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八年级数学暑假专题—求代数式的值的方法和技巧 人教版

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一. 教学内容：暑假专题——求代数式的值的方法和技巧二. 教学目标：1. 掌握求代数式的值的基本方法。

2. 灵活多变地掌握求代数式的值的方法和技巧，从而提高学生分析问题解决问题的能力。

三. 教学重点和难点：重点：求代数式的值的方法。

难点：求代数式的值的技巧四. 求代数式的值的方法与技巧归纳： （一）整体代入法例1. 已知，则分式的值是多少？x x x x x =+----12229241522分析：由条件变形得，再两边平方得，将x x x x =+-=-=122122272分式，于是将整体代入即可求出其值。

x x x x x x x x x x 2222229241529221527----=-----=()()解：由变形得：x =+122 x -=122两边平方得：x x 227-= ∴×x x x x x x x x 22222924152922157927152----=----=--=()()（二）变形代入法例2. 如果，，那么等于多少？a b b c c a +=+=+11212分析：可由，得出，再由得出，再代入a b a b b b c c b +==-+==-1112121c a +2即可。

解：依题意知a ≠0且b ≠1又由得a b a b b +==-111∴221a b b =-由得2121c b c b =-=-∴c a b b b +=-+-22121 =---=--=--=21212212112b b b b b b b ()（三）参数法例3. 若，≠，则代数式43602700522310222222x y z x y z xyz x y z x y z --=+-=+---()的值等于多少？分析：可将z 看作参数，把4x －3y －6z ＝0和x ＋2y －7z ＝0转化成y ＝2z ，x ＝3z 代入所求代数式即可求出其值。

解：由4360270x y z x y z --=+-=⎧⎨⎩可得x z y z ==⎧⎨⎩32 将其代入代数式得：原式××××=+---=-592429341013222222z z z z z z（四）特殊值法例4.若，则的值是多少？()314432x ax bx cx dx e a b c d e +=++++-+-+ 分析：此题可采用特殊法解，可令x ＝－1，即可求出代数式的值。

解：令x ＝－1，则将其代入()314432x ax bx cx dx e +=++++，得： ()-=-+-+24a b c d e ∴a b c d e -+-+=16（五）引入新未知数法例5.已知：≠，求的值。

a b c a b ca b c 3450322==-+--分析：题中含有等比式时可以用“设比例系数（或单位份数）”来换元。

解：设≠a b ck k 3450===()则，，a k b k c k ===345∴原式=-+--=-=-98538561035k k k k k k k k（六）配方法 例6.若，求的值。

a b a b a ba b 2210634022+--+=+-分析：观察将其可配方得：a b a b a b 2222106340530+--+=-+-=()() 显然易得a ＝5，b ＝3解：由已知配方得：a b a b 22106340+--+= ∴()()a a b b 221025690-++-+= ∴()()a b -+-=53022∴，a b ==53∴原式×=+-=-2535613（七）恒等变形法例7.已知，求的值。

x x x x 2223101-+=+分析：由所求分式的形式，可考虑将已知等式作相应变形。

解：由，可知≠，两边同时除以得：x x x x x x 2310013-+=+=∴原式=++-()x x 22212=+-=-=()x x 1232722（八）逐步降次法例8. 已知实数满足，则的值是多少？a a a a a 284107--=+- 分析：由得，再两边平方可得，进一步还a a a aa a 21221013--=-=+=--可推出a a 447+=-解：∵a a 210--= ∵a ≠0两边同时除以得：a a a --=11即a a -=-11将其两边平方得：a a 223+=- 再平方得：a a 447+=-∴a a 447=--∴a a847+-=+=-+=+-----a a a a a a a a44444444777771·()()=+-=-=-717714844()a a ×（九）归一消元法例9.若，求的值。

abc a ab a b bc b cac c =++++++++1111解：由abc ＝1知a 、b 、c 均不为零∴将其代入所求分式得：c ab =1原式··=++++++++aab a bb ab b aba ab ab 1111111=++++++++=++++=a ab a ab ab a ab a ab a ab a 1111111（十）倒数法例10. 已知：，则的值是多少？a a a a a +=++151242分析：由已知求出的值再代入求值显然很麻烦，观察题目特点，a a a +=15若将所求值的式子的分子和分母颠倒过来，则会简便许多。

