【附20套高考模拟试题】2020届广西师范大学附属中学高考数学模拟试卷含答案

2020年广西高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解．解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得展开式中x6的系数，再根据展开式中x6的系数为150，求得a2的值．解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3＝0，变形解可得q的值，由等比数列的前n项和公式可得S4＝＝40a1＝，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝3与点（1，a+b）在切线y＝3x﹣2上，联立求得a，b的值，则答案可求．解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，利用排除法分析可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD 所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件．解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【分析】由题意画出图形，可得四边形AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定理求解△AF1F2的面积，再由对称性可得△AF2B的面积．解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【分析】判断函数f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；再把不等式f（lgx）＞3化为0＜|lgx|＜1，求出解集即可．解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【分析】由函数f（x）在区间（π，2π）内没有最值，列不等式求出ω的取值范围，再结合函数的单调性与ω的取值范围判断题目中的命题是否正确．解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【分析】推导出＝1，从而＝＝1，进而＝﹣，由此能求出向量与的夹角．解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，利用椭圆的定义，在△ABF2中，，在△AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【分析】连结D1A，AC，D1C，推导出EF∥平面ACD1，EG∥平面ACD1，从而平面EFG∥平面ACD1，推导出点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，由此能求出当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，并能求出最小值．解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小．（2）分别求出＝96.5，＝36.5，100＞96.5，从而该零件属于“不合格”的零件．解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【分析】（1）根据题意，判断出AC⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz，求出平面ABB1与平面CBB1的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【分析】（1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可；（2）由（1）的单调性，对m进行分类讨论，判断函数f（x）的最小值，求出m．解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f （m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【分析】（1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为0和韦达定理，解不等式可得所求范围；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，运用韦达定理，抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），求得面积S的解析式，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），求得导数，以及最值时t的值，可设P（m，0），再由P，A，D三点共线的条件，解方程可得m的值，即可得到所求坐标．解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出a的值．（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果．解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，+＝（+）（a+b），展开后利用基本不等式可求；（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+（）2即可证明．解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。

2020届广西桂林市桂林中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是（）A ．92117B．40117C．28117D．221172．设为正数，且，则（）A ．B．C．D．3．若复数12izi=-+，则z的虚部为（）A．15i-B．15-C．15iD．154．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知ABC△的面积为53，π6A=，5AB=，则BC=（）．A．3．26．32D137．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为（）A．34B．58C．716D．9168．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，准线为l，直线()2py k x=-交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边三角形AFE的面积为3BEF∆的面积为（）A ．63B ．123C ．16D ．2439．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖10．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种11．函数()()sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为偶函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于直线6x π=对称12．汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配，每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为（ ） A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = ) AB ．2 C．D3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.24．（5分）已知向量a r 与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．57．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．169．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A．(B．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= ．14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = ． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 ．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]【解答】解：{|1}A x x =-Q …，{|2}B x x =„， [1A B ∴=-I ，2]．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = )A B ．2C ．D【解答】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，∴||z =故选：A ．3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.2【解答】解：Q 人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2， (18.5,23.9)BMI ∈为正常，身高为1.4，∴体重正常值为：2(18.5 1.4⨯，223.9 1.4)(36.26⨯=，46.844)， ∴她的体重可能是42.4．故选：C ．4．（5分）已知向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：Q 向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，∴122133a b =⨯⨯=rr g ，∴2222(3)6946993a b a a b b -=-+=-⨯+=r rr r r r g ，∴|3|3a b -=r r． 故选：B ．5．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥【解答】解：对于A ，由m α⊥，//m βαβ⊥⇒，故A 错误， 对于B ，m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则α，β可以平行，故B 错误， 对于C ，//m n ，m α⊥，n β⊥，可以求出//αβ，故C 错误， 对于D ，由//m α，m β⊥，得αβ⊥，是充分条件， 反之，由αβ⊥，不一定得到//m α，m β⊥，不必要条件， 故选：D ．6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，代入目标函数z x y =+得235z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为5． 故选：D ．7．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--【解答】解：将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()6y x π=-，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，即()2sin()26g x x π=-+，故选：C ．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．16【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊五人分五得的钱数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，则由题意可得，55S =，12345a a a a a +=++，115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解可得143a =，1512463d a a d =--=-=， 故选：A ．9．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 【解答】解：根据题意，由所给的图象可得：()f x 为偶函数， 据此分析选项：对于A ，1()cos 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()cos()()1x f x x lnf x x---=-=--g ，为奇函数，不符合题意； 对于B ，1()cos 1x f x x lnx +=-g ，同理可得其为奇函数，不符合题意； 对于C ，1()sin 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()sin()()1x f x x lnf x x---=-=-g ，为偶函数， 在区间(1,)π上，101x lnx-<+，而sin 0x >，则有()0f x <，符合题意； 对于D ，1()sin 1x f x x ln x +=-g ，同理可得其为偶函数，在区间(1,2)上，()0f x >，不符合题意； 故选：C ．10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π【解答】解：由题意几何体是圆台，上底半径为1圆台的外接球的半径为R，解得3R =， 所以外接球的体积为：34363R ππ=g ． 故选：B ．11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D【解答】解：设2||PF n =，根据双曲线的定义：1||2PF n a =+，则22212||(2)448||PF n a a n a a PF n n+==++…， Q 212||||PF PF 的最小值为8，1a ∴=． 则双曲线C的离心率为3e ==．故选：B ．12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(B ．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 【解答】解：函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点等价于方程23||3()222x m m ---=g 有2个不等根，则23||4()x m m -=--，即2||1x m m =--，要想满足方程有2个不等根，则210m m -->，解得m >或m即m 取值范围为(-∞⋃，)+∞， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= 89- ．【解答】解：1sin cos 3αα+=Q ，21(sin cos )9αα∴+=，即112sin cos 9αα+=， 则8sin 22sin cos 9ααα==-．故答案为：89-14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = 127． 【解答】解：13a =Q ，234a a =， 223(3)3q q ∴=，解可得13q =，∴45113()327a =⨯=． 故答案为：127． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 [1，)+∞ ．【解答】解：1()(1)x f x e lnx x'=+-， 令1()1g x lnx x =+-，则22111()x g x x x x-'=-=，01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，故()g x g …（1）0=，即()0f x '…恒成立， 从而()f x 在(0,)+∞上单调递增，且f （1）e =-， 故1m …．故答案为[1，)+∞．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由1(F 0)可知12(BF x =u u u r ，2)y -，11(F A x =+u u u r1)y ，则213x x =+213y y -=，213x x ∴=-，213y y =-，又221114x y +=，222214x y +=，解得1x =，1y =，∴直线l=故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 【解答】（1）证明：(22)cos cos c b A a B c -=-Q ． 由正弦定理可得，2sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos C A B A A B C A B A B B A -=-=--，即2sin cos sin cos 0C A B A -=，A Q 为锐角，则cos 0A ≠，2sin sin C B ∴=，由正弦定理可得2b c =，（2）由题意可得1cos 4A ==， 由余弦定理可得，221244b c bc +-⨯=， 因为2b c =，解可得，2b =，1c =，故ABC ∆的面积122⨯=18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：2()()()()K a b c d a c b d =++++． 【解答】解：（1）由已知表格中的数据求得22100(30104515)1003.03 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．∴没有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系；（2）记A 班抽取的非常满意的家长为a ，b ；B 班抽取的非常满意的家长为1，2，3． 则从5人中任选2人有(,)a b ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共10种可能．其中来自同一个班级的有(,)a b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共4种可能．∴这2人都来自同一班级的概率42105P ==． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．【解答】解：（1）证明：如图，连结AC ，BD ，交于点O ，连结OF ， 1//FO BB Q ，12FO BB =，//FO BE ∴，FO BE =，∴四边形BEFO 为平行四边形，//EF OB ∴，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊂/平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．（2）解：由题意知11B C ⊥平面11ABB A ， 11B C ∴是点1C 到平面11ABB A 的距离，又1AB ⊂平面11ABB A ，11B C AB ∴⊥， 设点E 到平面11AB C 的距离为h ，Q 1111C AB E E AB C V V --=，∴111111133AEB AB C S B C S h =V V g g ，∴111111113232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =∴点E 到平面11AB C20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， ①0a „时，()0f x '>，函数在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，易得(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，（2）由1a e <<可得()f x 在[1，)a 上单调递减，在(a ，]e 上单调递增， 则m f =（a ）1a alna =-+，f （1）2=，f （e ）1e a =-+， 由f （e ）f -（1）1e a =--，①当11a e <<-时，M f =（e ）1e a =-+，(1)(1)2M m e a a alna alna a e -=-+--+=-+， 令()2g x xlnx x e =-+，(11)x e <<-， 则()10g x lnx '=-<，所以()g x 在(1,1)e -上单调递减，所以(1)(1)2(1)(1)2(1)()2e ln e e e ln e e e g x e ---+=----+<<-， 故此时M m -的范围((1)(1)2e ln e e ---+，2)e -，②当1e a e -<„时，M f =（1）2=，2(1)1M m a alna alna a -=--+=-+， 令()1h x xlnx x =-+，(1)e x e -<„，则()0h x lnx '=>，此时()h x 单调递增，则有(1)(1)2(1)(1)(1)1()11e ln e e e ln e e h x e e ---+=----+<-+=„， 此时M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)， 综上可得，M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． 【解答】解：（1）由抛物线和圆的的对称性可得两条曲线的交点关于x 轴对称，由弦长为4可得，交点的纵坐标为2±，设交点(,2)P a ，由题意可得22222,(1)24pa a ⎧=⎨-+=⎩，解得1a =，2p =， 所以抛物线的标准方程为：24y x =．（2）设直线AB 的方程为：(0)y kx b k =+≠，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与抛物线的方程：24y xy kx b⎧=⎨=+⎩，整理可得：222(24)0k x kb x b +-+=，△222(24)40kb k b =-->，可得1kb <，12242kb x x k -+=，2122b x x k =，2222221212122424()kb k b b y y k x x kb x x b b b k k -=+++=++= 由90AFB ∠=︒可得：0FA FB =u u u r u u u rg ，即1(1x -，12)(1y x -g ，2)0y =， 整理可得：121212()10x x x x y y -+++=，即22242410b kb bk k k--++=， 可得2264b kb k ++=，221212122211114225||||(1)(1)(1)(1)()222236AFBb kb b k S AF BF x x x x x x k k k ∆-+=⨯⨯=++=+++=++==， 所以56b k k +=±，可得：6k b =-或611b k =-， 所以由226461b kb k k b kb ⎧++=⎪=-⎨⎪<⎩可得12k =，2b =-，或12k =-，2b =，所以直线方程为：122y x =-或122y x =-+；所以由22646111b kb k b k kb ⎧++=⎪⎪=-⎨⎪<⎪⎩，可得方程组无解，综上所述：直线AB 的方程为：122y x =-或122y x =-+．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．转换为直角坐标方程为42y x =-．曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．转换为直角坐标方程为2212y x +=．（2）设曲线上任一点的坐标为(cos )θθ到直线240x y +-=的距离d ==，当且仅当sin()1θα+= [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…． 【解答】证明：（1）由222229()[(1)(1)](1)(1)2(1)2(1)(1)2(1)a b c a b c a b c a b b c a c =++=+++-=+++-++++-+- 222222222222(1)(1)[(1)]{(1)(1)][(1)]3[(1)(1)]a b c a b b c a c a b c +++-++++++-++-=+++-„（当且仅当1a =，0b =，2c =时等号成立）．故有222(1)(1)3a b c +++-…； （2）由3a b c ++=，可得222(2)(1)[(1)()(2)]t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++222(1)()(2)2(1)()2()(2)2(1)(2)a b t c t a b t b t c t a c t =-+-+++--+-++-+ 2222222(1)()(2)[(1)()]{()(2)][a b t c t a b t b t c t -+-+++-+-+-+++„ 22222(1)(2)]3[(1)()(2)]a c t a b t c t -++=-+-++， 由1t …，有2(2)9t +…， 则1t …时222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．。

2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣3）＜0}，B ＝{x |y =√x −1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[1，3]C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣2，1）2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．1104．（5分）已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ） A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.65．（5分）若函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为π2，且在x =π6取得最大值，则f(π4)=（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．√36．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝8a 4，S 4＝45，则a 1＝（ ） A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣57．（5分）设x ，y 满足不等式组{x +y ≤2．y ≤x +a ．y ≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）函数f(x)=cosxx 在x =π3处的切线斜率为（ ） A ．92π+3√32πB ．92π−3√32πC ．−92π2+3√32π D ．−92π2−3√32π9．（5分）在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若△ABC 为等边三角形，且BB 1=√3AB ，则AB 1与C 1B 所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．√34D ．5810．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．26311．（5分）已知函数f （x ）=1x −x ，若a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.5﹣0.5，则（ ）A ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）B ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）12．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a →=(1，4)，b →=(−2，k)，且(a →+2b →)∥(2a →−b →)，则实数k ＝ ． 14．（5分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10，则a 3＝ ．15．（5分）过点M （﹣1，0）的直线，与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是 ．16．（5分）在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AD ⊥平面ABC ，且△ABC 为正三角形，AD =AB =√3，点O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P 元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估算P 的平均值P ；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P 值的和超过100元的概率．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +c cos A +2b cos B ＝0． （1）求B ；（2）设D 为AC 上的点，BD 平分∠ABC ，且AB ＝3BD ＝3，求sin C ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，P A ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直． （Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．20．（12分）已知函数f （x ）＝ln （2x +a ）（x ＞0，a ＞0），曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为ln3−23． （1）求a ；（2）讨论函数g （x ）＝f （x ）﹣2x （x ＞0）和ℎ(x)=f(x)−2x2x+1（x ＞0）的单调性；（3）设a 1=25，a n +1＝f （a n ），求证：5−2n+12n ＜1a n−2＜0（n ≥2）．21．（12分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．五．解答题（共1小题）23．已知不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0的解集为{x |−7a 16＜x ＜b 2}． （1）若正数p ，q 满足1aq+1bp=1，求p a+qb的最小值；（2）若a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立，求c 的取值范围．