 的垂直平分线为02(0),20y x x y -=--∴+=. 所以线段AB 的垂直平分线为20x y +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.4．C解析：C 【分析】消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+，利用等比数列的性质可知14230a a a a -=， 讨论4332a a +，得到选项. 【详解】解方程组，132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩，消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+数列{}n a 的公比为q (0)q ≠的等比数列，14230a a a a ∴-=，当43320a a +=，即4323a q a ==-时，方程组由无穷多解， 当43320a a +≠，即23q ≠-时，方程组无解. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质和方程组解的情况，意在考查讨论的思想和变形能力，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6．D解析：D 【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围. 【详解】解：直线l 的斜率为2212121121y y m k m x x --===---，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.7．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则1111AD AB B D ==， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．D解析：D 【分析】延长DA 至G ，使AG CE =，可证11//AG C E ，得1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）．在1AGF △中，由余弦定理可得结论． 【详解】延长DA 至G ，使AG CE =，连接1,GE GA ,GF ，11,AC AC ， 又//AG CE 所以AGEC 是平行四边形，//,GE AC GE AC =， 又正方体中1111//,AC AC AC AC =， 所以1111//,AC DE AC DE =，所以11AC EG 是平行四边形，则11//AG C E ，所以1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）． 设正方体棱长为2，在正方体中易得15AG =，10GF =，22222112(21)3A F AA AF =+=++=，1AGF △中，2221111125cos 2253AG A F GF GA F AG A F +-∠===⋅⨯⨯． 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法： （1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论； （2）建立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角．9．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE中，利用三边关系求解即可. 【详解】由题意得BC x =，则212x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴2114AE x =-21x AD +=在ADE 中，由三边关系得：22111124x x +>-，22111124x x +<-，③0x >；由①②③可得03x << 故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.10．A解析：A 【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，由214AB AC ==27BC =72cos 4214ACB ∠==，则14sin 4ACB ∠=，21428sin 14AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，又1114sin 2142777224ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的15677783P ABC V -=⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．11．A解析：A 【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323， 所以直三棱柱的外接球的半径221372312r， 则球O 的表面积2277π4π4π123S r ， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.12．A解析：A 【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可． 【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=， 在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = ∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=二、填空题13．0或16【分析】根据分层抽样的性质得出的值从而得出圆的方程根据圆与圆的位置关系即可得出实数的值【详解】由分层抽样方法知所以分别为所以圆的圆心为（86）半径为5圆的圆心为半径为5由两圆外切知：解得或故解析：0或16 【分析】根据分层抽样的性质得出,,a b c 的值，从而得出圆A 的方程，根据圆与圆的位置关系，即可得出实数m 的值. 【详解】由分层抽样方法知，400:300:2508:6:5=，所以,,a b c 分别为8,6,5 所以圆A 的圆心为（8,6），半径为5，圆B 的圆心为3(,)4m m ，半径为5 223(8)(6)554m m -+-=+，解得0m =或16m =. 故答案为：0或16 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用以及由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.14．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要 解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.15．【分析】到原点的距离为1的轨迹为根据题意知两圆相交计算圆心距和半径关系得到答案【详解】到原点的距离为1的轨迹为根据题意知两圆相交故圆心距满足解得故答案为：【点睛】本题考查了根据圆和圆的位置关系求参数 解析：3,0【分析】到原点的距离为1的轨迹为221x y +=，根据题意知两圆相交，计算圆心距和半径关系得到答案. 【详解】到原点的距离为1的轨迹为221x y +=，根据题意知两圆相交，故圆心距d =满足2112d -<<+，解得30a -<<. 故答案为：()3,0-. 【点睛】本题考查了根据圆和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将2291041y x x x =++-+变形为()2222354y x x =++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.17．3【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化与划归数解析：3 【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为()2,0-，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出,a b ，即得解.【详解】根据题意22410x y x ++-=的圆心为：()2,0-，若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于()1,2P -，则有2301,2302()1(2)(1)a b a b a b a b -+-=⎧⎪∴==∴+=-⎨⨯-=-⎪---⎩故答案为：3 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】首先求出直线恒过定点表示出直线的斜率再结合图形即可求出参数的取值范围【详解】解：因为直线所以令解得故直线恒过点直线的斜率为则依题意直线与线段有公共点由图可知或解得或即故答案为：【点睛】本题考解析：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【分析】首先求出直线恒过定点()2,0P ，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为直线():32260l k x y k ---+= 所以()()23260k x x y -+--+=令203260x x y -=⎧⎨--+=⎩解得2x y =⎧⎨=⎩故直线():32260l k x y k ---+=恒过点()2,0P 直线l 的斜率为32k -则20232AP k -==-，303224BP k -==--- 依题意直线l 与线段AB 有公共点，由图可知322k -≥或3324k -≤- 解得7k ≥或32k ≤，即[)3,7,2k ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦故答案为：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.19．2【分析】由球的表面积可求出半径取的中点可得设由基本不等式可得即可求出面积的最大值【详解】因为球的表面积为所以球的半径取的中点则为的外接圆圆心平面设由得因为所以当且仅当时取等因为的面积为所以面积的最解析：2 【分析】由球的表面积可求出半径3R BC 的中点D ，可得1OD =，设AB x =，AC y =，由基本不等式可得4xy ≤，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为球O 的表面积为12π，所以球O 的半径3R = 取BC 的中点D ，则D 为ABC 的外接圆圆心，PA ⊥平面ABC ，112OD PA ∴==， 设AB x =，AC y =，由2222134+==+=+x y R OC CD OD 228x y +=． 因为222x y xy +≥，所以4xy ≤，当且仅当2x y ==时取等．因为ABC 的面积为1122⋅=AB AC xy ，所以ABC 面积的最大值为2． 故答案为：2.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是是建立勾股关系，利用基本不等式求出4xy ≤.20．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =263DM ==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．21．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 解析：310【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =，所以111=22EO AC ==，BE == 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以112B O ==， 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，所以12BO ===， 在1BEO中，22211115192cos 2BE EO BO BEO BE EO +-+-∠===⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC 与BE，故答案为：20【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．22．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析：【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ，∴AC =，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2， 又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32， ∴V P ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯=．故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.23．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大 解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可.【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，DE BE ==，所以()22221cos 3a DEB +-∠==，同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-，故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题. 24．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中 5【分析】先在等边三角形ABC 中求出23BC =2r，从而可求该三棱锥的外接球的半径.【详解】 详解：因为023,60AB AC BAC ==∠=，所以ABC 为等边三角形， 所以23BC =ABC 外接圆的半径为23r ，如图，三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为'O ，连接,','AO AO OO ，则'OO ⊥平面ABC ，取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以//PA OO '，则四边形'ADOO 是矩形，所以在PDO △和'OAO △中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,5d R ==. 5【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.三、解答题25．（1）证明见解析；（26 【分析】（1）取PB 中点M ，连接,MF AM ，证出四边形AMFE 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明.（2）连接,PE BE ，可得PEB ∠为二面角P AD B --的平面角，求出22PE =用余弦定理可得PB ，再利用面面垂直的判定定理证明平面PBE ⊥平面PDA ，点B 作BO PE ⊥交PE 于点O ，在PEB △中即可求解.【详解】解：（1）证明：取PB 中点M ，连接,MF AM ，由F 为PC 中点，则//MF BC 且12MF BC =. 由已知有//,BC AD BC AD =，又由于E 为AD 中点，从而//,MF AE MF AE =，故四边形AMFE 为平行四边形，所以//EF AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊂/平面PAB ，则//EF 平面PAB .（2）证明：连接,PE BE .由,PA PD BA BD ==，而E 为AD 中点，所以,PE AD BE AD ⊥⊥，所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角，60PEB ∴∠=︒.又2,90,22BA BD DBA AD ==∠=︒∴=. ∴在PAD △中，由10,22PA PD AD ===，可解得22PE =.在Rt ABD △中，由22,AD E =为AD 的中点，可得122BE AD ==. ∴在PEB △中，2222cos PB PE EB PE EB PEB =+-⋅∠，2182222262PB ∴=+-⨯⨯⨯=， 2226,,PB PB EB PE PB EB ∴=∴+=∴⊥.又,,,PE AD BE AD PE BE E AD ⊥⊥⋂=∴⊥平面PBE ，AD ⊂平面PAD ，∴平面PBE ⊥平面PDA .过点B 作BO PE ⊥交PE 于点,O OB ∴⊥平面PDA .∴在PEB △中，OB PE PB EB ⋅=⋅，从而62622PB EB OB PE ⋅⨯===. ∴点B 到平面PAD 的距离为62.【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的判定定理，求点到面的距离，解题的关键是求出6PB =，证出平面PBE ⊥平面PDA ，作出点到面的距离，考查了计算能力.26．（1）证明见解析；（26【分析】（1）取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．证明四边形DGHM 是平行四边形，可得线面平行；（2）由H 到平面AEC 的距离为F 到平面AEC 的距离的一半，先求出F 到平面AEC 的距离，用体积法可求得F 到平面AEC 的距离．【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ， 所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//FC//HM ， 所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：连接HA ，HC ，AF ，记F 到平面ACE 的距离为d ，则H 到平面ACE 的距离为2d ． 在CEF △中，6EF =，高为4，所以CEF △的面积为164122⨯⨯=． 因为三棱锥A CEF -的高为4，所以A CEF -的体积为1124163⨯⨯=．在ACE 中，42AC =，25AE CE ==，所以ACE 的面积为22142(25)(22)462⨯⨯-=． 因为A CEF -的体积与F ACE -的体积相等，所以146163⨯⨯=d ，所以26d =．故H 到平面ACE 的距离为6．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求点到平面的距离．求点到平面的距离的常用方法：（1）定义法：作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长；（2）用体积法计算；（3）空间向量法：求出平面外的点到平面内任一点连线的向量在平面的法向量方向上投影的绝对值．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质可得出//EF AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理可得出BE⊥平面ACD ，进而可证得BE CD ⊥.【详解】（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴. EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥， 又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ， BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥.【点睛】方法点睛：在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 28．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）证明出//AB 平面CDEF ，再利用线面平行的性质定理可证得//AB EF ； （2）证明出AE ⊥平面CDEF ，再结合面面垂直的判定定理可得出平面ABFE ⊥平面CDEF .【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF .又因为AB 平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以//AB EF ； （2）由（1）有//AB EF ，因为AB AE ⊥，所以EF AE ⊥.又因为CF AE ⊥，EFCF F =，所以AE ⊥平面CDEF . 又因为AE ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面CDEF . 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.。

一、选择题1．若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,112⎛⎤⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．53,1242．设直线()():110l mx m y m R +--=∈，圆()22:14C x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 有可能无公共点B ．若直线l 的一个方向向量为()1,2a =-，则1m =-C ．若直线l 平分圆C 的周长，则1m =或0n =D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为3．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．24D ．64．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤B ．12k ≥-C ．1322k -≤≤ D ．12k ≤-或32k ≥5．直线3y x m =-+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭6．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m 且(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，则122a c+的最小值为( ) A ．92 B ．94C ．1D ．97．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //8．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．323πB ．48πC ．323π D ．643π 10．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（ ）A ．6πB ．12πC ．43πD ．83π11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．212．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．14．圆22440x y y +--=上恰有两点到直线0x y a -+=2a 的取值范围是______.15．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______．16．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______.17．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．18．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点AB 、间的距离为2，动点P 满足3PA PB=，当,,P A B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是_______________.19．在正方体1111ABCD A BC D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为___________．（写出所有正确结论编号）20．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.21．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.22．如图，在长方体1111ABCDA B C D ﹣中，O 是11B D 的中点，P 是线段AC 上一点，且直线1PA 交平面11AB D 于点M ．给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，C ，O 共面；④B ，1B ，O ，M 共面．其中正确结论的序号为______．23．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=AB ，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 24．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.三、解答题25．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，AD DC =，试证明：（1）1//AB 平面1BC D ； （2）11AB BC ⊥.26．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，6BC =，2PA AD CD ===，E 是BC 上一点且23BE BC =，PB AE ⊥.（1）求证：AB ⊥平面PAE ； （2）求点C 到平面PDE 的距离.27．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为2343PB=﹐60∠=，点F为线段AP的中点．PBC（1）证明：PC⊥平面ABC；（2）求直线BF与平面PAC所成角的大小．-中，G是底面ABC的重心，D是线段PC上的点，且28．在三棱锥P ABC=.2PD DC（1）求证：DG//平面PAB；△是以PB为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG与PB所成角的余弦（2）若PAB值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况.【详解】将方程24320x kx k ---+=转化为:半圆24y x =-,与直线32y kx k =+-有两个不同交点.当直线与半圆相切时,221k =+，512k =，∴半圆24y x =-32y kx k =+-有两个不同交点时.直线32(2)3y kx k k x =+-=-+,一定过(2,3), 由图象知直线过(2,0)-时直线的斜率k 取最大值为34， 53,124k ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况,关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解.2．D解析：D 【解析】对于A ，0m ≠ 时，由已知，圆的圆心为10（，） ，半径为2，圆心到直线的距离为：22112(1)m d m m -=+-＜， 所以直线与圆一定相交； A 错；对于B ，直线l 的一个方向向量为()1,2a =-,则直线的斜率为2,- 则2,21mm m -=-∴=- 故B 错误；对于C ，直线l 平分圆C 的周长，则直线过圆心10（，） , 则1m =，C 错； 对于D ，若直线l 与圆C 有两个不同交点M N 、，线段MN 的长的最小时圆心到直线的距离最大，即0m =时的1d = ，此时2222123MN =-＝；故D 正确． 故选D ．3．A【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积. 【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=， 故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6 而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦， 圆心(2,2)到()1,1的距离：22(12)(12)2d =-+-=所以BD=22227r d -= 所以四边形ABCD 的面积：1672S AC BD =⋅= 故选：A 【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.4．D解析：D 【分析】直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，分别求出PM k 和PN k ，结合图形，可求出答案. 【详解】由题意，直线10kx y k ---=可化为()110k x y ---=，令1x =，得1y =-，即该直线过定点()1,1P -，111312PM k +==---，213312PN k +==-，所以当12k ≤-或32k ≥时，直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交. 故选：D.本题考查了直线系方程的应用，以及过两点的直线的斜率的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．D解析：D 【分析】求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 【详解】 解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =，即21313=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：23m =或23m =-（舍去）， 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m 的范围为231m <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由题意可得：可得20a bm c ++-=．又(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，可得22(41)3m -+=，解得0m =，从而得到2a c +=．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m ，20a bm c ∴++-=． 又(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，∴3=，解得0m =．2a c ∴+=．则12112152159()()()()222222224c a a c a c a c a c a c +=++=+++=，当且仅当423c a ==时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误； 对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．8．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE⊥平面11ACC A 可得BE AM⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1AC CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥. 9．A解析：A 【分析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，将四棱锥补成棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，进而可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中四棱锥底面是边长为4的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的高为4， 将四棱锥补成棱长为4的正方体， 则该几何体的外接球就是正方体的外接球， 外接球的直径2R 等于正方体的对角线长， 即24323R R =⇒=所以该几何体外接球的体积为(34233π⨯=323π，故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．C解析：C 【分析】先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定球的半径的最大值，计算球的最大体积. 【详解】由三视图知该直三棱柱的高为4，底面正三角形的高为33半径为高的三分之一，即3r =234，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大3343433V ππ==.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33定球的最大半径.11．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.12．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直； 对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥，同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC'， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．二、填空题13．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即2361323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)13⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．14．【分析】由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交一条与圆相离可得【详解】圆标准方程为圆心为半径为圆心到已知直线的距离为由题意解得或故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离判断 解析：()()4,04,8-【分析】由与直线0x y a -+=2 【详解】圆标准方程为22(2)8x y +-=，圆心为(0,2)C ，半径为22r =圆心C 到已知直线的距离为02222aa d -+-==，由题意+><，解得40a 或48a <<．故答案为：(4,0)(4,8)-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．15．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <时，倾斜角23παπ<<， 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.16．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=，化为22223a b c a ==-，即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.17．【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2224x y -+=【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.18．【分析】首先求动点的轨迹方程再根据圆的性质求三角形面积的最大值【详解】以所在直线为轴的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系则化简为：整理为：圆是以为圆心半径当点到的距离最大时三角形面积最大距离的最大值是解析：34【分析】首先求动点P 的轨迹方程，再根据圆的性质求三角形面积的最大值. 【详解】以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(),P x y3= ，化简为：()()22221919x y x y ++=-+ ，整理为：2259416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆是以5,04⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径34r =，2AB =，∴当点P 到AB 的距离最大时，三角形PAB 面积最大，距离的最大值是34r =， 面积的最大值是1332244S =⨯⨯=. 故答案为：34【点睛】本题考查轨迹方程，与圆有关的面积的最值，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型.19．①③④【分析】由题意在正方体中结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果【详解】对于①由平面平面并且四点共面同理可证故四边形一定是平行四边形故①正确；对于②若是正方形有又且平面又平面与经过平解析：①③④ 【分析】由题意，在正方体中，结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果 【详解】对于①，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且 B 、E 、F 、1D 四点共面，1//F ED B ∴，同理可证，1//FD EB ，故四边形1BFD E 一定是平行四边形，故①正确； 对于②，若1BFD E 是正方形，有1ED BE ⊥，又 11A D BE ⊥，且1111A D ED D =，BE ∴⊥平面11ADD A ，又 AB ⊥平面11ADD A ，与经过平面外一点作已知平面的垂线有且只有一条相矛盾，故②错误；对于③，由图得，1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确； 对于④，当点E 和F 分别是对应边的中点时，:平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，故④正确． 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档题.20．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12． 【分析】 作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，12633DM ⨯==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 2232DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）． DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．21．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．22．①③【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确用反证法可得④错误【详解】∵连接∵是的中点∴平面与平面有公共点与则平面平面对于①平面则平面又平面则即三点共线故①正确；对于②在平面内由①知∴平解析：①③【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确，用反证法可得④错误.【详解】∵连接11AC ，∵O 是11B D 的中点，∴11O AC∈． 平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ，则平面11AAC C 平面11AB D AO =．对于①，1M PA ∈，1PA ⊂平面11AAC C ，则M ∈平面11AAC C ，又M ∈平面11AB D ，则M AO ∈，即A ，M ，O 三点共线，故①正确；对于②，A ，O ，1A 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AAC C ， 即A ，M ，O ，1A 共面，故②错误；对于③，A ，O ，C 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AAC CA ， 则A ，M ，C ，O 共面11AAC C ，故③正确；对于④，连接BD ，则B ，1B ，O 都在平面11BB D D 上，若M ∈平面11BB D D ，则直线OM ⊂平面11BB D D ，∴A ∈面11BB D D ，显然A ∉面11BB D D 的，故④错误．∴正确命题的序号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.23．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所 解析：43π【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ，∴AC=，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2， 又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32，∴VP ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯=．故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.24．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析：163π 【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积.【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，PO ，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为：163π. 【点睛】 本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE ，则E 为1BC 的中点，利用中位线的性质可得1//DE AB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）取BC 中点F ，连接AF 、1B F ，证明出1BC ⊥平面1AB F ，进而可证得11AB BC ⊥.【详解】（1）连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE ，在正三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，且11B CBC E =，则E 为1BC 的中点，又D 为AC 的中点，所以1//AB DE ,又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ；（2）取BC 中点F ，连接AF 、1B F ，设11B F BC O =，在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1AF BB ∴⊥， ABC 为正三角形，且F 为BC 的中点，AF BC ∴⊥，1BB BC B =，AF ∴⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，1AF BC ∴⊥，在侧面11BCC B 中，12BC BB =，F 是BC 的中点，111122BB BF BB B C ∴==， 又11190B BF BBC ∠=∠=，所以，111R t t BB R B C FB △△，111BFB B BC ∴∠=∠，所以，1111190BFB CBC B BC CBC ∠+∠=∠+∠=，90BOF ∴∠=，所以11BC B F ⊥，1AF B F F =，所以，1BC ⊥面1AB F ，因为1AB ⊂平面1AB F ，所以11BC AB ⊥.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．26．（1）证明见解析；（2）2217. 【分析】（1）先证明AE ⊥平面PAB ，从而得出AE AB ⊥，PA AB ⊥，最后由线面垂直的判定定理证明即可；（2）分别以点P 、C 为三棱锥C PDE -的顶点，利用等体积法求出点C 到平面PDE 的距离.【详解】解：（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥又∵PB AE ⊥，PB PA P =，PB 、PA ⊂平面PAB ，∴AE ⊥平面PAB。

