2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三(上)第二次调研数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年第一学期荔湾区期末初三统考试卷数学科第一部分 选择题(共30分)一、 选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是 ( )A .有两个不相等的实数根B .没有实数根C .有两个相等的实数根D .无法确定2、如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ( )3、从标号分别为1,2,3,4,5的5 张卡片中，随机抽取1张，下列事件中，必然事件是 ( ) A .标号小于 6 B .标号大于 6 C .标号是奇数 D .标号是34、将抛物线23y x = 向上平移 2 个单位，得到抛物线的解析式是 ( )A .23y x =－2B .23y x =C .23(2)y x =+D .23y x =＋25、 2012-2013NBA 整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%.下列对科比罚球投篮的说法错误的是 ( )A .罚球投篮 2 次，一定全部命中B .罚球投篮 2 次，不一定全部命中C .罚球投篮1次，命中的可能性比较大D .罚球投篮1次，不命中的可能性较小 6、如图是二次函数224y x x =-++的图象，使 y ≤4 成立的 x 的取值范围是 ( )7、数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说： 45°；乙同学说： 60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是 ( )A .甲B .乙C .丙D .丁8、如图，在圆O 中，OC ⊥弦 AB 于点C ，AB ＝4,OC ＝1，则OB 的长是 ( )A .B .C .D .9、如图，AB 是圆O 的直径， B C ，CD ，DA 是圆O 的弦，且 BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 等于 ( ) A . 100° B . 110° C . 120° D . 135°10、如图，反比例函数(0)ky x x=> 的图象经过矩形OABC 对角线的交点 M ，分别与 AB ，BC 相交于点 D ,E ,若四边形ODBE 的面积为 6 ，则 k 的值为 ( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 1第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11、设一元二次方程2830x x --=的两个实数根分别为1x 和2x ，则1x ＋2x ＝ ______ 12、二次函数225y x x =+-的顶点坐标是 ______ . 13、已知一个函数的图象与6y x=的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为 ______ .14、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是 ______ .15、如图，点A ，B ，C ，D 分别是圆O 上四点，∠ABD ＝20°， BD 是直径，那么 ∠ACB ＝ ______16、如图，△ABC 和△A 'B ' C 是两个完全重合的直角三角板，∠B ＝30°，斜边长为10cm .三角板 A ' B ' C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点 A ' 落在 AB 边上时， CA ' 旋转所构成的扇形的弧长为 ______ cm .三、解答题（本大题共9小题，共 102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）。

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240 的值为A．12 C ．12- D．2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为A ．12 BD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．64 5．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n - 8．已知函数()，若在区间[]上任取一个实数，则使()成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABCD10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图3在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（n a b c （2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．C 1ABA 1B 1D 1C DMN图420．（本小题满分14分）已知函数()2a∈R．=++()lnf x x ax x（1）若函数()f x在1f xx=处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数()的极值；（2）求函数()f x的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A是△ABC的内角，所以s ic o s A ==6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=由（1）设7a k =，即k =，所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分 年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1M N．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ． 所以M，N，C，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A 1B 1D 1DM则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++ ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN 平面1DDC ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ， 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点． 所以几何体1AMND D C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-， 解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==， (12)分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。

2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。

⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。

2015学年第一学期高三调研测试一数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}24M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=A.{|}x x -<<21B.{|}x x <-2C.{|}x x <1D.{}2x x < 2.设i 是虚数单位，若复数满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z = A.1-B.1D.23.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠== 则边长AC 为1- B.1 C.2D. 4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y += 5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128 B.129 C.131 D.1346.将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为A.2 B.12 C.12-D.2-7.函数cos 622x xxy -=-的图像大致为 8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞D.11[,]33-9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .203B .163C .86π- D.83π-10.42()(1x x+的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.1211.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3 12.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e1,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

