初中数学竞赛《容斥原理》练习题及答案 (33)

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的, 75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出3个数，使得
被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．
【分析】因为这几个数相邻两个数的比是2或者，要使被选出的数中任意两个数的比都不是2或者，那么选出的数中任意两个数只要不相邻就符合题意，由此解决问题．【解答】解：容易看出，相邻两个数的比是2或者，
不妨先取3，间隔一个数，可取3×22，3×24，符合题意；
也可取3×2，3×23，3×25，也符合题意；
因此最多能选出3个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．
故答案为：3．
【点评】此题主要抓住数的特点，利用相邻两个数之间的比值固定，找到问题的解决方案．。

容斥原理知识定位在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。

它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A个，属于集合B 的东西有B个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个，则有：B A =A +B -BA 。

知识梳理知识梳理1.容斥原理容斥原理可以用一个直观的图形来解释。

如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -BA 。

容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

例题精讲【试题来源】【题目】在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？ 【答案】67【解析】根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

A BAB在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。

【答案】1633【解析】1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

2022-2023学年学校四班级思维拓展举一反三精编讲义专题26 容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排解原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排解重复部分。

容斥原理：对n 个事物，假如接受不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。

【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最终问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是由于语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对其次题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对其次题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对其次题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

Nab Nb Na 学问精讲典例分析【典例分析03】某班有56人，参与语文竞赛的有28人，参与数学竞赛的有27人，假如两科都没有参与的有25人，那么同时参与语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参与的人数，应先求出至少参与一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参与的人数：28＋27－31=24人。

【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。

容斥原理练习题【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的 14 人， 数学得分 95 分以上的 21 人，两门都不在 95 分以上的有 22 人．问：两门都在 95 分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47 名学生， A 圆表示语文得分95 分以上的人数，B 圆表示数学得95 分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以 上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为： 47 - 22 = 25 (人)．根据包含排除法，两门都在95 分以上的人数为：14 + 21 - 25 = 10 (人)．【练习 2】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42 人．根据包含排除法， 42 =（26 + 17 + 19）-（9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数）+ 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 - 42 = 7 (人)．95分以上的 数学95分以上的 B不在两门95分以上的 语文95分以上的 A 两门都【练习 3】四(二)班有48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30 人，写完数学作业的有20 人，语文数学都没写完的有6 人．（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？【解析】（1）由题意，有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 + 20 - 42 = 8 (人)．（2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30 - 8 = 22 (人)【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3 人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+ 26 +18）-（9+ 4 + 3）- 6 ⨯ 2 = 50 (人)．A BC。

《容斥原理》练习题
1、一个班有45个学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有_______人。

2、某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课，选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三门都选的有24人，问三科均没有选的有多少人？
3、分母是1001的最简真分数有多少个？
4、在1--1000中不能被5或7整除的数有多少个？。

容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。

例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。

∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。

∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。

∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。

由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。

答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。

例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。

解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。

∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同的分法共有112种．
【分析】首先算出7个两两不同的球分给两个人，共有多少种分法，去掉一个人没有分得物件的分法以及有一个人恰好分得一件物体的分法，由此可以解答问题．
【解答】解：因为把7件彼此相异的物件分给两个人，每件物件都有2种分法，故不同的分法共有27×4＝128种，
其中，使得一个人没有分得物件的分法有2种，
使得有一个人恰好分得一件物体的分法有2×7＝14种，
故使得每人至少分得2件物件的分法共有128﹣2﹣14＝112种．
故答案为112．
【点评】此题关键理解7个两两不同的球分给两个人，包含了一个人没有分得物件，一个人恰好分得一件物体，每人至少分得2个球，算出总数，去掉前两者问题得解．。

奥数容斥原理练习题1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？2、1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？3、1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？4、五（1）班有58人参与三项课外活动小组，其中32人参与文学组，24人参与美术组，30人参与音乐组，既参与文学组又参与美术组的有13人，既参与美术组又参与音乐组的有12人，既参与文学组又参与音乐组的有11人，三项活动小组都参与的有几人？5、康大六校五年二班学生参与语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？6、两辆汽车从A、B两地同时动身相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。

已知动身5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？7、100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？8、100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？9、康大学校第14届秋季运动会中，参与100米短跑的共156人，比参与200米短跑的少40人，比参与50米短跑的多26人，同时参与100米和50米短跑的有74人，同时参与200米和100米的有80人，是同时参与50米和200米人数的2倍，同时参与50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参与50、100米和200米的共有多少人？10、五（6）班有54人参与秋游活动其中35人喜爱玩“捉特务”，45人喜爱玩“老鹰捉小鸡”，40人喜爱踢足球，50人喜爱跳牛皮筋，你是否可以确定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜爱。

选择题在某次数学竞赛中，有60%的学生获奖，有75%的学生通过了英语考试，已知至少有一项成就的学生占85%，则两项都达成的学生占比是：A. 40%B. 50%（正确答案）C. 60%D. 70%一个班级中，喜欢数学的有25人，喜欢物理的有20人，喜欢化学的有15人，同时喜欢数学和物理的有10人，同时喜欢数学和化学的有8人，同时喜欢物理和化学的有6人，三者都喜欢的有3人。

问班级中总共有多少学生？A. 35人B. 40人C. 45人D. 50人（正确答案）在一次调查中，发现65%的人喜欢喝咖啡，70%的人喜欢喝茶，80%的人至少喜欢其中一种饮品。

那么同时喜欢喝咖啡和喝茶的人占比是：A. 15%B. 25%C. 55%（正确答案）D. 75%某校有100名学生参加了数学和物理竞赛，其中60人通过了数学竞赛，70人通过了物理竞赛，若已知有85人至少通过了一门竞赛，则两门都通过的学生有：A. 35人B. 45人（正确答案）C. 55人D. 65人在一次技能测试中，有80%的员工通过了编程测试，70%的员工通过了设计测试，85%的员工至少通过了一项测试。

问同时通过两项测试的员工占比是多少？A. 55%B. 65%（正确答案）C. 75%D. 85%一个篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球和黄球共20个，黄球和蓝球共18个，红球和蓝球共22个。

问篮子里总共有多少个球？A. 25个B. 27个C. 30个（正确答案）D. 33个在一次市场调研中，发现55%的人喜欢产品A，65%的人喜欢产品B，75%的人至少喜欢其中一种产品。

那么同时喜欢产品A和产品B的人占比是：A. 45%（正确答案）B. 55%C. 65%D. 75%某班级中，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有18人，参加化学兴趣小组的有16人，同时参加数学和物理小组的有10人，同时参加数学和化学小组的有8人，同时参加物理和化学小组的有6人，三个小组都参加的有4人。