2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣3）＜0}，B ＝{x |y =√x −1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[1，3]C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣2，1）【解答】解：∵A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}，A ∩（∁R B ）＝（﹣2，1）． 故选：D ．2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）＝（1+b ）+（b ﹣1）i ， ∴a ＝1+b 且2＝b ﹣1； 所以：a ＝4，b ＝3；∴复数a ﹣bi 在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限． 故选：D ．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．110【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，基本事件总数n =C 52=10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m =C 32=3．∴这两个数的积为奇数的概率是p =m n =310． 故选：A ．4．（5分）已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6【解答】解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．5．（5分）若函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为π2，且在x =π6取得最大值，则f(π4)=（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．√3【解答】解：因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以2πω=π，∴ω＝2，所以f （x ）＝2sin（2x +φ），因为函数图象经过点(π6，2)，所以sin(π3+φ)=1，∴π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π，∴φ=π6，所以f(x)=2sin(2x +π6)， 所以f(π4)=2sin(π2+π6)=√3． 故选：D ．6．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝8a 4，S 4＝45，则a 1＝（ ） A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣5【解答】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 又由a 7＝8a 4，则a 7a 4=q 3=8，解可得q ＝2，又由S 4＝45，则S 4=a 1(1−24)1−2=45，解得a 1＝﹣3． 故选：A ．7．（5分）设x ，y 满足不等式组{x +y ≤2．y ≤x +a ．y ≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知a ≥﹣2，y x+4的几何意义是可行域内的点与Q （﹣4，0）连线的斜率，直线x +y ﹣2＝0与直线y ＝x +a 的交点为A （1−a 2，1+a 2）， 当x ＝1−a2，y ＝1+a 2时，yx+4的最大值为12，解得a ＝2，所以实数a 的值为2．故选：B ．8．（5分）函数f(x)=cosxx 在x =π3处的切线斜率为（ ） A ．92π2+3√32πB ．92π2−3√32πC ．−92π2+3√32π D ．−92π2−3√32π 【解答】解：由题意知：f ′(x)=−1x2cosx −1x sinx ， ∴f ′(π3)=−9π2cos π3−3πsin π3=−92π2−3√32π． 故选：D ．9．（5分）在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若△ABC 为等边三角形，且BB 1=√3AB ，则AB 1与C 1B 所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．√34D ．58【解答】解：设AB ＝1，BB 1=√3， 连结B 1C 交BC 1于点M ，取AC 中点N ，连结MN ，BN ，则AB 1∥MN 且MN =12AB 1=12√3+1=1， 则AB 1与C 1B 所成角即为∠NMB ， 又BN =√3，BM =1BC 1=1，所以cos ∠NMB =1+1−342×1×1=58．故AB 1与C 1B 所成角的余弦值为58．故选：D ．10．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【解答】解：【法一】正整数n 被3除余2，得n ＝3k +2，k ∈N ； 被5除余3，得n ＝5l +3，l ∈N ； 被7除余4，得n ＝7m +4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53．【法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n ＝263﹣105﹣105＝53， 即输出n 值为53． 故选：A ．11．（5分）已知函数f （x ）=1x−x ，若a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.5﹣0.5，则（ ） A ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ） B ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ） C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）【解答】解：∵0＝log 51＜log 52＜log 55＝1，log 0.50.2＞log 0.50．52=2，1＝0.50＜0.5﹣0.5＜0.5﹣1＝2，∴b ＞c ＞a ＞0，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴f （b ）＜f （c ）＜f （a ）． 故选：C ．12．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 【解答】解：双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线：y =ba x ，则P （a 2b，a ），因为|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（a 2b−a ）2+a 2＝5a 2，可得（ab−1）2＝4，所以ab=3，从而e =√1+b2a 2=√103，双曲线的渐近线为：y =−ba x ，则p （−a 2b ，a ），|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（−a 2b −a ）2+a 2＝5a 2，可得（a b+1）2＝4，所以ab=1，可得e =√2．则双曲线C 的离心率为：√2或√103． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a →=(1，4)，b →=(−2，k)，且(a →+2b →)∥(2a →−b →)，则实数k ＝ ﹣8 ． 【解答】解：a →+2b →=(−3，4+2k)，2a →−b →=(4，8−k)， ∵(a →+2b →)∥(2a →−b →)，∴﹣3（8﹣k ）﹣4（4+2k ）＝0，解得k ＝﹣8． 故答案为：﹣8．14．（5分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10，则a 3＝ 149．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ． ∵a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10， ∴3a 1+3d ＝4，6a 1+15d ＝10， 解得：a 1=109，d =29． 所以a 3=a 1+2d =149． 故答案为：149．15．（5分）过点M （﹣1，0）的直线，与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是 8 ．【解答】解：焦点F （1，0），由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，A （x '，y '），B （x ，y ），由题意知y ＞y '，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2﹣4my +4＝0，△＝（﹣4m ）2﹣16＞0，m 2＞1，m ＞1解得：y +y '＝4m ，y '＝2m ﹣2√m 2−1，设N （x 0，y 0）满足：NA →=5AF →，（x '﹣x 0，y '﹣y 0）＝5（1﹣x '，﹣y '），∴y 0＝6y '， S △ABF ＝S △BMF ﹣S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y′)，S △ANM ＝S △NMF ﹣S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y′)，MF ＝2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF •（y +y 0﹣2y '）＝y +y '+3y '＝10m ﹣62−1（m ＞1）， 令f （m ）＝10m ﹣6√m 2−1，f '（m ）＝10√m −1，令f '（m ）＝0，m =54，m ∈(1，54)，f '（m ）＜0，f （m ）单调递减，m ＞54，f '（m ）＞0，f （m ）单调递增，所以m =54时，f （m ）最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8， 故答案为：8．16．（5分）在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AD ⊥平面ABC ，且△ABC 为正三角形，AD =AB =√3，点O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为12．【解答】解：设O '为△ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，OO '，AO ，则AO '＝1，AM =√32，得OA =√72，作平面ODA 交BC 于E ，交BĈ于F ． 设平面ODA 截得外接球是⊙O ，D ，A ，F 是⊙O 表面上的点， 又∵DF ⊥平面ABC ，∴∠DAF ＝90°， ∴DF 是⊙O 的直径，DF =√7，因为P A ⊥AB ，PA =√3，AB =√3，所以BD =√6， 所以BF ＝1，AF 是⊙O 的直径，连结BF ． ∵BF ⊥DA ，BF ⊥AB ， ∴BF ⊥平面DAB ， ∴∠DBF ＝90°， 作OH ∥BF ， 又DO ＝OF ，∴OH 是△DBF 的中位线.OH =12BF ，故OH =12． 故答案为：12．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P 元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估算P 的平均值P ；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P 值的和超过100元的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图估算P 的平均值：P =30×0.014×10+40×0.026×10+50×0.036×10+60×0.014×10+70×0.01×10＝48． （2）该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元， 从这4户中随机抽取2户，基本事件总数n =C 42=6，这2户P 值的和超过100元包含的基本事件有（42，60），（50，52），（50，60），（52，60），共4个，∴这2户P 值的和超过100元的概率p =m n =46=23．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +c cos A +2b cos B ＝0． （1）求B ；（2）设D 为AC 上的点，BD 平分∠ABC ，且AB ＝3BD ＝3，求sin C ． 【解答】解：（1）∵a cos C +c cos A +2b cos B ＝0， ∴由正弦定理得：sin A cos C +sin C cos A +2sin B cos B ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin B cos B ＝0，又∵A +B +C ＝π，∴sin （A +C ）＝sin B ， ∴sin B +2sin B cos B ＝0， ∴sin B ≠0，∴cos B =−12， 又∵B ∈（0，π）， ∴B =2π3； （2）由（1）知B =2π3，因为BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =π3，在△ABD 中，AB ＝3BD ＝3，∴由余弦定理得，AD 2＝AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cos ∠ABD ，即AD 2=9+1−2×3×1×12=7，即AD =√7，∴cos A =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD =2×3×7=5√714， 又∵A ∈（0，π），∴sin A =√2114，又∠C +∠A +∠ABC ＝π， ∴sin C ＝sin （π3−A ）＝sin π3cos A ﹣cos π3sin A =√32×5√714−12×√2114=√217． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，P A ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直． （Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．【解答】解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，P A⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥P A，P A∩PB＝P，所以AC⊥平面P AB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=13×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（2x+a）（x＞0，a＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为ln3−2 3．（1）求a；（2）讨论函数g（x）＝f（x）﹣2x（x＞0）和ℎ(x)=f(x)−2x2x+1（x＞0）的单调性；（3）设a1=25，a n+1＝f（a n），求证：5−2n+12n＜1a n−2＜0（n≥2）．【解答】解：（1）对f（x）＝ln（2x+a）求导，得f′(x)=22x+a．因此f′(1)=22+a．又因为f（1）＝ln（2+a），所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程为y −ln(2+a)=22+a (x −1)， 即y =22+a x +ln(2+a)−22+a． 由题意，ln(2+a)−22+a =ln3−23． 显然a ＝1，适合上式．令φ(a)=ln(2+a)−22+a （a ＞0）， 求导得φ′(a)=12+a +2(2+a)2＞0，因此φ（a ）为增函数：故a ＝1是唯一解．（2）由（1）可知，g （x ）＝ln （2x +1）﹣2x （x ＞0），ℎ(x)=ln(2x +1)−2x2x+1（x ＞0）， 因为g ′(x)=22x+1−2=−4x2x+1＜0， 所以g （x ）＝f （x ）﹣2x （x ＞0）为减函数． 因为ℎ′(x)=22x+1−2(2x+1)2=4x (2x+1)2＞0，所以ℎ(x)=f(x)−2x1+2x （x ＞0）为增函数．（3）证明：由a 1=25，a n +1＝f （a n ）＝ln （2a n +1），易得a n ＞0.5−2n+12n ＜1a n−2⇔a n ＜2n 5由（2）可知，g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝ln （2x +1）﹣2x 在（0，+∞）上为减函数． 因此，当x ＞0时，g （x ）＜g （0）＝0，即f （x ）＜2x ． 令x ＝a n ﹣1（n ≥2），得f （a n ﹣1）＜2a n ﹣1，即a n ＜2a n ﹣1． 因此，当n ≥2时，a n ＜2a n−1＜22a n−2＜⋯＜2n−1a 1=2n5．所以5−2n+12＜1a n−2成立．下面证明：1a n−2＜0．方法一：由（2）可知，ℎ(x)=f(x)−2x2x+1=ln(2x +1)−2x2x+1在（0，+∞）上为增函数．因此，当x ＞0时，h （x ）＞h （0）＝0， 即f(x)＞2x2x+1＞0．因此1f(x)＜12x+1，即1f(x)−2＜12(1x−2)．令x ＝a n ﹣1（n ≥2），得1f(a n−1)−2＜12(1a n−1−2)，即1a n−2＜12(1a n−1−2)．当n ＝2时，1a n−2=1a 2−2=1f(a 1)−2=1f(25)−2=1ln1.8−2．因为ln1.8＞ln √3＞ln √e =12， 所以1ln1.8−2＜0，所以1a 2−2＜0．所以，当n ≥3时，1a n −2＜12(1a n−1−2)＜122(1a n−2−2)＜⋯＜12n−2(1a 2−2)＜0．所以，当n ≥2时，1a n−2＜0成立．综上所述，当n ≥2时，5−2n+12＜1a n −2＜0成立．方法二：n ≥2时，因为a n ＞0， 所以1a n−2＜0⇔1a n＜2⇔a n ＞12．下面用数学归纳法证明：n ≥2时，a n ＞12．①当n ＝2时，a 2＝f （a 1）＝ln （2a 1+1）=ln(2×25+1)=ln 1.8． 而a 2=ln1.8＞12⇔ln1.8＞ln √2⇔1.8＞√2⇔1.82＞2⇔3.24＞2， 因为3.24＞2，所以a 2＞12．可见n ＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k （k ≥2）时不等式成立，即a k ＞12． 当n ＝k +1时，a n ＝a k +1＝f （a k ）＝ln （2a k +1）． 因为a k ＞12，f （x ）＝ln （2x +1）是增函数， 所以a k+1=ln(2a k +1)＞ln(2×12+1)=ln 2． 要证a k+1＞12，只需证明ln2＞12．而ln2＞12⇔ln2＞ln √2⇔2＞√2⇔22＞(√2)2⇔4＞2， 因为4＞2，所以ln2＞12．所以a k+1＞12．可见，n ＝k +1时不等式成立．由①②可知，当n ≥2时，a n ＞12成立． 21．（12分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，2ab =4√3，c ＝1， 因此{ab =2√3a 2−b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当直线MN 的斜率存在时，设方程为y ＝kx +m ，由{x 24+y 23=1y =kx +m，消y 可得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则有△＝64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＝48（4k 2﹣m 2+3）＞0，即m 2＜4k 2+3，x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2，所以|MN|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(+8km 3+4k2)2−4×4m 2−123+4k2=4√3⋅√1+k 23+4k 2√4k 2−m 2+3．点O 到直线MN 的距离d =√1+k ，所以S △MON =12|MN|d =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3．又因为k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=−34， 所以k 2x 1x 2+km(x 1+x 1)+m 2x 1x 2=k 2+km(−8km3+4k 2)+m 24m 2−123+4k 2=−34，化简可得2m 2＝4k 2+3，满足△＞0， 代入S △MCN =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3=2√3m 22m 2=√3，当直线MN 的斜率不存在时，由于k 1k 2=−34，考虑到OM ，ON 关于x 轴对称，不妨设k 1=√32，k 2=−√32，则点M ，N 的坐标分别为M(√2，√62)，N(√2，−√62)，此时S △MON =12×√2×√6=√3， 综上，△MON 的面积为定值√3．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1，转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=43sin 2θ+1． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ， 设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π2）， 所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|+|OQ|=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22=134sin 2θ+14+34cos 2θ+14=45．五．解答题（共1小题）23．已知不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0的解集为{x |−7a 16＜x ＜b 2}． （1）若正数p ，q 满足1aq+1bp=1，求p a+qb的最小值；（2）若a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立，求c 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0，x ≥43时，不等式化为：x +9﹣（3x ﹣4）+2＞0，联立解得43≤x ＜152．−9＜x ＜43时，不等式化为：x +9+3x ﹣4+2＞0，联立解得−74＜x ＜43． x ≤﹣9时，不等式化为：﹣x ﹣9+3x ﹣4+2＞0，联立解得x ∈∅． 综上可得：−74＜x ＜152．∴{x |−74＜x ＜152}＝{x |−7a 16＜x ＜b2}．可得a ＝4，b ＝15． 正数p ，q 满足1aq+1bp =1，∴14q+115p=1．则p a+q b=(p 4+q15)(14q+115p)=130+p16q+q 225p≥130+2√p16q ⋅q225p=115，当且仅当15p ＝4q ＝2时取等号． ∴pa+qb 的最小值是115．（2）不等式a |x |+|ax +c |≥23b ，∴4|x |+|4x +c |≥23×15， 化为：|x |+|x +14c |≥52．∵|x |+|x +14c |≥|−14c|及其a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立， ∴14|c |≥10，解得c ≥40或c ≤﹣40．∴c 的取值范围是（﹣∞，﹣40]∪[40，+∞）．。

2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（文科）一、选择题1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞04．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．二、填空题13．已知向量，若，则实数k＝．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD＝，则直线AC1与DE所成角的大小为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 【分析】利用补集的定义，直接求解即可．解：由题意可得，∁U A＝{﹣1，1，3}故选：A．2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：由题意，z（2﹣i）＝5，故z＝＝＝2+i，其在复数平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．4．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由平行和在y轴的截距可得l的方程．解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率为y＝±x，故由题意可得直线l的方程是y ＝x+2．故选：B．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．解：因为方程2x2﹣ax+8＝0有实数根，所以△＝（﹣a）2﹣4×2×8≥0，解得a≥8或a≤﹣8，所以方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为P＝＝．故选：D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：a＝3﹣0.1∈（0，1），b＝3cos1＞1，c＝log40.99＜0，则b＞a＞c．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．【分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或【分析】先根据直线与圆相切求出tanα＝0或tan；再结合cos2α＝＝，代入求解即可．解：设直线y＝（x+3）tanα．因为l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，所以＝2，解得tanα＝0或tan∵cos2α＝＝，当tanα＝0时，cos2α＝＝1；当tanα＝时，cos2α＝＝﹣．综上，cos2α＝1或﹣．故选：C．9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k＝2，S＝3+3×2；第二次运行时，k＝3，S＝3+3×2+3×3；第三次运行时，k＝4，S＝3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k＝2018，S＝3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S＝3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴【分析】由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．解：由图可知，A＝2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）＝2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y＝2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．【分析】根据题意，f（x）min≥g（x）max，求导，利用导数判断函数f（x）的最小值，利用二次函数的关系，求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．解：，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则f（x）min≥g（x）max（x∈（0，+∞））．，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的最小值为．又g（x）max＝a，所以a≤．故实数a的取值范围为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，若，则实数k＝﹣4或2 ．【分析】结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．解：由题意，＝（﹣k﹣2，﹣4），因为，所以＝﹣k×（﹣k﹣2）+2×（﹣4）＝k2+2k﹣8＝0，解可得k＝2或k＝﹣4．故答案为：2或﹣4．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是x2＝8y．【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出抛物线的方程．解：根据抛物线定义，准线方程为y＝﹣，由题意可得8＝6+，解得：p＝4，故抛物线C的方程是x2＝8y．故答案为：x2＝8y．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD ＝，则直线AC1与DE所成角的大小为60°．【分析】连接BC1．由DE∥BC1，得∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．由此能求出直线AC1与DE所成角的大小．解：连接BC1．因为CD＝，CE＝，所以＝．由题意知DE∥BC1，所以∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．设CA＝CB＝CC1＝a，则，则△ABC1是正三角形，则∠AC1B＝60°．故直线AC1与DE所成角的大小为60°．故答案为：60°．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为2．【分析】由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，利用正弦函数的性质可求其最大值．解：由面积公式得：ab sin C＝c2，即c2＝4ab sin C．