解：由的分子和分母颠倒为T a a a =++2421111142222Ta a a a a =++=++=+-=-=()a a 11512422∴，则T a a a =++=1241124242（十一）巧用“1”值法例11. 已知：，，求代数式的值。

x y x y y x =+=-++232311()()解：∵xy =+-=-=()()()23234312∴，11x y y x ==∴()()x y y x ++11=++====()()x x y y x y xy 224414·×（十二）因式分解法 例12.已知：≠，，求的值。

ab a ab b a ba b 0202222+-=-+解：由已知得：a ab b 2220+-= ()()a b a b -+=20∴a ＝b 或a ＝－2b又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0 ①当a ＝b 时原式=-+=2213b b b b②当a ＝－2b 时原式=---+=--=445353b b b b b b（十三）利用定义、性质法例13.已知，求代数式的值。

y x x xy x y xyx y y x =-+-+---88182分析：由二次根式的定义可得x x -≥-≥⎧⎨⎩8080 ∴x ＝8 解：∵y x x =-+-+8818∴且x x -≥-≥8080∴x =8∴y =++=001818∴当x ＝8，y ＝18时原式×××=---8188182818818188 =---=---=-+=-81822322818242362818228181228182228182122602××××××××××（十四）变量代换法 例14.已知实数满足，则的值为多少？x x x x x x x 221101+++=+解：由得：x x x x 22110+++=()()x x x x +++-=11202 令，则x x y y y +=+-=1202解此方程得：或y y =-=21∴或x x x x +=-+=1211 ()111当时，为非实数不符合题意x x x += ∴x x +=-12（十五）利用相反数的性质：例15. 如果代数式，当时的值为，那么当时，ax bx cx x x 535272++-=-= 该代数式的值是多少？解：当x ＝－2时，由已知得：a b c ···()()()-+-+--=2225753∴---=2221253a b c故当x ＝2时a b c ··222553++-=--=-12517（十六）构造对偶式法例16. 已知·，且≠，则的值是多少？1402()()()b c a b c a a b c a -=--+解：设b ＝x ＋y ，c ＝x －y ，由已知得：1414222()[()()]b c x y x y y -=+--=∴·y a x y x y a 2=----()()∴，∴()x a x a -==2∴b c a x a a a +===222（十七）添绝对值符号法例17. 已知，则×的值是多少？ab a b b a ab a b <-+-022||||(||||) 解：∵ab ＜0∴·a b b a ab a b 22||||(||||)-+-=-+-=-+-||||||||(||||)||||(||||)(||||)a b b a ab a b a b a b ab a b 22·····=-+=--+=(||||)(||)(||||)()a b ab ab a b ab ab ·0以上介绍了17种求代数式的值的方法，除这些方法外还有变量代换法、迭代法、和差法、平方升次法等等。

在以后的学习和讲座中将一一介绍。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 已知221a b a b +=+，则b a a b +的值是多少？ 2. 已知x 是实数，且满足322222x x x x +--=，那么x x 22+的值是多少？3. 若xy a x y b b x y =+=>+，，则110222()()的值是多少？4. 已知()()200019981999--=a a ，求()()2000199822-+-a a 的值。