一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于xOy 平面的对称点的坐标是 A ．(－2，1，－4) B ．(－2，－1，－4) C ．(2，－1，4)D ．(2，1，－4)2．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于a ）A B C ．2D 3．已知两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：2sin cos 02a a πθθ+-=，2sin cos 02b b πθθ+-=，则连接()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交4．已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．25．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3BAC π∠=，2ACB π∠≠，2BC =，P 为BC 中点，过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ BC ⋅的最大值是（ ）A ．13B ．3C ．3D ．36．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A ．23k ≤-或0k ≥ B ．38k ≤- C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-7．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，AB =6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．96π B ．93π C ．96π D ．93π 8．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A ．3B ．63C ．5 D ．2239．在正方体1111ABCD A BC D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B 3C 10D ．2 11．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若52PA PB PC ===B 到平面PAC 的距离为（ ）A ．32B ．304141C ．153417D ．612．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．在极坐标系中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.15．若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.16．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________ 17．已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________18．已知圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=相交，则两圆的公共弦长为__________.19．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若PB =P ABC -的外接球的体积为_________.20．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.21．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．22．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB BC ==，13AA =，经过顶点A 作一个平面α，使得//α平面11CB D ，若α平面1ABCD l =，α平面112ABB A l =，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为___________.23．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________24．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.三、解答题25．已知下列几何体三视图如图.（1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体外接球的体积.26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥1D BCC -的体积．27．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．28．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P′连线的中点，又N (－2，1，0)，所以对称点为P′(－2，1，－4)，故选A.2．A解析：A 【分析】依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐标，根据D 到直线BC 的距离等于22a a b +. 【详解】依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，()()22,ACBD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c ab y xc a b --=-①，直线CD ：()()22a c ab y xc a b-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直线BC的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以()42D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由题意可得直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，由点到直线的距离公式可得圆心()0,0到直线AB 的距离，即可得解. 【详解】因为实数a 满足关系式2sin cos 02a a πθθ+-=，实数b 满足关系式2sin cos 02b b πθθ+-=，且实数a ，b 不相等，所以点()2,A a a ，()2,B b b 为直线sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=上的两点，所以直线AB 的方程为sin cos 02x y πθθ⋅+⋅-=，因为圆心()0,0到直线AB的距离12d π==>，所以直线AB 与圆心在原点的单位圆的位置关系为相离. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线方程的应用及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．C解析：C 【分析】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，根据题意，求出1OM =，再由2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，得到PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小，根据点到直线距离公式，求出OP 的最小值，即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且23AB =，所以22212AB OM ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥- 因此，PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小， 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点， 所以点O 到直线40x y +-=的距离，即是min OP ， 即min 2242211OP -==+，因此minmin 1221PMOP =-=-，即minmin2422PA PB PM+==-.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.5．D解析：D 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合斜率与倾斜角的关系及两角和的正切公式可找到点A 的轨迹，结合平面向量的数量积即可求解. 【详解】以P 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系则(1,0),(0,0),(1,0)B P C -,设点(,)A x y ，则31tan ,tan()131131AB ACyyyx k ABC k ABC y x x x π+=∠==∠+==+-+，化简得22343x y ⎛+= ⎝⎭，所以()232311,11,33x ⎡⎫⎛∈--⋃-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦， 设点()0,Q m ，则 ()(),2,02AQ BC x m y x ⋅=--⋅=-， 故当23x =AQ BC ⋅取最大值，为433. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系及两角和的正切公式、圆的方程及性质、平面向量的数量积，属于能力提升题.6．A解析：A 【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围. 【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B , 因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2， 所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥， 故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.7．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,CE CC AA BC AB ''=====BE ==45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 6S rl CC DC πππ'==⨯⨯=⨯⨯，所以曲面面积为18⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 8．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.9．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．C解析：C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ，∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD =3，∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==. 同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()22AC CM AM ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.11．C解析：C 【分析】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果. 【详解】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以10BC ==，则152AO BC ==；又PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，152PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥； 因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABCV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △中，PA PC ==8AC =，所以PAC △的面积为182PACS=⨯= 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 由P ABC B PAC V V --=可得1403PACS d =⋅，所以17d ==故选：C. 【点睛】 方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m⋅=.12．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键 5 【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则2252(1)d ==+- 5【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程15．【分析】联立解得交点代入可得：再利用两点之间的距离公式二次函数的性质即可得出【详解】解：联立解得把代入可得：点到原点的距离当时取等号点到原点的距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了两条直线的交点【分析】联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出． 【详解】解：联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n 到原点的距离5d ，当2n =-，1m =-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．16．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位解析：340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-3030(1)BC k -==--，13k ∴=-又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.17．①②【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方向向量是解析：①② 【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线; ②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角; ②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行. 【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题;对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos nα时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②.故答案为:①② 【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】求出公共弦的方程再利用垂径定理求解即可【详解】由题圆与圆的公共弦方程为化简得又圆圆心到弦的距离故弦长为故答案为：【点睛】本题主要考查了求相交圆的公共弦长问题需要利用两个圆的方程相减求出公共弦解析：【分析】求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解即可. 【详解】由题, 圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=的公共弦方程为()()22222214100xy x y x y +++--+-=,化简得20x y +-=.又圆1C 圆心()0,0到弦20x y +-=的距离d ==故弦长为=故答案为：【点睛】本题主要考查了求相交圆的公共弦长问题,需要利用两个圆的方程相减求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解.属于中档题.19．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥． 设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．20．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平 6【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥， 又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以2BO =2AO EO ==22AE =//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,22EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，22222cos 4542242102OD AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 22222cos135********OF EF EO EF EO =+-⋅︒=++⨯⨯⨯=， 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅621222==-⨯⨯， 所以异面直线BD 和AE 所成角的余弦为6． 故答案为：6.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．21．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题解析：12π 【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积. 【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===，,CD AD CD BD ∴⊥⊥，22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.22．【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展得到异面直线所成角即BD 与所成的角再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可【详解】如图设平面平面平面平面因为平面所以故异面直线与所成的角即与所成的角延长AD 26 【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展，得到异面直线所成角即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠，再结合长方体棱长的条件在1A BD 中求其余弦值即可.【详解】如图，设平面11CB D ⋂平面1ABCD l '=，平面11CB D ⋂平面112ABB A l '=，因为//α平面11CB D ，所以1122//,//l l l l ''，故异面直线1l 与2l 所成的角，即1l '与2l '所成的角.延长AD 至E ，使AD DE =，连接CE ，则易见BD 与CE 平行且相等，又BD 与11B D 平行且相等，故BD 与11B D 平行且相等，即四边形11D B CE 是平行四边形，CE 就是交线1l '. 同理可知1B F 就是交线2l '. 又知BD //CE ，11//B F A B ，故1l '与2l '所成的角，即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠， 依题意可知，2AB BC ==，13AA =，故1A BD 中，1113,22A B A D BD === 故1112262cos 13BD A BD A B ∠=== 26. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 23．【分析】根据给定的几何体的三视图得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥得出圆柱的底面半径和高利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式即可求解【详解】解：根据给定的几何体的三视图可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆 解析：23π 【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式，即可求解．【详解】解：根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆锥， 且底面半径1，高为1的组合体，所以几何体的体积为：2221311113πππ⨯⨯⨯=⨯-⨯． 故答案为：23π.【点睛】关键点点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 24．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又 解析：[32,25]【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EM M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =，∴四边形1C CME 为平行四边形，1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NM CM M =，∴平面//NMC 平面1C EF ． P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ，∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，222211114225C E C D D E =+=+=同理，在Rt △11C D F 中，可得125C F =，∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长． ()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是[32,25]． 故答案为：[32,25]【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．三、解答题。

