数值分析线性代数方程组的直接法
- 格式：pptx
- 大小：651.38 KB
- 文档页数：51
下载文档原格式
合集下载
数值分析第三章 解线性方程组的直接方法
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
( n) ( n) xn bn / ann
bi( i ) xi
a
j i 1 (i ) ii
(i ) a ij x j
n
( i n 1, ..., 1)
Then must find the Whatwe if we can’t (n i) smallest integer k i with ( ) 0 定理 若A的所有顺序主子式 a /* determinant of leading What if ? find such k ? ii No No unique unique a 0 What if ? (i ) nn , and interchange a ki 0 exists. solution solution exists. principal submatrices */ k 均不为 ，则高斯消元无需换行即可 the -th row0 with the i-th row.
. a nk
si
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: mi 1 ai 1 / a11
1 m21 1 . . . m n1
1步 共进行 n ？
(1) (1) ) (1) a11 x a12 ... a1(1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) a22 ... a2 n x2 b2 . . . . . ... . . . . ( n) ( n) ann xn bn
数值分析 张铁版 第2章 解线性方程组的直接方法
(k )
(k )
m a x a ik
k i n
(k )
, 则 ai
(k )
0
j
a k j , bi
(k )
(k )
0
bk
(k )
, j k , , n
例2 P.17例2-1
解线性方程组列主元Gauss消去算法
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
2
1 例 3 .例 1 中 ， A 1 3
2 2 2
1 3 ， 将 A作 L U 分 解 。 5
解：由Gauss消去法
1 A 1 3 2 2 2 1 m 1 3 m 2 1 3 31 5 1 0 0 2 4 8 1 m 32 2 2 8 1 0 0 2 4 0 1 2 U 12
(1 )
其中
a ij
(2)
a ij
m i1 a 1 j , ( i , j 2 , 3 , , n )
bi
(2)
bi
(1 )
m i1 b1
(2)
(1 )
, ( i 2 ,3 , , n )
第二步：若 … …
a 22 0 ,
用… ….
第k步：若
a (1 ) 11
其中
a ij
bi
( k 1)
a ij
bi
(k )
m ik a kj , ( i , j k 1, , n )
m ik b k
(k )
(k )
( k 1)
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
(数值分析)第五章 解线性方程组的直接法
3 2
2
11 .
10 5 10
0
1 9
7 9
2 3
华长生制作
8
第二步消元，令 l32 10 / 63, 得增广矩阵
1 0
2
3 7
1
3 2
2
11
.
10 5 10
0
0
53 53 63 63
利用回代公式依次得到
x3 1, x2 1, x1 1.
在这个例子中我们写出的是分数运算的结果。如果在计算机上
a(1) 13
x3
0.49105820
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227,0.050886075,0.367257384)T
华长生制作
15
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
列主元素消去法也称按列部分主元的消去法。一般地，在完成 了第k-1步消元运算后，在 ( A(k) , b(k) ) 的第k 列元素 akk(k)之下的所有 元素中选一个绝对值最大的元素作为主元素，即若
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
华长生制作
13
r1 r3
2 1
108
1.072 3.712
2
5.643 3 4.623 2
3 1
( A(1) , b(1) )
绝对值最大 不需换行
m21 0.5
m31 0.5108
2 0
0
m32 0.629 72292
1.072 0.3176 10
2 3.712 1.072
3 4.623 5.643
x1 x2 x3
2
11 .
10 5 10
0
1 9
7 9
2 3
华长生制作
8
第二步消元，令 l32 10 / 63, 得增广矩阵
1 0
2
3 7
1
3 2
2
11
.
10 5 10
0
0
53 53 63 63
利用回代公式依次得到
x3 1, x2 1, x1 1.