5. 已知ab a b bc b c ac a c +=+=+=131415，，，求abc ab bc ac ++的值。

6. 已知x y =+=-12231223，，求代数式11222x y x y x y ++++()的值。

7. 设a b c ++=0，abc >0，求b c a c a b a b c +++++||||||的值。

8. 已知32022a ab b +-=，且ab ≠0，求a b b a a b ab --+22的值。

【试题答案】1. 解：由已知，得22()a b ab +=∴b a a b a b ab a b ababa b a b a b +=+=+-=+-++=-22222224232()()()() 2. 解：把x x 22+看作为一个整体，由已知条件去分母整理得：()()x x x x 22222230+++-= 解得()()x x x x 2223210+++-= ∴或x x x x 22230210++=+-= 对于x x 2230++=无实数解 ∴x x 221+=3. 解：∵11022x y b b +=>()∴x y xy b 222+=()又∵xy a =∴x y ba 222+=∴()x y x y xy ba a +=++=+222222 4. 解：令1999-=a x ，则20001-=+a x 19981-=-a x∵()()200019981999--=a a∴∴∴×()()()()()()x x x a a x x x +-==-+-=++-=+=+=111999200020001998112222000240022222225. 解：由已知ab a b +=13，bc b c ac a c +=+=1415， ∴a b ab +=3①b cbc +=4②a cac +=5③①＋②＋③得：a b ab b c bc a cac +++++=12∴∴∴22212616a b b c a c a b c a b b c a c a b c a b c a b b c a c ++=++=++=6. 解：由已知条件得：x y xy +==-=11429136， ∴原式=++++()()()x y x y xy xy x y 22222 =++=++-=-=()()()[()]()x y xy x y x y xy x y xy 3223221136111838217×7. 解：由a b c abc ++=>00，知a 、b 、c 中只能是有一个正数两个负数，取a ＝2，b ＝c＝－1，则原式=--+-+-+--=1121212111||||||8. 解：由已知条件得：()()a b a b a b a b +-=+=-=3200320∴或 ∴a b a b =-=或23当a ＝－b 时，原式＝2 当a b=23时，原式＝－3用心爱心专心11。

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初中数学代数求值绝招

初中数学代数求值绝招

初中数学代数求值绝招
初中数学代数求值是一个重要且基础的环节，掌握好这一技巧可以提高学生在数学学习中的成绩。

以下是一些初中数学代数求值的绝招。

1. 多项式求值法
多项式是初中代数中常见的一个概念，其中最常见的就是二项式和三项式。

多项式求值的方法是将多项式中的未知数用已知的值代入，得到结果。

例如，求值多项式3x+4x-5，当x=2时，将x=2代入到多项式中，得到3*2+4*2-5=13。

2. 消元法
消元法是用代数式子消去其中的未知量，使得式子中只剩下一个未知量，从而求出未知量的值。

例如，求解下列方程组：
2x+3y=7
4x-5y=-3
可以采用消元法，将其中一个未知量表示成另一个未知量的函数形式，然后代入另一个方程中得到一个一元方程，从而求出另一个未知量的值，最终求出两个未知量的值。

3. 因式分解法
因式分解法是将代数式子分解成多个因式相乘的形式，从而求出未知量的值。

例如，求解下列方程：
2x+5x-3=0
可以采用因式分解法，将2x+5x-3分解成(2x-1)(x+3)=0的形式，
从而得到x=1/2或x=-3。

以上就是初中数学代数求值的绝招，通过掌握这些方法，可以提高解题效率，提高数学学习成绩。

求代数式值的几种常用方法

求代数式值的几种常用方法

求代数式值的几种常用方法王一成求值的方法很多，中考数学中，也经常出现这类习题，假设不掌握一定的方法，一些习题确实不容易解答。

初中阶段，常见的求值方法有哪些呢？一、化简求值例：先化简，再求值：GbVab'-b'Lb-k+bXa-b),其中a ・〈，b--l o解：原式■a'-2ab-b 3-(a 2-b 2)«a 2-2ab-b 2-a 2+b 2三-2ab o原式.-2ab∙-2x7χ(-1)-1。

二、倒数法求值I, 例：X∙一∙4,求-7解： 所以T⅛77的值为专例：a>b 、C 为实数且a+b=5c 2=ab+b-9,求a+b+c 之值。

R 的值。

例: X 2 X 2 -2 ^ l-√3-√2 '-X 1 + x X)÷(^——+ X )的值。

X -1 解由，得X 2-2X 2 三、 例:所以，1—— = 1 — V3 - V2 X那么一W=一百一 √iJC二二•二I ==二一6一出I-X 2 X 3 X 2配方求值a 2+b 3 + 2a-4b÷5-0,求2a04b-3的值。