一、选择题1．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．92．已知点()()2,0,2,0M N -，若圆()2226900x y x r r +-+-=>上存在点P (不同于,M N )，使得PM PN ⊥，则实数r 的取值范围是( )A ．()1,5B ．[]1,5C ．()1,3D ．[]1,33．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点.若PQ ≥k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎣5．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．24D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，过x 轴上的点P 分别向圆221(1)(4)7:C x y -++=和圆222:(2)(5)9C x y -+-=引切线，记切线长分别为12,d d ．则12d d +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．269．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．1211．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．412．已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥ C ．若a b ⊥，//a α，则b α⊥D ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α二、填空题13．已知点(),P x y 是直线()300kx y k +-=≠上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是1，则k 的值为__________.14．经点()2,3P -，作圆2220x y +=的弦AB ，使得P 平分AB ，则弦AB 所在直线方程是______.15．经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．16．直线y x b =+与曲线21x y =-b 的取值范围是______.17．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________． ①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线 ②存在点M ，使得1B M AE ⊥ ③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC21．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______.22．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.23．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.24．已知A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且22AB =AC BC ⊥，则球O 的表面积是______.三、解答题25．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.26．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求证：DG//平面PBC ；27．将棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.28．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出P 点到两圆心的距离，圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，由()PF R PE r +--为最大值．再求得E 关于x 轴的对应点E '，PF PE -＝PF PE '-FE '≤，由此可得最大值．【详解】圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，半径为r =1， 圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，半径是R =3， 要使||||PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小，||PN 最大值为3PF +，||PM 的最小值为1PE -，故||||PN PM -最大值是(3)(1)4PF PE PF PE +--=-+，(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，22(41)(51)5PF PE PF PE EF -=-≤=-+-+'='，故4PF PE -+的最大值为549+=， 故选：D . 【点睛】结论点睛：设P 是圆C 外一点，圆C 半径为r ，则P 到圆上点的距离的最大值为PC r +，最小值为PC r -，直线PC 与圆的两个交点为最大值点和最小值点．2．A解析：A 【分析】由题意可得两圆相交，而以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r ﹣2|＜3＜|r+2|，由此求得r 的范围． 【详解】根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以MN 为直径的圆和圆 （x ﹣3）2+y 2=r 2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，两个圆的圆心距为3， 故|r ﹣2|＜3＜|r+2|，求得1＜r ＜5， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．3．D解析：D 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =，则有12125C C r r ==>+，两圆外离，有4条公切线；故选D ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由PQ ≥()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若PQ ≥则圆心()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤=≤解得[]1,1k ∈-，故选B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.5．A解析：A 【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积. 【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=， 故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6 而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦， 圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD== 所以四边形ABCD的面积：12S AC BD =⋅= 故选：A 【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.6．D解析：D 【分析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解. 【详解】221(1)(4)7:C x y -++=，圆心()1,4-，半径1r =222:(2)(5)9C x y -+-=，圆心()2,5，半径33r =设点P ()0,0x ， 则()()()()2222120010472059d d x x +=-++-+-+--()()220019216x x =-++-+()()()()222200103204x x =-+++-+-，即()0,0x 到()1,3-与()2,4两点距离之和的最小值， 当()0,0x 、()1,3-、()2,4三点共线时，12d d +的和最小， 即12d d +的和最小值为()()2212345052-+--==.故选：D 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．A解析：A 【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12AC ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值， 因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥， 则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.9．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．10．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.11．A解析：A 【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC -，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12．C解析：C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行， 因为//a b ，可得//b m ，b α⊄，m α⊂，所以，//b α，A 选项正确；在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确；在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误； 在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．二、填空题13．【分析】先求圆的半径四边形的最小面积是1转化为三角形的面积是求出切线长再求的距离也就是圆心到直线的距离可解的值【详解】解：圆的圆心半径是由圆的性质知：四边形的最小面积是1是切线长）圆心到直线的距离就 解析：±1【分析】先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是1，转化为三角形PBC 的面积是12，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值． 【详解】解：圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是1， ()min 1122PBC rd S ∆==∴(d 是切线长） min 1d ∴=圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2222111k+==+1k ∴=±故答案为：±1【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．14．【分析】由题意知圆的圆心从而可求出由从而可求出弦所在直线的斜率是由直线的点斜式可写出弦所在直线方程【详解】解：设圆的圆心为则由是的中点知因为所以点在圆内且所以弦所在直线的斜率是则弦所在的直线方程是整解析：23130x y --=. 【分析】由题意知圆2220x y +=的圆心()0,0O ，从而可求出32OP k =-，由AB OP ⊥，从而可求出弦AB 所在直线的斜率是123AB OP k k =-=，由直线的点斜式，可写出弦AB 所在直线方程. 【详解】解：设圆2220x y +=的圆心为O ，则()0,0O .由P 是AB 的中点，知AB OP ⊥.因为()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内，且303202OP k --==--. 所以弦AB 所在直线的斜率是123AB OP k k =-=，则弦AB 所在的直线方程是23(2)3y x +=-， 整理可得，23130x y --=. 故答案为：23130x y --=. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查了两直线垂直的应用.本题的关键是分析出AB OP ⊥，进而求出弦所在直线的斜率.15．或【分析】直接求两直线的交点与等距离的直线一条过AB 的中点一条平行AB 【详解】两直线和的交点为的中点为因为所求直线过且与等距离故所求直线过的中点或与直线平行当直线过的中点时直线方程为即当直线与直线平解析：790x y +-=或210x y ++= 【分析】直接求两直线的交点，与(3,2),(1,6)A B --等距离的直线，一条过AB 的中点，一条平行AB . 【详解】两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点为(2,5)-，(3,2),(1,6)A B --的中点为(1,2)，因为所求直线过(2,5)-且与()3,2A -，()1,6B -等距离， 故所求直线过AB 的中点或与直线AB 平行， 当直线过AB 的中点时，2(5)712k --==--， 直线方程为27(1)y x -=--，即790x y +-=， 当直线与直线AB 平行时，26823(1)4k ---===---，直线方程为52(2)y x +=--，即210x y ++=. 故答案为：790x y +-=或210x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.16．或【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆进而画出图象来要使直线与曲线有且只有一个交点那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切交曲线与和另一个点以及与曲线交于点分别求出则的解析：11b -<≤或2b =- 【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况，分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线与()0,1-和另一个点，以及与曲线交于点()0,1，分别求出b ，则b 的范围可得. 【详解】解：由曲线21x y =-，可得()2210x y x +=≥，表示一个半圆.如下图可知，()0,1A ，()10B ,，()0,1C -， 当直线y x b =+经过点A 时，10b =+，求得1b =； 当直线y x b =+经过点B ，点C 时，01b =+，求得1b =-； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12b =，求得2b =-或2b =（舍），故b 的取值范围为11b -<≤或2b =-.故答案为：11b -<≤或2b =-. 【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，体现了数形结合的思想方法，属于中档题.17．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】 设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为： 解析：27【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值． 【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC AC 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC AC 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则OP OA ==，32OD ===， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=，12PD ===， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．20．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析：②③④. 【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④. 【详解】对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈， 所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得13λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥， 故②正确；对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确； 对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =，由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，可得11x =，11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222222202420333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n ，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.21．60°【分析】根据AB ∥CD 得到异面直线与所成角即为∠VCD 由△VCD 为等边三角形即可求解【详解】如图示因为是正方形所以AB ∥CD 所以异面直线与所成角即为∠VCD 又各条棱长均为2所以△VCD 为等边三解析：60°【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ,所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD.又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°.故答案为：60°【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 22．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：163π 【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积.【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =O 的表面积为2231643S ππ=⨯=⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解. 23．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值 解析：4747-+⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果.【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ，可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值， 且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 1117827477tan tan()1637117O HN O HO NHO ---∠=∠-∠====+， 11171827477tan tan()7117O HM O HO OHM ++++∠=∠+∠====-， 所以tan θ的取值范围是4747-+⎣⎦， 故答案为：4747-+⎣⎦. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值；（4）利用和差角正切公式求得结果.24．【分析】先在直角三角形中列关系求得再求球的表面积即可【详解】是直角三角形外接圆圆心为的中点因为三点都在球的表面上球心到平面的距离为是球半径的所以中即故解得所以球的表面积故答案为：【点睛】本题考查了球 解析：9π【分析】先在直角三角形中列关系，求得R ，再求球的表面积即可.【详解】 22AB =，AC BC ⊥，ABC ∆是直角三角形，外接圆圆心为AB 的中点M , 因为A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离为OM ,是球半径的13， 所以OMB ∆中()()222OA OM MA =+,即2221132R R AB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故222112232R R ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得29=4R ，所以球O 的表面积29=4494S R πππ=⋅=. 故答案为：9π.【点睛】本题考查了球的表面积，属于中档题.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）62. 【分析】（1）证明AC ⊥BC 和PA ⊥BC ，BC ⊥面PAC 即得证；（2）先证明∠BPC 为PB 与平面PAC 所成的角，再通过解三角形求出,BC PC 即得解.【详解】证明：(1) AB 为圆O 直径 ∴∠ACB =90°即AC ⊥BCPA ⊥面ABC ，∴PA ⊥BCAC PA =A∴BC ⊥面PAC.(2)BC ⊥面PAC ， ∴∠BPC 为PB 与平面PAC 所成的角，在直角三角形ABC 中，22213BC =-=， 在直角三角形PAC 中，22112PC =+=,在直角三角形PBC 中，tan ∠BPC =3622=. 故直线PB 与平面PAC 所成角的正切值为6. 【点睛】 方法点睛：求线面角常用几何法求解，其步骤为：找→作→证（定义）→指→求（解三角形）.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由线面垂直推出PA BC ⊥，由直角三角形推出AB BC ⊥，即可证明线面垂直；（2）连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ，通过证明//DE 平面PBC 、//DO 平面PBC 证明平面DOE //平面PBC ，从而推出线面平行.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥， 又PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴ OE 为AB 边上的中线， ∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点， ∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=，∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ， DG //∴平面PBC27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A AAC A =， 所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】 方法点睛：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．28．（1）证明见解析；（223 【分析】。

一、选择题1．过平面区域20{2020x y y x y -+≥+≥++≤内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )A．10B ．1920C ．910D ．122．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,3．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A．B．C．D．4．已知点P 是直线:3420l x y +-=上的一个动点，过点P 作圆()()222:23C x y r +++=的两条切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，若MPN ∠的最大值为120°，则r 的值为（ ） AB．C ．4D ．65．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ） A ．4B ．10C ．5D7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是23，则球O 的表面积是（ ） A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 39．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．6711．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1612．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．43二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:24640C x y mx m y m ++-+-=∈R 与()21,3C -为圆心的圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足22221221x x y y -=-，则实数m 的值为______．15．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=______________.16．若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 两点关于直线0x y +=对称，则20182019k m -=______.17．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.20．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；21．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 22．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______23．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.24．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1,2AB BC ==，45ABC ∠=︒，AE PC ⊥垂足为E ．（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150︒，求侧棱PA 的长．26．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，22AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.27．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.（1）求证：//PC 平面EBD . （2）求三棱锥E ABD -的体积.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：因为OP AP ⊥，所以在Rt AOP ∆中1sin2r OP OPα==，222cos 12sin 1OP αα=-=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而函数cos y α=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当α最小时221OP -最大，因为221OP -为增函数则此时OP 最大．根据不等式表示的可行域可知当()4,2P -时max OP ==．综上可得α最小时()max 2219(cos )111010α=-=-=．故C 正确．考点：1二倍角公式；2直线与圆相切；3函数的单调性．2．C解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】 设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．3．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C (),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=的几何意义可知，m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；4．B解析：B 【分析】由切线得四边形PMCN 的性质，要使得MPN ∠最大，则PC 最小，PC 的最小值即为圆心C 到直线的距离，再由已知角的大小可求得r ． 【详解】由题意,PM PN CM CN r ===，sin MC r CPM PCPC∠==，2MPN MPC ∠=∠，所以MPN ∠最大时，PC 最小．由题意知min 4PC ==，又120MPN ∠=︒，所以sin 604r=︒，r = 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，过圆外一点P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 是两切点），C 是圆心，则PC 是四边形PMCN 的对称轴，90PMC PNC ∠=∠=︒，P 点对圆的张角MPN ∠取得最大值时，PC 最小．5．D解析：D 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =，则有12125C C r r ==>+，两圆外离，有4条公切线；故选D ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．6．C解析：C 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A 与定点B ，进而可得22210PA PB AB +==，再利用基本不等式，即可得解．【详解】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ，所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以PA PB ⋅的最大值为5. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线位置关系的判断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题．7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．A解析：A 【分析】首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算． 【详解】因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ，则11AB A ∠是1AB 与底面111AB C 所成的角，则1145AB A ∠=︒．故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =．设111AA A B a ==，则11131224ABC A B C V a a a -=⨯⨯⨯==三棱柱， 解得2a =．所以球O 的半径R ==所以球O 的表面积2228π4π4π3S R ==⨯=．故选：A ． 【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．9．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】依题意，14AA ==，而21sin 2ABCS AB AC A AB =⨯⨯== 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得42sin 603AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.10．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1(64)4323V =⨯⨯⨯=. 故选C ． 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．12．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得43BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin120223BCDSBC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值. 二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．【分析】设线段的中点为点由可得出由圆的几何性质可得且点在连心线上可知直线经过原点可得出由此可求得实数的值【详解】圆的圆心为设线段的中点为点则所以即由于关于连心线对称则则点在直线上所以即解得故答案为： 解析：3【分析】设线段AB 的中点为点M ，由22221221x x y y -=-可得出1AB OM k k =-，由圆的几何性质可得121AB C C k k =-，且点M 在连心线12C C 上，可知直线12C C 经过原点O ，可得出12OC OC k k =，由此可求得实数m 的值.【详解】圆1C 的圆心为()1,23C m m -+，设线段AB 的中点为点M ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 22221221x x y y -=-，所以，221222121y y x x -=--，即121212121AB OMy y y y k k x x x x -+=⋅=--+， 由于A 、B 关于连心线12C C 对称，则12AB C C ⊥，则121AB C C k k =-，12OM C C k k ∴=， 点M 在直线12C C 上，12O C C ∴∈，所以，12OC OC k k =，即233m m+-=-，解得3m =.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用圆与圆的相交弦与连心线垂直求参数，分析出12O C C ∈是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论当直线斜率存在时联立直线和圆结合韦达定理即可求解【详解】当直线斜率不存在时直线方程为：将代入得可设点则；当直线斜率存在时设直线方程为：联立则综上所述 解析：1-【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入22 9x y +=得y =点()(2,5,2,M N ，则()()5221PM PN ⋅=⨯=-；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩ ()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题16．2【分析】由圆的方程得出圆心坐标根据圆的对称性可知直线通过圆心得出再由直线与直线相互垂直得出代入求解即可【详解】方程一定表示圆则圆心坐标为根据圆的对称性可知直线通过圆心则MN 两点关于直线对称直线与直解析：2 【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线0x y +=通过圆心，得出k m =-，再由直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直，得出1k =，代入20182019k m -求解即可. 【详解】22160k m ++>∴方程2240x y kx my +++-=一定表示圆则圆心坐标为,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据圆的对称性可知，直线0x y +=通过圆心 则022k mk m --=⇒=- M 、N 两点关于直线0x y +=对称∴直线1y kx =+与直线0x y +=相互垂直 (1)11k k ∴⨯-=-⇒=20182019201820191(1)112k m ∴-=--=+=故答案为：2 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的应用以及由直线与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.17．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】 设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为： 解析：27【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值．【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的解析：【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：12aR r -=-=，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22. 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =，30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..21．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++=26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.22．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC 中，由正弦定理得172sin 223BC r BAC ==∠334r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以1122sin 344222ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=△ 因为11274233D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△144AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形， 111428EA OO AD ===，所以22221114324588R OO AO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.23．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则23423h r -=，解得3232h r =-； 所以()232223342S rh r r r r πππ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：43π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.24．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π 【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2【分析】（Ⅰ）推导出AB AC ⊥，CD AC ⊥，PA CD ⊥，从而CD ⊥平面PAC ，进而CD AE ⊥，AE PC ⊥，由此能证明平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PA 的长．【详解】证明：（Ⅰ）1,45AB BC ABC =∠=︒，AB AC ∴⊥ 又//AB CD ，CD AC ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AC AP A =，,AC AP ⊂平面PAC ， CD平面PAC ， AE ⊂平面PAC ，CD AE ∴⊥， 又AE PC ⊥，PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系．设AP t =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，(1,10)D -，(0P ，0，)t ， AB PC ⊥，AE PC ⊥，PC ∴⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-在Rt PAC △中，PA t =，1AC PC =∴=又AE PC ⊥，AE =222(0,,)11t t E t t ++ 设平面ADE 的一个法向量为(,,)m x y z =由m AD m AE ⎧⊥⎨⊥⎩，得222··0110t t y z t t x y ⎧+=⎪++⎨⎪-+=⎩，解得(1,1,)m t =- 二面角B AE D --的大小为150︒，∴22|||cos,||cos150|||||m n m n m n t 〈〉===︒+， 解得t =PA【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.26．（1）证明见解析；（2）823. 【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算，【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =，所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且22AD =∴118242233PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】 关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．27．（1）证明见解析；（2）82. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，由E 是PA 的中点，可得E 到面ABCD 的距离12PO =，再利用棱锥的体积公式可得答案.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO .四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PA 中点， //EO PC ∴，又EO ⊂面EBD ，PC ⊄面EBD ，//PC ∴面EBD .（2）正四棱锥P ABCD -中,PA PC =，O 是AC 的中点PO AC ∴⊥，PD PB =，O 是BD 的中点PO BD ∴⊥，又AC 与BD 在平面ABCD 内相交，所以PO ⊥面ABCDE 是PA 的中点，E ∴到面ABCD 的距离12PO =， 221822,2ABD S AB AD PO PD DO ∆=⋅⋅==-=，182323E ABD ABD PO V S -∆=⋅⋅= 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.28．（1）证明见解析；（2）7-；（3）存在；12PF PB =． 【分析】（1）首先证明BE AD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ，即证.（2）连结PE ，以E 为坐标原点，EP ，EA ，EB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(0,3,0)EB a =是平面PAD 的一个法向量，再求出平面PCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.（3）根据题意可得EF 与平面PCD 的法向量垂直，假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ，再利用向量的数量积即可求解.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．又因为3BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 所以BE ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥．（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，。