在这个例子中我们写出的是分数运算的结果。如果在计算机上
a(1) 13
x3
0.49105820
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227,0.050886075,0.367257384)T
华长生制作
15
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
列主元素消去法也称按列部分主元的消去法。一般地，在完成 了第k-1步消元运算后，在 ( A(k) , b(k) ) 的第k 列元素 akk(k)之下的所有 元素中选一个绝对值最大的元素作为主元素，即若
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
华长生制作
13
r1 r3
2 1
108
1.072 3.712
2
5.643 3 4.623 2
3 1
( A(1) , b(1) )
绝对值最大 不需换行
m21 0.5
m31 0.5108
2 0
0
m32 0.629 72292
1.072 0.3176 10
2 3.712 1.072
3 4.623 5.643
x1 x2 x3
数值分析线性方程组直接法实验
实验报告
一、实验目的
1.了解LU 分解法的优点
二、实验题目
1.给定矩阵A 和向量b:
.1000,123121⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= b n n n n n n A (1)求A 的LU 分解，n 的值自己确定；
(2)利用A 的LU 分解求解下列方程组
(a)b Ax =, (b)b x A =2, (c)b x A =3.
对方程组(c)，若先求3A LU =,再解b x LU =)(有何缺点？
三、实验原理
求解线性方程组的LU 分解法直接解线性方程组.
四、实验内容及结果
2. b Ax =,b x A =2,b x A =3的求解。
3. 若先求3
A LU =,再解b x LU =)(.
五、实验结果分析
LU 分解法的优点：根据题目，如果直接用b x A =3来计算的话，需要先计算3A 的值，然后再计算方程组的值，步骤会多出很多，使得计算更复杂。
如果使用LU 分解法来解方程组的话，只需要对系数矩阵做一次LU 分解，以后只要解三角方程即可，计算的步骤明显减少。
数值分析-第五章 解线性方程组的直接法
(2) (2) (2) 设 a22 ≠ 0 ，计算 mi 2 = −ai 2 a22 ( i = 3, ..., n)
依次将上述矩阵的 第 i 行 + mi2 × 第 2 行，得
( ( a 111 ) a 121 ) ... a 1( 1 ) n (2) (2) a 22 ... a 2 n
b 1( 1 ) b 2( 2 )
=
10/120 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法
⎛ a11 a12 ⎜a a ⎜ 21 22 ⎜ ⎜a a ⎝ n1 n 2
记为 Ax = b, 其中A = (aij ) n×n , x = ( x1 , x 2 , x n ) T , b = (b1 , b2 , bn ) T .
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.1 引言 从微观的薛定谔方程、分子动力学方程到宏观 的结构计算、工程力学中弹塑性方程、热弹性 方程组，数值求解方法包括差分法及有限元方 法等。这些离散方法最终的结果是常化为线性 方程组的求解。
4/120
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
9/120
2 −2 ⎤ ⎡ 1 −2 ⎢0 1 −7 8⎥ ⎢ 0 9 −2 11⎥ ⎣ ⎦
x3 = −1 x2 = 8 + 7 x3 = 1 x1 = −2 + 2 x2 − 2 x3 = 2
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法 考虑 n 阶线性方程组：
郑州大学研究生课程 （2009-2010学年第一学期）
依次将上述矩阵的 第 i 行 + mi2 × 第 2 行，得
( ( a 111 ) a 121 ) ... a 1( 1 ) n (2) (2) a 22 ... a 2 n
b 1( 1 ) b 2( 2 )
=
10/120 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法
⎛ a11 a12 ⎜a a ⎜ 21 22 ⎜ ⎜a a ⎝ n1 n 2
记为 Ax = b, 其中A = (aij ) n×n , x = ( x1 , x 2 , x n ) T , b = (b1 , b2 , bn ) T .