由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得＝＝＝4sin C+2cos C＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，故当C+φ＝时，的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，由a1+a3＝4，a4＝3即可求得等差数列{a n}的公差d，从而可得数列{a n}的通项公式；利用等比数列中b1＝a1，b3a14＝1，即可求得b3，及其公比q，从而可得数列{b n}的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{a n}，{b n}的前n项和．解：（1）由a1+a3＝4，得2a2＝4，所以a2＝2，所以等差数列{a n}的公差d＝＝，所以数列{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）＝n+1．b1＝a1＝×＝，由b3a14＝1，得b3×8＝1，解得b3＝，所以等比数列{b n}的公比q＝＝（q＞0），所以数列{b n}的通项公式为b n＝b1q n﹣1＝．（2）数列{a n}的n项和为S n＝＝n2+n，数列{b n}的前n项和为T n＝＝1﹣．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．【分析】（1）取线段AC的中点F，连接EF，HF．推导出四边形DEFH为平行四边形．从而EF∥HD．由此能证明DH∥平面ACE．（2）求出等腰梯形DBCE的面积S＝．推导出AO⊥DE．AO⊥CE，从而AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．由此能求出四棱锥A﹣DBCF的体积．解：（1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．则HF是△ABC的中位线，所以HF＝，HF∥BC．又因为DE＝2，DE∥BC，所以HF＝DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形．所以EF∥HD．又EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE，所以DH∥平面ACE．解：（2）等腰梯形DBCE的高为h＝＝＝2，所以等腰梯形DBCE的面积S＝．因为AD＝AE，O为DE中点，所以AO⊥DE．又AO⊥CE，DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面DBCE，所以AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．在Rt△AOD中，OD+，则AO＝＝＝2，故四棱锥A﹣DBCF的体积V＝＝．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．【分析】（1）根据频率之和为1，求出a，再求出平均数和中位数；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，求出即可；（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，求出所有的情况个数和满足条件的个数，利用古典概型概率公式求出即可．解：（1）根据频率之和为1，可得0.00625×80+（a+a）×80＝1，解得a＝0.003125，月光照量X（小时）的平均数为0.00625×80+280×0.003125×80+360×0.003125×80＝260（小时）．设月光照量X（小时）的中位数为M，则M∈[240，320]，根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得0.00625×80+（M﹣240）×0.003125＝0.5，解得M＝240，所以月光照量X（小时）的平均数为260小时，中位数为240小时；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]的月份数分别为2，1，1．（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X（小时）进行调查，所有的情况有：（5，9），（5，10），（5，6），（5，7），（5，8），（9，10），（9，6），（9，7），（9，8），（10，6），（10，7），（10，8），（6，7），（6，8），（7，8）共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的情况有：（6，7），（6，8），（7，8）共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率为．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）在[1，2]上的最大值；（2）由f（x）有两个零点，由（1）可知，．则x1＜1＜ln＜x2，因此可得x1﹣x2＜．利用，即可证明．解：（1）因为，则．令f′（x）＝0，解得．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，故函数f（x）的增区间为；减区间为．当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调连增，则f（x）max＝f（2）＝；当1＜＜2，即＜a＜时，f（x）在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则f（x）max＝＝；当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝．（2）证明：若函数f（x）有两个零点，则＝＞0，可得．则，此时，由此可得x1＜1＜ln＜x2，故x2﹣x1＞，即x1﹣x2＜．又因为，，所以．所以．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．【分析】（1）由离心率及过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长和a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，再由参数的取值范围求出数量积的取值范围．解：（1）设椭圆C的半焦距为c．因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为，所以＝，得＝，①因为椭圆C的离心率为，所以．②又a2＝b2+c2，③由①②③，解得a＝，b＝1．故椭圆C的标准方程是+y2＝1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时联立解得x ＝﹣1，y＝﹣或x＝﹣1，y＝，则设点M，N的坐标分别为（﹣1，﹣），（﹣1，）．所以＝（﹣1，﹣）（﹣1，）＝（﹣1）（﹣1）+（﹣）＝；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为点（﹣1，0）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆C一定有两个不同的交点M，N．则x1+x2＝﹣，x1x2＝．所以＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝x1x2+k（x1+1）k（x2+1）＝（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2＝（1+k2）+k2（﹣）+k2＝＝﹣，因为2+4k2≥2，所以0，所以∈[﹣2，）．综上所述：的取值范围：[﹣2，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x﹣y+9＝0．所以：直线l的普通方程为3x﹣y+9＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35＝0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35＝0．（2）直线l3x﹣y+9＝0与坐标轴的交点依次为（﹣3，0），（0，9），不妨设M（﹣3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35＝0化为标准方程是（x+6）2+y2＝1，由圆的参数方程，可设点A（﹣6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最＝（﹣3+cosα）2+sin2α+（﹣6+cosα）2+（sinα﹣9）2＝﹣18（sinα+cosα）2+128＝﹣18，当，即时，最大值为18．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．【分析】（1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．解：（1）由不等式|x﹣4|﹣x＜0，得|x﹣4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）﹣（8a2+8b2）＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（a2﹣4）（b2﹣4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2﹣4）（b2﹣4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．。

高考模拟数学试卷组题人：王玮琪 审题人：王宝国一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.(王玮琪供题) 1.已知复数1(1z i i i=-+为虚数单位),则||z = 5102. .. .5222A B C D 2.设21:()1,:log 02xp q x <<,则p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.执行如下程序框图,则输出结果为 .2 .3 .4 .5A B C D4.已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是.A ①④②③ .B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①5.已知α为第二象限角，3sin cos 3αα+=，则cos2α= 5.3A -5.9B - 5.9C 5.3D 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4575. . . .3233A B C D7.已知点,A F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和右焦点，以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰好为线段AF 的中点，此交点到该双曲线的渐近线的距离为165，则该双曲线的方程为 2222222255.1 . 1 . 1 .124161699161625x y x y x y x y A B C D -=-=-=-= 8.已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是57.. . .266A B C D ππππ9.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是.A 若//,m n ααβ=I ，则//m n .B 若,m m n α⊥⊥，则//n α.C 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ .D 若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222()tan 3a c b B ac +-=,则角B 的值为52... .636633A B C D ππππππ或或11.设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S .2 .3 .6 .9A B C D 12.如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<，满足1()()'()f b f a f x b a-=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是区间[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是区间[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是 11311.(,) .(,3) .(,1) .(,1)32223A B C D 二、填空题本题共4个小题，每小题5分，共20分. (王玮琪供题) 13.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是__________(填12a a >，21a a >，12a a =).14.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM u u u r u u u u r g的取值范围是_________.15.在ABC ∆中，1,3AN NC P =u u u r u u u r 是BN 上的点，若29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为___________.16. 偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，2()2f x x x =-0kx y k -+=(0)k >与函数()f x 的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是___________.三、解答题本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)(段俊霞供题)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.(1)证明数列{}2nnS 为等差数列； (2)求12...n S S S +++.18. (本小题满分12分)(崔沙萍供题)如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图(2)）．(1)求证：PB DE ⊥；(2)若PE BE ⊥，1PE =,求点B 到平面PEC 的距离． 19.(本小题满分12分)(周鹏飞供题)(1)求x 的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率）(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷 合计 男 15 女 45 合计附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P k k ≥0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82820.(本小题满分12分)(张恩昊供题)已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，它的一个顶点为(0,1)M ，离心率为6e =.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于,A B 两点，坐标原点O 到直线l 3AOB ∆面积的最大值. 21. (本小题满分12分)（王宝国供题） 已知函数2()ln (,)f x a x bx x a b R =++∈. (1) 若1,0a b =-=，求()f x 的最小值；(2)若(1)'(1)0f f ==，求()f x 的单调递减区间；(3)若1a b ==，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=，证明1251x x -+≥. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F . (1)证明：,,,C E F D 四点共圆；(2)若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长. 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()||,0f x x a a =-<．(1) 证明1()()2f x f x +-≥； (2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围． 文科数学 参考答案一、选择题12345678910 11 12 BBCAAACDCDBC二、填空题 13. 21a a > 14.[0,2] 15.1916.153 三、解答题17.(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=， …2分整理得11122n nn nS S ++-=， …4分 所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. …5分 (2) 由(1)可知，112n nS n n =+-=，即2nn S n =⋅， …6分 令12n n T S S S =+++L212222n n T n =⋅+⋅++⋅L① …7分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅L ② …9分①②，212222n n n T n +-=+++-⋅L ， …11分 整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. …12分18.(1) ,,DE AB DE PE DE EB ⊥∴⊥⊥Q . …2分 又,PE BE E DE =∴⊥Q I 平面PEB . …4分PB ⊂Q 平面PEB ，PB DE ∴⊥. …5分(2) 由(1)知DE PE ⊥，且,PE BE DE BE E ⊥=I ，所以PE ⊥平面BEDC . …6分 连结EC.1,1,PE DE PE AD DC =∴====Q 在EDC ∆中，o135EDC ∠=，由余弦定理得2222cos 12(5EC DE DC DE DC EDC =+-⨯⨯∠=+-=， …8分EC ∴=12PEC S PE EC ∆∴=⨯⨯=. …10分 设点B 到平面PEC 的距离为h ，则由P BEC B PEC V V --=得1133PEC BEC S h S PE ∆∆=g g，所以132122h =⨯⨯⨯，所以5h =. …12分 19.(1)由已知可得：(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1，可得x=0.025，…2分 因为（ 0.025+0.015）×10=0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人. …4分 (2)完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100…8分22100(40251520)8.24960405545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.8.249 6.635>Q ,∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …12分20.(1) 2213x y +=. (2) ①当AB x ⊥轴时，||AB =②当AB 与当x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为1122,(,),(,)y kx m A x y B x y =+，223(1),4m k =⇒=+将y kx m =+代入椭圆方程得 222212122263(1)(31)6330,,3131km m k x kmx m x x x x k k -+++-=∴+=-=++，222222222212222223612(1)12(1)(31)||(1)()(1)[](31)31(31)k m m k k m AB k x x k k k k -++-∴=+-=+-=+++2222242223(1)(91)12121233341(31)96123696k k k k k k k k ++==+=+≤+=+++⨯+++，当且仅当2219k k =，k =时上式取等号，此时max ||2,||2AB AB =∴=，此时AOB ∆面积的最大值为S =.21.(1)11()ln (0),'()1x f x x x x f x x x-=->=-=, 易知()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)1f x f ==. …4分 (2)由(1)10f b =+=得1b =-，2()ln ,'()21af x a x x x f x x x∴=-+=-+， 2121(21)(1)'(1)210,1,'()21x x x x f a a f x x x x x--+-=-+==∴=-+=-=-，由'()0f x <得1x >，所以()f x 的单调递减区间为(1,)+∞. …8分 (3)由1212()()0f x f x x x ++=得22211221212121212ln ln 0,()()ln()x x x x x x x x x x x x x x +++++=∴+++=-.由（1）得1212ln()1x x x x -≥，21212()()1x x x x ∴+++≥，解得1212x x +≥.…12分 22-24题答案同理科.高考模拟数学试卷一、选择题.（每题5分，该部分共60分）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,2,5A =，{}1,3,4B =，则()U C A B =U （ ）{}{}{}{}.1 .2,5 .1,3,4,6 .1,2,3,4,5A B C D2.若132iZ i+=-（i 是虚数单位），则Z =（ ）.2 .5B C D3. "0"x >是1"2"x x+≥的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当20x -≤≤时，()(2)f x x x =+，则(2018)f =（ ）.1 . 1 .3 .0A B C D -5.已知125ln , log 2, 2xy z π-===，则（ ）. . . .A x y z B x z y C z y x D y z x <<<<<<<<6.函数xy xe =的图象是（ ）7.已知10,sin cos ,25πααα-<<+=则22cos sin αα-=（ ） 525725. . . .772524A B C DBCDA8.1(ln +1) ex dx =⎰（ ）.1 . . 1 .1A B e C e D e +-9.已知函数2()log (2)(0a f x x x a =+>且 1)a ≠.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为（ ）111.(,) . (0,) .(,) .(,)244A B C D -∞-+∞-∞--+∞10.已知2tan sin 3,02πααα⋅=-<<，则sin α=（ ）11. . .2222A B C D --11.曲线(0,x y a a =>且0)a ≠，且在0x =处的切线方程是ln 210x y +-=，则a =（ ）11. . 2 .ln 2 .ln 22A B C D 12.已知()22()2x x f x x k e e --=-++，()f x 与直线2y =有且仅有一个交点，则k =（ ）.2 .1 . 2 .1A B C D --二、填空题.（每题5分，该部分总分20分） 13.若角α的终边经过点()1,2--，则2sin 2cos αα+=____________.14.命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题是________.15.已知函数()221sin ()1x x f x x +-=+，若2()3f α=，则()f α-=__________. 16.若函数321()()2x f x x x e a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题.（除21题10分外每题各12分，该部分共70分）17. （本小题12分）ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且53a b =. （1）若60B ︒=，求cos A 的值； （2）若23c b a -=，求cos C 的值.18. （本小题12分）已知函数()5ln ()1kxf x x k R x =+-∈+，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线220x y +-=垂直，求k 的值及曲线在点(1,(1))f 处的切线方程.19. （本小题12分）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足，111a b =+，224a b ==，且{}n a 的公差比{}n b 的公比小1.（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足()112(23)2n n n n n c a nb --=--，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形，AD ∕∕BC ,CD BC ⊥,2,AD =3,4AB BC PA ===,M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且3PC PN =.（1）求证： MN ∕∕平面PAB ；（2）求二面角P AN M --的余弦值.21. （本小题10分）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin()6πρθ+=，射线OM ：6πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长.22. （本小题12分）设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由. 一、1-5CACDD 6-10BCBAB 11-12AB 二、13.1； 14.若1x ≠且2x≠，则2320x x -+≠；15.43； 16. 1210,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭三、17.（本题12分） （1）由sin sin A aB b=得sin 10A =，又由53a b =，知a b <，,A B A ∴<为锐角，cos 10A ∴= （2）设3,5(0)a k b k k ==>，则273c a b k =+= 2222222925491cos 2302a b c k k k C ab k +-+-∴===-. 18.（本题12分） 解：'21()(1)k f x x x =-+，由题意'(1)2,124k f =∴-=，得4k =-，故4()5ln 1x f x x x =+++，(1)7f =，∴所求切线方程为250x y -+=.19.（本题12分）解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 公比为q ，由题意有1121211441a b a a d b b q q d =+⎧⎪=+=⎪⎨==⎪⎪=+⎩解得113212a b d q =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，2,2n n n a n b ∴=+=. （2）()()1121111(21)2122121(21)22n n n n C n n n n n n --⎛⎫===- ⎪+--++⋅-⎝⎭ 11122121n n T n n ⎛⎫∴=-= ⎪++⎝⎭.20.（本题12分）（1）证明：在BC 上取点Q 使Q 1B =，连接Q.Q N M 可证得Q N ∕∕PB ,Q M ∕∕AB ,∴平面Q MN ∕∕平面PAB ,得MN ∕∕平面PAB .（2）分别以Q A 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）则2228(0,0,4) (0,0,0) (0,1,0) (22,2,0) N(,,)333P A M C ,解得平面AMN 法向量11(2,0,)2n =-u r ，平面法向量()212261,2,0cos ,9n n n -=-∴=u u ru r u u r. 21.（本题12分）高考模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集U 是实数集R ，M={}11->-x x x ，N ＝ {}222x y x x =-，则图中阴影部分表示的集合是 ( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |0≤x ≤2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ＜0}2、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6 的概率为（ ）A ．184B ．121C ．25D ．353、某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（ ）A 、38B 、4C 、2D 、344、下列说法不正确的是（ ）A ．“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题C ．212,0,a R x x a x x ∃∈++=使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则22sin sin B C +<sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件5、在1234567，，，，，，的任一排列1234567 ,, ,, ,, a a a a a a a 中，使相邻两整数互质的排列方式种数共有（ ）A ．1152B ．864C ．720 D ．5766、设12,F F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，过1F 引圆229x y +=的切线1F P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17、已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1,3B ．()1,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞9、设四面体的六条棱的长分别为2a ,且长为a 2, 则a 的取值范围是（ ）A 、2)B 、3)C 、2)D 、3)10、已知函数1()lg(1)()3xf x x =--有两个零点12,x x ，则有 （ ）A 、121x x <B 、1212x x x x <+C 、1212x x x x =+D 、1212x x x x >+ 11、设函数223()cos 4sin 3(),||1,()2x f x x t t t x t f x =++-∈≤R 其中将的最小值记为(),()g t g t 则函数的单调递增区间为（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞UB ．1[1,]3--C ．1(,)3+∞D ．1[,1]312、定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，[]0,1λ∈已知向量(1)ON OA OB λλ=+-uuu r uu r uu u r ，若不等式||MN k ≤uuu r恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”．若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[112，＋∞) C ．[322) D ．[322) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱23SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为____________.14、如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、 C 、D,则CDAB ⋅的值是________.15、椭圆2221(5x y a a +=为定值，且5)a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B 两点，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