“四校”2015―2016学年度高三第二次联考文科数学试题考试时间:120分钟 总分:150分一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知M={0,1, 2,3, 4}，N={-1,3, 5,7}，P=M ∩N ，则集合P 的子集个数为( )A. 2 B ．3 C ．4 D. 5 2. 已知复数iiz +-=11（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A.1 B.-1 C.0 D. i - 3. 已知向量a =(1, -1) , b =(2, x) ，若a ·b =1, 则x=( )A. -1B. -21C.21D. 1[]1,(1)x b b ∈-〉-4. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位: 台) 的茎叶图, 则数据落在区间[22,30) 内的频率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.65. 在直角坐标系xoy 中，“方程12222=+n y m x 表示椭圆” 是“m ＞n ＞0” 的（ ）A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 抛物线px y 22=上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A. 4B. 9C. 10D. 187. 若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比=q （ ）1 8 92 1 2 2 7 93 0 0 3A.1B.2C.-2D.48. 已知直线4π=x 和45π=x 是函数f(x) =2sin(ωx+ϕ)（ω>0, 0<ϕ<π）图象的两条相邻的对称轴, 则ϕ=( )A.4πB.3πC.2πD.43π9. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）A.4B.3C.2D.110. 已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222〉〉=-b a b y a x 的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点M 关于直线x aby =的对称点为2F ,则该双曲线的离心率为( ) A.25B. 2C. 2D. 511. 已知函数f(x)=|x-a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,-1]C.[-1,+∞)D.[1,+∞)12. 某几何体的三视图如图所示,当xy 最大时,该几何体外接球的表面积为( )A. 32πB. 64πC. 128πD.136π二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数f(x)=x-11的定义域是 .7214. 若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤〉≤+-,2,0,01y x y x 则x y 的取值范围是 _____________.15. 曲线45+-=x e y 在点(0,-1)处的切线方程为_____________. 16. 设数列{}n a 满足1042=+a a ,点),(n n a n p 对任意的+∈N n ,都有向量)21(1，P P n n =+,则数列{}n a 的前n 项和=n S ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.17-21题各题12分，22、23或24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．若复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或13．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x=2是方程x+2=0的根．则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2015 B．﹣1 C．D．26．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．7．随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．B．20π C．12π D．100π9．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．2010．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），则满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．1711．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9= ．14．已知点P为抛物线C：x2=y上的一点，F为抛物线C的焦点，若|PF|=1，则点P的纵坐标为．15．已知奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（1）＜0，则x的取值范围为．16．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=，且b=3，a=2．（1）求sin2A；（2）求△ABC的面积．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B﹣AB1D的体积．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx﹣1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．（Ⅰ）求证：BE2=CE•PE（Ⅱ）若EC=2，求PB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•松山区校级月考）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点．（1）写出直线l的参数方程，曲线C的普通方程；（2）求|AP|：|BP|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2 （Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】利用纯虚数的定义、方程的解法即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，∴，解得a=1．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x=2是方程x+2=0的根．则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0为真命题，命题q：x=2是方程x+2=0的根为假命题，则p∧￢q为真命题．，其余为假命题，故选：A【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题p，q的真假是解决本题的关键．5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2015 B．﹣1 C．D．2【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该循环中S的值是以3为周期的，计算出k=2014时S的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=2，k=0，S==﹣1；k=1，S==；k=2，S==2；k=3，…；所以，该循环中S的值是以3为周期的，且k=2014=3×671+1时，S=，k=2015时，终止循环，输出S=．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．6．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论．【解答】解：设双曲线C的方程为﹣=1，则e==，∴b2=2a2，∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为： +=1，∴“伴生椭圆”的离心率为==，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7．随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x，y∈[0，1]的平面区域为边长为1的正方形，符合条件x2+y2≤1的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形内部，则扇形面积与正方形面积的比为概率．【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x，y∈[0，1]的平面区域为边长为1的正方形OABC，符合条件x2+y2≤1的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形OAC内部，∴P（x2+y2≤1）==．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．B．20π C．12π D．100π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为2m，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为：1；已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为： =所以表面积为4π•5=20π．故选：B．【点评】本题是基础题，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理，考查计算能力．9．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．20【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：×6×2×4=16．故选C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），则满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．17【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式可得a n，再利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵S n=（a n﹣1），∴当n=1时，，解得a1=4．当n≥2时，S n﹣1=，可得a n=，化为：a n=4a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为4．∴a n=4n．不等式a n＞2n+16化为：22n＞2n+16，∴2n＞n+16，解得n＞16．∴满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为17．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．12．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1] 【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k 的范围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9= 20 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1+a10=20，再由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式可得S10==5（a1+a10）=100，∴a1+a10=20，由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20，故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．已知点P为抛物线C：x2=y上的一点，F为抛物线C的焦点，若|PF|=1，则点P的纵坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得P点到抛物线C：x2=y的准线y=﹣的距离也为1，即y+=1，解得答案．【解答】解：∵|PF|=1，∴P点到抛物线C：x2=y的准线y=﹣的距离也为1，即y+=1，解得：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．15．已知奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（1）＜0，则x的取值范围为（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，∴不等式f（2x﹣1）+f（1）＜0等价为f（2x﹣1）＜﹣f（1）=f（﹣1），则不等式等价为，即，即0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．16．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可．【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行∵k AC=，∴=1，∴a=﹣1，则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故答案为：．【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=，且b=3，a=2．（1）求sin2A；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可求得sinA==，利用大边对大角可得A为锐角，从而可求cosA=，利用倍角公式即可得解；（2）由余弦定理可求得c的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵B=，且b=3，a=2．∴由正弦定理可得：sinA===．∵b=3＞a=2．∴A为锐角，cosA==，∴sin2A=2sinAcosA=2×=．（2）∵B=，且b=3，a=2．∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，可得：27=4+c2﹣2c，整理可解得：c=1+2．∴S△ABC=acsinB==．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B﹣AB1D的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC1∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC1∥平面AB1D．（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB1A1 ，DH为三棱锥D ﹣ABB1的高，求出和DE的值，再根据，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（6分）（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D﹣ABB1的高．（8分）∵，（10分）且，∵．（12分）【点评】本题主要考查证明直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x=6常喝不常喝合计肥胖 6 2 8不胖 4 18 22合计10 20 30…（3分）（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx﹣1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）法1：当k=0时，验证点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，代入利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件．法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点B与点A重合，不合题意，不存在k满足条件．法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1），设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0），利用|PA|=|PB|，求出与A关于x=0对称，不存在k满足条件．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴c=，则a2﹣b2=2…①，椭圆过点A（，）．…②，解①②可得a2=3，b2=1，∴椭圆的方程：（Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=﹣1，点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，即2x+2ky﹣3﹣k=0代入整理得（4k2+12）y2﹣4k（k+3）y+（k+3）2﹣12=0因为，所以若A，B关于直线l对称，则其中点在直线y=kx﹣1上所以，解得k=1因为此时点在直线l上，所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在k满足条件．法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程化简得（k2+3）y2﹣2kmy+m2﹣3=0，，所以若A，B关于直线l对称，则其中点在直线y=kx﹣1上，所以，即2km=k2+3．又在直线AB：x=﹣ky+m上，所以2m﹣k=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1因为此时点在直线l上，所以对称点B与点A重合，不合题意，所以不存在k满足条件．法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1），设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0），因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|P B|所以①又B在椭圆上，所以②联立①②解得或因为与A点重合，舍，因为与A关于x=0对称所以不存在k满足条件．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的对称关系的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，解方程可得a=3；（2）对a讨论，当0＜a≤1时，当1＜a＜2时，当a≥2时，判断导数的符号，得到单调性，即可得到最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣=（x＞0），因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，所以f′（1）=﹣2，即1﹣a=﹣2，解得a=3；（2）当0＜a≤1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，∴f（x）min=f（1）=a﹣1；当1＜a＜2时，由f′（x）=0得，x=a∈（1，2），对于x∈（1，a）有f′（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，对于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，∴f（x）min=f（a）=lna；当a≥2时，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+﹣1．综上所述f（x）min=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．（Ⅰ）求证：BE2=CE•PE（Ⅱ）若EC=2，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△BEC∽△PEB，即可证明BE2=CE•PE（Ⅱ）证明△ACE∽△CBE，求出AC，由，可求PB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P …（1分）∵CE是圆O的切线，∴∠ACE=∠CBE，∴∠CBE=∠P …（2分）∵∠BEP=∠CEB，∴△BEC∽△PEB …（3分）∴，∴BE2=CE•PE…（4分）（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，…（5分）∴EC2=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．…（6分）∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴=．…（7分）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2．∴AC=，…（9分）由，可得PB=．…（10分）【点评】本题考查三角形相似的判定语性质的运用，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•松山区校级月考）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点．（1）写出直线l的参数方程，曲线C的普通方程；（2）求|AP|：|BP|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；解题思想；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用直线的倾斜角，以及经过的点求出直线的参数方程，转化极坐标方程为普通方程即可．（2）直线的参数方程代入抛物线方程，求出参数的值，利用此时的几何意义求解即可．【解答】解：（1）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，它的参数方程为：，t为参数，…（2分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直角坐标方程为：y2=2x．…（4分）（2）由（1）和y2=2x可知：，…（5分）得t2=6∴，…（7分）由参数的意义知|AP|=，|BP|=，…（9分）∴|AP|：|BP|=1．…（10分）【点评】本题考查直线的参数方程与抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，考查计算能力．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x ＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x 对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．- 21 -。