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.1 引言 从微观的薛定谔方程、分子动力学方程到宏观 的结构计算、工程力学中弹塑性方程、热弹性 方程组，数值求解方法包括差分法及有限元方 法等。这些离散方法最终的结果是常化为线性 方程组的求解。
4/120
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
9/120
2 −2 ⎤ ⎡ 1 −2 ⎢0 1 −7 8⎥ ⎢ 0 9 −2 11⎥ ⎣ ⎦
x3 = −1 x2 = 8 + 7 x3 = 1 x1 = −2 + 2 x2 − 2 x3 = 2
郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§5.2 高斯消去法 考虑 n 阶线性方程组：
郑州大学研究生课程 （2009-2010学年第一学期）
数值分析(本科)线性方程组直接法
第二章
线性方程组的直接解法
一、引言
求解线性方程组是数值计算的核心问题之一 两类解法：直接解法和迭代解法 满矩阵 ------ 直接法
大规模稀疏矩阵 ------- 迭代法 特殊形式的矩阵 ------- 追赶法 本章主要介绍直接法(包括追赶法)。
二、高斯消去法
求解线性方程组
注：本章所考虑的线性方程组的未知量个数与方程个数相等，
注：
利用三角分解的方法求解时，三角分解（消去过程）只需要计 算一次。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
利用高斯消去法进行计算时，消去过程一般需要多次计算。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
由于消去过程的计算量要远大与回代过程的计算量， 所以对于这类问题，应采用三角分解的方法求解。
四、三角分解之杜利脱尔分解
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
四、三角分解之杜利脱尔分解
引入如下矩阵
例如,
四、三角分解之杜利脱尔分解
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
高斯消去法的 消去过程
上三角阵
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
说明： 1）条件”所有顺序主子式均不等于零”：保证在消去的过程中主 元非零，即消去过程可以完成。
且方程组有唯一解，即系数矩阵为可逆方阵。
线性方程组的直接解法
一、引言
求解线性方程组是数值计算的核心问题之一 两类解法：直接解法和迭代解法 满矩阵 ------ 直接法
大规模稀疏矩阵 ------- 迭代法 特殊形式的矩阵 ------- 追赶法 本章主要介绍直接法(包括追赶法)。
二、高斯消去法
求解线性方程组
注：本章所考虑的线性方程组的未知量个数与方程个数相等，
注：
利用三角分解的方法求解时，三角分解（消去过程）只需要计 算一次。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
利用高斯消去法进行计算时，消去过程一般需要多次计算。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
由于消去过程的计算量要远大与回代过程的计算量， 所以对于这类问题，应采用三角分解的方法求解。
四、三角分解之杜利脱尔分解
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
四、三角分解之杜利脱尔分解
引入如下矩阵
例如,
四、三角分解之杜利脱尔分解
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
高斯消去法的 消去过程
上三角阵
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
说明： 1）条件”所有顺序主子式均不等于零”：保证在消去的过程中主 元非零，即消去过程可以完成。
且方程组有唯一解，即系数矩阵为可逆方阵。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
数值分析课件 第5章 解线性方程组的直接法
第五章 线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。
如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。
因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。
对于n 阶线性方程组=Ax b ，若det()0≠A ，则方程组有惟一解。
由克莱姆（Cramer ）法则，其解为det() (1,2,,)det()i i A x i n A ==,其中i A 为用向量b 代替A 中第i 列向量所得矩阵。
每个n 阶行列式共有!n 项，每项都有n 个因子，所以计算一个n 阶行列式需做(1)!n n -⨯次乘法，我们共需要计算1n +个行列式，要计算出i x ，还要做n 次除法，因此用Cramer 法则求解要做2(1)!n n n -⨯+次乘除法（不计加减法），计算量十分惊人。
如30n =时，就需作约352.3810⨯次乘法。
可见Cramer 法则在理论上是绝对正确的，但当n 较大时，在实际计算中却是不可行的。
因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。
线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。
另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占70%以上）。
线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。
但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。
常用的有效算法是Gauss 消去法和矩阵的三角分解法。
迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。
如对任意给定的初始近似解向量(0)x ，按照某种方法逐步生成近似解序列(0)(1)(),,,,,k x x x使极限()*lim k k →∞=x x 为方程组的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
的所有顺序主子式都不为零，即
a11 a1k
D1 a11 0,
D2
a11 a21
a12 0, a22
Dk 0 ak1 akk
则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素
(k
akk
)
(k
均1不, 2K为,零n)，从而Gauss
消去法可顺利执行。
