高中数学第一章计数原理1.2.1第2课时排列的综合应用检测含解析新人教A版选修3(1)

1.2 排列与组合1.2.2 组合第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有 ( ) A．72种B．84种C．120种D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．故选C.答案：C2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种 C．30种 D．36种解析：依题意，满足题意的选法共有C24×2×2＝24(种)．答案：B3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C13种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A23种方法，所以所求方法有C13A23＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．10种 B．20种 C．36种 D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C 24＋C 34＝10(种)．答案：A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种解析：依题意，所求播放方式的种数为C 12C 13A 33＝2×3×6＝36.答案：C二、填空题6．教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，方法有C 26C 24C 22A 33(种)，再将3组毕业生分到3所学校，方法有A 33＝6(种)，故6个毕业生平均分到3所学校，分派方法共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)． 答案：907．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法有C 44C 146种，有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以不同的抽法共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186(种)．答案：4 1868．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C 48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C 48－12＝58(个)．答案：58三、解答题9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C 26场比赛，4个组共计4C 26场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C 28场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C 28＝4(场)．综上，两轮比赛共进行4C 26＋C 28－4＝84(场)．10．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解：(1)(C25C24)A44＝1 440.所以男、女同学各2名共有1 440种选法．(2)(C15C34＋C25C24＋C35C14)A44＝2 880，所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法．(3)[120－(C23＋C14C13＋C24)]A44＝2 376，所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376 种选法．B级能力提升1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26解析：分两步进行．第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种组合方法．答案：B2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．答案：23．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一依0与1两个特殊值分析，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．综上所述，不同的三位数共有C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A33＝432(个)．法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故可组成的不同三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。

第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。

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1 排列[课时作业］[A组基础巩固］1．已知A错误!＝7A错误!，则n的值为（)A．6 B．7C．8 D．2解析：由排列数公式得：n（n－1）＝7(n－4）(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或错误!（舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A．A88B．A错误!C．A错误!A错误!D．2A错误!解析：安排4名司机,有A错误!种方案，安排4名售票员，有A错误!种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有A4，4A错误!种方案．故选C。

答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（）A．A错误!·A错误!种B．A错误!·A错误!种C．A错误!·A错误!种D．A错误!·A错误!种解析:插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A错误!种排法,除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A错误!种排法，故共有A错误!·A错误!种不同的排法．故选C.答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3！)3C．（3！）4D．9!解析：把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家，所以有（3！）4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（)A．240种B．600种C．408种D．480种解析:将四人排成一排共有A错误!种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A44·A错误!＝480种．答案:D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书"就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A错误!＝336种．答案:3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A错误! A错误!种方法;再将C插入，仅有3个空位可选，共有A错误!A错误!×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C,所得直线经过坐标原点的有________条．解析:易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A2，种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A2，6＝30(条）．6答案：309．用0,1,2，3，4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数；(2）个位数字不是5的六位数．解析：(1）解法一（从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位,有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有A错误!种排法，从1,3，5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A4，4种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法三（排除法)6个数字的全排列有A错误!个，0，2,4在个位上的排列数为3A错误!个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有3A4，4个,故对应的六位奇数的排列数为A6，6－3A55－3A错误!＝288个．（2）解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A错误!－2A错误!＋A错误!＝504个．解法二（直接法）个位不排5，有A错误!种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时,有A错误!个．第二类：当个位不排0时，有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台;(2)2个歌曲节目互不相邻;（3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A2，2种排法,再排其他节目有A错误!种排法，所以共有A错误!A错误!＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端)中选2个排歌曲节目,有A错误!种插入方法,所以共有A错误!A错误!＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A错误!种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!A错误!A错误!＝2 880种排法．［B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种解析:分两类：第一类:甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法;第二类：甲排在第二位，共有A13·A错误!＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B。

1-2-1-2 排列的综合应用1．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )A．12种 B．16种 C．20种 D．10种[解析] 先选1人参加物理竞赛有A14种方法．再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有A14种方法，共有A14A14＝16(种)方法．[答案] B2．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于( )A．1543 B．2543 C．3542 D．4532[解析] 首位是1的四位数有A34＝24个，首位是2的四位数有A34＝24个，首位是3的四位数有A34＝24个，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．由此得：a72＝3542.[答案] C3．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( ) A．34种 B．48种 C．96种 D．144种[解析] 由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A44种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A44＝96(种)．故选C.[答案] C4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．168[解析] 先排3个歌舞类节目，有A33＝6种方法，再用相声分类．第一类：相声排在歌舞类的两端有A12＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有A22＝2种方法，共有2×2＝4种．第二类：相声排在歌舞类的中间有A12＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品有A12＝2，另一个小品有A14＝4，共有2×2×4＝16(种)．共有排法数为6×(4＋16)＝120(种)．[答案] B精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1.2排列与组合一、选择题1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有（）A.14种B.28种C.32种D.48种答案：A解析：解答：从4名男生、2名女生中任选4人，有4615C=种不同的选派方法，其中没有女生的只有1种，所以符合条件的方法有14种，故选A分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是排列组合的原理分析计算即可.2. 我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种答案：D解析：解答：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有0112233 6656463141C C C C C C C+++=种.分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是通过分类讨论结合排列、组合的实际应用进行分析计算即可.3. 从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.24个B.36个C.48个D.54个答案：C解析：解答：若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个,共计12＋36＝48个分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据排列、组合的实际应用进行分析计算即可.4. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A．12 B．24 C．36 D．72答案：C解析：解答：将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，把4个学生分成3组，有一个组有2人，另外两组个一人，不同的录取方法共有363324=A C 种，故答案为C ．分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际问题结合排列、组合原理计算即可.5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。