广西高考模拟考试数学试卷及答案解析（理科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}21A y y x ==-，112xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则()R A B =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}10x x -<<C ．{}0x x ≥D ．{}1x x ≥-2．已知复数1z ，2z 是关于x 的方程26100x x +=-的两个根，则122z z +=（ ）A ．9B ．81C D ．823．在ABC 中2AD DC =，E 为BD 的中点，若4AB 3AC = 2π3A =则AE CE ⋅=（ ） A ．3B ．52C ．2D ．324．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A ．43B ．4C ．83D ．85．若tan （π+x ）=-3，则212cos x sin x+的值是（ ）A ．13B ．3-C ．12D ．2-6．若点P 为抛物线24x y =上一点，F 为焦点，且3PF =，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出三种，分别种在不同土质的3块土地上，其中黄瓜必须种植，种植方法共有（ ）种．A ．24B ．18C ．12D ．98．已知函数()()()0.45π2,log 3,log 3,cos 3xf x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>9．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，ABCS =ABC 的外接圆半径R 的值为（ ）AB C D 10．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11．已知点()1,1A -，()3,5B 若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（ ）A ．20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3y =D ．10x y --=12．设函数()f x 是定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数，()'f x 是函数()f x 的导函数，若()()tan f x xf x <' πf 16⎛⎫= ⎪⎝⎭ (e为自然对数的底数)，则不等式()f x 2sinx <的解集是( ) A ．π0,6⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知ππ,sin 2cos cos 122βαβααβ-<-<+=-=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14．已知点(0,2)A ，直线l :0x y +=，则点A 到直线l 的距离为______. 15．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．16．已知函数2e 2(1)()23(1)x x x x x f x x x ⎧--=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为1,1x e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题17．在数列{}n a 中，已知10a =，26a =且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-. (1)令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设m 是一个正数，无论m 为何值，是否都有一个正整数n 使13n na m a +-<成立.(1)求a 的值：(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]8,10，(]10,12两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]10,12内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是等腰梯形ABCD ,112AD AB CD ===平面ADP ⊥平面PCD ,PD PC ⊥．(1)求证:ADP △为直角三角形;(2)若PC AD =,求二面角B AP C --的大小． 20．已知函数()()1ln f x x x =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11e a b+< 21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点A ，右焦点F ，其上一点4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以AP 为直径的圆经过F .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.求证：在x 轴上存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1.22．在极坐标系中，已知曲线2:cos C ρθ=，直线:12x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线C 交A ,B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程； (2)设定点P 的极坐标3π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求(1)(1)PA PB ++的值．23．已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()211f x x <+-的解集；(2)关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.参考答案与解析1．A【分析】根据二次函数的性质、指数函数的单调性，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.【详解】因为{}21[1,)A y y x ==-=-+∞，所以(,1)R A =-∞-又因为11(,0)2xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所以()R A B ={}1x x <- 故选：A 2．C【分析】利用求根公式和复数的模求解.【详解】解：因为复数1z ，2z 是关于x 的方程26100x x +=-的两个根所以3i x ==±所以1229i z z +=+=或1229i z z +=- 故选：C 3．A【分析】由平面向量的运算法则分解，转化后由数量积的运算律求解【详解】因为11112223AE AB AD AB AC =+=+ ()111112222623CE CB CD AB AC AC AB AC =+=--=-所以2211211121643934694629AE CE AB AB AC AC ⋅=-⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=.故选：A 4．A【分析】由三视图得到该四棱锥底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，利用体积公式计算即得.【详解】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图P ABCD -所示,底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，∴其体积为12422323V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，关键是看懂三视图，并根据三视图判断四棱锥的底面和高. 5．D【分析】由条件得tanx=-3，然后利用1的代换，结合弦化切进行转化求解即可． 【详解】由tan （π+x ）=-3得tanx=-3222221cos sin 1tan cos sin 2cos sin 212tan x x xx x x x x++==+++将正切值代入得到结果为-2. 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合1的代换以及弦化切是解决本题的关键． 6．A【分析】根据抛物线的定义可求出结果.【详解】由抛物线方程为24x y =，可知准线方程为1y =- 因为3PF =，所以由抛物线的定义可知点P 到准线的距离为3设(),P m n ，所以13n +=，解得2n =,从而可知点P 到x 轴的距离为2． 故选：A ． 7．B【分析】根据题意，依次分析黄瓜和其他3种蔬菜的种植方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，4种蔬菜中，黄瓜必须种植，则黄瓜有3种种植方法再从剩下的3种蔬菜中任选2种，安排在剩下的2块土地上，有236A =种情况则共有1863=⨯种种植方法． 故选：B 8．B9．A【分析】先由三角形的面积公式计算出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理可求出△ABC 的外接圆直径.【详解】由三角形的面积公式可得11sin 122S bc A c ==⨯⨯=4c =由余弦定理得2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则a由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为sin a A ==所以半径为R=故选：A.【点睛】本题考查三角形外接圆半径的计算，涉及到的知识点有三角形的面积公式、余弦定理和正弦定理，求解时要根据已知元素的类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于简单题目. 10．C11．D【分析】由题意可分为：直线l 与直线AB 平行以及直线l 过AB 的中点()1,3两种情况，然后利用两直线平行和点到直线的距离公式等知识分析计算即可得解． 【详解】直线AB 的斜率为()51131-=-- ①直线l 与直线AB 平行时，设直线l 的方程为0x y m -+=2=，解得2m =±直线l的方程为20x y -+-=或20x y -++=； ②若直线l 过AB 的中点()1,3时若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=-，整理为30kx y k -+-= 点A 到直线l2=，解得0k =，直线l 的方程为3y =；若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为3x =符合题意． 故选：D . 12．A【分析】令()()sin f x g x x=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出函数的导数，由()()tan f x xf x <'可得()0g x '>，()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，根据函数的单调性求出x 的范围即可． 【详解】令()()f x g x sinx=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为()()tan f x xf x <'则()()()()()220f x sinx f x cosxf x tanx f xg x cosx sin xsin x--=='⨯'>'故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增而ππ6g 2π6sin 6f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，故()2f x sinx <，即()2,sin f x x < 即()g 6x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故π06x <<，即不等式的解集为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13．【分析】根据已知等式平方后相加可得()1sin 2βα-=-，即()1sin 2αβ-=，根据已知角度范围即可得6παβ-=，从而可得sin β=，πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】等式sin 2cos cos 1βααβ+=-=两边同时平方得22sin 4cos 4sin cos 2βαβα++= 224sin cos 4sin cos 1αβαβ+-=两式相加，得414sin cos 4sin cos 3βααβ++-=，整理得()1sin 2βα-=-，即1sin()2αβ-=因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=，得π6αβ=+代入2sin cos 1αβ-=，得2sin cos 16πββ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即sin β=πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭则ππππcos cos sin 3626ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为14【分析】利用点到直线距离公式，求解即可.【详解】点(0,2)A 到直线0x y +=的距离为d ==.15【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为，由此能求出此圆台体积． 【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3∴圆台高∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）π．π． 【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题． 16．11,22e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数m 进行讨论．【详解】当1x 时，()()()12xf x x e =+-'令0f x，则ln21x <<或x<-1；()0f x '<则1ln2x -<<∴函数f(x)在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增 ∴函数f(x)在=1x -处取得极大值为()111f e-=-在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln2,3f f x e =-=-.当1x >时，()11231,12e 2ef x x x =--∴<-综上所述，m 的取值范围为11,22e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】已知最值求参数的取值范围，主要的解题手段有两种，含参分类讨论或是数形结合利用图像分析出参数的取值．17．(1)23nn b =⋅；(2)存在，详见解析.【分析】（1）由题可得21123(2)n n n n a a a a +++-=-，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；（2）由题可知1223nn n a a +-=⋅，可得11223333n n n n a a ++-⋅=，令3n n na c =，利用等比数列的通项公式可得n c ，即可得出n a ，假设存在正整数n 满足题意，由题可得13n na a +-332()32n m =<⋅-，即可求解． 【详解】（1）因为2156n n n a a a ++=- 所以21123(2)n n n n a a a a +++-=- 因为12n n n b a a +=-，且120,6a a == 所以13n n b b +=，且16b =所以数列{}n b 是以6为首项，以3为公比的等比数列 所以16323n n n b -=⋅=⋅；（2）由（1）可得1223n n n a a +-=⋅所以11223333n n n n a a ++-⋅= 令3n nna c =，则12233n n c c +-⋅= 所以122(2)3n n c c +-=⋅-，且122c -=-所以数列{}2n c -是首项为2-，公比为23的等比数列 所以1222()3n n c --=-⋅，即1222()3n n c -=-⋅所以2332n nn a =⋅-⋅无论m 为何值，假设存在一个正整数n 使13n na m a +-<成立因为1112332323333233223322()32n n n n n n n nn n a m a +++⋅-⋅⋅-=-==<⋅-⋅⋅-⋅⋅- 即332()32n m<⋅-，可得333()22n m m +> 取33lg 23lg 2m m n +>因此m 是一个正数，无论m 为何值，都有一个正整数n 使13n na m a +-<成立，取33lg23lg 2mm n +>的正整数即可． 18．(1)0.10a =(2)分布列见解析，()65E X =【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则X 服从超几何分布，根据()310346C C ,0,1,2,3C k kP X k k -===进行计算求解．【详解】（1）由频率分布直方图得()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=.解得0.10a =； （2）由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在(]8,10，(]10,12两组内的学生人数之比为0.15:0.13:2=若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(]8,10内的学生中抽取31065⨯=（人）在日平均阅读时间在(]10,12内的学生中抽取4人现从这10人中随机拍取3人，则X 服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3()36310C 2010C 1206P X ==== ()1246310C C 6011C 1202P X ====()2146310C C 3632C 12010P X ==== ()34310C 413C 12030P X ====∴X 的分布列为：()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(1)证明见解析(2)π4【分析】(1) 过点A 做AE DC ⊥,E 为垂足,由等腰梯形的数量关系可得,DE AC ,由勾股定理可知AC AD ⊥,根据面面垂直的性质定理可知PC ⊥平面ADP ,即PC AD ⊥,结合线面垂直的判定定理,可知AD ⊥平面ACP ,即AD AP ⊥,即可证明结论;(2) 过A 作AF PD ⊥于F ,根据面面垂直的性质定理可知AF ⊥平面PCD ,根据,ADP CDP △△中的勾股定理可得,AP DP ,在ADP △由等面积法可求AF ,进而求得PF ,以P 为原点PC ,PD 分别为x ,y 轴,过点P 做AF 的平行线为z 轴,建立空间直角坐标系,求出各个点坐标,分别求出平面PAB 和平面ACP 中的法向量,求得法向量的夹角的余弦值的绝对值,即为二面角B AP C --所成角的余弦值的绝对值,结合图形即可得二面角B APC --的大小.【详解】（1）证明:在等腰梯形ABCD ,1AD AB BC === 2DC = 过点A 做AE DC ⊥,E 为垂足,连接AC ,如图所示:所以12DE =,即60ADE ∠=︒,在ACD 中,由余弦定理可得 222cos 2AD DC AC ADC AD DC+-∠=⋅,解得AC =所以AC AD ⊥以P为原点PC,PD分别为x,y轴,过点P做AF的平行线为z轴,建立如图坐标系则()()1,0,0,,,,C D F A⎛⎫⎛⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1,DC=1122PB PA AB PA DC⎛=+=+=⎝⎭在平面PAB中,设其法向量为()111,,m x y z=12PB⎛=⎝⎭PA⎛=⎝⎭则1111112x y zy⎧=⎪⎪=取11y=,则(3,1,m=在平面ACP中,设其法向量为()222,,xn y z=PA ⎛= ⎝⎭(1,0,0)PC =则有22200y x =⎪=⎩,取2y 则(0,2,2)n =- 令,m n θ=,则3cos 26m n m n⋅===⋅⋅θ 由图可知二面角B AP C --为锐角,故其大小为π4.20．(1)递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞ (2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数求单调区间；（2）先进行变量分离，得到11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b =由（1）可知不妨设101x <<，21x >设21x tx =则1t >，由则()()12f x f x =得到11ln ln 1t t tx t --=-，利用分析法转化为只需证()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >利用导数判断出()S t 在()1,+∞上为减函数，得到()()10S t S <=，即12ex x +<成立. （1）函数的定义域为()0,+∞ 又()1ln 1ln f x x x '=--=-当()0,1x ∈时()0f x '>，当()1,x ∈+∞时 ()0f x '< 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. （2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln 1b a a b +=+，即ln 1ln 1a b a b++= 即11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设11x a =，21x b=由（1）可知不妨设101x << 21x >. 设21x tx =，则1t >则()()12f x f x =即()()11221ln 1ln x x x x -=- 即()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-要证12e x x +<，即证()1e 1t x +<，即证()1ln 1ln 1t x ++< 即证()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+- 1t > 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭ 先证明一个不等式()ln 1x x +≤. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++ 当10x -<<时()0u x '>；当0x >时 ()0u x '< 故()u x 在1,0上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==故()ln 1x x +≤成立.由上述不等式可得当1t >时112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <= 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12e x x +<成立. 综上所述，11e a b+<. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4) 利用导数证明不等式.21．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据AP 为直径的圆经过F ，可得0FA FP ⋅=，结合点P 在椭圆上，列出方程求解即可； （2）设动直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，由题意可得2221m k =+，假设存在()11,0M λ ()22,0M λ满足条件，列出方程求解即可得证. 【详解】（1）由题设知(c,0)F (0,)A b 由0FA FP ⋅=，得224033b c c -+=①又点P 在椭圆C 上，2222161299b a a b ∴+=⇒=②2222b c a +==③①③联立解得 1c = 21b = 故所求椭圆的方程为2212x y +=（2）设动直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理得()222214220k x kmx m +++-=（*）方程（*）有且只有一个实根，又2210k +> 所以0∆=，得2221m k =+假设存在()11,0M λ，()22,0M λ满足题设，则由()()()()2121212122221111k m k m k km d d k k λλλλλλ++++++⋅===++对任意的实数k 恒成立.所以，1212210λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得，1211λλ=⎧⎨=-⎩或1211λλ=-⎧⎨=⎩所以，存在两个定点1(1,0)M ，2(1,0)M -它们恰好是椭圆的两个焦点.【点睛】圆锥曲线中考查是否存在满足某条件的定点，一般先假设存在，按照条件建立方程，通过化简运算，注意很多情况存在运算技巧，可以得到所求点或参数，核心是需要较强的运算能力. 22．(1)22(1)1x y -+=0x=3 【分析】（1）利用将极坐标方程化为直角坐标方程；对参数方程中的参数进行消参化为普通方程；（2）点P 是直线l 上的点，对应的参数0=t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得出A ,B 两点对应的参数12,t t 满足的条件，从而求出(1)(1)PA PB ++的值．【详解】（1）曲线22o :c s C ρρθ=，因为cos x ρθ= 222x y ρ=+ 所以直角坐标方程为：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去参数t 可得直线l的普通方程为：0x ． （2）因为P 的直角坐标为0,1-()所以直线l 过P 点，直线l的参数方程12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入曲线C 的方程22(1)1x y -+=中得2211112t ⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即21)10t t -+=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t，所以121t t += 121t t =所以1212(1)(1)13PA PB t t t t ++=⋅+++． 23．(1)()(),11,-∞-+∞(2)1a >【分析】（1）利用分类讨论法可求不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求()()23f x f x -+-的最小值，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】（1）()211f x x <+-即为1121x x ++<+ 故221210x x x +<+⎧⎨+≥⎩或22121010x x x x +<--⎧⎪+<⎨⎪+≥⎩或112110x x x --+<--⎧⎨+≤⎩故1x >或x ∈∅或1x <-故()211f x x <+-的解集为()(),11,-∞-+∞（2）()()23f x f x a -+-<即为12x x a -+-<而12121x x x x -+-≥--+=，当且仅当12x ≤≤时等号成立 故()()23f x f x -+-的最小值为1，而()()23f x f x a -+-<有解 故1a >.。