一、选择题1．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=2．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则线段MN 的长为A ．4B C D 3．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．9B ．11C ．13D ．154．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知圆C 与直线30x y ++=相切，直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则圆C方程为（ ） A ．2222x y y +-= B ．2222x y y ++= C ．2221x y y +-= D ．2221x y y ++=6．直线3y x m =-+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1204BAC AP AB AC ∠====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π8．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，//αβ，则//m βC ．若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D ．若l αβ=，//m α，//m β，则//m l9．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B ．3C ．10 D ．210．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 11．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π12．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．3二、填空题13．当点P 在圆221x y +=上运动时，它与定点()30Q -，的连线PQ 的中点的轨迹方程是________________.14．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．15．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线10y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.16．直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，则11a b+的最小值为__________ 17．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.18．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.19．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB所成角的大小为______.20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为_______.21．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________.22．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 23．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.24．在矩形ABCD 中，1AB =，AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题25．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ； （2）求三棱锥P ACM -的体积.27．在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，3AB =，2CB CD ==.（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ； （Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.28．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=222(2)x y ++2﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选B ． 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．2．C解析：C 【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y=0①，x 2+y 2+2x ﹣8=0，② ①﹣②可得：x ﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为∴圆心到公共弦的距离为=∴公共弦长==故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.3．B解析：B 【分析】设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()225124a b -+-=，再利用点与点的距离公式求解 【详解】半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()224x a y b -+-= ，由其过点()5,12，则()()225124a b -+-=，即()()225124a b -+-=可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆， 故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径， 213211=-=， 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()225124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题.4．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C (),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=的几何意义可知，m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；5．D解析：D 【分析】计算出直线10mx y ++=所过定点的坐标，由题意得出定点是圆C 的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆C 的半径长，即可得出圆C 的方程. 【详解】在直线10mx y ++=的方程中，令0x =，则1y =-，则直线10mx y ++=过定点()0,1-.由于直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则点()0,1-是圆C 的圆心，又圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的半径r ==.因此，圆C 的方程为()2212x y ++=，即2221x y y ++=.故选D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.6．D解析：D【分析】求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 【详解】 解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =，即21313=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：233m =或233m =-（舍去）， 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为231m <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，12ON AP ==4AN =，故R =2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.8．C解析：C 【分析】利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的. 【详解】 对于A ，如图，设l αβ=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n上），过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥. 因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥, 因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB . 设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角. 因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥， 故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ， 而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l αβ=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.故选：C. 【点睛】思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.9．C解析：C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()12CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()22AC CM AM ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.10．D解析：D 【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解. 【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ， 则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形， 所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =， 由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．11．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.12．C解析：C 【分析】首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点F ，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值. 【详解】延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.二、填空题13．【分析】设动点的中点由中点坐标公式可解出将点点的坐标代入已知圆的方程化简可得到所求中点的轨迹方程【详解】解：设动点的中点由题意可得：解得：又点在圆上运动化简得：即为所求的轨迹方程故答案为：【点睛】方 解析：()22+3124y x +=【分析】设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由中点坐标公式可解出0x ，0y ，将点P 点的坐标代入已知圆的方程，化简可得到所求中点的轨迹方程. 【详解】解：设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ， 由题意可得：032x x -+=，02y y =， 解得：023x x =+，02y y =， 又点P 在圆221x y +=上运动，22(23)(2)1x y ∴++=，化简得：()22+3124y x +=，即为所求的轨迹方程. 故答案为：()22+3124y x +=.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设(,)P x y 是轨迹上的任意一点；②寻找动点(,)P x y 所满足的条件；③用坐标(,)x y 表示条件，列出方程0(),f x y =；④化简方程0(),f x y =为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.14．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.15．①④【分析】根据直线方程直线的倾斜角的定义方差公式对立事件的概念分别判断各命题【详解】①直线中令则∴直线必过定点①正确；②直线的斜率为倾斜角为②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后解析：①④ 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②310x y ++=的斜率为3k =-120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．16．【分析】由得可知圆心为半径为2而所以可得直线过圆心由此得所以可化为然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由得所以曲线表示圆其圆心为半径为2因为直线与曲线交于且所以直线过圆心所以所以当且仅当即时解析：3+【分析】由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，可知圆心为(1,2)，半径为2，而AB 4=，所以可得直线过圆心，由此得21a b +=，所以11a b+可化为112a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()，然后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=， 所以曲线222410x y x y +--+=表示圆，其圆心为(1,2)，半径为2，因为直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，所以直线()10,0ax by a b +=>>过圆心(1,2)， 所以21a b +=，所以11112a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭()2333b a a b =++≥+=+当且仅当2b aa b =，即212a b ==时，取等号故答案为：3+【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题17．【分析】根据题意知点为的中点设再由得利用韦达定理建立方程解得即可【详解】由题知点为的中点设直线设将直线带入圆的方程得则由得即所以解得故直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系属于基础题解析：3y =-【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线带入圆的方程得()221660k x kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k⋅=+， 由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.18．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】 设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.19．60°【分析】根据AB∥CD得到异面直线与所成角即为∠VCD由△VCD为等边三角形即可求解【详解】如图示因为是正方形所以AB∥CD所以异面直线与所成角即为∠VCD又各条棱长均为2所以△VCD为等边三解析：60°【分析】根据AB∥CD,得到异面直线VC与AB所成角即为∠VCD,由△ VCD为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD是正方形，所以AB∥CD,所以异面直线VC与AB所成角即为∠VCD.又各条棱长均为2，所以△ VCD为等边三角形，所以∠VCD=60°，异面直线VC与AB所成角的大小为60°.故答案为：60°【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是 解析：64π【分析】首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是PAB △外接圆的圆心，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥MN ∴⊥平面PAB ，过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心，可知四边形MNEO 是矩形，右图，PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==， 点E 是PAB △外接圆的圆心，sin303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，PE =NE ∴==MO ∴=12MC AC ==4R OC ∴===， ∴球O 的表面积2464S R ππ==故答案为：64π 【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.21．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 解析：310【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =，所以111=2EO AC ==，BE == 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以11B O == 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，所以1BO === 在1BEO中，22211115192cos 220BE EO BO BEO BE EO +-+-∠===-⨯， 因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC 与BE所成角的余弦值为20，【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．22．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三解析：3【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r，最后计算体积即可.【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =． 设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=， 如图，是圆锥轴截面三角形图， 所以3r Rh r =-，解得：2r ， 故3442223383r V πππ==⨯=． 故答案为：23π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题.23．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点 解析：323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ， 则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==，132PE AD ==， 所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =， 所以外接球的体积343233V R ππ==， 故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．24．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算， 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =，所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且AD =∴114333PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整． 26．（1）证明见解析；（2）23． 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行； （2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得． 【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ， 所以//PB 平面ACM ； （2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6π. 【分析】（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH ，即可得到2BHHG=，又2BF FA =，所以//FH AG ，从而得证；（Ⅱ）依题意利用余弦定理求出EF ，从而得到EF BD ⊥，即可证明BD ⊥平面CEF . 过F 作AD 的平行线FP ，交BD 于P .则PE ⊥平面CEF .所以直线FP 与平面CEF 所成角为PFE ∠，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH . 则点H 为BCD △的重心，有2BHHG=. 因为2BF BHFA HG==， 所以//FH AG ，且FH ⊂平面CEF ，AG ⊄平面CEF ，所以//AG 平面CEF .。

一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且33OA OB AB +≥，则k 的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)2,⎡+∞⎣D ．3．已知点(3,2)P ，点M 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．5-B ．5+C ．2D ．3-4．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）A ．210x y --=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．210x y -+=5．已知直线l ：20x y -+=，圆C ：()2234x y -+=，若点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点，则点P 的坐标是（ ）A ．(3B ．(3C ．(3-D ．(3+6．已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．27．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //8．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m9．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π10．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．[3225B ．522C ．326D ．6，2211．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1412．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM 平面ADE ；②D E BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④二、填空题13．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.14．已知圆()2221x y +-=上一动点A ，定点()6,1B ，x 轴上一点W ，则AW BW+的最小值等于______.15．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 向圆22:4O x y +=和圆22:(2)(2)4C x y ++-=各引一条切线，切点分别为,A B .若2PB PA =，且平面上存在一定点M ，使得P 到M 的距离为定值，则点M 的坐标为_______.16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则12a b+的最小值为______.18．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =，M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3APD BAD π∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．21．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____22．一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计一个各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形（如图所示），高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为_________元．23．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.24．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD三、解答题25．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积.26．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ； （2）求二面角PAB C 的大小.27．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积． 28．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ；（Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．B解析：B 【详解】设AB 中点为D ，则⊥OD AB ，∵33OA OB AB +≥，∴323OD AB ≥，∴23AB OD ≤，∵221||44OD AB +＝，∴2||1OD ≥，∵直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴224,4||1OD OD <∴≥>，∴24(12k ->≥，∵0k >，∴ 222k ≤<，故选B.3．A解析：A 【分析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求max minPN PM -.【详解】由条件可知||||PN PM -的最大值是max minPN PM-，2max 114PN PC =+==，1min111PMPC =-==,所以||||PN PM -的最大值是()415-=- 故选：A 【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下： （1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r +；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -.4．C解析：C 【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】圆1C ：221x y +=的圆心坐标为(0,0)，圆2C ：()()22124x y -++=的圆心为(1,2)-，由题得线段AB 的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以02201AB k +==--, 所以线段AB 的垂直平分线为02(0),20y x x y -=--∴+=. 所以线段AB 的垂直平分线为20x y +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.5．B解析：B 【分析】若点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点，那么此点必过与直线l 垂直的直线上，求此直线与圆的交点，然后即可得到点P 的坐标.【详解】圆C ：()2234x y -+=的圆心坐标为(3,0)，半径为2， 过圆心与直线l 垂直的直线方程为30x y +-=，与圆的方程联立得()223034x y x y +-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得11322x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，22322x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，所以它与圆的交点坐标为()32,2+-和()32,2-， 由题，点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点， 所以点P 的坐标为()32,2-. 故选：B .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．C解析：C 【分析】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，根据题意，求出1OM =，再由2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，得到PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小，根据点到直线距离公式，求出OP 的最小值，即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且23AB =，所以22212AB OM ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥- 因此，PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小， 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点， 所以点O 到直线40x y +-=的距离，即是min OP ， 即min 2242211OP -==+，因此minmin 1221PMOP =-=-，即minmin2422PA PB PM+==-.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.7．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴， 1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 8．C解析：C【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V +四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．9．D解析：D【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ， 则2x OI =，62x IE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =. 设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-=所以()(2222322R R =+，解得3R =， 所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）. 故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.10．A解析：A分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5． ∴线段AP 长度的取值范围是32,5⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题. 11．C解析：C【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可.解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C【点睛】识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置. 12．A解析：A【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示；对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ，∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以D E BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又ACMC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ， 同理得ED ⊥AM ，EDBD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．二、填空题13．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的 解析：cos 2ρθ=.【解析】 试题分析：点22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=. 考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程14．【分析】根据题意画出示意图进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆以及点B （61）的图象如图作B 关于x 轴的对称点连接圆心与则与圆的交点A 即为的最小值为点（02）到点（6-1）的距离减圆的半径即故答案 解析：351【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆()2221x y +-=，以及点B （6，1）的图象如图，作B 关于x 轴的对称点B '，连接圆心与B '，则与圆的交点A ，AB 即为AW BW +的最小值，AB 为点（0，2）到点B '（6，-1）的距离减圆的半径， 即22(60)(12)1351AB =-+--=， 故答案为：351．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点；15．【分析】设根据切线性质将转化为与半径关系求出点轨迹即可得出结论【详解】设整理得点的轨迹为以为圆心半径为的圆所以为所求故答案为:【点睛】本题考查求轨迹直线与圆的位置关系利用圆的切线性质是解题的关键属于 解析：22(,)33- 【分析】设(,)P x y ，根据切线性质，将||,||PA PB 转化为||,||PO PC 与半径关系，求出P 点轨迹，即可得出结论.【详解】设22|2||,|||(4)||,,PB PA P x y PB PA ==，222222||44(||4),(2)(2)44)4(y y PC PO x x ∴--+-+=--+=， 整理得2222442022680,()()333339x y x y x y +-+-=-++=， 点P 的轨迹为以22(,)33-为圆心半径为683的圆， 所以22(,)33M -为所求.故答案为:22(,)33-.【点睛】 本题考查求轨迹、直线与圆的位置关系，利用圆的切线性质是解题的关键，属于中档题. 16．【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结合思想以解析：12- 【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为1||(1),12,2AF a a a a -+===.故答案为：12-. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 17．【分析】若直线始终平分圆的周长即直线过圆心再利用均值定理求解即可【详解】由题整理圆的方程为标准方程可得因为直线始终平分圆的周长所以圆心在直线上则即所以当且仅当即时等号成立所以的最小值为故答案为:【点解析：3+【分析】若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆的周长,即直线过圆心,再利用均值定理求解即可【详解】由题,整理圆的方程为标准方程,可得()()22215x y -+-=,因为直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆的周长, 所以圆心()2,1在直线上,则2220a b +-=,即1a b +=,所以()121221233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b =,即1,2a b ==,等号成立,所以12a b+的最小值为3+故答案为:322+ 【点睛】 本题考查圆的对称性的应用,考查利用“1”的代换处理最值问题18．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.19．【分析】将三棱锥补成长方体计算出三棱锥的外接球半径计算出球心到过点的截面的距离的最大值可求得截面圆半径的最小值利用圆的面积可求得结果【详解】平面将三棱锥补成长方体则三棱锥的外接球直径为所以设球心为点 解析：π【分析】将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，计算出球心到过点M 的截面的距离d 的最大值，可求得截面圆半径的最小值，利用圆的面积可求得结果.【详解】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==+++=，所以，3R =设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ， O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+= 设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d .①当OM α⊥时，2d OM ==②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=. 综上，2d OM ≤=设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.故答案为：π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 20．【分析】根据棱锥的性质证明的中点就是三棱锥的外接球球心得出半径后可求表面积【详解】取中点中点连接则因为底面所以平面是菱形则所以是的外心又底面平面所以所以到四点距离相等即为三棱锥的外接球球心又所以所以 解析：16π．【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求表面积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又2PD =，3APDπ∠=，所以24cos 3PA π==，所以2MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=．故答案为：16π．【点睛】结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．21．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A解析：[3,3] 【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案．【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝23，|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值， 于是，有63ACB ππ≤∠≤， ∴sin 6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤32而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝23∠ACB ． ∴33S ≤．故答案为：[3,3]【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键. 22．4000【分析】根据题意先求出正四棱柱的底面边长和高由体积公式求出正四棱柱的体积减去文物的体积可得罩内空气的体积进而求出所需的费用【详解】由题意可知文物底部是直径为09m 的圆形文物底部与玻璃罩底边至 解析：4000【分析】根据题意，先求出正四棱柱的底面边长和高，由体积公式求出正四棱柱的体积减去文物的体积可得罩内空气的体积，进而求出所需的费用.【详解】由题意可知，文物底部是直径为0.9 m 的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m ，所以由正方形与圆的位置关系可知：底面正方形的边长为0.9+2×0.3=1.5m ，由文物高1.8m ，文物顶部与玻璃置上底面至少间隔0.2m ，所以正四棱柱的高为1.8+0.2=2m .，则正四棱柱的体积为V =1.52×2=4.5m 3因为文物体积为0.5m 3,所以置内空气的体积为4.5-0.5 = 4 m 3,气体每立方米1000元,所以共需费用为4×1000=4000（元）【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： 求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型.23．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．24．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内 解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面 ，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题.三、解答题25．（1）证明见详解；（2 【分析】（1）取AD 的中点O ，连接EO ，BO.，可证EO ⊥平面ABCD 再根据面面垂直判定定理可证；（2）因为EF //AC 得点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，由体积公式可求出结果.【详解】解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接EO ，BO.∵EA =ED ，∴EO ⊥AD.由题意知△ABD 为等边三角形，∴AB =BD =AD =2，∴BO 3在△EAD 中，EA =ED 3AD =2，∴EO 22-2AE AO =又BE 5∴ 222EO BO BE +=，∴EO BO ⊥，∵AD OB O ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAD ，∴平面EAD ⊥平面ABCD.（2）由题意得1123322BCD ABD S S AD OB ==⋅=⨯= ∵EF ∥AC ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，为EO ， ∴1163233F BCD BCD V S EO -=⋅==. 【点晴】关键点点晴：证明面面垂直的关键在于找到线面垂直.26．（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，证明EFCO 是平行四边形，得线线平行后可证得线面平行；（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，可证PGO ∠（或其补角）是二面角P AB C 的平面角．然后在PGO △中求解．【详解】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，因为E 是PA 中点，∴//EF AB ，且12EF AB =， 又ABCD 是矩形，//,AB CD AB CD =，O 是CD 中点，∴//,EF OC EF OC =，∴EFCO 是平行四边形，∴//OE CF ，而OE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ．（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，ABCD 是矩形，O 是CD 中点，则OG AB ⊥，又PA PC CD ==，∴PO CD ⊥，而平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵,OG AB ⊂平面ABCD ，∴PO AB ⊥，PO OG ⊥． PO OG O =，,PO OG ⊂平面POG ，∴AB ⊥平面POG ，而PG ⊂平面POG ， ∴AB PG ⊥，∴PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角． 设1AD =，则1OG =，2CD =，3PO =， ∴3tan 31PO PGO OG ∠===，[0,]PGO π∠∈，∴3PGO π∠=． ∴二面角P AB C 的大小为3π．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角，然后通过解三角形得解；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角得二面角．27．（1）证明见解析；（2）112. 【分析】（1）取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，证明四边形CMEF 为平行四边形，可得出//EF CM ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，由题意可知点P 、A 到平面BEF 的距离相等，并推导出EN ⊥平面ABCD ，可得出P BEF A BEF E ABF V V V ---==，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BEF -的体积．【详解】（1）如下图所示，取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，因为四边形ABCD 为矩形，则//AD BC 且AD BC =，E 、M 分别为PA 、PD 的中点，则//EM AD 且12EM AD =， F 为BC 的中点，所以，//EM CF 且EM CF =，所以，四边形CMEF 为平行四边形，。