第一章1。

2 1.2。

2 第2课时组合(二)A级基础巩固一、选择题1．12名同学合影，站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是（ C ）A．C错误!A错误!B．C错误!A错误!C．C错误!A错误!D．C错误!A错误![解析］第一步从后排8人中抽2人有C2，8种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人,有A26种排法,最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法,∴共有C错误!A错误!种排法．2．（2018·山西一模）某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有( B )A．6种B．12种C．18种D．24种[解析] 根据题意，分3步分析:①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C错误!＝4种情况，②,在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C错误!＝3种情况，③，剩下的2人负责拖地，有1种情况,则有4×3＝12种不同的分工;故选B．3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有（ A )A．40个B．120个C．360个D．720个[解析] 先选取3个不同的数有C3，6种方法,然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A错误!种排法，故共有C错误!A错误!＝40个三位数．4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )A．4种B．10种C．18种D．20种[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册,则另外两人送集邮册，有C错误!种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C错误!种方法，∴共有C错误!＋C错误!＝10种赠送方法．5．(2018·浙江卷,16)从1，3，5,7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字,一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．( D ）A．720 B．560C．540 D．1260［解析] 不含有0的四位数有C错误!×C错误!×A错误!＝720(个)．含有0的四位数有C错误!×C错误!×C错误!×A错误!＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ A ）A．72种BC．24种D．12种［解析］解法一：（1)4种颜色全用时,有A错误!＝24种不同涂色方法．(2）4种颜色不全用时,因为相邻矩形不同色,故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A3，4种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A3，4＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．解法二:涂A有4种方法，涂B有3种方法,涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．二、填空题7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有__60__种．［解析］对于任一种坐法,可视4个空位为0,3个人为1，2，3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2，3的一种编码,要求1，2，3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1，2，3即可．∴不同排法有A35＝60种．8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔,有__112__种放法(用数字作答）．[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况,分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求,故为组合问题，总的放法为C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝112．9．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__(注：用数字作答)．［解析] 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有C1，3A错误!A错误!＝12个；②当2出现在第3位时,即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字,所以满足条件的五位数有2A错误!A错误!＝24个；③当2出现在第4位时，即00020,则第5位必为1、3、5中的一个数字,所以满足条件的五位数有C错误!A错误!A错误!＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．三、解答题10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？（1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看,身高逐个递减；(2）任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．［解析］（1)第一步,将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步,将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C错误!＝20种．(2）第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C错误!种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C错误!种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C错误!·C错误!·C错误!＝630种．B级素养提升一、选择题1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手,若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 从18人中任选3人,有C错误!种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形），∴所求概率P＝错误!＝错误!．2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D ）A．120 B．119C．110 D．109［解析］5个人坐在5个座位上,共有不同坐法A错误!种，其中3个号码一致的坐法有C错误!种,有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A错误!－C错误!－1＝109．二、填空题3．航空母舰“辽宁舰"在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有__36__种．[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A错误!＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体,甲中间，有A错误!A错误!＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．4．(2017·天津理，14)用数字1,2，3,4，5，6，7,8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1_080__个．(用数字作答）［解析］①当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为C错误!·C错误!·A 错误!＝960．②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A错误!＝120．故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．三、解答题5．(2016·泰州高二检测）男运动员6名,女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?（1）男运动员3名，女运动员2名；(2）至少有1名女运动员;（3）既要有队长，又要有女运动员．［解析］（1）第一步：选3名男运动员，有C3，6种选法；第二步:选2名女运动员，有C错误!种选法，故共有C错误!·C错误!＝120种选法．(2）解法一:（直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C 1，＝246种选法．6解法二：（间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人,有C错误!种选法，其中全是男运动员的选法有C错误!种，故“至少有1名女运动员”的选法有C错误!－C错误!＝246(种）．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C4，9种选法；不选女队长时,必选男队长，共有C错误!种选法，其中不含女运动员的选法有C错误!；故不选女队长时共有C错误!－C错误!种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C4，9＋C错误!－C错误!＝191（种）．6．四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3,4的四个盒子中．(1）随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？(2)四个盒都不空的放法有多少种？（3)恰有一个空盒的放法有多少种？（4)恰有两个空盒的放法有多少种?（5）甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？［解析］（1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是:4×4×4×4＝44＝256种．(2）将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A4，4＝24种．(3)由题意知,必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子;将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C34·C2，4·A错误!＝144种．(4）由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子;将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是:C错误!·（错误!＋C错误!·C 错误!)·A错误!＝84种．(5)分三类放法．第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法（可放入2,有42种放法．故此类放法的种数是3×42；第二类：甲球放入2号盒子，即，则乙球有2种放法(可放入3,有42种放法．故此类放法的种数是2×42;第三类:甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入4号盒子),其余两球随便放,有42种放法，故此类放法的种数是1×42．综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1）×42＝96种．C级能力拔高不定方程x1＋x2＋…＋x10＝100的正整数解有多少组？[解析] 不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的方程,像方程x1＋x2＋…＋x n＝m就是一个最简单的不定方程，解决这类问题的常用方法是“隔板法”．解：考虑并列出100个：1111…1错误!，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙．在这99个空隙中，放上9个“＋”号，每个空隙中至多放1个，共有C错误!种放法，在每一种放法中，这100个数被“＋”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“x1，x2,…，x10”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“＋"号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有C错误!组．。