2020年广西桂林市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=i(−2−i)，则该复数在复平面内对应的点在第()象限A. 一B. 二C. 三D. 四2.在等差数列{a n}中，若a1+a13=10，则(a5+a9)2+4a7=()A. 120B. 100C. 45D. 1403.已知集合A={x|x<2}，B={x|3−2x>0}，则()A. A∩B={x|x<32} B. A∩B=⌀C. A∪B={x|x<32} D. A∪B=R4.已知sin(π+α)=13，则cos2α=()A. 79B. 89C. −79D. 4√295.已知直线l1:mx+y−1=0，直线l2:(m−2)x+my−1=0，则“l1⊥l2”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=sin(x+π6)，其中x∈[−π3,α]，若f(x)的值域是[−12,1]，则cosα的取值范围是()A. [12,1) B. [−1,12] C. [0,12] D. [−12,0]7.在[−4,4]上随机地取一个数m，则事件“直线y=x+m与圆x2+y2−2x−1=0相交”发生的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 238.执行如图的程序框图，若输入的N值为10，则输出的N值为()A. −1B. 0C. 1D. 29.如果log12x<log12y<0，那么()A. y<x<1B. x<y<1C. y>x>1D. x>y>110.已知抛物线C:y=4x2，则其准线方程为()A. x=−1B. y=−1C. x=−116D. y=−11611.已知函数，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)则a+b+c的取值范围为()A. (1+e,1+e+e2)B. (1e+2e,2+e2)C. (2√1+e2,2+e2)D. (2√1+e2,1e+2e)12.在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n(n∈N+)，则该数列的前2015项的和是()A. 7049B. 7052C. 14098D. 14101二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，则a⃗⋅b⃗ =____________．14.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n=______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．16.第十二届全运会将在沈阳市举行．若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场馆，且甲、乙两人必须同组，则不同的分配方案有______ 种．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某公司为了了解用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，数据如表：气温(℃)141286用电量22263438(1)由散点图知，用电量y与气温x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)根据(1)所求的线性回归方程估计气温为10℃时的用电量．参考公式：b=∑x ini=1y i−nxy∑x i2ni=1−nx2，a=y−bx；∑x i4i=1y i=1120，∑x i24i=1=440．18.在中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(1)求边AB的长；(2)若点D是边BC上的一点，且的面积为3√34求的正弦值．19.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=PD，E、F分别是CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB=√3BC=3，求三棱锥P−AEF的体积．20.已知点P(2,1)在椭圆C:x28+y2b2=1上.(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若直线l：x−2y+m=0(m≠0)与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．21.设函数f(x)=(x2−1)lnx−x2+2x．(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)证明：f(x)≥1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2cosφ,y =sinφ(φ为参数)． (1)将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？(2)以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ−2sinθ)=4.若C 1上的点P 对应的参数为θ=π2，点Q 在C 2上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．23. 已知函数f(x)=x|2a −x|+2x ，a ∈R ．(1)若a =0，判断函数y =f(x)的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f(x)在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；(3)若存在实数a ∈(1,2]使得关于x 的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z=i(−2−i)=1−2i，∴该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,−2)，在第四象限．故选：D．2.答案：A解析：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．利用等差数列的性质可得a1+a13=2a7=10⇒a7=5，则(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7即可求得答案．解：在等差数列{a n}中，a1+a13=2a7=10⇒a7=5，∴(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7=100+20=120，故选A．3.答案：A解析：本题考查集合的交集，并集运算，属于基础题．求出B，再利用交集，并集运算求解．}，A={x|x<2}，解：因为B={x|3−2x>0}={x|x<32}，A∪B={x|x<2}．所以A∩B={x|x<32故选A．4.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13，∴cos2α=1−2sin2α=1−2×19=79．故选：A．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：直线l1：mx+y−1=0，直线l2：(m−2)x+my−1=0，若“l1⊥l2”，则m(m−2)+m=0，解得m=0或m=1，故“l1⊥l2”是“m=1”的必要不充分条件，故选：B．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查正弦余弦函数图象与性质，考查特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．根据f(x)的值域，利用正弦函数的图象和性质，即可得出α+π6的取值范围，由此求出α的取值范围，由余弦函数图象即可取得cosα的取值范围．解：∵x∈[−π3,α]，函数f(x)=sin(x+π6)的值域是[−12,1]，∴x+π6∈[−π6,α+π6]；由正弦函数的图象和性质知：π2≤α+π6≤7π6，解得：π3≤α≤π，由余弦函数的图象可知：−1≤cosα≤12，故选B．7.答案：C解析：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力．利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的m，最后根据几何概型的概率公式可求出在[−4,4]上随机地取一个数m，事件“直线y=x+m与圆x2+y2−2x−1=0相交”发生的概率．<√2，∴−3<m<1，解：直线x−y+m=0与圆(x−1)2+y2=2相交时，弦心距d=√2．故所求概率为12故选C．8.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得N=10满足条件N为偶数，N=5不满足条件N≤2，执行循环体，不满足条件N为偶数，N=2满足条件N≤2，退出循环，输出N的值为2．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．10.答案：D解析：本题主要考查抛物线的定义和性质，考查学生的计算能力，比较基础，由抛物线的准线方程的定义可求得．解：由抛物线方程y=4x2可化为x 2=14y，可知抛物线的准线方程是y=−116．故选D．11.答案：B解析：本题主要考查的是对数函数图象与性质的综合应用，属于中档题．其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键．解：函数f(x)={|lnx |,0<x ≤e2−lnx,x >e，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a <b <c ，由已知条件可知：0<a <1<b <e <c <e 2， ∵−lna =lnb ，∴ab =1∵lnb =2−lnc ， ∴bc =e 2， ∴a +b +c =b +e 2+1b，(1<b <e)，令ℎ(b)=b +e 2+1b，(1<b <e)，由(b +e 2+1b )′=1−e 2+1b 2<0，故(1,e)为减区间，∴2e +1e<a +b +c <e 2+2，∴a +b +c 的取值范围是：(1e +2e,2+e 2). 故选B ．12.答案：B解析：本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．a n+1a n +2=2a n+1+2a n (n ∈N +)，变形(a n+1−2)(a n −2)=2，当n ≥2时，(a n −2)(a n−1−2)=2，两式相除可得a n+1=a n−1，可得数列{a n}是周期为2的周期数列，即可得出．解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n(n∈N+)，∴(a n+1−2)(a n−2)=2，当n≥2时，(a n−2)(a n−1−2)=2，∴a n+1−2a n−1−2=1，可得a n+1=a n−1，因此数列{a n}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007(3+4)+3=7052．故选B ．13.答案：4解析：本题考查向量数量积，利用向量数量积的运算法则以及向量的模的公式求解，属于基础题．求出|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2,|a⃗−b⃗ |2=a2⃗⃗⃗⃗ −2a⃗·b⃗ +b⃗ 2的值相减即可．解：a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，所以|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=32+42=25,|a⃗−b⃗ |2=a⃗2−2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=9，相减得4a⃗·b⃗ =16,a⃗·b⃗ =4，故答案为4．14.答案：63解析：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：∵高二年级被抽取的人数为21，∴21600=n1800，得n=63，故答案为：63．15.答案：53解析：本题考查双曲线定义以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 解：根据双曲线定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，设|PF 2|=r ， 则|PF 2|=4r ，故3r =2a ，即r =2a3，即|PF 2|=2a 3．根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c −a ，即2a3≥c −a ， 即ca ≤53，即e ≤53，故双曲线的离心率e 的最大值为53， 故答案为53．16.答案：18解析：本题考查排列、组合的综合应用，注意“甲、乙两人必须同组”，将其他四人分成2组即可． 分2步进行分析：①、将6名志愿者分成3组，每组2人，将除甲乙外的4人分成2组即可，②、将分好的3组全排列，对应3个不同的场馆，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析： ①、将6名志愿者分成3组，每组2人，由于甲、乙两人必须同组，将其他4人分成2组即可，则有C 42C 22A 22=3种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应3个不同的场馆，有A 33=6种方法； 则不同的分配方案有3×6=18种； 故答案为18．17.答案：解：(1)x =14+12+8+64=10，y =22+26+34+384=30．∴b =∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2=1120−4×10×30440−4×102=−2，a =y −bx =30−(−2)×10=50． ∴y 关于x 的线性回归方程是y =−2x +50． (2)当x =10时，y =−2×10+50=30． ∴气温为10℃时的用电量约为30度．解析：本题考查了线性回归方程的求解及数值预测，属于基础题． (1)根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； (2)把x =10代入回归方程计算y ．18.答案：解：(1)因为A =2π3，由得，即，从而所以C =π6， 所以，所以c =2．(2)S ΔACD =12×b ×CD ×sin π6=3√34，解得CD =3√32，在ΔACD 中，由余弦定理得AD 2=22+(3√32)2−2×3√32×2×cos π6=74，∴AD =√72， 在ΔACD 中，由正弦定理得AD sinC =ACsin∠ADC ， ∴sin∠ADC =2√77．解析：本题考查了解三角形的知识，需要学生熟练掌握三角形的恒等变换公式以及正余弦定理．(1)由A，利用B表示出C，利用两角和与差的三角函数公式对cosB=√3sinC求出C，进而求出AB 的长即可;(2)利用三角形面积公式及余弦定理和正弦定理求出∠ADC的正弦值即可．19.答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD，∵AD=PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，∴DG⊥平面PAB．又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形，∴四边形EFGD为矩形，则DG//EF，∴EF⊥平面PAB；(2)解：由AB=√3BC=3，得BC=√3，AB=3，AD=PD=√3，且F是PB的中点．∴V P−AEF=V B−AEF=V F−ABE=12V P−ABE=12⋅13S△ABE⋅PD=12×13×12×3×√3×√3=34．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(1)由PD⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，再由面面垂直的性质可得BA⊥平面PAD，得到平面PBA⊥平面PAD，由AD=PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，可得DG⊥平面PAB，然后证明四边形EFGD为矩形，得到DG//EF，则EF⊥平面PAB；(2)由AB=√3BC=3，得BC=√3，AB=3，AD=AP=√3，且F是PB的中点．然后利用等积法求三棱锥P−AEF的体积．20.答案：解：(1)∵点P(2,1)在椭圆C：x28+y2b2=1上，代入椭圆方程得b2=2，所以椭圆x28+y22=1，c=√6，a=2√2，∴e=√32．(2)将直线l：x−2y+m=0(m≠0)代入椭圆方程x28+y22=1得，2x 2+2mx +m 2−8=0，∵直线l ：x −2y +m =0(m ≠0)与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ， ∴△=4m 2−8(m 2−8)>0， 解得−4<m <0，或0<m <4， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−m ，x 1 x 2=m 2−82，y 1=x 1+m 2，y 2=x 2+m 2，设PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1+k 2=y 1−y1x 1+y 2−1x 2=(x 1+m 2−1)(x 2−2)+(x 2+m2−1)(x 1−2)(x 2−2) =2x 1x 2+(m −4)(x 1+x 2)−4(m −2)2(x 1−2)(x 2−2)=m 2−8−m 2+4m −4m +82(x 1−2)(x 2−2)=0，因为k 1+k 2=0， ∴∠PMN =∠PNM ， 所以|PM|=|PN|．解析：(1)代入P 点利用椭圆基本量关系可求b 和离心率e ．(2)联立直线与椭圆，设出AB 两个点的坐标，利用韦达定理和直线斜率公式转化求解．本题考查椭圆基本量的关系，直线与椭圆位置关系，韦达定理斜率公式运用的，考查转化思想，属于难题．21.答案：(1)解：f′(x)=x 2−1x+2xlnx −2x +2=2xlnx −x −1x+2．f′(2)=4ln2−12，f(2)=3ln2．∴曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为：y −3ln2=(4ln2−12)(x −2)， 化为：(4ln2−12)x −y −5ln2+1=0．(2)证明：f(x)≥1⇔(x 2−1)lnx −(x −1)2≥0． 当x =1时，不等式成立．所以只需证明：x >1时，lnx ≥x−1x+1；0<x <1时，lnx ≤x−1x+1． 令ℎ(x)=lnx −x−1x+1． 则ℎ′(x)=1x −x+1−(x−1)(x+1)2=x 2+1x(x+1)2>0．∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数． ∴x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0； 0<x <1时，ℎ(x)<ℎ(1)=0． 综上可得：f(x)≥1．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题． (1)f′(x)=x 2−1x+2xlnx −2x +2=2xlnx −x −1x+2.可得f′(2)，f(2)=3ln2.利用点斜式即可得出切线方程．(2)f(x)≥1⇔(x 2−1)lnx −(x −1)2≥0.当x =1时，不等式成立．所以只需证明：x >1时，lnx ≥x−1x+1；0<x <1时，lnx ≤x−1x+1.利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出． 22.答案：解：(1)∵曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，∴曲线C 1消去参数θ，得到C 1的普通方程为x 2+(y −1)2=1， 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， ∵曲线C 2的参数方程为{x =2cosϕy =sinϕ(φ为参数)，∴曲线C 2消去参数φ，能求出C 2的普通方程为x 24+y 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．(2)由已知得P(0,2)，设Q(2cosθ,sinθ)，则M(cosθ,1+12sinθ)， 直线l ：x −2y −4=0，点M 到直线l 的距离为d =5=|√2sin(θ+π4)−6|5，所以6√5−√105≤d ≤√10+6√56， 故M 到直线l 的距离的最小值为6√5−√105．解析：(1)曲线C 1的参数方程消去参数θ，能求出C 1的普通方程及其表示的曲线；曲线C 2的参数方程消去参数φ，能求出C 2的普通方程及其表求的曲线．(2)P(0,2)，设Q(2cosθ,sinθ)，则M(cosθ,1+12sinθ)，直线l ：x −2y −4=0，点M 到直线l 的距离为d =√5=|√2sin(θ+π4)−6|√5，由此能求出M 到直线l 的距离的最小值．本题考查曲线的普通方程的求法及其表示图形的判断，考查点到直线距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．23.答案：解：(1)函数y =f(x)为奇函数．当a =0时，f(x)=x|x|+2x ， ∴f(−x)=−x|x|−2x =−f(x)， ∴函数y =f(x)为奇函数；(2)f(x)={x 2+(2−2a)x,x ≥2a−x 2+(2+2a)x,x <2a ，当x ≥2a 时，f(x)的对称轴为：x =a −1； 当x <2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a +1； ∴当a −1≤2a ≤a +1时，f(x)在R 上是增函数， 即−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数；(3)方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解．由a ∈(1,2]知2a >a +1>a −1，∴y =f(x)在(−∞,a +1)上单调增，在(a +1,2a)上单调减， 在(2a,+∞)上单调增，∴当f(2a)<tf(2a)<f(a +1)时，关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根； 即4a <t ⋅4a <(a +1)2， ∵a >1，∴1<t <14(a +1a +2)， 设ℎ(a)=14(a +1a +2)，∵存在a ∈(1,2]使得关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根， ∴1<t <ℎ(a)max ，又可证ℎ(a)=14(a +1a +2)在(1,2]上单调增 ∴ℎ(a)max =98，∴1<t<9．8解析：(1)若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；(3)根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题） 1．1−i 1+2i的共轭复数为（ ）A ．−15−35iB ．−15+35iC ．15+35i D ．15−35i2．若集合A ＝{x |y =√x +2}，B ＝{x |y =√x 2−1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞） B ．[﹣2，﹣1]∪[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）3．设向量a →=（﹣1，2），b →=（2，﹣4），则（ ） A ．a →⊥b →B ．a →与b →同向C ．a →与b →反向 D ．15（a →+b →）是单位向量4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（1，√32b ），且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 28+y 26=1C ．x 24+y 22=1D ．x 28+y 24=15．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点AD ＝6，BC ＝4，EF =√2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．910D ．11126．（a +x 2）（1+x ）n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．817．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a （sin A +9sin B ）＝12sin A ，sin C =13，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．43D ．238．设[t ]表示不大于t 的最大整数．执行如图所示的程序框图，则输出的x ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.2210．若α∈（0，2π），则满足4sinα−1cosα=4cosα−1sinα的所有α的和为（ ） A ．3π4B ．2πC ．7π2D ．9π211．设x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y +1≤0x −2y +m ≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形．现有下述四个结论：①若x +y 的最大值为6，则m ＝5；②若m ＝3，则曲线y ＝4x ﹣1与Ω有公共点； ③m 的取值范围为（32，+∞）；④“m ＞3”是“x +y 的最大值大于3”的充要条件．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①③④12．已知函数f （x +1）是定义在R 上的奇函数，当x ≤1时，函数f （x ）单调递增，则（ ）A ．f 2(log 34)＞f 2(log 43)＞f 2(log 2√423)B ．f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)＞f 2(log 34)C ．f 2(log 34)＞f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)D ．f 2(log 43)＞f 2(log 34)＞f 2(log 2√423)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若曲线y=sin(ωx−π5)(0＜ω＜π2)关于点（2，0）对称则ω＝．14．若双曲线x2m+2−y22−m=1（﹣2＜m＜2）上一点到A（﹣2，0），B（2，0）两点的距离之差的绝对值为2√3，则双曲线的虚轴长为．15．如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BC＝EF＝πcm，AE＝2cm，BE＝CF＝4cm，AD＝7cm，且AE⊥EF，AD⊥底面AEF．某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为cm．16．已知函数f（x）＝x（x5﹣16x2+x﹣4），且f（x）≥f（x0）对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)x在点（x0，f(x0)x0）处的切线的斜率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m，将完成订单数超过m记为“优秀”，不超过m记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；优秀一般甲配送方案 乙配送方案（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k ）0.05 0.010 0.005 k3.8416.6357.87918．在递增的等比数列{a n }中，a 3＝16．a 2+a 4＝68．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1＝a 1，S 2＝a 2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{√n S n }的前n 项和T n ．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ，∠ABC ＝45°． （1）证明：AC ⊥PB ．（2）若AD =√2PA ，试在棱PB 上确定一点M ，使DM 与平面PAB 所成角的正弦值为2√2121．20．已知F （0，1）为抛物线C ：y ＝mx 2的焦点．（1）设A(1m ，m+1m)，动点P 在C 上运动，证明：|PA |+|PF |≥6． （2）如图，直线l ：y =12x +t 与C 交于M ，N 两点（M 在第一象限，N 在第二象限），分别过M ，N 作l 的垂线，这两条垂线与y 轴的交点分别为D ，E ，求|DE |的取值范围．21．已知函数f （x ）＝x 2+（m ﹣2）x ﹣mlnx ． （1）讨论f （x ）的极值点的个数；（2）设函数g(x)=12x 2+mlnx ，P ，Q 为曲线y ＝f （x ）﹣g （x ）上任意两个不同的点，设直线PQ 的斜率为k ，若k ≥m 恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+6cosαy =6sinα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)+2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线l '与曲线C 交于M ，N 两点，求|PM |﹣|PN |的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣kx ﹣1． （1）若k ＝2，求不等式f （x ）＞0的解集； （2）若方程f （x ）＝0有实数根，求k 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1−i 1+2i的共轭复数为（ ）A ．−15−35iB ．−15+35iC ．15+35i D ．15−35i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 解：∵1−i 1+2i=(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−35i ，∴1−i 1+2i的共轭复数为−15+35i ．