一、选择题1．已知动点M 到()1,1A ，()3,3B -两点的距离相等，P 是圆()2235x y -+=上的动点，则PM 的最小值为（ ） A ．5B ．25C ．2D ．5 2．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．67B ．127C ．24D ．63．已知圆()()()222:0C x a y a a a -++=>和直线:20l x y ++=，则2a =是圆C 和直线l 相交的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l ：20x y -+=，圆C ：()2234x y -+=，若点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点，则点P 的坐标是（ ） A ．()32,2+B ．()32,2-C ．()32,2--D ．()32,2+-5．已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．221-B ．221+C ．422-D ．422+6．如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC 的顶点(1,0),(0,2),B C AB AC -=，则ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y ++=C ．4230--=x yD ．2430x y +-=8．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥9．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则（ ）A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为24D ．若AEB △是直角三角形，则BE ⊥平面ADE10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．1211．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60° D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°12．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．3二、填空题13．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.14．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.15．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______.16．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.17．若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.18．已知m R ∈，动直线1:20l x my +-=过定点A ，动直线2230l mx y m --+=:过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A B ，），则PA PB +的最大值为_________. 19．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =+m n α，其中m ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________． 20．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．21．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.22．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.23．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.24．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.三、解答题25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小； （3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.26．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．27．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．28．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ； （2）求三棱锥V —ABC 的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】易知M 轨迹为线段AB 的垂直平分线，由此可求得M 轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由d r -可求得结果. 【详解】M 到,A B 两点距离相等，M ∴点轨迹为线段AB 的垂直平分线，又311312-==---AB k ，AB 中点坐标为()1,2-， M ∴点的轨迹方程为：()221y x -=+，即240x y -+=.由圆的方程知：圆心为()3,0，半径r =∴圆心到直线240x y -+=的距离d ==min PM d r ∴=-==故选：A. 【点睛】结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -（d 为圆心到直线距离，r 为圆的半径）.2．A解析：A 【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积. 【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=， 故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6 而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅= 故选：A 【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由圆C 和直线l 相交，解出a 的范围，结合选项判断即可． 【详解】圆C 和直线l 相交，即圆心(),a a -到:20l x y ++=的距离小于半径，()0a a <>，解得a >则2a =是圆C 和直线l 相交的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．4．B解析：B 【分析】若点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点，那么此点必过与直线l 垂直的直线上，求此直线与圆的交点，然后即可得到点P 的坐标. 【详解】圆C ：()2234x y -+=的圆心坐标为(3,0)，半径为2， 过圆心与直线l 垂直的直线方程为30x y +-=，与圆的方程联立得()223034x y x y +-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得11322x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，22322x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，所以它与圆的交点坐标为()32,2+-和()32,2-， 由题，点P 是圆C 上所有到直线l 的距离中最短的点， 所以点P 的坐标为()32,2-. 故选：B .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5．C解析：C 【分析】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，根据题意，求出1OM =，再由2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，得到PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小，根据点到直线距离公式，求出OP 的最小值，即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ，连接PM ，OM ，因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦，且23AB =，所以22212AB OM ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又2PA PB PM +=，PM OM OP +≥，即1PM OP ≥- 因此，PA PB +取最小值，即是PM 取最小值，所以只需OP 取最小， 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点， 所以点O 到直线40x y +-=的距离，即是min OP ， 即min 2242211OP -==+，因此minmin 1221PMOP =-=-，即minmin2422PA PB PM+==-.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.6．D解析：D 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN =，3EF =，知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF △中，1EG =，222GF AG AF =+=，则2222123EF EG GF =+=+=，所以12MN EF ≠，故排除A 、C 连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D =又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C 又11//A D B C ，所以//MN ED ， 又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】根据题意得出ABC 的欧拉线即为线段BC 的垂直平分线，然后求出线段BC 的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为(1,0),(0,2)B C -，所以线段BC 的中点的坐标1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率2BC k =，则线段BC 的垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即2430x y +-=，因为AB AC =，所以ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，所以ABC 的欧拉线方程为2430x y +-=.故选：D 【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.8．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 9．C解析：C 【分析】对A ，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B ，由>=EC EB DC 可判断；对C ，可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，即可求出；对D ，EAB ∠（或EBA ∠）为直角时，BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则22DE EC ==，//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求2cos 422CDE ∠==，故C 正确； 对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确． 故选：C. 【点睛】本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.10．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅⋅= 故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.11．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111A C BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1B C 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DEFB E ，得1112A E A DEF B F==，故B 正确；C.1A O ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin A O A Fθ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11B A F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan 2FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1A O ⊥平面1BDC ，点O1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.12．C解析：C 【分析】首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点F ，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值. 【详解】延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键. 二、填空题13．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要 解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.14．【分析】求出点坐标由于直线与直线垂直得出直线的斜率为再由点斜式写出直线的方程【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角再继续旋转角得到则直线与直线垂直即直线的斜率为所以直线的方程为即故答案为： 解析：230x y --=【分析】求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为12，再由点斜式写出直线l 的方程. 【详解】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩= 由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --= 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.15．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=，化为22223a b c a ==-，即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.16．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查 解析：74【分析】将2291041y x x x =++-+变形为()2222354y x x =++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.17．3【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化与划归数解析：3 【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为()2,0-，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出,a b ，即得解.【详解】根据题意22410x y x ++-=的圆心为：()2,0-，若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于()1,2P -，则有2301,2302()1(2)(1)a b a b a b a b -+-=⎧⎪∴==∴+=-⎨⨯-=-⎪---⎩故答案为：3 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】根据观察两条直线的位置关系结合不等式可得结果【详解】由题可知：动直线过定点动直线过定点且可知所以且所以即当且仅当时取=所以的最大值为故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题还考查了基本不等式解析：【分析】根据观察两条直线的位置关系，结合不等式，可得结果. 【详解】 由题可知：动直线1:20l x my +-=过定点()2,0A动直线2230l mx y m --+=:过定点()2,3B 且()110m m ⨯+⨯-=，可知12l l ⊥，所以PA PB ⊥，且2229PA PB AB +==所以2229222PA PB PA PB ⎛+⎫≤+= ⎪⎝⎭即PA PB +≤ 当且仅当PA PB =时取“=”所以PA PB +的最大值为32 故答案为：32 【点睛】本题考查直线过定点问题，还考查了基本不等式应用，属中档题.19．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径． 【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=．设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ， 则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6． 6 【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．20．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积. 【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===， ,CD AD CD BD ∴⊥⊥，22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥， ,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.21．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=，设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，1263DM ⨯==， 63D M DM '==， 则222222666612cos22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．22．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：474733⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果.【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ，可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值， 且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 1117827477tan tan()1637117O HN O HO NHO ---∠=∠-∠====++ 1117827477tan tan()1637117O HM O HO OHM ++∠=∠+∠====-， 所以tan θ的取值范围是4747-+⎣⎦， 故答案为：4747-+⎣⎦. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值；（4）利用和差角正切公式求得结果.23．40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系根据点处的纬度计算出晷针与点处的水平面所成角【详解】画出截面图如下图所示其中是赤 解析：40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故答案为：40°.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，解题的关键是将稳文中的数据建立平面图形，属于中档题.24．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析：823π 【分析】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积.【详解】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B O C O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==,所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==， 所以122OA SB == 所以34822)3V ππ=⨯=， 82π. 【点睛】 解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.三、解答题25．（1）4；（2）60︒；（3）33. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解即可；（2）作辅助线，利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠，再结合等边三角形的性质得出夹角；（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF ，由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V S CC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）记1BC 与1B C 的交点为O ，作AB 的中点E ，连接,OE CE ，异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角3tan 2,cos 2BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.26．723S =侧.【分析】过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案.【详解】如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ，所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C EEF E =，所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=， ()11293322CE CO EO CO C O =-=-=⨯-=， 又2sin 453232EF CE =⋅=⨯=， ∴高()22231132333C F C E EF =+=+=，∴()1393347232S =⨯+⨯⨯=侧．【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（ 1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ,因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点,又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=, 所以3AB =ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.28．（1）证明见解析；（2）12. 【分析】（1）分别证明ABV 和ABC 是等腰三角形，可得答案； （2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，由13VDC S AB 可得答案.【详解】 （1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD ，∵VA=VB ，ABV ∴是等腰三角形，∴AB ⊥VD ，AC BC =，ABC ∴是等腰三角形， AB ⊥CD ，VD CD D =，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ⊂平面VDC ，故AB ⊥VC .（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，132AD AB ==，2VA ，所以221VD VA AD =-=，2AC =，221CD AC AD =-=，又VC=1，所以VDC 是等边三角形， 所以1133sin 601122VDC S VD DC =⨯⨯=⨯⨯=， 故三棱锥V —ABC 的体积等于113123332VDC S AB =．。

一、选择题1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．322．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=3．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则线段MN 的长为 A ．4B 355C 1255D 6554．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3C ．22D ．325．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）A ．210x y --=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．210x y -+=6．若直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6，则4b aab+的最小值为（ ） A ．32+B ．322+C ．5D ．77．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m8．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．3 C ．33 D ．1169．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B 3C ．102D ．210．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α11．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ） A 2B ．22C ．12D 312．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．14．已知点(),P x y 是直线()300kx y k +-=≠上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是1，则k 的值为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.16．光线从点()0,5P -出发，经直线210x y -+=反射后到达点()2,0Q ，则光线从P 反射到Q 的总行程为______.17．函数2291041y x x x +-+_________.18．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.21．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.22．三棱锥P ABC -三条侧棱两两垂直，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，P 与D 在面ABC 异侧，则所成多面体外接球的体积是_________．23．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．24．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．三、解答题25．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．26．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.27．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AAAB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ： （2）求四棱锥E ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 2．B解析：B 【分析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=22﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选B ． 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．3．C解析：C 【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长． 【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y=0①，x 2+y 2+2x ﹣8=0，② ①﹣②可得：x ﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为∴圆心到公共弦的距离为=∴公共弦长==故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.4．C解析：C 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】圆1C ：221x y +=的圆心坐标为(0,0)，圆2C ：()()22124x y -++=的圆心为(1,2)-，由题得线段AB 的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以02201AB k +==--, 所以线段AB 的垂直平分线为02(0),20y x x y -=--∴+=. 所以线段AB 的垂直平分线为20x y +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.6．B解析：B 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即12ab +=，再由基本不等式即可得解. 【详解】由题得圆的方程可以化为22(2)(1)9x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为3r =， 因为直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6， 所以直线经过圆心，所以2440a b +-=，即12ab +=， 所以44144332322222b a a b a b a b ab a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++≥+⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当422,21a b =-=-时取等号， 所以4b aab+的最小值为322+. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．8．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，32DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 3EFFED DE ∠===．所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36．故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．C解析：C【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()22AC CM AM ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.10．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知： 对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．11．B解析：B 【分析】 连接11A N B AB =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为2211111514MB MC C B =+=+=221514MA MC CA =+=+， 所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为1111211222B N AB ==+=，所以点1B 到截面1A BM 的距离为22， 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =， 所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：613,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝⎭【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即236131323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．14．【分析】先求圆的半径四边形的最小面积是1转化为三角形的面积是求出切线长再求的距离也就是圆心到直线的距离可解的值【详解】解：圆的圆心半径是由圆的性质知：四边形的最小面积是1是切线长）圆心到直线的距离就 解析：±1【分析】先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是1，转化为三角形PBC 的面积是12，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值． 【详解】解：圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是1， ()min 1122PBC rd S ∆==∴(d 是切线长） min 1d ∴=圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2222111k+==+1k ∴=±故答案为：±1【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．15．【分析】根据题意知点为的中点设再由得利用韦达定理建立方程解得即可【详解】由题知点为的中点设直线设将直线带入圆的方程得则由得即所以解得故直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系属于基础题 解析：33y x =±-【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线带入圆的方程得()221660k x kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k ⋅=+，由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.16．【分析】计算出点关于直线的对称点的坐标则光线的总行程为利用两点间的距离公式可得出结果【详解】设点关于直线的对称点为则解得即点因此光线从反射到的总行程为故答案为：【点睛】本题考查光线反射的问题一般要求【分析】计算出点P 关于直线210x y -+=的对称点P '的坐标，则光线的总行程为P Q '，利用两点间的距离公式可得出结果. 【详解】设点P 关于直线210x y -+=的对称点为(),P a b '，则5102512b a b a -⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得245135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点2413,55P ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭， 因此，光线从P 反射到Q的总行程为P Q '==【点睛】本题考查光线反射的问题，一般要求出点关于直线的对称点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将yy =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.18．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的解析：【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径2R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：12aR r -=-=，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为：410 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．21．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，3x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =O 的表面积为2231643S ππ=⨯=⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.22．【分析】根据几何体的几何关系可将几何体放在正方体中多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球由此可求外接球的体积【详解】如图所示并且两两互相垂直所以所以正四面体与三棱锥相接且棱长为所以如图所示将此多 解析：3π 【分析】 根据几何体的几何关系，可将几何体放在正方体中，多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由此可求外接球的体积.【详解】如图所示，AB AC BC ==，并且,,PA PB PC 两两互相垂直，所以222222PA PB PA PC PB PC +=+=+，所以PA PB PC ==，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，所以如图所示，将此多面体放在正方体中，多面体的外接球就是此正方体的外接球，并且棱长为1，正方体外接球的半径22221113R =++=，得3R =，则外接球的体积3433V R ππ==. 故答案为：3π2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据多面体的几何关系可采用补体，转化为求正方体的外接球的体积，这样计算就容易了.23．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ，则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -， 根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ，母线长为()22310r r r +=，所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ⨯=，所以210910r ππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=.故答案为：100π【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键. 24．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析：o 60.【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得AD PD ==PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为：o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCDBC ∴⊥面PAB ，又PA ⊂面PABPA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD 由11 33BCE E PBC P BCE PBC BCE PBCS POV V S h SPO h S --=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCE S =，PBC S ，所以h =. 所以点E 到平面PBC .【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解.26．（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）可由PD BD ⊥，PA BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，故BD AD ⊥，再由BD BC ⊥和PD BC ⊥可得BC ⊥平面PBD ，从而面PBC ⊥面PBD（2）可利用1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===，进行转化求体积. 【详解】解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥.又PA BD ⊥，PA PD P =，平面PD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥.在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，所以BD BC ⊥.由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，而BD PD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD . 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）可知，BD AD ⊥，而45DAB ∠=，则ADB △为等腰直角三角形，又4AB =，所以22PD BD AD ===，连接AC ，由点,M N 分别是,PA PC 的中点，所以PMN PAC 且12MN AC =， 所以14PMN PAC S S =，则1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===， 在平行四边形ABCD 中，1222242ABC ABD S S ==⨯⨯=， PD 为三棱锥P ABC -的高，所以1182422333P ABC ABC V S PD -=⨯=⨯⨯=， 所以三棱锥P MBN -的体积为12243P MBN P ABC V V --==. 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2. 【分析】（1）连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，易得1//OE BD，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由长方体的特征得到1AB AD ⊥，再由11A D AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得1A D ⊥平面1AD E 即可.（3）易得CE DE ⊥，再由1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，得到1CE D D ⊥，可得CE ⊥平面1D DE ，由1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角求解.【详解】（1）如图所示：连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，则O 为1AD 的中点.∵E 是AB 的中点，∴1//OE BD又OE ⊂平面1A DE ，1BD ⊄平面1A DE ，∴1//BD 平面1A DE .（2）由题意可知，四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥.∵AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB AD ⊥.∵AB 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1AB AD A =，∴1A D ⊥平面1AD E .又1D E ⊂平面1AD E ，∴11A D D E ⊥，即11D E A D ⊥.（3）在CED 中，2CD =，DE ==，CE == ∴CE DE ⊥∵1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，∴1CE D D ⊥.∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，1D D DE D ⋂=，∴CE ⊥平面1D DE .又∵1D E ⊂平面1D DE ，∴1CE D E ⊥.∴1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角.在A 1D ED 中，∵190D DE ∠=︒，11=D D ，DE =∴11tan D D D ED DE ∠===，∴二面角1D EC D --的正切值为2. 【点睛】 方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．28．（1）证明见解析；（2 【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面ACE 内找一条直线与PB 平行；。