解: 由 a ' + b' + 2∂ — 4b ÷ 5 ≡ O,得G + 2a + l)÷(b a -4b + 4)«0,即(a + 】＞ + (b- 2)1。

，由非负数的性质得a÷l≡0,b -2-0, 解得a-1, b ・2。

薪以值⅛-2∙'*4bf jcgF+4x2∙3-7四、构造一元二次方程求值解Va+b=5c2=ab+b-9b+(a+∖)=6b(a+1)=C2+9那么b,a+1为t2-6t+c2+9=0两根Va,b为实数Λb,a+1为实数，那么t2-6t+c2+9=0有实根ΛΔ=36-4(C2+9)=-4C⅛0c=0Λa+b+c=5五、整体求值i1,a-3a⅛÷b^|J:a+b-，那么2a-2b-7ab- ----------------------- 。

求代数式值及规律的技巧

求代数式值及规律的技巧

求代数式值及规律的技巧专训一：求代数式值的技巧要点识记：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数式的值．如果要求值的式子比较简单，可以直接代入求值；如果要求值的式子比较复杂，可考虑先将式子化简，然后代入求值；有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求式子的值，如整体代入求值等．直接代入求值1．(2015·大连)若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为________．2．当a＝3， b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，(1)求a2＋2ab＋b2，(a＋b)2的值．(2)从中你发现怎样的规律？先化简再代入求值3．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2(B－C)]的值，其中x＝－1.特征条件代入求值4．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．整体代入求值5．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．6．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？整体加减求值7．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．8．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：(1)m2－n2；(2)m2－2mn＋n2.取特殊值代入求值9．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．专训二：与数有关的排列规律名师点金：1.数式中的排列规律，关键是找出前面几个数或式与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．2．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用字母表达式写出来，从而解决相关问题．数式的排列规律1．已知9×1＋0＝9，9×2＋1＝19，9×3＋2＝29，9×4＋3＝39，…，根据此规律写出第6个式子为__________．2．如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，推出m的值是__________．(第2题)3．我们知道：1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，…，观察下面的一列数：－1，2，－3，4，－5，6，….将这些数排成如图的形式，根据其规律猜想：第20行第3个数是________．(第3题)数阵中的排列规律类型1 长方形排列4．如图是某月的日历．(第4题)(1)带阴影的长方形框中的9个数之和与其正中间的数有什么关系？(2)不改变长方形框的大小，如果将带阴影的长方形框移至其他几个像这样的位置试一试，你还能得出上述结论吗？你知道为什么吗？(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？类型2 十字排列5．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示的规律排列．(第5题)(1)十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？(2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．类型3 斜排列6．如图所示是2016年6月份的日历．(第6题)(1)平行四边形框中的5个数的和与其中间的数有什么关系？(2)(1)题中的关系对任意这样的平行四边形框都适用吗？设中间这个数为a，请将这5个数的和用含有a的式子表示出来．专训三：关于图形中的排列规律的几种常见类型名师点金：图形中的排列规律都与它所处位置的序号有关，所以解题的切入点是：先设法列出关于序号的式子，再用关于序号的式子表示图形的变化规律．三角形个数规律的探究1．(2015·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有______个三角形(用含n的代数式表示)．(第1题)四边形中个数规律的探究2．(中考·重庆)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形的个数为( )(第2题)A．20 B．27 C．35 D．403．(中考·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．(第3题)(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？点阵图形中个数规律的探究4．观察如图的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：①4×0＋1＝4×1－3；②4×1＋1＝4×2－3；③4×2＋1＝4×3－3；④________________；⑤________________．…(第4题)(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．圆中面积规律的探究5．分别计算图①②③中阴影部分的面积，你发现了什么规律？(第5题)专训四：整体思想在整式加减中的应用名师点金：整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体(当作单项式)进行合并；整式的化简求值时，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化．应用整体思想合并同类项1．化简：4(x＋y＋z)－3(x－y－z)＋2(x－y－z)－7(x＋y＋z)－(x－y－z)．应用整体思想去括号2．计算：3x2y－[2x2z－(2xyz－x2z＋4x2y)]．直接整体代入3．设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M＋N＝( )A．4a－6b B．4aC．－6b D．4a＋6b4．若x＋y＝－1，xy＝－2，则x－xy＋y的值是________．5．已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.(1)化简：3A －2B ＋2；(2)当a ＝－12时，求3A －2B ＋2的值．