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．若集合A ＝{x |y =√x +2}，B ＝{x |y =√x 2−1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞） B ．[﹣2，﹣1]∪[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |y =√x +2}＝{x |x ≥﹣2}， B ＝{x |y =√x 2−1}＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}， 则A ∩B ＝[﹣2，﹣1]∪[1，+∞）． 故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．设向量a →=（﹣1，2），b →=（2，﹣4），则（ ） A ．a →⊥b → B ．a →与b →同向C ．a →与b →反向D ．15（a →+b →）是单位向量【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出b →=−2a →，从而得出a →，b →反向，并可得出15|a →+b →|≠1，从而得出正确的选项．解：∵a →=(−1，2)，b →=(2，−4)，∴b →=−2a →， ∴a →与b →反向，15(a →+b →)=(15，−25)，∴15|a →+b →|≠1，即15(a →+b →)不是单位向量．故选：C ．【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题． 4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（1，√32b ），且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 28+y 26=1C ．x 24+y 22=1D ．x 28+y 24=1【分析】把点的坐标代入椭圆方程，同时利用离心率e =c a=√a 2−b 2a 2=√1−b 2a2，可建立关于a 和b 的方程组，解之即可．解：由题可知，{ 1a 2+34=1√a 2−b 2a 2=√1−b 2a 2=12，解得{a 2=4b 2=3， ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的运算能力，属于基础题． 5．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点AD ＝6，BC ＝4，EF =√2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．910D ．1112【分析】如图所示，取CD 的中点，连接EG ，FG ，利用三角形中位线定理可得FG ∥BC ，EG ∥AD ．可得∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成角或补角，再利用余弦定理即可得出．解：如图所示，取CD 的中点，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ．则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成角或补角， ∵FG =12BC ＝2，EG =12AD ＝3， ∴cos ∠EGF =4+9−22×2×3=1112． ∴异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112．故选：D ．【点评】本题考查了三角形中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（a +x 2）（1+x ）n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．81【分析】由题意先求出a 和n 的值，再把（1+x ）n 按照二项式定理展开，可得（a +x 2）（1+x ）n 的展开式中x 4的系数．解：令x ＝1，可得（a +x 2）（1+x ）n 的展开式中各项系数之和为（a +1）•2n ＝192，且常数项为a ＝2， ∴3•2n ＝192，∴n ＝6．∴（a +x 2）（1+x ）n ＝（2+x 2）（1+x ）6＝（2+x 2）（1+6x +15x 2+20x 3+15x 4+6x 5+x 6）， 则该展开式中x 4的系数为2×15+15＝45， 故选：B ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a （sin A +9sin B ）＝12sin A ，sin C =13，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．43D ．23【分析】由已知利用正弦定理可得（a +9b ）＝12，进而根据基本不等式可求ab ≤4，从而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a（sin A+9sin B）＝12sin A，∴a（a+9b）＝12a，又a＞0，∴a+9b＝12≥2√9ab，则可得ab≤4，∴△ABC的面积的最大值为12×4×13=23．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于基础题．8．设[t]表示不大于t的最大整数．执行如图所示的程序框图，则输出的x＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的x值．解：模拟程序的运行过程，如下；x＝1，t＝100，[t]＝100；x＝2，t＝50，[t]＝50；x＝3，t=506，[t]＝16；x＝4，t=256，[t]＝4；所以输出的x＝4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9．在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X万元，则EX＝（）A．18.12B．18.22C．19.12D．19.22【分析】由题意得X的可能取值为28，13.2，﹣1.6，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．解：由题意得X的可能取值为28，13.2，﹣1.6，P（X＝28）＝0.72＝0.49，P（X＝13.2）＝2×0.7×0.3＝0.42，P（X＝﹣1.6）＝0.32＝0.09，∴E（X）＝28×0.49+13.2×0.42﹣1.6×0.09＝19.32．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．若α∈（0，2π），则满足4sinα−1cosα=4cosα−1sinα的所有α的和为（）A．3π4B．2πC．7π2D．9π2【分析】由题意化简等式求出α的值，再求和即可．解：由4sinα−1cosα=4cosα−1sinα，所以4（sinα﹣cosα）=1cosα−1sinα=sinα−cosαsinαcosα，sinα﹣cosα＝0或4sinαcosα＝1，即tanα＝1，或sin2α=1 2；因为α∈（0，2π），所以α=π4，或5π4，π12，13π12，5π12，17π12；所以满足条件的所有α的和为π4+5π4+π12+13π12+5π12+17π12=9π2．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．11．设x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y +1≤0x −2y +m ≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形．现有下述四个结论：①若x +y 的最大值为6，则m ＝5；②若m ＝3，则曲线y ＝4x ﹣1与Ω有公共点； ③m 的取值范围为（32，+∞）；④“m ＞3”是“x +y 的最大值大于3”的充要条件．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①③④【分析】画出可行域，求出m 的范围，利用线性规划的知识，判断公共选项的正误即可． 解：作出x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y +1≤0x −2y +m ≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形，联立{x +y =0x −y +1=0，解得{x =−12y =12，因为Ω为三角形区域，所以−12−2×12+m ＞0，可得m ＞32，所以③正确；当直线z ＝x +y 经过可行域的A （m ﹣2，m ﹣1）时，z ＝x +y 取得最大值，并且最大值为2m ﹣3，所以①错误；④正确；当m ＝3时，A （1，2）当x ＝1时，函数y ＝4x ﹣1的值为3＞2，则曲线y ＝4x ﹣1与Ω有公共点，所以②正确； 故选：B ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合思想以及逻辑推理的核心素养． 12．已知函数f （x +1）是定义在R 上的奇函数，当x ≤1时，函数f （x ）单调递增，则（ ）A ．f 2(log 34)＞f 2(log 43)＞f 2(log 2√423)B ．f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)＞f 2(log 34)C ．f 2(log 34)＞f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)D ．f 2(log 43)＞f 2(log 34)＞f 2(log 2√423)【分析】易知，f （x ）关于（1，0）对称，且f （1）＝0，因为当x ≤1时，函数f （x ）单调递增，则f （x ）在[1，+∞）递增，且f （x ）＞0，所以x ＞1时，f （x ）与f 2（x ）同号，大小一致．然后将x ＜1时的函数值，根据对称性转化为x ＞1时的函数值，利用单调性比较即可．解：根据题意，函数f （x +1）是定义在R 上的奇函数，则函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，且f （1）＝0，当x ≤1时，函数f （x ）单调递增，则f （x ）在[1，+∞）上单调递增，且f （x ）≥f （1）＝0，所以x ＞1时，f 2（x ）与f （x ）同号，且f 2（x ）＝f 2（2﹣x ），∴f 2(log 43)=f 2(2−log 43)，所以只需比较x ＞1时，f （x ）的大小关系即可． 因为：|2﹣log 43|＝2﹣log 43＝log 4163，∴f 2(log 43)=f 2(log 4163)； ∵log 2√423=log 4143，∴log 3163＞log 3143．又log 34−log 4163=lg4lg3−2lg4−lg3lg4=lg 24−2lg4lg3+lg 23lg3lg4=(lg4−lg3)2lg3lg4＞0，故log 34＞log 4163＞log 4143， 则有f 2(log 34)＞f 2(log 43)＞f 2(log 2√423)．故选：A ．【点评】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，注意分析函数在[1，+∞）上的单调性以及f （x ）与f 2（x ）大小关系的一致性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若曲线y =sin(ωx −π5)(0＜ω＜π2)关于点（2，0）对称则ω＝ π10．【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果． 解：函数y =sin(ωx −π5)关于（2，0）对称，所以2ω−π5=kπ（k ∈Z ），解得ω=kπ2+π10（k ∈Z ），由于0＜ω＜π2， 所以ω=π10． 故答案为：π10【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．若双曲线x2m+2−y22−m=1（﹣2＜m＜2）上一点到A（﹣2，0），B（2，0）两点的距离之差的绝对值为2√3，则双曲线的虚轴长为2．【分析】由题意可得双曲线的c，再由题意求出a，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出虚轴长．解：由双曲线的定义可得c2＝m+2+2﹣m＝4，所以可得A，B两点为双曲线的焦点，由双曲线的定义可得2a＝2√3，解得a=√3，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣3＝1，所以b＝1，所以虚轴长为2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．15．如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BC＝EF＝πcm，AE＝2cm，BE＝CF＝4cm，AD＝7cm，且AE⊥EF，AD⊥底面AEF．某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为√33cm．【分析】设出球的半径，利用几何体的体积与球的体积相等，转化求解球的半径即可．解：设铸得的铁球的半径为rcm，由题意可得几何体的体积为：12×2×π×4+13×12×2×π×(7−4)=5π．可得：5π×（1﹣20%）=43πr3，解得：r=√33．故答案为：√33．【点评】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识．16．已知函数f（x）＝x（x5﹣16x2+x﹣4），且f（x）≥f（x0）对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)x在点（x 0，f(x 0)x 0）处的切线的斜率为 17 ．【分析】由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．解：因为f （x ）＝x （x 5﹣16x 2+x ﹣4）＝x 6﹣16x 3+x 2﹣4x ＝（x 3﹣8）2﹣（x ﹣2）2﹣68， ∴当x ＝2时，函数取得最小值即x 0＝2， ∵（f(x)x）′＝5x 4﹣32x +1，∴则曲线y =f(x)x 在点（x 0，f(x 0)x 0）处的切线的斜率k ＝5×24﹣32×2+1＝17．故答案为：17【点评】本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m ，将完成订单数超过m 记为“优秀”，不超过m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k ）0.05 0.010 0.005 k3.8416.6357.879【分析】（1）利用茎叶图即可求出各组内25位骑手完成订单数的中位数，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且49＜52，所以甲配送方案的效率更高； （2）先利用茎叶图求出m 的值，再根据题目所给的数据填写2×2列联表即可； （2）计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（1）用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为53，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为49，因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且49＜52， 所以，甲配送方案的效率更高； （2）由茎叶图知m =25×52+25×4950=50.5，列联表如下：优秀 一般 总计 甲配送方案 17 8 25 乙配送方案 9 16 25 总计262450（3）因为K 2=50×(17×16−8×9)225×25×26×24=20039≈5.13＞3.841，所以有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了平均值和中位数的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．18．在递增的等比数列{a n }中，a 3＝16．a 2+a 4＝68．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1＝a 1，S 2＝a 2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{√4a n S n }的前n 项和T n ．【分析】本题第（1）题先设等比数列{a n }的公比为q ，然后根据a 3＝16．a 2+a 4＝68列出算式进行转化计算并解出q 的值，主要排除不符合题意的q 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，然后代入b 1＝a 1，S 2＝a 2，分别计算出b 1，b 2的值，得到公差，即可计算出数列{b n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出S n 的表达式和数列{√4a n S n }的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n 项和T n ． 解：（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则 {a 1q 2=16a 1q +a 1q 3=68， 两式相比，可得1+q 2q=174，化简整理，得4q 2﹣17q +4＝0， 解得q =14，或q ＝4．∵当q =14时，a 1=a 3q 2=16(14)2=256＞0，此时数列{a n }是递减的等比数列，不符合题意， ∴q ≠14，从而q ＝4，∴a n ＝a 3•q n ﹣3＝16•4n ﹣3＝4n ﹣1，n ∈N*．∵b 1＝a 1＝41﹣1＝1，S 2＝b 1+b 2＝1+b 2＝a 2＝4，解得b 2＝3， 设等差数列{b n }的公差为d ，则 d ＝b 2﹣b 1＝3﹣1＝2，∴b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N*． （2）由（1）知，S n ＝n +n(n−1)2•2＝n 2， ∴√4a n S n =√4⋅4n−1⋅n 2=n •2n ，∴T n ＝1×21+2•22+3•23+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，2T n ＝1×22+2•23+…+（n ﹣1）•2n +n •2n +1， 两式相减，可得﹣T n ＝21+22+23+…+2n ﹣n •2n +1=2−2n+11−2−n •2n +1＝﹣（n ﹣1）•2n +1﹣2， ∴T n ＝（n ﹣1）•2n +1+2．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD，∠ABC＝45°．（1）证明：AC⊥PB．（2）若AD=√2PA，试在棱PB上确定一点M，使DM与平面PAB所成角的正弦值为2√21．21【分析】（1）由AC⊥AB，PA⊥AC可证得AC⊥平面PAB，再由线面垂直的性质定理可得AC⊥PB；（2）建立空间直角坐标系，设PM→=λPB→=(√2λ，−√2λ，−λ)(0≤λ≤1)，求出平面PAB的法向量AC→=(√2，√2，0)及直线DM的方向向量，进而根据题设条件建立方程，解出即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥CD，且AD＝CD，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴∠BCA＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴PA⊥AC，又PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB，∵PB在平面PAB内，∴AC⊥PB；（2）解：取BC的中点E，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，如图所示，设PA ＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(√2，−√2，0)，C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，∴PB →=(√2，−√2，−1)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=λPB →=(√2λ，−√2λ，−λ)(0≤λ≤1)， 则DM →=PM →−PD →=(√2λ，−√2λ−√2，−λ+1)， 由（1）可知，AC ⊥平面PAB ，∴AC →=(√2，√2，0)为平面PAB 的一个法向量，设DM 与平面PAB 所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜DM →，AC →＞|=|DM →⋅AC →||DM →||AC →|=√2λ+2(λ+1)2+(−+1)2×2=2√2121，整理得20λ2+8λ﹣9＝0，解得λ=12（负值舍去）， ∴点M 为棱PB 的中点．【点评】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量解决线面角问题，考查方程思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题． 20．已知F （0，1）为抛物线C ：y ＝mx 2的焦点．（1）设A(1m ，m+1m)，动点P 在C 上运动，证明：|PA |+|PF |≥6． （2）如图，直线l ：y =12x +t 与C 交于M ，N 两点（M 在第一象限，N 在第二象限），分别过M ，N 作l 的垂线，这两条垂线与y 轴的交点分别为D ，E ，求|DE |的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标，再由椭圆可得m的值，求出抛物线的方程及准线方程，进而可得A的坐标，当PA垂直于准线时取等号，可证得结论；（2）将直线l的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得两根之差的范围，由题意求出直线DM，NE的方程，令x＝0求出M，N的纵坐标，进而可得|DE|的表达式，再由前面两根之差的范围求出|DE|的取值范围．解：（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标（0，14m ），由题意可得14m=1，所以m=14，即抛物线的方程为：x2＝4y，所以可得A（4，5），且可得抛物线的准线方程为：y＝﹣1，设P到准线的距离为d，由抛物线的性质可得|PF|＝d，因为A到准线的距离为5+1＝6，所以|PA|+|PF|＝|PA|+d≥6．过A作准线的垂线交抛物线于P，此时取等号．即证：|PA|+|PF|≥6．（2）由{x2=4yy=12x+t整理可得x2﹣2x﹣4t＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1＞0，x2＜0），则x1+x2＝2，x1x2＝﹣4t＜0，所以t＞0，x1﹣x2=√(x1+x2)2−4x1x2=√4+16t＞2，直线DM的方程为：y﹣y1＝﹣2（x﹣x1），令x＝0可得y D＝2x1+y1，同理可得y E＝2x2+y2，所以|DE|＝y D﹣y E＝2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2）+12（x1﹣x2）=52（x1﹣x2）＞52•2＝5，所以|DE|＞5，所以|DE|的取值范围（5，+∞）．【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，及求两点间的距离的取值范围，属于中档题．21．已知函数f（x）＝x2+（m﹣2）x﹣mlnx．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）设函数g(x)=12x2+mlnx，P，Q为曲线y＝f（x）﹣g（x）上任意两个不同的点，设直线PQ的斜率为k，若k≥m恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，求解导函数的零点，然后对m分类判断函数的单调性，求解极值，从而判断函数零点的个数；（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x），则h（x）=12x2+(m−2)x−2mlnx，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1，x2∈（0，+∞），求PQ的斜率，求得k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2．不妨设x1＞x2，则由k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2≥m恒成立，可得h（x1）﹣mx1＞h（x2）﹣mx2恒成立，构造函数t（x）＝h（x）﹣mx，由t（x）在（0，+∞）上单调递增，转化为t′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数m，再由配方法求最值，可得m的取值范围．解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝2x+m﹣2−mx =2x2+(m−2)x−mx=(2x+m)(x−1)x．令f′（x）＝0，得x=−m2或x＝1．①当−m2＞1，即m＜﹣2时，在（0，1）和（−m2，+∞）上，f′（x）＞0，在（1，−m2）上，f′（x）＜0，∴当x＝1时，f（x）取得极大值，当x=−m2时，f（x）取得极小值，故f（x）有两个极值点；②当0＜−m2＜1，即﹣2＜m＜0时，在（0，−m2）和（1，+∞）上，f′（x）＞0，在（−m2，1）上，f′（x）＜0，∴当x=−m2时，f（x）取得极大值，当x＝1时，f（x）取得极小值，故f（x）有两个极值点；③当−m2=1，即m＝﹣2时，f′（x）=(2x+m)(x−1)x =2(x−1)2x≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；④当−m2≤0，即m≥0时，在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，故x＝1时，函数求得极小值，无极大值，f（x）只有一个极值点．综上，当m＝﹣2时，f（x）极值点的个数为0；当m≥0时，f（x）的极值点的个数为1；当m＜﹣2或﹣2＜m＜0时，f（x）的极值点的个数为2；（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x），则h（x）=12x2+(m−2)x−2mlnx，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1，x2∈（0，+∞），则k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2．不妨设x1＞x2，则由k=ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2≥m恒成立，可得h（x1）﹣mx1＞h（x2）﹣mx2恒成立，令t（x）＝h（x）﹣mx，则t（x）在（0，+∞）上单调递增，∴t′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即h′（x）﹣m≥0恒成立，则x+m﹣2−2mx−m≥0恒成立，即x2−2x−2mx≥0恒成立．又x∈（0，+∞），∴x2﹣2x﹣2m≥0恒成立，则2m≤（x2﹣2x）min．∵x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴2m≤﹣1，即m≤−1 2．即m的取值范围为（﹣∞，−1 2]．【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，训练了利用分离参数法求字母的取值范围，属难题．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+6cosαy =6sinα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)+2=0．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线l '与曲线C 交于M ，N 两点，求|PM |﹣|PN |的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+6cosαy =6sinα（α为参数），转化为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝36，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)+2=0．整理得12ρsinθ−√32ρcosθ+2=0，由{x =ρcosθy =ρsinθ整理得√3x −y −4=0．（2）直线√3x −y −4=0与y 轴的交点坐标为（0，﹣4），直线l ′的参数方程为{x =tcosαy =−4+tsinα（t 为参数）．代入（x ﹣2）2+y 2＝36得到：t 2﹣（8sin α+4cos α）t ﹣16＝0，所以t 2+t 1＝8sin α+4cos α，t 1t 2＝﹣16＜0．故|PM |﹣|PN |＝|t 1+t 2|=|4√5sin(α+θ)|≤4√5．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣kx ﹣1．（1）若k ＝2，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若方程f （x ）＝0有实数根，求k 的取值范围．【分析】（1）将k ＝2代入，并把函数化为分段函数的形式，由此即可求得解集；（2）依题意，|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣1＝kx ，令g （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣1，作出函数g （x ）的图象，由图象观察可知，当k ＜﹣2或k ≥12时，f （x ）＝0有实数根，由此得解．解：（1）当k ＝2时，f(x)={−4x +4，x ≤1−2x +2，1＜x ＜4−6，x ≥4，由f （x ）＞0得x ＜1，故f （x ）＞0的解集为（﹣∞，1）；（2）由f （x ）＝0，得|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣1＝kx ，令g （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣1|﹣1，则g(x)={4−2x ，x ≤12，1＜x ＜42x −6，x ≥4，作出g （x ）的图象，如图所示，直线y ＝kx 过原点，当此直线经过点B （4，2）时，k =12；当此直线与直线AC 平行时，k ＝﹣2，由图可知，当k ＜﹣2或k ≥12时，g （x ）的图象与直线y ＝kx 有公共点，从而f （x ）＝0有实数根，故实数k 的取值范围为(−∞，−2)∪[12，+∞)．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想的运用，属于基础题．。