注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优 阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。
b
b2
bn
线性方程组数值解法的分类
➢直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）
◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法
➢迭代法（适用于高阶线性方程组）
◆Jacobi迭代法 ◆ Gauss-Seidel迭代法 ◆逐次超松弛法 ◆共轭斜量法
§1 高斯消去法
1．三角形方程组的解法---回代法
设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成，已 知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、初始投 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元）。
表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品 用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业， 剩下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、 三行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业 对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始 投入包括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。 假定每个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1能够确定这 三个部门的投入产出表，如表6.1.2所示。
若共有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为 xi, 其中对第 j个部门的投入为xij ，满足的外部需求为 di ，则
n
xi xij di , i 1, 2,L , n j 1
(6.1.1)
记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij ，在每个 部门的产出与投入成正比的假定下，有
a (k 1) ij
a (k 1) ik
j
a(k kj
)
k,k
1,
,n
1
j
k
1,
,n 1
i k 1, n
xn
a(n) n,n1
xk
a(k) k ,n1
n
ak(kj ) x j k n 1, ,1
j k 1
顺序Gauss消去法可执行的前提
定理 1 给定线性方程组 A，x 如b果n阶方阵
表6.1.1 国民经济各个部门间的关系
表6.1.2 投入产出表
表中的第一行，第二列的数字表示生产1个单位产值的制 造业产品需要投入0.10个单位的产值的农产品，同样第三 行、第一列的数字表示，生产1个单位产值的农产品需要 0.20个单位的服务业产值。表6.1.2的数字称为投入系数和 消耗系数，如果技术水平没有变化，可以假设投入系数是 常数。已知投入系数如表2.1.2所示，若今年对农业、制造 业和服务业的外部需求分别为50、150、100亿元，试计 算三个部门的总产出分别为多少？
a11 x1
b1
a 21x1
a22
x2
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
（3.2） （3.3）
2．顺序高斯消去法
a11x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn a1, n1
a21x1 a22 x2 a23 x3 a2n xn a2, n1
an1x1 an2 x2 an3 x3 ann xn an, n1
基本思想：通过消元将上述方程组 化为三角形方程组进行求解。
消元公式 回代公式
a
(k kj
)
ai(jk )
a (k 1) kj
a (k 1) kk
第二步：在第二列后n – 1个元素中选主元，将第二个方程中 x2的系数变为1，并从其它n – 1个方程中消去x2。
…………
第k步：在第k列后n – k个元素中选主元，换行，将第k个方程 xk的系数变为1，从其它n - 1个方程中消去变量xk
3、列主元Gauss消去法计算步骤：
1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1);
2、对于 k 1,2, , n
(1) 按列选主元：选取 l 使
alk
max
k in
aik
0
(2) 如果 l ，k 交换 A(n,n+1) 的第k行与第l 行元素
(3) 消元计算 ：
mik
aik akk
i k 1, , n
aij aij mik akj i, k 1, , n j k 1, , n 1
3、回代计算
n
xi ai,n1 aij x j j i 1
i n, n 1, ,1
4．无回代过程的主元消去法(Gauss-Jordan)
第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为 主元行，将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1， 并从其余n – 1个方程中消去x1。
aij
xij xj
,
(i, j 1, 2,L , n)
(6.1.2)
投入系数即为aij，将(6.1.2)式代入(6.1.1)）式得方程组
n
xi aij xj di , (i 1, 2,L , n) j 1
用矩阵表示为
x Ax d 或 I A x d
(6.1.3)
因此投入产出模型最终可归结为求解线性方程组的问题，下面 介绍求解线性方程组数值方法。
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
AX = b
a11
A
a21 an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
ann
x1
X
x2
xn
（3.1）
b1
第六章
线性方程组 的直接解法
问题驱动：投入产出分析
投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 它是研究整个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性 模型，一般称为投入产出模型。国民经济各个部门之间存在着 相互依存的关系，每个部门在运转中将其它部门的成品或半成 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平，以 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题，试讨论 如下简化问题。