一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A ．33, B ．133, C ．122, D ．23, 3．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)x y ++-=4．已知圆22:(2)(2)10+++=C x y ,若直线:2l y kx =-与圆交于,P Q 两点,则弦长PQ 的最小值是( )A B ．4C ．D ．5．已知M 、N 分别是圆()()22:161C x y ++-=和圆()()22:261D x y -+-=上的两个动点，点P 在直线:l y x =上，则PM PN +的最小值是（ ）A ．2B ．10C 2D ．126．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1x y -++=B ．22(2)(2)1x y ++-=C ．22(2)(2)1x y -+-=D ．22(2)(1)1x y -+-=7．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥8．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行； ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个9．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．323πB ．48πC ．32327π D ．643π 10．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（ ）A ．2B ．255C ．3 D ．27711．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________． 14．经过圆C ：2220x y x ++=的圆心，且与直线320x y +-=垂直的直线方程是______. 15．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.16．已知圆()2221x y +-=上一动点A ，定点()6,1B ，x 轴上一点W ，则AW BW+的最小值等于______.17．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．18．函数2291041y x x x =+-+_________.19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．22．已知三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积为12π，PA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，2PA =，则ABC 面积的最大值为__________．23．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）24．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.三、解答题25．一副标准的三角板（如图1），ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥（如图2），设M 是线段AC的中点，N 是线段BC 的中点.（1）求证：平面ABC ⊥平面EMN ； （2）设平面ABE平面MNE l =，求证：//l AB .26．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.27．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.28．如图，在三棱锥P ABC -中，1,2,135AB AC BAC ︒==∠=，1cos ,3BAP AP BC ∠=-⊥．（1）若23BM MC =，求证：PM BC ⊥； （2）当3AP =，且N 为BC 中点时，求AN 与平面PBC 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．C解析：C 【分析】由韦达定理求出1,a b ab c +=-=，然后求出2||()4a b a b ab -=+-两平行线间的距离范围. 【详解】由已知得两条直线的距离是2d =，因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根，所以1,a b ab c +=-=， 则2||()4=14a b a b ab c -=+--，因为108c ≤≤，所以1222，即122d . 故选：C 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，韦达定理和不等式，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径． 【详解】由题意得：圆心在直线x=-1上， 又圆心在直线x+y=0上， ∴圆心M 的坐标为（-1，1），又A （-3，0），半径则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5． 故选A ． 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．4．D解析：D 【分析】由题意，求解圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2y kx =-过定点(0,2)A -，又由圆22:(2)(2)10+++=C x y 的圆心坐标(2,2)--，半径r =，则A 点到圆心的距离可得2d ==，由圆的弦长公式，可得l ===即弦长PQ 的最小值为 D. 【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】计算圆心()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，计算1C D =.【详解】圆()()22:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()22:261D x y -+-=的圆心为()2,6，()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D ==，故PM PN +的最小值是1122C D r r --=.故选：C. 【点睛】本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.6．A解析：A 【分析】设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，解方程组111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩得22a b =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】圆1C 的圆心为1(1,1)C -，设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，依题意得111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，又圆2C 的半径与圆1C 的半径相等， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点线点对称，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 8．C解析：C 【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断． 【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误； 对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确． 故真命题的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．9．A解析：A【分析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，将四棱锥补成棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，进而可得答案.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的高为4，将四棱锥补成棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径2R 等于正方体的对角线长， 即24323R R =⇒=，所以该几何体外接球的体积为()34233π⨯=323π，故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 10．D解析：D【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值.【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE AC , 1//EF BC ,且OEEF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ， 又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角，sin OA OPA OP∴∠=, OA 为定值， ∴当OP 最小时，正弦值最大， 而22OP OA AP +所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大，故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大，设棱长为2， 则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒, 32AP ∴=, 又1212OA =⨯=, 222sin 773()12OA OPA OP ∴∠===+故选：D【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O 的平面与平面11A BC 平行，P 在所找平面与平面ABC 的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.11．A解析：A【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项.【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直；对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥， M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP AC '⊥，同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥， M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=，同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=，所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形，易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC'， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．12．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【详解】即整理化简得cos∠AOB＝－过点O作AB的垂线交AB于D则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－得cos2∠AOD＝又圆心到直线的距离为OD＝所以cos2∠AOD ＝＝＝所以r2＝10r ＝【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD=，所以cos 2∠AOD ＝15＝22OD r ＝22r ，所以r 2＝10，r . 14．【分析】求出圆心坐标所求直线与垂直则点斜式写出直线方程【详解】因为所求直线与垂直则又圆心坐标所以直线方程为：即故答案为：【点睛】(1)在求直线方程时应选择适当的形式并注意各种形式的适用条件(2)对于 解析：1133y x =+ 【分析】求出圆心坐标(1,0)C -，所求直线与320x y +-=垂直，则13k =，点斜式写出直线方程. 【详解】因为所求直线与320x y +-=垂直，则13k =，又圆心坐标(1,0)C - 所以直线方程为：10(1)3y x -=+ 即1133y x =+ 故答案为：1133y x =+ 【点睛】(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 15．【分析】求出点坐标由于直线与直线垂直得出直线的斜率为再由点斜式写出直线的方程【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角再继续旋转角得到则直线与直线垂直即直线的斜率为所以直线的方程为即故答案为： 解析：230x y --=【分析】求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为12，再由点斜式写出直线l 的方程.【详解】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩= 由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12 所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --=【点睛】 本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题. 16．【分析】根据题意画出示意图进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆以及点B （61）的图象如图作B 关于x 轴的对称点连接圆心与则与圆的交点A 即为的最小值为点（02）到点（6-1）的距离减圆的半径即故答案 解析：351-【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆()2221x y +-=，以及点B （6，1）的图象如图，作B 关于x 轴的对称点B '，连接圆心与B '，则与圆的交点A ，AB 即为AW BW +的最小值，AB 为点（0，2）到点B '（6，-1）的距离减圆的半径，即22(60)(12)1351AB =-+--=，故答案为：351．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点；17．【分析】结合已知利用垂径定理和勾股定理可求出的值进而求出的值；把代入抛物线方程求出的值可得圆心坐标和半径从而得到所求的圆的标准方程【详解】由题意可得点到轴的距离为又已知圆被轴截得的弦长为6得则所以因 解析：22(4)(4)25x y -+-=【分析】结合已知，利用垂径定理和勾股定理可求出||AF 的值，进而求出p 的值；把(4,)A m 代入抛物线方程，求出m 的值，可得圆心坐标和半径，从而得到所求的圆的标准方程.【详解】由题意可得点(4,)A m 到y 轴的距离为4，又已知圆C 被y 轴截得的弦长为6，得5AF ==， 则452p +=， 所以2p =，因为点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，且0m >，所以4m ==，故圆C 的标准方程为：22(4)(4)25x y -+-=.故答案为：22(4)(4)25x y -+-=.【点睛】本题是一道关于圆和抛物线的题目，求出圆心坐标和半径是关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.18．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将y y =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC ==+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值；【详解】解：y ==()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴= 故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题. 19．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC AC 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．【详解】4,42AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC AC 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆， 其面积为224S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上． 20．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABC S BC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．21．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案.【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD '平面BCD BD =， CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '，因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CD A CD S A B S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理. 22．2【分析】由球的表面积可求出半径取的中点可得设由基本不等式可得即可求出面积的最大值【详解】因为球的表面积为所以球的半径取的中点则为的外接圆圆心平面设由得因为所以当且仅当时取等因为的面积为所以面积的最 解析：2【分析】由球的表面积可求出半径3R =，取BC 的中点D ，可得1OD =，设AB x =，AC y =，由基本不等式可得4xy ≤，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为球O 的表面积为12π，所以球O 的半径3R =．取BC 的中点D ，则D 为ABC 的外接圆圆心，PA ⊥平面ABC ，112OD PA ∴==， 设AB x =，AC y =，由2222134+==+=+=x y R OC CD OD ，得228x y +=． 因为222x y xy +≥，所以4xy ≤，当且仅当2x y ==时取等．因为ABC 的面积为1122⋅=AB AC xy ，所以ABC 面积的最大值为2． 故答案为：2.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是是建立勾股关系，利用基本不等式求出4xy ≤.23．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确.【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =； ∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴+，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角， 在Rt ABC 中, tan 2AC ABC BC ∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE AD ⊥，又BD AD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB平面ABD ， ∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCE V V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确． ∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CDAD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确.故答案为：①③④．思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明. 24．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析：82π 【分析】取AB 中点1O ，连接11,OC O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积.【详解】取AB 中点1O ，连接11,OC O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B OC O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心， 取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==,所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==，所以122OA SB == 所以3482(2)3V ππ=⨯=， 82π.解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.三、解答题25．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）只要证明MN BC ⊥，EN BC ⊥，即得；（2）由（1）知MN ∥AB ，可得//AB 平面MNE ，又平面ABE ∩平面MNE ＝l ，利用线面平行推导出线线平行即可.【详解】证明：（1）设BC 的中点为N ，连结MN ，EN ，如图，因为M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，所以MN ∥AB ，因为AB ⊥BC ，所以MN ⊥BC ，因为BE ⊥EC ，BE ＝EC ，N 是BC 的中点，所以EN ⊥BC ，又MN ⊥BC ，MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，所以BC ⊥平面EMN ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面EMN证明：（2）由（1）知MN ∥AB ，AB ⊄平面EMN , MN ⊂平面EMN ,所以//AB 平面MNE ，又AB 平面ABE ，且平面ABE ∩平面MNE ＝l ，所以l ∥AB.【点睛】关键点点睛：利用线线平行可判定线面平行，根据线面平行的性质定理可得线线平行，注意图中没有平面ABE ∩平面MNE ＝l ，但利用性质定理即可证明.26．（1）200π（2）80【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可.【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形，所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ，则R == 24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==，在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△ 11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质可得出//EF AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理可得出BE⊥平面ACD ，进而可证得BE CD ⊥.【详解】（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴. EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥， 又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ， BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥.。

一、选择题1．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,2．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（ ）A ．23πB ．2πC ．2π D ．π3．已知(),x y 为半圆22:(2)(1)1(1)C x y y -+-=≥上一动点，则1y x-最大值为（ ） A ．33B ．2C ．12D 34．已知圆22:(2)(2)10+++=C x y ,若直线:2l y kx =-与圆交于,P Q 两点,则弦长PQ 的最小值是( ) A 5B ．4C ．25D ．265．设直线()():110l mx m y m R +--=∈，圆()22:14C x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 有可能无公共点B ．若直线l 的一个方向向量为()1,2a =-，则1m =-C ．若直线l 平分圆C 的周长，则1m =或0n =D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为236．ABC 中，(1,5)A ，高BE ，CF 所在的直线方程分别为20x y -=，5100++=x y ，则BC 所在直线的方程是（ ）．A ．04=+y xB ．528x y -=C ．350x y +=D ．5328x y -=7．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面 8．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．323πB ．48πC 323D ．643π 9．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326D ．6，2210．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π11．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ）A ．23+B ．223+C ．63D ．612．已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，14,42AB BD ==60BAD ︒∠=，则异面直线1BC 与1AD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．过点(1,1)C -和点(1,3)D ，且圆心在x 轴上的圆的方程是__________. 15．已知点(),P x y 是直线()300kx y k +-=≠上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是1，则k 的值为__________.16．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.17．已知圆221:9C x y +=，圆222:4C x y +=,定点(1,0)M ,动点A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=,则线段AB 的取值范围_______.18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm . 20．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.21．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；22．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．23．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．24．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 26．将棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.27．如图，在三棱锥M 中，M 为BC 的中点，3PA PB PC AB AC =====，26BC =（1）求二面角P BC A --的大小； （2）求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值.28．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理出．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】 设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．2．D解析：D 【分析】把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可. 【详解】把正四面体ABCD 放在正方体AFCE HBGD -中，并建立如图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为a ，因为正四面体ABCD 的棱长为422422a a a +=⇒=因此相应点的坐标为：(0,00),(22,0,22),(22,22,0),(0,22,22)D A B C ，， 因为N 是CD 上的动点，所以设点N 的坐标为：(0,,)n n ，设AM mAB =，000(,,)M x y z ，因此有000(22,,22)(0,22,22)x y z m --=-， 因此00022,22,2222x y m z m ===， 设MN 中点为(,,)P x y z ，因此有：22222222(1)2222222222xx m n y m n y m n z m n z ⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪+⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪-=-⎪⎪⎩-+=⎪⎪⎩， 因为3MN =，所以222(22)(22)(2222)3m n m n +-+--=，化简得：22(22)(2222)1(2)m n m n -+--=，把(1)代入(2)中得：221(2)(2)4y z -+-=，显然 MN 中点的轨迹是圆，半径为12，圆的周长为：122ππ⋅=. 故选：D 【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.3．A解析：A 【分析】1y x-表示点(),P x y 到点()0,1A 的斜率，当直线PA 与半圆相切时斜率最大，计算得到答案. 【详解】1y x-表示点(),P x y 到点()0,1A 的斜率，如图所示：当直线PA 与半圆相切时斜率最大， 此时1PC =，2AC =，3PA =，故斜率为3tan PAC ∠=. 故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，将1y x-转化为点(),P x y 到点()0,1A 的斜率是解题关键.4．D解析：D 【分析】由题意，求解圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2y kx =-过定点(0,2)A -，又由圆22:(2)(2)10+++=C x y 的圆心坐标(2,2)--，半径r =， 则A点到圆心的距离可得2d ==，由圆的弦长公式，可得l === 即弦长PQ的最小值为 D. 【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．D解析：D 【解析】对于A ，0m ≠ 时，由已知，圆的圆心为10（，） ，半径为2，圆心到直线的距离为：12d =＜， 所以直线与圆一定相交； A 错；对于B ，直线l 的一个方向向量为()1,2a =-,则直线的斜率为2,- 则2,21mm m -=-∴=- 故B 错误；对于C ，直线l 平分圆C 的周长，则直线过圆心10（，） , 则1m =，C 错； 对于D ，若直线l 与圆C 有两个不同交点M N 、，线段MN 的长的最小时圆心到直线的距离最大，即0m =时的1d =，此时MN =；故D 正确． 故选D ．6．C解析：C 【分析】由垂直关系可得AB 和AC 的斜率，进而可得AB 和AC 的方程，分别解方程组可得B ，C 的坐标，进而可得方程. 【详解】解：∵两边AB ，AC 上的高线方程分别为5100++=x y 与20x y -=，∴它们的斜率分别为15-，12，故AB 和AC 的斜率分别为5，2-， ∴AB 和AC 的方程分别为()551y x -=-，()521y x -=--， 整理为一般式可得50x y -=，270x y +-= 联立方程组5020x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即()0,0B ，同理联立2705100x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，即()5,3C -，∴BC 所在直线的方程为3050y x --=-，即350x y +=. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.7．D解析：D 【分析】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，利用正方体性质可求得MN =EF =知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则MN ==作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF △中，1EG =，GF ==EF ==以12MN EF ≠，故排除A 、C 连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D =又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C 又11//A D B C ，所以//MN ED ， 又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.8．A解析：A 【分析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，将四棱锥补成棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，进而可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中四棱锥底面是边长为4的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的高为4， 将四棱锥补成棱长为4的正方体， 则该几何体的外接球就是正方体的外接球， 外接球的直径2R 等于正方体的对角线长， 即24323R R =⇒=，所以该几何体外接球的体积为()34233π⨯=323π，故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形． 当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.10．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．11．A解析：A 【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解. 【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==2AC =，222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=， 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=， 等边ABD △2332=， 等边BCD △2332=， 所以该几何体的表面积是33112322+++= 故选：A.12．A解析：A 【分析】把1AD 平移到1BC ，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角． 【详解】 连接1,BD BC ，∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1BC 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)为异面直线1BC 与1AD 所成的角，由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1BC 与1AD 所成的角为90°. 故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >22323,4a a +=+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【解析】设圆的方程为将和代入得解得：∴圆方程是故答案为点睛：求圆的方程主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意 解析：22(2)10x y -+=【解析】设圆O 的方程为222()x a y r -+=，将(1,1)C -和(1,3)D ，代入得()()22221119a r a r⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：2a =，210r =， ∴圆方程是22(2)10x y -+=， 故答案为22(2)10x y -+=． 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．15．【分析】先求圆的半径四边形的最小面积是1转化为三角形的面积是求出切线长再求的距离也就是圆心到直线的距离可解的值【详解】解：圆的圆心半径是由圆的性质知：四边形的最小面积是1是切线长）圆心到直线的距离就解析：±1【分析】先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是1，转化为三角形PBC 的面积是12，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值． 【详解】解：圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是1， ()min 1122PBC rd S ∆==∴(d 是切线长） min 1d ∴=圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2222111k +==+1k ∴=±故答案为：±1【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．16．【分析】求出点坐标由于直线与直线垂直得出直线的斜率为再由点斜式写出直线的方程【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角再继续旋转角得到则直线与直线垂直即直线的斜率为所以直线的方程为即故答案为： 解析：230x y --=【分析】求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为12，再由点斜式写出直线l 的方程. 【详解】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩=由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --= 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.17．【分析】因为可得根据向量和可得即由分别在圆和圆上点设求得由可得即可得到设中点为求得的取值范围即可求得答案【详解】分别在圆和圆上点设则由可即整理可得：设中点为则即点的轨迹是以为圆心半径等于的圆的取值范解析：11]【分析】因为90AMB ︒∠=，可得MA MB ⊥，根据向量和可得AB MA MB =+，即2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB +=++⋅=，由A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，求得()21212||132AB x x y y -+=，由MA MB ⊥，可得1212121x x y y x x +=+-，即可得到()212||152AB x x =-+，设AB 中点为()00,N x y ，求得0x 的取值范围，即可求得答案. 【详解】90AMB ︒∠=MA MB ∴⊥，2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB ∴+=++⋅=，A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，∴2211222294x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 则()()()22221211212||132AB x x y y x x y y =-+-=-+，由MA MB ⊥，可()()11221,1,0x y x y -⋅-=， 即()()1212110x x y y --+=， 整理可得：1212121x x y y x x +=+-，()()21212||1321152AB x x x x ∴=-+-=-+，设AB 中点为()00,N x y ，则20||154AB x =-，∴01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，()()()2200121212041321321114x y x x y y x x x ∴+=++=++-=+即2200132x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，点()00,N x y 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ∴的取值范围是1122⎡⎢⎣，20||154AB x ∴=-的范围为13⎡-+⎣，故：||AB的范围为11]故答案为：11]． 【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为：解析：【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值． 【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切 解析：125π 【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长.【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高4cm AF =，母线5cm AB AC ==，设ABC 的内切圆O 与圆锥的母线相切与点E ，则OE AB ⊥，则该圆锥内半径最大的球即以O 为圆心，OE 为半径的球，在直角三角形ABF 中，2222543cm BF AB AF =-=-=，由圆的切线性质可得3cm BE BF ==，所以532cm AE AB BE =-=-=，在直角三角形AFB 和直角三角形AEO 中，因为∠∠EAO BAF =，所以△△AFB AEO ~，所以AE OE AF BF =，则可得3cm 2OE =， 过点E 作ED AF ⊥，D 为垂足，则球O 与圆锥的侧面的交线是以DE 为半径的圆， 354cm 22AO AF OF =-=-=， 因为1122△AEO S AE OE ED AO =⋅=⋅，所以6cm 5ED =， 所以球O 与圆锥的侧面的交线长为6122cm 55ππ⨯=. 故答案为：125π. 【点睛】 本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决. 20．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算.【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====可得111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112AC B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '==，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O BO C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=，由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=，所以球心恰好为点O ， 所以球的半径为22，所以该三棱台外接球的表面积为24(22)32ππ=.故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 21．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析：22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =， 30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =， 所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥，所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 22．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26【分析】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可.【详解】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ， 因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以11A N PC ， 因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ， 所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形，因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1AMCN ， 所以1//PC 平面1A MCN ，同理可证//PB 平面1A MCN ，因为1PC PB P ⋂=，所以平面1//PBC 平面1A MCN ，因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1AMCN ， 连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ， 由115AM A N ==，22MN = 可得()()221523A H =-= 所以1111223622A MN S MN A H =⨯⨯=⨯= 所以平行四边形1A MCN 的面积为1226A MN S=故答案为：26【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.23．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析：163π 【分析】 P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】 PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ， 故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO BO ==， 设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =，故21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.24．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法三、解答题25．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.【详解】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥，又112EF CC =，则OG EF =， 所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ， 故//OF 平面ABE .（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，设2AB =，则114AA CC ==，又1CE C F =，则1CE =，3CG =，得2EG =，所以，直线EG 与平面ABC 所成角的余弦值为32， 故直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值为3. 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； （3）利用面面平行的性质定理：直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，。