课时作业4 排列的应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为(B)A．3 B．24C．34 D．43解析：3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个，再全排列，故其选法种数为A34＝24.2．将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为(C)A．A1010B．A510C．A55×A55D．2A55解析：安排5名司机有A55种方案，安排5名售票员有A55种方案，由分步乘法计数原理，知共有A55×A55种方案．3．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A．8 B．24C．48 D．120解析：个位数字有A12种排法，十位、百位、千位有A34种排法，从而共A12A34＝48个不同的四位偶数．4．某会议室共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为(C)A．12 B．16C．24 D．32解析：将三个人插入五个空位中间的四个空当中，有A34＝24种坐法．5．要为5名志愿者和受到他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)A．1 440种B．960种C．720种D．480种解析：从5名志愿者中选2人排在两端，有A25种，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人的排法有A44种，故共有A25·A22·A44＝960种．6．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有(B)A．48种B．192种C．240种D．288种解析：(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55·A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22·A44种，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55·A22－A44·A22＝192.7．某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本，现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(C)A．12B．24C．48D．720解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有A22种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A33种不同的排法，再排2本语文书，有A22种不同的排法，最后排2本英语书，有A22种不同的排法．根据分步乘法计数原理，得共有A22A33A22A22＝48种不同的排法．故选C.8．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为(D)A．56B．63C．72D．78解析：若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法．若快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法数为A44；若货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为A44；若快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为A33.故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.二、填空题(每小题6分，共计18分)9．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有840种．(用数字作答) 解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，有A47＝840种．10．将序号分别为1,2,3,4,5的5X参观券全部分给4人，每人至少1X．如果分给同一人的2X参观券连号，那么不同的分法种数是96.解析：5X参观券分为4堆，其中有2个连号的分法有4种，然后再分给每一个人有A44种方法，所以总数是4A44＝96.11．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的不同的入园顺序有24种．解析：两位爸爸的排法有A22种，两个小孩排在一起看成一体，有A22种排法．妈妈和孩子共有A33种排法，所以不同的入园顺序有A22A22A33＝24(种)．三、解答题(共计22分)12．(10分)一场小型晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种不同的排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种不同的排法？(以上两问只列出算式)解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．(2)先不考虑排列要求，有A88种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)种．13．(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；(2)能被5整除的四位数．解：(1)先排个位，个位上的数字只能从1,3,5中选，有3种排法；再排首位，首位上的数字不能为0，故还有4个数字可选，有4种排法；最后排中间四位，有A44种排法．由分步乘法计数原理，知满足条件的数有3×4×A44＝288(个)．(2)能被5整除，个位上的数字只能是0或5.个位上的数字是0时，其他三个数位上的数字有A35种排法；个位上的数字是5时，首位上的数字有4种排法，再排十位与百位，有A24种排法，所以共有4A24种排法．由分类加法计数原理，知满足条件的数共有A35＋4A24＝108(个)．——素养提升——14．(5分)某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是(C)A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒解析：由题意，知每个闪烁需要5秒，所有不同的闪烁有A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195(秒)．15．(15分)甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球传给乙，并作为第一次传球，传球五次后结束传球．(1)将五次传球的所有不同的传球方式用树状图表示出来；(2)写出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式．解：(1)甲第一次把球传给乙，则所有不同的传球方式有(2)由(1)，知经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式是甲→乙→甲→乙→丙→甲，甲→乙→甲→丙→乙→甲，甲→乙→丙→甲→乙→甲，甲→乙→丙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→丙→甲．。