第1页（共20页）2020年广西高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）1−i 1+2i的共轭复数为（ ）A ．−15−35iB ．−15+35iC ．15+35i D ．15−35i2．（5分）若集合A ＝{x |y =√x +2}，B ＝{x |y =√x 2−1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞） B ．[﹣2，﹣1]∪[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）3．（5分）设向量a →=（﹣1，2），b →=（2，﹣4），则（ ） A ．a →⊥b →B ．a →与b →同向C ．a →与b →反向 D ．15（a →+b →）是单位向量4．（5分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）经过点（1，√32b ），且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 28+y 26=1C ．x 24+y 22=1D ．x 28+y 24=15．（5分）在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点AD ＝6，BC ＝4，EF =√2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．910D ．11126．（5分）（a +x 2）（1+x ）n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．817．（5分）a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a （sin A +9sin B ）＝12sin A ，sin C =13，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．43D ．238．（5分）设[t ]表示不大于t 的最大整数．执行如图所示的程序框图，则输出的x ＝（ ）第2页（共20页）A ．2B ．3C ．4D ．59．（5分）在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.2210．（5分）若α∈（0，2π），则满足4sinα−1cosα=4cosα−1sinα的所有α的和为（ ） A ．3π4B ．2πC ．7π2D ．9π211．（5分）设x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y +1≤0x −2y +m ≥0，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形．现有下述四个结论：①若x +y 的最大值为6，则m ＝5；②若m ＝3，则曲线y ＝4x ﹣1与Ω有公共点； ③m 的取值范围为（32，+∞）；④“m ＞3”是“x +y 的最大值大于3”的充要条件．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①③④12．（5分）已知函数f （x +1）是定义在R 上的奇函数，当x ≤1时，函数f （x ）单调递增，则（ ）A ．f 2(log 34)＞f 2(log 43)＞f 2(log 2√423) B ．f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)＞f 2(log 34) C ．f 2(log 34)＞f 2(log 2√423)＞f 2(log 43)D．f2(log43)＞f2(log34)＞f2(log2√423)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）若曲线y=sin(ωx−π5)(0＜ω＜π2)关于点（2，0）对称则ω＝．14．（5分）若双曲线x2m+2−y22−m=1（﹣2＜m＜2）上一点到A（﹣2，0），B（2，0）两点的距离之差的绝对值为2√3，则双曲线的虚轴长为．15．（5分）如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BC ＝EF＝πcm，AE＝2cm，BE＝CF＝4cm，AD＝7cm，且AE⊥EF，AD⊥底面AEF．某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为cm．16．（5分）已知函数f（x）＝x（x5﹣16x2+x﹣4），且f（x）≥f（x0）对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)x在点（x0，f(x0)x0）处的切线的斜率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m，将完成订单数超过m记为“优秀”，不超过m记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；第3页（共20页）。

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．复数的共轭复数对应点在复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x∈N|log2x＜2}，Q＝{0，a，3}，且M∪Q＝{0，1，2，3，4}，则M∩Q ＝（）A．{3}B．{0，3，4}C．{0，1，3}D．{1，2，3}3．函数的图象在[﹣2??，2??]上的大致形状是（）A．B．C．D．4．已知tanα＝2，则＝（）A．B．﹣C．D．5．动圆C截x轴、y轴所得弦长分别是4和2，则动圆圆心c的轨迹方程是（）A．x2﹣y2＝3B．x2+y2＝3C．y2﹣x2＝3D．6．在△ABC中，D是BC边的中点，，CE与AD交于点F，则＝（）A．B．C．D．7．秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．25﹣1B．25﹣2C．26﹣1D．26﹣28．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（）①P（B）＝；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件．A．②④B．①③C．②③D．①④9．两个长方形A1ACC1、B1BCC1组成一个60°的二面角，，则异面直线A1C和BC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90010．在△ABC中，，D为BC的中点，AD＝1，△ABC的面积，则BC＝（）A．B．C．D．11．抛物线y2＝14x的准线l与双曲线C：，）交于A、B两点，F1，F2为曲线C的左右焦点，F1在l左边，△F1AB为等边三角形，AF2与双曲线的一条渐近线交于E点，＝，则△OEF2的面积为（）A．B．C．D．12．设三个函数y＝2x+x﹣2，y＝log2x+x﹣2和y＝x3﹣3x3+3x﹣1的零点分别为x1，x2和x3，则有（）A．x1x2≥x3，x1+x2≥2x3B．x1x2＜x3，x1+x2＝2x3C．x1x2＞x32，x1+x2≤2x3D．x1x2＝x32，x1+x2≥2x3二、填空题（本题满分20分，共4小题，每小题5分，把你计算的答案填入题中的横线上）13．函数f（x）＝cos x﹣????????所有的对称轴方程为．14．一个组合体的三视图如图所示，图中每一格为单位正方形，则这个几何体的表面积为15．设（1﹣????）7＝??0+??1??+??2??2+…+??7??7；若??1＝﹣14，则??1+2??2+…+7??7＝．16．已知R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x）；当x∈（﹣1，1）时，则＝三、解答题（本题共70分，六大题；22-23两题为选做题，解答时要写出必要的计算过程和推理步骤）17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝BC＝CC1＝1，E、F分别是AB1和A1C的中点．（1）证明：EF∥平面ABC（2）若A1C⊥AB1，求二面角A1﹣B1C﹣A的余弦值．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？19．在等比数列{a n}中，a3＝4，a6＝32，数列{b n}满足b1＝a1，b n+1＝．（1）求数列{a n}通项公式；并证明数列是等差数列．（2）设c1＝c，c n+1﹣c n＝，若对任意m∈N*，使得2c m＜c m+2，求c的取值范围．20．.已知函数f（x）＝+ax+ln（x+1）．（1）当x≥0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝e x+（x+1）ln（x+1）﹣﹣x，证明：当x＞0时，函数g（x）没有极值点．21．、已知椭圆E：的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，P （﹣4，0），过点P的直线斜率为k，交椭圆E于A，B两点，sinsin∠BF1F2+sin∠BF2F1＝asin（∠BF1F2+∠BF2F1）．（1）求椭圆E的方程．（2）设A关于x轴的对称点为C，证明：三点B、F1、C共线．（3）若点B在一象限，A关于x轴的对称点为C，求的取值范围．以下22，23两题为选做题，只能从中任选一题作答，两题都答者，按22题给分[选修4-4极坐标与参数方程]22．曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ﹣sinθ＝0，点P的极坐标为．（1）求C的直角坐标方程和点P的直角坐标．（2）设曲线C1与C交于A、B，线段AB的中点为Q，求|PQ|．[选修4-5不等式选讲]23．f（x）＝x2﹣|ax+b|（a≠0），x∈R．（1）证明；（2）若不等式f（x）+1≥0对x∈R恒成立，求实数b的最大值g（a）的最大值．参考答案一、选择题（本题共12题，每小题5分，满分60分，每小题有且只有一个选项正确）1．复数的共轭复数对应点在复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的共轭复数对应点的坐标得答案．解：∵＝，∴复数的共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为（，），第二象限．故选：B．2．已知集合M＝{x∈N|log2x＜2}，Q＝{0，a，3}，且M∪Q＝{0，1，2，3，4}，则M∩Q ＝（）A．{3}B．{0，3，4}C．{0，1，3}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合M，根据M∪Q＝{0，1，2，3，4}即可得出Q＝{0，3，4}，然后进行交集的运算即可．解：M＝{1，2，3}，Q＝{0，a，3}，且M∪Q＝{0，1，2，3，4}，∴a＝4，∴Q＝{0，3，4}，∴M∩Q＝{3}．故选：A．3．函数的图象在[﹣2??，2??]上的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，据此排除A、C，进而分析可得在区间（0，1）上，f（x）＝cosx＞0，排除D，即可得答案．解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝﹣（cosx）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、C，又由在区间（0，1）上，f（x）＝cosx＞0，排除D；故选：B．4．已知tanα＝2，则＝（）A．B．﹣C．D．【分析】由题意诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：∵已知tanα＝2，∴cos（2α﹣）＝sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，故选：C．5．动圆C截x轴、y轴所得弦长分别是4和2，则动圆圆心c的轨迹方程是（）A．x2﹣y2＝3B．x2+y2＝3C．y2﹣x2＝3D．【分析】设圆心C（x，y），半径为r，由勾股定理得，所以x2﹣y2＝3．解：设圆心C（x，y），半径为r，则，所以x2﹣y2＝3，所以动圆圆心C的轨迹方程是：x2﹣y2＝3，故选：A．6．在△ABC中，D是BC边的中点，，CE与AD交于点F，则＝（）A．B．C．D．【分析】通过AFD，EFC三点共线，用向量表示，通过向量相等，解出参数．解：设，又设，则＝，∴，解之得，∴，故选：C．7．秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．25﹣1B．25﹣2C．26﹣1D．26﹣2【分析】根据程序框图，进行模拟运算即可．解：第一次循环，x＝2，k＝1，k≤5成立，则v＝2+1＝3，k＝1+1＝2，第二次循环，k＝2，k≤5成立，则v＝3×2+1＝7，k＝2+1＝3，第三次循环，k＝3，k≤5成立，则v＝7×2+1＝15，k＝3+1＝4，第四次循环，k＝4，k≤5成立，则v＝15×2+1＝31，k＝4+1＝5，第五次循环，k＝5，k≤5成立，则v＝31×2+1＝63，k＝5+1＝6，第六次循环，k＝6，k≤5不成立，输出v＝63＝26﹣1，故选：C．8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（）①P（B）＝；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件．A．②④B．①③C．②③D．①④【分析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P （A3）＝；P（B|A1）＝＝，由此知，②正确；P（B|A2）＝，P（B|A3）＝；而P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P （A3）P（B|A3）＝＝．由此知①③不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知④正确；对照四个命题知②④正确；故选：A．9．两个长方形A1ACC1、B1BCC1组成一个60°的二面角，，则异面直线A1C和BC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．900【分析】可画出图形，可据题意得出∠BCA＝60°，然后可得出，，根据条件进行数量积的运算即可求出，从而可得出异面直线A1C和BC1所成的角．解：如图，根据题意，∠BCA＝60°，∠BCC1＝∠ACC1＝90°，且，A1A＝1，，，∴＝＝，∴，∴异面直线A1C与BC1所成的角为90°．故选：D．10．在△ABC中，，D为BC的中点，AD＝1，△ABC的面积，则BC＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合二倍角公式可求sin A，cos A，然后结合三角形的面积公式可求bc，再由平行四边形对角线性质及余弦定理即可求解．解：由，可得cos＝，所以sin A＝2sin cos＝，cosA＝1﹣2sin2＝，∴S＝＝，所以bc＝，由平行四边形的对角线性质可知，BC2+（2AD）2＝2（AB2+AC2），∴，由余弦定理可得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcosA，＝，解可得BC＝．故选：A．11．抛物线y2＝14x的准线l与双曲线C：，）交于A、B两点，F1，F2为曲线C的左右焦点，F1在l左边，△F1AB为等边三角形，AF2与双曲线的一条渐近线交于E点，＝，则△OEF2的面积为（）A．B．C．D．【分析】可得E为AF2的中点，△F1AB为等边三角形，由EOx＝30°，可得?，即可求得F1AB的边长为（c﹣），|AF2|＝2a+（c ﹣），在△AF1F2中，由余弦定理可得：cos30°，得：b＝2，a＝2，c＝4，则△OEF2的面积为S＝即可．解：由，可得E为AF2的中点，又O为F1F2的中点，∴OE∥AF1，∵△F1AB为等边三角形，∴∠AF1O＝300，∠EOx＝30°，∴?．抛物线y2＝14x的准线l：x＝﹣，∴△F1AB的边长为（c﹣），|AF2|＝2a+（c﹣），在△AF1F2中，由余弦定理可得：cos30°．即[2a+（c﹣）]2＝[（c﹣）]2+4c2﹣4c×（c﹣），解得：b＝2，a＝2，c＝4．OE＝＝．则△OEF2的面积为S＝＝．故选：D．12．设三个函数y＝2x+x﹣2，y＝log2x+x﹣2和y＝x3﹣3x3+3x﹣1的零点分别为x1，x2和x3，则有（）A．x1x2≥x3，x1+x2≥2x3B．x1x2＜x3，x1+x2＝2x3C．x1x2＞x32，x1+x2≤2x3D．x1x2＝x32，x1+x2≥2x3【分析】将x1，x2分别看成y＝2x与y＝log2x两个函数分别于y＝2﹣x的交点，结合y ＝2x，y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝2﹣x与y＝x垂直，可以得到x1，x2对应的点是关于y＝2﹣x和y＝x的交点对称的，得到x1，x2的关系．x3可求，则问题可解．解：易知x3＝1，画出函数y＝2x与y＝log2x，y＝2﹣x三个函数的图象如右图，其中A（x1，y1），B（x2，y2）分别是两个函数与直线的交点（即零点x1，x2）由指数函数y＝a x与y＝log a x的图象关于直线y＝x对称，且y＝2﹣x也关于y＝x对称，所以交点A、B关于直线y＝x对称，所以?2﹣x1+2﹣x2＝x1+x2∴x1+x2＝2．再由基本不等式得故选：B．二、填空题（本题满分20分，共4小题，每小题5分，把你计算的答案填入题中的横线上）13．函数f（x）＝cosx﹣????????所有的对称轴方程为x＝k，k∈Z．【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝cosx﹣????????＝2cos（x+），令x+＝kπ可得x＝k，k∈Z，故答案为：x＝k，k∈Z，14．一个组合体的三视图如图所示，图中每一格为单位正方形，则这个几何体的表面积为36π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面是圆柱上面为半球的组合体，故：．故答案为：36π15．设（1﹣????）7＝??0+??1??+??2??2+…+??7??7；若??1＝﹣14，则??1+2??2+…+7??7＝﹣14．【分析】先根据??1＝﹣14求得b；再对原式两边求导，最后赋值即可求解结论．解：因为（1﹣????）7＝??0+??1??+??2??2+…+??7??7；所以??1＝?（﹣b）＝﹣14?b＝2，∴（1﹣2x）7＝??0+??1??+??2??2+…+??7??7；两边求导可得：7×（﹣2）×（1﹣2x）6＝??1+2??2?x…+7??7?x6；令x＝1可得：﹣14＝??1+2??2+…+7??7；故答案为：﹣14．16．已知R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x）；当x∈（﹣1，1）时，则＝﹣【分析】根据题意，设0＜x＜1，则﹣1＜﹣x＜0，由函数的解析式以及奇偶性可得a、b 的值，进而分析可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，据此分析可得答案．解：根据题意，设0＜x＜1，则﹣1＜﹣x＜0，则有f（x）＝﹣x2+2x，f（﹣x）＝a（﹣x）2+b（﹣x）＝ax2﹣bx，又由f（﹣x）＝﹣f（x），则有（﹣x2+2x）＝﹣（ax2﹣bx），则a＝1，b＝2；又由函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，则＝f（log21）+f（1）+f（）＝f（0）+f（1）+f（1009+）＝f（0）+（﹣f（0））+f（1+）＝﹣f（）＝﹣；故答案为：﹣．三、解答题（本题共70分，六大题；22-23两题为选做题，解答时要写出必要的计算过程和推理步骤）17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝BC＝CC1＝1，E、F分别是AB1和A1C的中点．（1）证明：EF∥平面ABC（2）若A1C⊥AB1，求二面角A1﹣B1C﹣A的余弦值．【分析】（1）连结A1B，推导出EF∥BC，由此能证明EF∥平面ABC．（2）连结AC1，由直三棱柱性质及AC＝CC1，得A1C⊥AC1，再由A1C⊥AB1，得A1C ⊥平面B1C1A，推导出A1C⊥B1C1，BC⊥A1C，BC⊥CC1，从而BC⊥平面ACC1A1，AC ⊥BC，以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣B1C﹣A的余弦值．解：（1）证明：连结A1B，在△A1BC中，F为长方形A1ABB1对角线的交点，∴F为A1B的中点，∴EF∥BC，又BC?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC（2）解：连结AC1，由直三棱柱性质及AC＝CC1，得A1C⊥AC1，∵A1C⊥AB1，AB1∩AC1＝A，∴A1C⊥平面B1C1A，∵B1C1?平面B1C1A，∴A1C⊥B1C1，∵BC∥B1C1，∴BC⊥A1C，∵BC⊥CC1，A1C∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AC?平面ACC1A1，∴AC⊥BC，以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，1），B1（0，1，1），设平面A1CB1的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（﹣1，﹣1，1），设平面ACB1的法向量＝（a，b，c），则，取c＝1，得＝（0，﹣1，1），设二面角A1﹣B1C﹣A的平面角为θ，则二面角A1﹣B1C﹣A的余弦值为：cosθ＝＝＝．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【分析】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，从而一尾乙种鱼苗的平均收益为10×0.95﹣2×0.05＝9.4元．设购买n尾乙种鱼苗，F（n）为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则F（n）＝9.4n≥376000，由此能求出需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝0.2×0.1×0.1＝0.002，P（X＝1）＝0.8×0.1×0.2+0.2×0.9×0.1+0.2×0.1×0.9＝0.044，P（X＝2）＝0.8×0.9×0.1+0.8×0.1×0.9+0.2×0.9×0.9＝0.306，P（X＝3）＝0.8×0.9×0.9＝0.648．故X的分布列为：X0123P0.0020.0440.3060.648 E（X）＝0×0.002+1×0.044+2×0.306+3×0.648＝2.6．（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.1×0.5＝0.95，∴一尾乙种鱼苗的平均收益为10×0.95﹣2×0.05＝9.4元．设购买n尾乙种鱼苗，F（n）为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则F（n）＝9.4n≥376000，解得n≥40000．所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．19．在等比数列{a n}中，a3＝4，a6＝32，数列{b n}满足b1＝a1，b n+1＝．（1）求数列{a n}通项公式；并证明数列是等差数列．（2）设c1＝c，c n+1﹣c n＝，若对任意m∈N*，使得2c m＜c m+2，求c的取值范围．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由已知列关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，则等比数列的通项公式可求，再由等差数列的定义证明数列是等差数列；（2）由（1）可得，，利用累加法及错位相减法求数列{c n}的通项公式，再由2c m＜c m+2恒成立，可得c＜﹣3+（6m+1）×2m﹣1．利用导数求最值得答案．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a3＝4，a6＝32，得，解得．∴数列{a n}通项公式为；设，则，，可得，则p n+1＝p n+2，即p n+1﹣p n＝2．故数列是等差数列；（2）由（1）可得，．∴，∴c n＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+（c4﹣c3）+…+（c n﹣c n﹣1）＝c+1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2．．∴＝﹣c+1+2×＝﹣c﹣3+（﹣2n+5）×2n﹣1．则．由2c m＜c m+2，得2c+6+（2m﹣5）×2m﹣1＜c+3+（2m﹣1）×2m+1．则c＜﹣3+（6m+1）×2m﹣1．此式对任意m∈N*成立，则只需c小于﹣3+（6m+1）×2m﹣1的最小值．对于（﹣3+（6m+1）×2m﹣1）′＝6×2m﹣1+（6m+1）×2m﹣1×ln2＞0，∴关于正整数m的函数y＝﹣3+（6m+1）×2m﹣1是递增的，∴当m＝1时，取最小值为4．∴c＜4．即c的取值范围为（﹣4，0）．20．.已知函数f（x）＝+ax+ln（x+1）．（1）当x≥0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝e x+（x+1）ln（x+1）﹣﹣x，证明：当x＞0时，函数g（x）没有极值点．【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）求出函数的导数，构造函数h（x）＝e x﹣x﹣x2，利用导数和函数最值的关系即可求出．解：（1）f′（x）＝x+a+＝x+1++a﹣1，x≥0，当x≥0时，x+1++a﹣1≥2+a﹣1＝a+1，∴当a≥﹣1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＜﹣1时，令f′（x）＝0，解得x1＝，x2＝，显然x1＜0，x2＞0，∴当0＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞x2时，f′（x）＞0，函数单调递增，综上所述，当a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＜﹣1时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；（2）g′（x）＝e x+ln（x+1）﹣x，由（1）可知a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴当x＞0时，x2﹣x+ln（x+1）＞0，下面证明：当x＞0时，e x﹣x﹣x2＞0，设h（x）＝e x﹣x﹣x2，∴h′（x）＝e x﹣﹣x，∴h″（x）＝e x﹣1，∵x＞0，∴h″（x）＞0，∴h′（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h′（x）＞h′（0）＝1﹣﹣0＝﹣，∴存在x0∈（0，1）使得h′（x0）＝0，即﹣﹣x0＝0，并且当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴当x＝x0时，h（x）有最小值h（x0）＝﹣x0﹣x02＝﹣（x0+）2+，∵x0∈（0，1），∴﹣（x0+）2+＞0，∴h（x）＞0，即e x﹣x﹣x2＞0，∵g′（x）＝e x+ln（x+1）﹣x＝e x﹣x﹣x2+[x2﹣x+ln（x+1）]＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，∴g（x）在区间（0，+∞）上没有极值点．21．、已知椭圆E：的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，P （﹣4，0），过点P的直线斜率为k，交椭圆E于A，B两点，sinsin∠BF1F2+sin∠BF2F1＝asin（∠BF1F2+∠BF2F1）．（1）求椭圆E的方程．（2）设A关于x轴的对称点为C，证明：三点B、F1、C共线．（3）若点B在一象限，A关于x轴的对称点为C，求的取值范围．【分析】（1）由正弦定理得|BF2|+|BF1|＝a|F1F2|，求出c的值，再结合离心率求出a的值，从而求出椭圆E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），直线l的方程为：y＝k（x+4），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到x1+x2＝，x1x2＝①，要证三点B、F1、C共线，只需证，即证2x1x2+5（x1+x2）+8＝0，把①代入即可证得上式；（3）设直线CB的倾斜角为θ，则θ∈（0，60°），设，由（2）可知＝λ，由θ的范围结合椭圆的性质可得，解出λ的范围，从而得到的取值范围．解：（1）由正弦定理得|BF2|+|BF1|＝a|F1F2|，由椭圆的定义可得2a＝2ac，∴c＝1，又∵离心率，∴，∴a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆E的方程为：；（2）由题意可知，直线l的方程为：y＝k（x+4），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），联立方程，消去y得：（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，∴△＝（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得，且x1+x2＝，x1x2＝①，要证三点B、F1、C共线，只需证，即证，即证y1（x2+1）+y2（x1+1）＝0，即证k（x1+4）（x2+1）+k（x2+4）（x1+1）＝0，即证2x1x2+5（x1+x2）+8＝0，把①代入上式得：2x1x2+5（x1+x2）+8＝+5×+8＝＝0，∴三点B、F1、C共线；（3）设直线CB的倾斜角为θ，由点B在第一象限，则θ∈（0，60°），设，由（2）可知PF1平分∠BPC，由角平分线性质得：＝λ，又BC为过焦点的弦，所以由椭圆的性质得：，∵θ∈（0，60°），∴，∴，∴，∴的取值范围为：（，3）．以下22，23两题为选做题，只能从中任选一题作答，两题都答者，按22题给分[选修4-4极坐标与参数方程]22．曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ﹣sinθ＝0，点P的极坐标为．（1）求C的直角坐标方程和点P的直角坐标．（2）设曲线C1与C交于A、B，线段AB的中点为Q，求|PQ|．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ﹣sinθ＝0，整理得：ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）﹣ρsinθ＝0转换为直角坐标方程为．点P的极坐标为．转换为直角坐标为（0，6）．（2）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y＝6﹣2x，代入C的方程得到2x2＝6﹣2x．整理得2x2+2x﹣6＝0，所以x1+x2＝﹣1，所以AB中点的坐标为（）．所以|PQ|＝．[选修4-5不等式选讲]23．f（x）＝x2﹣|ax+b|（a≠0），x∈R．（1）证明；（2）若不等式f（x）+1≥0对x∈R恒成立，求实数b的最大值g（a）的最大值．【分析】（1）利用分析法要证明，只需证明|a+b|+|4a+2b|≥|3a+b|，再利用绝对值不等式的性质放缩，即可证得结论成立；（2）由f（x）+1≥0??﹣1+≤b≤1﹣，于是得到g（a）＝1﹣≤1，从而可得答案．【解答】（1）证明：f（1）＝1﹣|a+b|，f（2）＝4﹣|2a+b|，f（3）＝9﹣|3a+b|，要证明，只需证明8﹣|3a+b|+|a+b|≥8﹣2|2a+b|，即需证明|a+b|+|4a+2b|≥|3a+b|，由绝对值不等式得：|a+b|+|4a+2b|≥|a+b﹣（4a+2b）|＝|﹣3a﹣b|＝|3a+b|，故原不等式得证．（2）解：f（x）+1≥0?x2+1≥|ax+b|?﹣x2﹣1≤ax+b≤x2+1?，对一切实数x，x2﹣ax+1＝（x﹣）2+1﹣≥1﹣；﹣x2﹣ax﹣1＝﹣（x+）2+﹣1≤﹣1+；不等式f（x）+1≥0对x∈R恒成立，则有?﹣1+≤b≤1﹣，∴实数b的最大值g（a）＝1﹣，对于任意实数a，都有g（a）≤1，∴g（a）的最大值为1．。