荔湾区2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位,复数3(1)z i =-的虚部为（ ）A ．2i -B ．iC ．1D ．2-2．已知集合{}(,)3x A x y y ==，{}(,)2xB x y y -==，则A B ⋂=（ ）A ．{}0B ．{}1C ．(){}0,1 D ．(){}1,03．下列函数中,既是偶函数,又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A ．lg y x =B ．2xy -=C ．1y x=D ．lg y x = 4．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥，则//αβ是a b ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图1，阅读程序框图，若输出的S 的值等于55，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．i ＞8B ．i ＞9C ．i ＞10D ．i ＞116．从数字1、2、3、4、5、6中随机取出3个不同的数字构成一个三位数，则这个三位数能被3整除的概率为（ ） A ．15 B ．25C ．35 D ．457．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若当首项1a 和公差d 变化时，31011a a a ++是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ） A ．17SB ．16SC ．15SD ．14S8．在数列{}n a 中，11a =，()()111nn n a a +=-+，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2015S =（ ） A.－1008 B ．－1007 C ．－1006 D ．－1005 9．有四个关于三角函数的命题:1p :x R ∀∈,22sin cos 122x x+=; 2p :(),cos =cos cos x y R x y x y 、$?-;3p :[]0,x π∀∈,sin x =;4p :,tan =cos x R x x $?.其中真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个10．某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．20πB ． 40πC ．50π D.60π11．已知函数322()364,(0)f x x a x a a a =--+>有且仅有一个零点0x ,若00x >，则a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B ．()1,2 C.()0,2 D ． (]0,112．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则=+222131e e ( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