变形后再整体代入6．(中考·威海)若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．－17．已知3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为( )A ．7B ．18C ．12D ．98．已知－2a ＋3b 2＝－7，则代数式9b 2－6a ＋4的值是________．9．已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则代数式(5ab ＋4a ＋7b)－(4ab －3a)的值为________． 10．已知14x ＋5－21x 2＝－2，求代数式6x 2－4x ＋5的值．11．当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋5的值是4，求当x ＝－2时，多项式ax 3－bx ＋5的值．特殊值法代入12．已知(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4的值； (2)a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4的值； (3)a 0＋a 2＋a 4的值．专训五：整式及其加减中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有整式的定义及其相关概念，整式的加减等，学好这些内容为后面学习整式乘法打好基础．而在中考命题中，对这些内容的考查常与其他知识相结合，主要以填空、选择题的形式出现．整式的概念1．下列说法正确的是( )A ．整式就是多项式B ．π是单项式C ．x 4＋2x 3是七次二项式D .3x －15是单项式 2．若5a 3b n与－52a mb 2是同类项，则mn 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．63．－15πx 2y 3的系数是________，次数是________．整式的加减运算4．下列正确的是( )A ．7ab －7ba ＝0B ．－5x 3＋2x 3＝－3C ．3x ＋4y ＝7xyD ．4x 2y －4xy 2＝0(第5题)5．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm ，m ＞n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是( )A ．4m cmB ．4n cmC ．2(m ＋n) cmD ．4(m －n) cm6．先化简，再求值：(1)43a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －23a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13a 2，其中a ＝－14；(2)2(2x －3y)－(3x ＋2y ＋1)，其中x ＝2，y ＝－12.整式的应用7．可以表示“比a 的平方的3倍大2的数”的是( )A ．a 2＋2B ．3a 2＋2C ．(3a ＋2)2D ．3a(a ＋2)28．(中考·达州)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样9．大客车上原有(4a －2b)人，中途下车一半人，又上车若干人，这时车上共有(8a －5b)人，那么上车乘客是________人．(用含a ，b 的代数式表示)数学思想方法的应用类型1 整体思想10．已知2x 2－5x ＋4＝5，求式子(15x 2－18x ＋4)－(－3x 2＋19x －32)－8x 的值． 类型2 转化思想11．已知A ＝－3x 2－2mx ＋3x ＋1，B ＝2x 2＋2mx －1，且2A ＋3B 的值与x 无关，求m 的值．探究规律12．从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征( )(第12题)13．观察下列等式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________________． 答案 专训一 1．4 9002．解：(1)当a ＝3，b ＝2时，a 2＋2ab ＋b 2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a ＋b)2＝(3＋2)2＝25；当a ＝－2，b ＝－1时，a 2＋2ab ＋b 2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a ＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9； 当a ＝4，b ＝－3时，a 2＋2ab ＋b 2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a ＋b)2＝(4－3)2＝1. (2)a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2.3．解：原式＝A －2A ＋2B ＋4(B －C)＝A －2A ＋2B ＋4B －4C ＝－A ＋6B －4C. 因为A ＝1－x 2，B ＝x 2－4x －3，C ＝5x 2＋4，所以原式＝x 2－1＋6x 2－24x －18－4(5x 2＋4)＝－13x 2－24x －35.当x ＝－1时，原式＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24. 4．解：由条件|x －2|＋(y ＋1)2＝0，得x －2＝0且y ＋1＝0，所以x ＝2，y ＝－1. 原式＝－4x ＋6y 2＋5x －5y 2－1＝x ＋y 2－1. 当x ＝2，y ＝－1时，原式＝2＋(－1)2－1＝2. 5．解：6x －9y －5＝3(2x －3y)－5＝3×5－5＝10. 6．解：因为当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋1的值是－17， 所以8a －2b ＋1＝－17.所以8a －2b ＝－18.当x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝－12a ＋3b －5＝(－12a ＋3b)－5＝－32(8a －2b)－5＝－32×(－18)－5＝22.7．解：由x2－xy＝－3，得2x2－2xy＝－6①；由2xy－y2＝－8，得6xy－3y2＝－24②.①＋②，得(2x2－2xy)＋(6xy－3y2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x2＋4xy－3y2＝－30.8．解：(1)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－n2＝(m2－mn)＋(mn－n2)＝21－12＝9.(2)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－2mn＋n2＝(m2－mn)－(mn－n2)＝21－(－12)＝21＋12＝33.9．解：令x＝0，得(0＋1)3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得(1＋1)3＝a＋b＋c＋d，所以a＋b＋c＋d＝8.所以a＋b＋c＝8－1＝7.专训二1．9×6＋5＝59 2.158 3.3644．