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．7 2．如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴,,Ox Oy Oz 上，则定点D 的坐标为（ ）A ．()1,1,1B ．2,2,2C ．3,3,3D ．()2,2,2 3．已知0a ≠，直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D 24．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．67B ．127C ．24D ．65．已知直线:20()l kx y k R +-=∈是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，若点(2,)A k ，B 为圆C 上任意的一点，则线段AB 长度的最小值为（ ）A 52B ．2C 5D 52 6．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“5a =是“0OA OB ⋅=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l l D ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //9．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<10．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326D ．6，22 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1412．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）（参考数据）π 3.14≈，2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45≈．A ．101gB ．182gC ．519gD ．731g二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．15．已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=，m R ∈，则直线l 截圆C 所得弦长AB 的最小值为__________. 16．直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，则11a b+的最小值为__________ 17．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______．18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______. 19．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________. 20．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.21．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.22．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 23．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________. 24．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________.三、解答题25．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且834,AB PD ==①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA AC ===.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面1BB C ；（2）求四棱锥11C ABB A -的体积.27．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．28．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 2．A解析：A【解析】 2ABCD 可以放到正方体中，已知D 点、O 点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为()1,1,1，选A.3．B解析：B【分析】根据两直线垂直,得到关于,a b 的等式224a b +=,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】因为直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直,所以2(2)(2)0a b b ++-=,即224a b +=,因为222a b ab +≥,所以24ab ≤,即2ab ≤,故选:B.【点睛】本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大.4．A解析：A【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积.【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=，故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅= 故选：A【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题. 5．D解析：D【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，求得1k =，得到点(2,1)A ，再结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，圆22:6260C x y x y +-++=，可得圆心(3,1)C -，半径为2r因为直线:20l kx y +-=是圆22:6260C x y x y +-++=的一条对称轴，则(3,1)C -在直线l 上，即3120k --=，解得1k =，所以(2,1)A ，则AC ==，所以线段AB 长度的最小值为min ||||2AB AC r =-=.2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得k 的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.6．A解析：A【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,y ay a -+-= 由0OA OB ⋅=12120x x y y ⇔+=，可得()21212520y y a y y a -++=，根据韦达定理解出a ，进而可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,y ay a -+-= 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 因为0OA OB ⋅=12120x x y y ⇔+=，()()1212220y a y a y y ∴--+=，()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a a a a -∴⨯-⨯+=，解得a =210a <，则“a =是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.7．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．C解析：C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴， 1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】 方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．9．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin PO PCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>， 因为sin PO PE γ=，sin PO PCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.10．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形． 当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.11．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.12．B解析：B 【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a 2223632aa a ⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭设正四面体外接球半径为R ，则222623()()3a R R =+，解得R =6a 所以3D 打印的体积为：323346113662343223812V a a a a ππ⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭， 又336216a ==，所以276182207.71125.38182.331182V π=-≈-=≈， 故选：B关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.15．【分析】求出直线所过定点判断定点在圆内数形结合知直线截圆所得弦长最小时弦心距最大此时利用斜率求出参数m 即可由勾股定理求出此时的弦长【详解】直线l 可化为令所以直线l 恒过定点易知点A 在圆C 内所以直线截圆解析：【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线l 截圆C 所得弦长最小时，弦心距最大，此时CA l ⊥，利用斜率求出参数m ，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l 可化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ，令2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 恒过定点()3,1A ，易知点A 在圆C 内，所以直线l 截圆C 所得弦长最小时，弦心距最大，此时CA l ⊥，圆()()22:1225C x y -+-=，圆心()1,2，半径为5，∴12CA k =-，又CA l ⊥，则2121l m k m +=-=+，解得34m =-，||41CA =+=∴直线l 截圆C 所得弦长的最小值为5=故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题.16．【分析】由得可知圆心为半径为2而所以可得直线过圆心由此得所以可化为然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由得所以曲线表示圆其圆心为半径为2因为直线与曲线交于且所以直线过圆心所以所以当且仅当即时解析：3+【分析】由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，可知圆心为(1,2)，半径为2，而AB 4=，所以可得直线过圆心，由此得21a b +=，所以11a b+可化为112a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()，然后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=， 所以曲线222410x y x y +--+=表示圆，其圆心为(1,2)，半径为2，因为直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，所以直线()10,0ax by a b +=>>过圆心(1,2)， 所以21a b +=，所以11112a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭()2333b a a b =++≥+=+当且仅当2b aa b =，即212a b ==时，取等号故答案为：3+【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题17．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <时，倾斜角23παπ<<， 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.18．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为22d a b=+，则2224224b a b=-+，化为22223a b c a ==-， 即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.19．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 解析：31020【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =，所以111=2EO AC==，BE==因为111A B C△是等边三角形，112AE A A=，所以11B O==因为1BB⊥平面111A B C，11B O⊂平面111A B C，所以1BB⊥11B O，所以1BO===在1BEO中，22211115192cos2BE EO BOBEOBE EO+-+-∠===⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC与BE所成角的余弦值为20，【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又解析：【分析】分别取棱1BB、11B C的中点M、N，连接MN，易证平面1//A MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时1A P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EMM ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =， ∴四边形1C CME 为平行四边形， 1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NMCM M =，∴平面//NMC 平面1C EF ．P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ，∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，222211114225C E C D D E =+=+=同理，在Rt △11C D F 中，可得125C F =，∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长．()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是[32,25]．故答案为：[32,25] 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．21．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得3232h =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r时，S 圆柱侧取得最大值为43π故答案为：43π. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.22．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三 解析：23π 【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r ，最后计算体积即可. 【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =．设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=， 如图，是圆锥轴截面三角形图， 所以3r R h r =-，解得：22r ， 故34422233r V πππ==⨯=． 故答案为：23π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题. 23．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点 解析：323π 【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ，则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD == 所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =，所以外接球的体积343233V R ππ==， 故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．24．【分析】】解方程得出棱台的上下底面边长根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高【详解】解方程x2－9x ＋18＝0得x=3或x=6∴棱台的上下底面边长分别为36设棱台的斜高为h 则∴h=即答案为【解析：52【分析】】解方程得出棱台的上下底面边长，根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高．【详解】解方程x 2－9x ＋18＝0得x=3或x=6，∴棱台的上下底面边长分别为3，6．设棱台的斜高为h ，，则22143636452h ⨯⨯+=+=（） ， ∴h=52． 即答案为52． 【点睛】本题考查了棱台的结构特征，画出草图帮助观察各线段的关系比较重要．三、解答题25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π.【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果；（Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角.【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°，∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ，∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥．∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4．②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影．∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．26．（1）证明见解析；（2）33. 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，先证明AB ⊥平面1BB C ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由（1）得到AB BC ⊥，求出BC 和1BC ，过点C 作1CD BB ⊥于点D ，求出CD ，再由棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）∵1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，∴1B C AB ⊥，又四边形11ABB A 为矩形，∴1AB BB ⊥. 又∵111B B BC B ⋂=，1B B ⊂平面1BB C ，1B C ⊂平面1BB C ，∴AB ⊥平面1BB C ， 又AB 平面11ABB A ，∴平面11ABB A ⊥平面1BB C .（2）由（1）知AB ⊥平面1BB C ，∴AB BC ⊥，则223BC AC AB =-=，从而()221231B C =-=，在1BB C △中，过点C 作1CD BB ⊥于点D ，由于平面11ABB A ⊥平面1BB C ，平面11ABB A 平面11BB C BB =， ∴CD ⊥平面11ABB A ，由1111122BC B S B C BC BB CD =⋅=⋅可得3CD =， ∴四棱锥11C ABB A -的体积为1111331233ABB A V S CD =⋅=⨯⨯⨯=.【点睛】方法点睛：证明空间中位置关系时，通常根据空间中线面、面面平行或垂直的判定定理及性质，直接证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量等，根据空间位置的向量表示进行判断.。

一、选择题1．已知两直线20ax y -+=与2(1)0x a y a -++=平行，则a = （ ）A ．2-B ．0C ．2-或1D ．12．已知直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点，则实数ｍ的取值范围是（ ）A ．2[0,5)5B ．2[5,0]5-C ．22(5,5)55-D ．14[0,) 3．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,4．当k 变化时，直线30kx y k -+=和圆2216x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定 5．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米.（注意：10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对 6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：38．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π 9．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．3C ．33D ．3212．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，若点(1,2,3)A ，(1,1,4)B -，点C 是点A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为_________.14．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．15．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线310x y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.16．经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．17．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．18．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 19．如图，在一个底面面积为410的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.20．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________． 21．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 2②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）22．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 23．将底面直径为8，高为23为______.24．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题25．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）；（2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ，①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值；②求点1A 到平面ABD 的距离27．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理出．28．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V —ABC 的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】∵直线20ax y -+=与()210x a y a -++=平行∴21a a =+，且21a a ≠+ ∴1a =故选D点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意,x y 的系数不能同时为零的这一隐含条件； （2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.2．A解析：A【分析】由直线方程得到直线过定点()3,0P -，且斜率为m ，又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得到答案.【详解】由题意，直线()33y mx m m x =+=+，则直线必过定点()3,0P -，斜率为m ， 又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内做出它们的图象，如图所示，当直线与半圆切与点A 时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角α满足2sin 3α=， 所以25cos 1sin αα=-=，可得直线的斜率为sin 25tan cos m ααα===， 当直线3y mx m =+的倾斜角由此变小时，两图象有两个不同的交点，直线的斜率m 变化到0为止，由此可得2505m ≤<， 所以直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点时，实数m 的取值范围是250,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，及直线方程的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．C解析：C【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒． ∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．4．A解析：A【分析】由题知直线30kx y k -+=过定点3,0，再根据点3,0在圆2216x y +=内即可得答案.【详解】由直线30kx y k -+=得：()3y k x =+，故直线30kx y k -+=过定点3,0， 由于点3,0在圆2216x y +=内，故直线30kx y k -+=和圆2216x y +=的位置关系是相交.故选：A.【点睛】本题考查直线过定点，直线与圆的位置关系，解题的关键在于由题知直线30kx y k -+=过定点3,0，是中档题.5．A解析：A【分析】以点P 为坐标原点，OP 所在直线为y 轴、过点P 且平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，求得点A 的坐标，设所求圆的半径为r ，由勾股定理可列等式求得r 的值，进而可求得圆的方程，然后将30x =-代入圆的方程，求出点N 的纵坐标，可计算出MN 的长，即可得出结论.【详解】以点P 为坐标原点，OP 所在直线为y 轴、过点P 且平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可知，点A 的坐标为()50,10--，设圆拱桥弧所在圆的半径为r ，10OP =，由勾股定理可得()222r OP OA r -+=，即()2221050r r -+=，解得130r =，所以，圆心坐标为()0,130-，则圆的方程为()222130130x y ++=， 将30x =-代入圆的方程得()()2221301303016000y +=--=， 10y >-，解得4010130y =，()()4010130104010120 6.48MN ∴=--=≈（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6．B解析：B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)2CP =-+-= 根据弦长公式得最小值为29||982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7．A解析：A【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--． 当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π． 内切球体积为43π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1．故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8．D解析：D【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =.设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-= 所以()(2222322RR =+，解得3R =， 所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）.故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.9．A解析：A 【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，故选：A.10．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直，这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直； 对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC '， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．11．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角， 因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=， 所以cos FGEGF EG ∠==2326=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.12．C解析：C 【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.二、填空题13．【分析】求出的坐标由空间中两点间的距离公式即可计算与的距离【详解】由题意知则故答案为：【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算解题的关键点是正确求出的坐标14【分析】求出C的坐标，由空间中两点间的距离公式即可计算B与C的距离.【详解】由题意知，()1,2,3C -，则BC ==【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算，解题的关键点是正确求出C 的坐标.14．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即d ==，∴min 11PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413，∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为,1(4,)⎛⎫-∞+∞ ⎝⎭．故答案为：,1(4,)⎛-∞+∞ ⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．15．①④【分析】根据直线方程直线的倾斜角的定义方差公式对立事件的概念分别判断各命题【详解】①直线中令则∴直线必过定点①正确；②直线的斜率为倾斜角为②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后解析：①④ 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②310x y ++=的斜率为3k =-120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．16．或【分析】直接求两直线的交点与等距离的直线一条过AB 的中点一条平行AB 【详解】两直线和的交点为的中点为因为所求直线过且与等距离故所求直线过的中点或与直线平行当直线过的中点时直线方程为即当直线与直线平解析：790x y +-=或210x y ++= 【分析】直接求两直线的交点，与(3,2),(1,6)A B --等距离的直线，一条过AB 的中点，一条平行AB . 【详解】两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点为(2,5)-，(3,2),(1,6)A B --的中点为(1,2)，因为所求直线过(2,5)-且与()3,2A -，()1,6B -等距离， 故所求直线过AB 的中点或与直线AB 平行， 当直线过AB 的中点时，2(5)712k --==--， 直线方程为27(1)y x -=--，即790x y +-=， 当直线与直线AB 平行时，26823(1)4k ---===---，直线方程为52(2)y x +=--，即210x y ++=. 故答案为：790x y +-=或210x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.17．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到2d =，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