2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合(){}(),|1,?{,|M x y x y Q x y y =+===，则集合M Q =n （ ）A ．{}0,1B ．(){}0,1C ．(){}1,0D ．()(){}0,1,1,0【答案】D【解析】根据集合中元素特征解方程组即可得解. 【详解】 解方组2211x y x y +=⎧⎨+=⎩得0110x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 所以()(){}0,1,1,0M Q =n故选：D 【点睛】此题考查求集合的交集，关键在于准确求解方程组，注意集合中元素的表示方法. 2．设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据已知条件求出a =1，再根据复数的运算法则求解复数2z ai-，即可得到其在复平面内的点所在象限. 【详解】221z z a a +==⇒=，)212225i z i aii++==--=55+，所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.3．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 4．已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin α⋅ tan 0α<，则）A ．15B ．15-C ．3D ．3-【答案】C【解析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值. 【详解】α为第二象限角，且3455sin cos αα==-，，原式=233sin cos cos sin cos ααααα-+=-=. 故选：C 【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.5．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为（ ） A ．16 B ．32C ．80D ．160【答案】B【解析】根据二项式定理展开可得前三项的系数之和. 【详解】由二项式定理的展开式可得，前三项的系数和为：05142355522232C C C -+=.故选：B 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式定理展开式求指定项的系数，关键在于熟记展开式的通项.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B =（ ） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】D【解析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 【详解】由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB +=-n()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=n . 故选：D 【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小. 7．已知函数()()2ln 1f x x ax =+-的导数为()f x '，且()10f '=，则函数()()cos x g x f e x '=图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据导函数求出1a =，讨论()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的函数图象，结合奇偶性和特殊值即可得解. 【详解】()21f x a x='-+，()110,1f a a ='=-=， ()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ()()221111x x xe g x cos x cosx e e -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()2211co 1212s x x x e cosx x g x e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭+-⎝⎭所以()211xg x cosx e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数，且当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有g (x )<0. 结合选项，只有A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ）A ．5B ．C ．D ．6【答案】C【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.详解：取BC 中点M ，取11A D 中点N ，则四边形1B MDN 即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得1MN B D == 根据各边长，可以断定四边形1B MDN 为菱形，所以其面积12S =⨯= C. 点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果. 9．执行下面的程序框图，若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为（ ）A ．37m <≤B ．715m <≤C ．1531m <≤D ．3163m <≤【答案】B【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.详解：根据题中所给的程序框图，可以判断出121222n S =+++⋯+，根据判断框里的条件， 就要求2231221222m ++<≤+++， 从而求得715m <≤，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,?F F ，点P 在双曲线C 上，满足12F F u u u u r ⋅20PF =u u u u r ，倾斜角为锐角的渐近线与线段1PF 交于点Q ，且13F P QP =u u u r u u u r ，则12PF PF 的值等于（ ）A ．43B ．33C ．7D ．8【答案】C【解析】根据F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得2233c b Q a ⎛⎫⎪⎝⎭，，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，则由13F P QP =u u u r u u u r 设(),Q x y ，222,3,b bc c x y a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2233c b Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 在直线b y x a =上，所以22233b b cc b a a =⨯=n ，所以2224b a b a =+=n所以1212227PF PF PF PF a PF ==+==，. 故选：C 【点睛】此题考查根据双曲线的几何特征求线段的比例关系，关键在于熟练掌握双曲线的性质. 11．已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ） A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小. 【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>()22119230228log log --=>， 所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n . 故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.12．函数()21sin 6f x x ax bx π=-++的最大值为32，且对任意实数x ，都有()()1f x f x -=，则有（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b =C ．23a =-，23b = D ．2a =，2b =【答案】B【解析】根据()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，结合三角函数和二次函数的对称性与最值即可得解. 【详解】由()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，sin y x π=关于12x =对称， 所以必有216y ax bx =-++关于12x =对称， 依题意有122413322b a a b f ⎧=⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩n . 故选：B 【点睛】此题考查根据函数的最值和对称性求参数的取值，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的基本性质.二、填空题13．已知,a b r r 为两个单位向量，且向量a b -r r 与b r 垂直，则23a b +r r =_________【答案】5【解析】根据向量垂直求出1a b ⋅=r r ，()22323a b a b+=+r r r r即可得解.【详解】由题：向量a b -r r与b r垂直，()0a b b -⋅=r r r ，解得1a b ⋅=r r所以()222232341295a b a ba ab b +=+=+⋅+=r r rr rr r r故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，根据向量的垂直关系求数量积，根据数量积求向量的模长，考查基础知识.14．实数,x y 满足不等式组213x y y x y +≥⎧⎪≥+⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值是_______【答案】13【解析】作出可行域，则22x y +即可行域内的点（x ，y ）到原点的距离的平方，根据几何意义求解. 【详解】（x ，y ）的平面区域如图所示的ΔABC 平面区域（包括边界），22x y +表示该平面区域内一点到原点的距离的平方，由几何意义和图形可知，当(x ，y )取点B 时最大，所以最大值为22+32=13 故答案为：13 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决非线性目标函数的最值问题，关键在于准确进行转化，转化为距离的平方求解.15．点P (4，4)为曲线C ：22x py =上一点，过P 作直线PQ 交曲线C 于点Q (异于P 点)，P 与曲线C 的焦点F 的连线与Q 点处的切线l 垂直，直线l 与曲线C 的准线交于点M ，则FM u u u u r ⋅PQ =u u u r ____________【答案】253【解析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l 的斜率，求出点Q 的坐标，即可得解. 【详解】P =24224=⨯，即24x y =，即24x y =，导函数2x y '= 所以焦点F (0，1)，准线为y =-1；直线PF 的斜率k 1=413404-=-，Q (x 1，y 1)处切线l 的斜率k =12x ；依题意得kk 1=-1183x =-n ；所以81639Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 切线l 的方程为41639y x =--，与准线的交点M (7112--，).所以，()7202075252123993FM PQ ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u n u u r故答案为：253【点睛】此题考查求抛物线的方程，根据导数的几何意义求曲线上在某点处切线方程，计算向量的数量积.16．在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔB AD 为等腰三角形，且∠BAD =90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 【答案】529π【解析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积. 【详解】折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH =60︒， CE =3332CH HE ==，，，所以由222OC OF CF =+得： 2222233131229R R R ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n ，所以，球面积为25249S R ππ== 故答案为：529π【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.三、解答题17．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm 的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15和325；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由茎叶图中的数据分布情况可知,乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小；(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:513,25525==0.12；(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15,不是二级的概率为14155-=,依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望. 解析：(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:525=13,525=0.12, 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为1(5或0.2)和3(25或0.12). (3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15, 不是二级的概率为14155-=, 依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4.又()442560(5625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭或0.4096), ()314142561C (55625P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或0.4096),()222414962C (55625P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或0.1536), ()33414163C ()(55625P ξ==⨯⨯=或0.0256), ()4P ξ==411()(5625=或0.0016).故ξ的分布列为:144(55E ξ=⨯=或0.8).18．已知数列{n a }中，121,3a a ==，点()1,n n a a +在直线210x y -+=上， （1）证明数列{}1n n a a +-为等比数列，并求其公比；（2）设()2log 1n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()1m m S a λ≤+，求实数λ的最小值.【答案】（1）证明见解析，2q =；（2）34【解析】（1）根据点()1,n n a a +在直线210x y -+=上，得1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，通过构造即可得证等比数列；（2）由（1）求出数列{n a }的通项公式，求出()12n n n S +=，根据不等关系求解最值.【详解】（1）依条件有1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，当2n ≥时，有121n n a a -=+，两式相减有()112n n n n a a a a +--=-.因为2120a a -=≠，所以有112n nn n a a a a +--=-为定值， 所以数列{}1n n a a +-为等比数列，其公比q =2. （2）由（1）得()()()21112132112212222112n nn n n n n n n a a a a a a a a a a -+---==+-+-++-=++++==--n L L所以()21n n b log a n =+=，所以数列{}n b 为等差数列，()12n n n S +=由()()()1111222m m m m m m m m S a λλλ+++≤+≤≥nn令()112m m m m c ++=，则12122m m c m m c m++=≥≤n ，所以有1234561n n c c c c c c c c +=>>>>>>L L所以λ≥３４，所以λ的最小值为34【点睛】此题考查根据递推关系证明数列为等比数列，根据数列通项公式求和，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及讨论数列的最值.19．三棱柱111ABC A B C -的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D 、D 1分别为棱AC 和A 1C 1的中点.（1）求侧（左）视图的面积，并证明平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1 （2）求二面角11A BD B --的余弦值. 【答案】（1）8，证明见解析；（2）1517【解析】（1）根据三视图判定面面垂直关系并证明，然后计算侧视图的面积； （2）建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示求二面角的大小. 【详解】解：（1）由视图可知，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，BD ⊥AC 因为BD ⊂底面ABC ，AC =侧面A 1ACC 1I 底面ABC 所以BD ⊥侧面A 1ACC 1 因为BD ⊂平面B 1BDD 1 所以平面B 1BDD 1⊥侧面A 1ACC 1侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD 的长，所以面积S =4×2=8 （2）由（1）可知，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz各点坐标为A (2，0，0)， D (0，0，0)， B (0，2，0)， C (-2，0，0)， A 1(1，0，4)， D 1(-1，0，4)， C 1(-3，0，4)B 1(-1，2，4)设平面A 1BD 的法向量为()a x y z =r，，，则有：10a DA a DB ⋅=⋅u u u u r u u ur r r ，=0404300x z x z y y +=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401a =-r，，设平面B 1BD 的法向量为()b x y z =r，，，则有： 10b DB b DB ⋅=⋅u u u r u u u u r r r ，=02404200x y z x zy y -++==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401b =r，，，设二面角11A BD B --的大小为θ，则有1517a b cos cos a b a b θ⋅===⋅rr rr r r ，【点睛】此题考查根据三视图识别几何体的关系，求侧视图的面积，证明面面垂直，通过向量求二面角的大小.20．设函数()22cos f x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥，不等式()1f x kx ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）在区间(),0∞-上是减函数，在区间()0,∞+上是增函数；（2）(],0∞- 【解析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】解：（1）()()()2222,2222120f x x cosxsinx x sin x f x cos x cos x =-=-=-=-'≥' 所以()f x '为增函数，又因为()00f '=所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>所以，函数()f x 在区间()0∞-，上是减函数，在区间()0∞+，上是增函数 （2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥ 设()221g x x kx cos x =--+，()022x g x x k sin x ≥=--'，由（1）可知()g x '是[)0∞+，上的增函数， 因为()0g k '=-，所以，当()000k g '≤≥时，，函数g (x )在区间[)0∞+，上的增函数 所以()()20100g x g cos ≥=-+=，所以当0k ≤时符合题意.当0k >时，()/00g k =-<，所以存在00x >，使得()/00g x =；并且当()000x x g x ≤'<<时，； 当()00x x g x >>'时，；所以函数()g x 在区间[)00x ，上是减函数，在区间()0x ，+∞上是增函数 最小值为()()000g x g <=，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数k 的取值范围是(]0，∞- 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.21．如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为(0,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作圆222:(1)M x y r ++=（圆M 在椭圆C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B ，D 不同于点A )，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,3-【解析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆，解出B ，D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率12k k ，的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点. 【详解】解：（1）依题意可得：2222212211122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪====+=⎨⎪=+⎪⎩n n ，，椭圆：） （2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k-++==+n ， 可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由圆M 与l ()2222112101k r r k k r k -+=--+-=+n由韦达定理得：12122211k k k k r +==-， 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++…… 直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解.22．曲线C 的参数方程为1m x mt ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，0m >），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线θα=与直线sin 2ρθ=交于点P ，动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8.（1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.【答案】（1）C ：222144x y m -=，E ：4sin ,0ρθρ=>；（2【解析】（1）对曲线C 的参数方程中两个等式同时平方处理即可得到普通方程，根据|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n 结合直线的极坐标方程即可得解； （2）根据极坐标方程及几何关系|P 1P 2|224sin α==n 即可求解. 【详解】解：（1）由题：1m x mt t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11x t m ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 两式平方得2224x y m-=曲线C 的普通方程为222144x y m -= 设()Q ρθ，，则()1P ρθ， 因为|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n又因为P 点是直线θα=和2sin ρθ=的交点，所以12sin ρθ= 所以28sin ρθ=n，即4sin ρθ= 所以动点Q 的轨迹E 的极坐标方程为4sin ,0ρθρ=>（2）双曲线C 的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为θα=； 它与曲线E 的两个交点P 1.P 2，其中一个为极点，所以|P 1P 2|12242sin sin tan ααα====n n n所以1m m ±=±=【点睛】此题考查根据直线的参数方程求普通方程，求曲线的极坐标方程，根据极坐标方程结合弦长求参数的取值.23．设()2f x x a =-,a R ∈.（1）当1a =时，解不等式()13f x <<；（2）若对任意实数x ，使不等式()13f x x ++≥恒成立的最小正数a ，有23m n r a ++≥，证明：()()22291114m n r +++-≥. 【答案】（1）()()0,12,3⋃；（2）证明见解析 【解析】（1）根据绝对值的意义即可求得解集；（2）根据不等式恒成立求出4a 的最小值，利用柯西不等式即可得证. 【详解】解：（1）当a =1时，由 1<f (x )<3可得：1<|2x -3|<33231x -<-<-n 或1233x <-<01x <<n 或23x <<.所以不等式的解集为()()0123⋃，，（2）对于任意实数x 及正数a ，()12111111222222a a a a a a f x x x a x x x x x x x x ++=-++=-+-++≥-++≥---=+=+当且仅当2a x =时取等号，所以只要1342aa +≥≥n ，所以4a 的最小值，所以()23421313m n r m n r ++≥+++-≥n 由柯西不等式得：()()()()()()()()()()()()22222222222192131123111121311414m n r m n r m n r m n r +++-≤+++++-+++-≥+++-≥n当且仅当1123n r m +-==时取等号 【点睛】此题考查解含绝对值的不等式，根据不等式恒成立求参数的取值范围，根据柯西不等式证明不等式，综合性比较强.。