解：(1)带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(2)带阴影的长方形框中的9个数之和仍是其正中间数的9倍，理由如下：设带阴影的长方形框的正中间的数为x，则其余8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，带阴影的长方形框中的9个数之和为(x－8)＋(x－7)＋(x－6)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x，所以带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立．5．解：(1)十字框中的五个数的平均数与15相等．(2)这五个数的和能等于315.理由：设正中间的数为x，则上面的数为x－10，下面的数为x＋10，左边的数为x－2，右边的数为x＋2.令x＋(x－10)＋(x＋10)＋(x－2)＋(x＋2)＝315.解得x＝63.这五个数分别是53、61、63、65、73.6．解：(1)平行四边形框中的5个数的和是平行四边形框中间的数的5倍；(2)适用．因为中间的数为a，所以其余4个数分别为a－12，a－6，a＋6，a＋12，它们的和为(a－12)＋(a－6)＋a＋(a＋6)＋(a＋12)＝5a.专训三1． (3n＋1) 点拨：方法1：因为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…，所以第n个图案有1＋3×n＝(3n＋1)个三角形．方法2：因为4＝4＋0×3，7＝4＋1×3，10＝4＋2×3，…，所以第n个图案有4＋(n－1)×3＝(3n＋1)个三角形．2．B3．解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，2张长方形餐桌的四周可坐4×2＋2＝10(人)，3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14(人)， …n 张长方形餐桌的四周可坐(4n ＋2)人．所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18(人)， 8张长方形餐桌的四周可坐4×8＋2＝34(人)． (2)设这样的餐桌需要x 张，由题意得4x ＋2＝90， 解得x ＝22.答：这样的餐桌需要22张． 4．解：(1)④4×3＋1＝4×4－3 ⑤4×4＋1＝4×5－3(2)4(n －1)＋1＝4n －3(n 为正整数)．点拨：结合图形观察①②③中等式左右两边，发现有规律可循．等式左边都是式子顺序数少1的4倍，再加上1；而等式右边，恰好是式子顺序数的4倍减3，这样④⑤中的等式就可以写出，进而我们可以归纳出与第n 个图形相对应的等式为4(n －1)＋1＝4n －3(n 为正整数)． 5．解：图①阴影部分的面积S 1＝a 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2－πa 24；图②阴影部分的面积S 2＝a 2－4π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝a 2－πa 24；图③阴影部分的面积S 3＝a 2－9π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 62＝a 2－πa 24.发现小圆的个数按规律增多，但其阴影部分的面积保持不变． 专训四1．解：原式＝－3(x ＋y ＋z)－2(x －y －z) ＝－3x －3y －3z －2x ＋2y ＋2z ＝－5x －y －z.2．解：原式＝3x 2y －2x 2z ＋(2xyz －x 2z ＋4x 2y) ＝3x 2y －2x 2z ＋2xyz －x 2z ＋4x 2y ＝7x 2y －3x 2z ＋2xyz. 3．C 4.15．解：(1)3A －2B ＋2 ＝3(2a 2－a)－2(－5a ＋1)＋2 ＝6a 2－3a ＋10a －2＋2＝6a 2＋7a.(2)当a ＝－12时，原式＝6a 2＋7a ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.6．A 点拨：原式＝(m －n)2－2(m －n)＝(－1)2－2×(－1)＝3. 7．A8．－17 点拨：9b 2－6a ＋4＝3(3b 2－2a)＋4＝3×(－7)＋4＝－17. 9．5910．解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，所以14x －21x 2＝－7，所以3x 2－2x ＝1.所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.11．解：当x ＝2时，23a －2b ＋5＝4，即8a －2b ＝－1. 当x ＝－2时，ax 3－bx ＋5＝(－2)3a －(－2)×b＋5＝ －8a ＋2b ＋5＝－(8a －2b)＋5 ＝－(－1)＋5＝6.点拨：求多项式的值时，有时给出相应字母的值，直接求值；有时不能求出字母的值，就需要观察已知与所求式子之间的关系，有时可将已知条件和所求式子经过适当变形后，运用整体代入的方法求解． 12．解：(1)将x ＝1代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4， 得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4＝625.(2)将x ＝－1，代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝1.(3)因为(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以625＋1＝2(a 0＋a 2＋a 4)，所以a 0＋a 2＋a 4＝313.点拨：观察各式的特点，通过适当地赋予x 特殊值可以求出． 专训五1．B 2.D 3.－15π；5 4.A5．B 点拨：设小长方形的长为a cm ，宽为b cm (a ＞b)，则上面的阴影部分的周长为2(m －a ＋n －a) cm ，下面的阴影部分的周长为2(m －2b ＋n －2b) cm ，则两块阴影部分的周长为[4m ＋4n －4(a ＋2b)] cm .因为a ＋2b ＝m(由题图可知)，所以两块阴影部分的周长和＝4m ＋4n －4(a ＋2b)＝4n(cm )． 6．解：(1)原式＝43a －2a ＋23a 2＋23a －13a 2＝13a 2.当a ＝－14时，原式＝13a 2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝148.(2)原式＝4x －6y －3x －2y －1＝x －8y －1.当x ＝2，y ＝－12时，原式＝x －8y －1＝2－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝5. 7．B 8.C9．(6a －4b)10．解：因为2x 2－5x ＋4＝5，所以2x 2－5x ＝1.所以(15x 2－18x ＋4)－(－3x 2＋19x －32)－8x＝18x 2－45x ＋36＝9(2x 2－5x)＋36＝9×1＋36＝45.11．解：2A ＋3B ＝2(－3x 2－2mx ＋3x ＋1)＋3(2x 2＋2mx －1)＝(2m ＋6)x －1. 因为2A ＋3B 的值与x 无关，所以2m ＋6＝0，即m ＝－3.12．B13．(n ＋2)2－n 2＝4(n ＋1)。