一、选择题1．已知直线3y mx m =+和曲线y =（ ）A ．B ．[C ．(D ．[0,72．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．33．若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-4．已知动点M 到()1,1A ，()3,3B -两点的距离相等，P 是圆()2235x y -+=上的动点，则PM 的最小值为（ ）A B ．C ．2D ．25．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．5B ．5+C ．3+D ．3-7．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．7B ．21C D 8．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A B ．35C ．45D9．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．1210．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263-12．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ） A ．//BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．15．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k =________．16．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．17．已知直线l ：230ax y a --+=与圆C ：()()22124x y -+-=相交于P ，Q 两点，则PQ 的最小值为______.18．已知3,1)P 为圆224x y +=上的一点，,E F 为y 轴上的两点，PEF 是以P 为顶点的等腰三角形，直线,PE PF 分别交圆于点,D C ，直线CD 交y 轴于点A ，则CAO ∠=_______．19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．21．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________． 22．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.23．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD24．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．（1）求证：//DF 平面PAB ；（2）求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理出．27．如图，已知在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为2的正三角形，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，若直线PB 与平面ABC 所成的角为6π．（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若PB PC <，求直线AB 与平面PAC 所成角的正弦值．28．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由直线方程得到直线过定点()3,0P -，且斜率为m ，又由曲线24y x =-心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得【详解】由题意，直线()33y mx m m x =+=+，则直线必过定点()3,0P -，斜率为m ， 又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内做出它们的图象，如图所示，当直线与半圆切与点A 时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角α满足2sin 3α=， 所以25cos 1sin αα=-=，可得直线的斜率为sin 25tan cos m ααα===， 当直线3y mx m =+的倾斜角由此变小时，两图象有两个不同的交点，直线的斜率m 变化到0为止，由此可得2505m ≤<， 所以直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点时，实数m 的取值范围是250,5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，及直线方程的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -=-= 故选：B ．本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．3．B解析：B 【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】 由24y x =-可得()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-； 当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-则2,22b ⎡∈-⎣.故选：B 【点睛】 关键点点睛：由24y x =-y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.4．A解析：A 【分析】易知M 轨迹为线段AB 的垂直平分线，由此可求得M 轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由d r -可求得结果. 【详解】M 到,A B 两点距离相等，M ∴点轨迹为线段AB 的垂直平分线，又311312-==---AB k ，AB 中点坐标为()1,2-， M ∴点的轨迹方程为：()221y x -=+，即240x y -+=.由圆的方程知：圆心为()3,0，半径r =∴圆心到直线240x y -+=的距离d ==min PM d r ∴=-==故选：A. 【点睛】结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -（d 为圆心到直线距离，r 为圆的半径）.5．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C ，设(),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；6．B解析：B 【分析】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果. 【详解】设(,)P x y ，因为2PA PB =，所以2222(2)2(1)x y x y ++=-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为22(22)3+2+3=5+3-+ 故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 的高为7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯⨯=A BC S △，12332ABCS =⨯⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h ==. 故选：A.一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.8．B解析：B 【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可． 【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．C解析：C因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.10．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直；对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥， A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，A CB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥， CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥， AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AA C '，A C '⊂平面AA C '，AC BD '∴⊥，M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．11．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 222522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos 10DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.12．C解析：C【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项 DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =，2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=.故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.15．7【分析】先将圆的方程化为标准方程设圆心到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为最小距离为（为圆的半径）根据已知条件求出半径从而可求得的值【详解】圆的方程化为标准方程得则圆的半径为设圆心到直线的距离解析：7 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，圆的半径为r =设圆心()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d == 当dr 时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，符合题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-< 综上，7k = 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.16．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即236131323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．17．【分析】首先求出直线所过定点的坐标当时取得最小再根据弦长公式计算可得；【详解】解：因为所以令所以故直线恒过定点又因为故点在圆内当时取得最小因为所以故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系弦长公式 解析：2【分析】首先求出直线所过定点M 的坐标，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，再根据弦长公式计算可得； 【详解】解：因为230ax y a --+=，所以()()230x a y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩，故直线恒过定点()2,3M ，又因为()()22213224-+-=<，故点()2,3M 在圆内， 当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小， 因为()()2221322MC =-+-= 所以22min 224222PQ r MC =-=-=故答案为：22【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题．18．或【分析】根据题意作出图形过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点再根据中垂线结合平面几何知识求解【详解】过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点所以所以如图1：所以如图2: 解析：30︒或150︒【分析】根据题意，作出图形，过点(3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G - PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，再根据中垂线 OG CD ⊥，结合平面几何知识求解.【详解】过点3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G - PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，所以 OG CD ⊥ ，tan 3GOE ∠=，所以60GOE ∠= ，如图1：090GOA CA ∠+∠= ， 所以030CA ∠=，如图2:0150CA ∠=故答案为：30︒或150︒【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及平面几何的知识，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因 解析：556π； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积.【详解】根据题意，画出图形，3的菱形ABCD 中，对角线3AC =所以ABC 和DBC △都是正三角形，又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径225R GD OG =+=，所以其体积为3344555()3326V R πππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置； （3）利用勾股定理求得半径；（4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 解析：63【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r ．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ， EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =，23EF =．所以6cos OE OEF EF ∠==． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 21．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径 解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】解：因为BC =8AC =，AB BC ⊥，所以AB =4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 4EP ==， 所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.22．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．23．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内 解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面 ，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题.24．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为。

一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-3．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=4．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A ．23k ≤-或0k ≥ B ．38k ≤- C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-5．ABC 中，(1,5)A ，高BE ，CF 所在的直线方程分别为20x y -=，5100++=x y ，则BC 所在直线的方程是（ ）．A ．04=+y xB ．528x y -=C ．350x y +=D ．5328x y -=6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π9．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．43B ．2C ．4D ．610．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π11．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A．该四面体外接球的体积为48πB．该四面体内切球的体积为2 3πC．该四面体外接球的表面积为323πD．该四面体内切球的表面积为2π12．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（）A．8,14253V L==+B．8,1425V L==+C．8,16253V L==+D．8,1625V L==+二、填空题13．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．14．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k =________． 15．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.16．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．17．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 18．已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________19．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．20．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；21．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.22．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，给出如下命题：①ACB △是直角三角形；②此球的表面积等于11π； ③AC ⊥平面PBC ；④三棱锥A PBC -的体积为3. 其中正确命题的序号为______.（写出所有正确结论的序号）23．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD24．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题25．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .26．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ； （2）求二面角PAB C 的大小.27．如图，在三棱锥P ABC -中，1,2,135AB AC BAC ︒==∠=，1cos ,3BAP AP BC ∠=-⊥．（1）若23BM MC =，求证：PM BC ⊥； （2）当3AP =，且N 为BC 中点时，求AN 与平面PBC 所成角的正弦值． 28．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．B解析：B 【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】 由24y x =-可得()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-； 当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-则2,22b ⎡⎤∈-⎣⎦.故选：B 【点睛】关键点点睛：由y =y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.3．D解析：D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．4．A解析：A 【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围. 【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B , 因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥， 故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由垂直关系可得AB 和AC 的斜率，进而可得AB 和AC 的方程，分别解方程组可得B ，C 的坐标，进而可得方程. 【详解】解：∵两边AB ，AC 上的高线方程分别为5100++=x y 与20x y -=， ∴它们的斜率分别为15-，12，故AB 和AC 的斜率分别为5，2-， ∴AB 和AC 的方程分别为()551y x -=-，()521y x -=--， 整理为一般式可得50x y -=，270x y +-=联立方程组5020x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即()0,0B ，同理联立2705100x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，即()5,3C -，∴BC 所在直线的方程为3050y x --=-，即350x y +=. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.6．A解析：A 【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可． 【详解】 解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则221d k=+，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．B解析：B 【分析】根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED ⊥平面ABCD ， 所以其体积为11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下： （1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；（2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.10．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.11．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===所以222(22)2,23R R =+∴=, 所以外接球的体积为343)3233ππ⨯=，所以选项A 错误； 所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误； 由题得22(42)(22)210AC AD ==+=所以△ACD △的高为24026-=， 设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以2r， 所以内切球的体积为3422)3ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()2ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .12．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、填空题13．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.14．7【分析】先将圆的方程化为标准方程设圆心到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为最小距离为（为圆的半径）根据已知条件求出半径从而可求得的值【详解】圆的方程化为标准方程得则圆的半径为设圆心到直线的距离解析：7 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-， 圆的半径为2r k =+设圆心()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d == 当dr 时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，符合题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-综上，7k = 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.15．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

一、选择题1．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO2．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A B C ．D ．3．如果圆()()228x a y a -+-=的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()()3,11,3--⋃B ．()3,3-C ．[]1,1-D ．[][]3,11,3--⋃ 4．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于a ）A B C ．2 D 5．已知圆()()()222:0C x a y a a a -++=>和直线:20l x y ++=，则2a =是圆C 和直线l 相交的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．5B ．5+C ．3+D ．3-7．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ）A ．[2B ．C ．]D ．，] 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A ．2211B ．2211-C ．277D ．21111 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．210．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．4312．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．14．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()254B x m y m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭外切，则实数m 的值为______________.15．已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是__________.16．已知圆221:9C x y +=，圆222:4C x y +=,定点(1,0)M ,动点A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=,则线段AB 的取值范围_______.17．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．18．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足2PA PB =，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.22．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.23．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．24．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.三、解答题25．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥F -BCD 的体积.26．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：BE CD ⊥.27．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.28．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=，当a 变化时，0x =，1y =恒成立，所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立，所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确.对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==≤， 所以MOD 正确.故选：C.【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题. 2．C解析：C【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0，两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程.圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =所以公共弦长为：l ==.故选：C【点睛】 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．D解析：D【详解】圆心(),a a ，半径r =d ，因为圆()()228x a y a -+-=，则圆()()228x a y y a -+-=与圆222x y +=有公共点，'''r r r r r ∴=∴-≤≤+，，即13a ≤≤，解得13a ≤≤或31a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是[][]3,11,3--⋃，故选D.4．A解析：A【分析】依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐标，根据D 到直线BC 的距离等于a .【详解】依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，()()22,AC BD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c ab y xc a b --=-①，直线CD ：()()22a c a b y x c a b-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直线BC 的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以()42D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．A解析：A【分析】由圆C 和直线l 相交，解出a 的范围，结合选项判断即可．【详解】圆C 和直线l 相交，即圆心(),a a -到:20l x y ++=的距离小于半径，()0a a <>，解得a >则2a =是圆C 和直线l 相交的充分不必要条件故选：A【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．B解析：B【分析】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果.【详解】设(,)P x y ，因为2PA PB ==22(2)4x y ∴-+=因此PQ 故选：B【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AAA M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题. 8．D解析：D【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒= 22211cos (7)2BC PCB PC ∠===+，所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.10．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.11．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得33BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅，所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立， 111634sin120322323BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯=， 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==， 所以1144333333A BCD BCDV S h -=⋅≤⨯⨯=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.14．0或16【分析】根据分层抽样的性质得出的值从而得出圆的方程根据圆与圆的位置关系即可得出实数的值【详解】由分层抽样方法知所以分别为所以圆的圆心为（86）半径为5圆的圆心为半径为5由两圆外切知：解得或故解析：0或16【分析】根据分层抽样的性质得出,,a b c 的值，从而得出圆A 的方程，根据圆与圆的位置关系，即可得出实数m 的值. 【详解】由分层抽样方法知，400:300:2508:6:5=，所以,,a b c 分别为8,6,5 所以圆A 的圆心为（8,6），半径为5，圆B 的圆心为3(,)4m m ，半径为555=+，解得0m =或16m =. 故答案为：0或16 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用以及由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.15．8【分析】先求出直线与坐标轴的交点然后用表示出三角形的面积最后利用基本不等式即可求得本题答案【详解】由直线可得与x 轴y 轴的交点坐标分别为所以三角形的面积当且仅当时取等号所以的最小值是8故答案为：8【解析：8 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，然后用λ表示出三角形的面积，最后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】由直线22(2)0x y y λ+++-=，可得与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22(1,0),0,1λλλ+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，(1,)λ∈+∞， 所以三角形的面积1224()(1)(1)448211S λλλλλλ+=+⋅=-++≥=--， 当且仅当3λ=时取等号，所以()S λ的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用问题，考查学生的转化能力和运算求解能力.16．【分析】因为可得根据向量和可得即由分别在圆和圆上点设求得由可得即可得到设中点为求得的取值范围即可求得答案【详解】分别在圆和圆上点设则由可即整理可得：设中点为则即点的轨迹是以为圆心半径等于的圆的取值范解析：1,1]【分析】因为90AMB ︒∠=，可得MA MB ⊥，根据向量和可得AB MA MB =+，即2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB +=++⋅=，由A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，求得()21212||132AB x x y y -+=，由MA MB ⊥，可得1212121x x y y x x +=+-，即可得到()212||152AB x x =-+，设AB 中点为()00,N x y ，求得0x 的取值范围，即可求得答案. 【详解】90AMB ︒∠=MA MB ∴⊥，2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB ∴+=++⋅=，A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，∴2211222294x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 则()()()22221211212||132AB x x y y x x y y =-+-=-+， 由MA MB ⊥，可()()11221,1,0x y x y -⋅-=， 即()()1212110x x y y --+=， 整理可得：1212121x x y y x x +=+-，()()21212||1321152AB x x x x ∴=-+-=-+，设AB 中点为()00,N x y ，则20||154AB x =-，∴0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，()()()2200121212041321321114x y x x y y x x x ∴+=++=++-=+即2200132x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，点()00,N x y 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ∴的取值范围是1122⎡⎢⎣，20||154AB x ∴=-的范围为13⎡-+⎣，故：||AB的范围为1,1]故答案为：1,1]．【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为2d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。