初中数学代数方程式解题技巧汇总

初中数学代数方程式解题技巧汇总

初中数学代数方程式解题技巧汇总在初中数学学习中，解代数方程是一个重要的内容。

代数方程是数学中研究未知数与已知数之间关系的一种方法。

解代数方程不仅需要掌握基本的解方程技巧，还需要理解方程的本质和基本性质。

在本文中，我们将为大家总结一些解代数方程的技巧和方法，帮助大家更好地解决数学中的代数问题。

一、基础代数方程的解法1. 一元一次方程一元一次方程是最基本的代数方程，形式为ax + b = 0。

解一元一次方程的关键是将未知数与常数项分开，得到x的值。

求解的步骤如下：- 将方程变形，使得未知数系数为1，即ax = -b。

- 通过移项将x与常数项分开，得到x = -b/a的解。

2. 一元一次方程组一元一次方程组是含有两个或多个一元一次方程的方程组。

解一元一次方程组的关键是消元，使得未知数的系数或系数的倍数相等。

求解的步骤如下：- 选择一个方程，将其中一个未知数表示成其他未知数的形式。

- 将得到的表达式代入其他方程中，从而得到只含一个未知数的方程。

- 解这个只含一个未知数的方程，得到一个未知数的值。

- 将求得的未知数的值代入其他方程，进而得到其他未知数的值。

3. 一元二次方程一元二次方程是含有二次项、一次项和常数项的一元方程，形式为ax^2 + bx + c = 0。

解一元二次方程的关键是应用求根公式。

求解的步骤如下：- 计算判别式D = b^2 - 4ac。

- 如果D > 0，方程有两个不相等的实数解。

- 如果D = 0，方程有两个相等的实数解。

- 如果D < 0，方程没有实数解，但可以有复数解。

二、高级代数方程的解法1. 带有绝对值的方程带有绝对值的方程可以分为一次绝对值方程和二次绝对值方程。

对于一次绝对值方程，可以分别讨论绝对值内部的值为正数和负数的情况，并利用绝对值的定义解方程。

对于二次绝对值方程，可以通过定义法将绝对值拆成正负两种情况，分别求解。

2. 分式方程分式方程是含有分式形式的方程，形如P(x)/Q(x) = 0。