增城市2015届高中毕业班调研测试文科试题数 学试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：24R S π=球,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'===+=柱锥台球 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P =⋅.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算11ii+=- （A ） i （B ） i - （C ） 2i （D ） 2i -2.设集合{24},{3782},A x x B x x x =≤<=-≥-则A B ⋂= （A ） [3,4) (B) (3,4) (C) [2,3] (D) [2,4)3.下列等式中错误的是(A) sin()sin παα+=- (B) cos()cos παα-= （C ） cos(2)cos παα-= (D) sin(2)sin παα+=4.函数()f x =的定义域是（A ）2(,)3+∞ （B ） 2[,)3+∞ （C ）2(,)3-∞ （D ） 2(,]3-∞5.化简12111334424(3)(6)x x y xy ----÷-=(A) 132xy (B) -132xy (C) 2y (D) 12y -- 6. 如果函数2()21x f x a =++是奇函数，则a = （A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2 7.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（A ）平面α内的所有直线都与直线a 异面.（B ）平面α内存在与a 平行的直线. （C ）平面α内的直线都与直线a 相交. （D ）直线a 与平面α有公共点.正视图侧视图俯视图图1 8.如图1是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（A）π（B） 2π（C） 3π D） 4π9.已知1log1(0,1)3aa a<>≠，则实数a的取值范围是(A) (1,)+∞ (B)1(,1)3(C)1(0,)3(D)1(0,)(1,)3⋃+∞10.已知圆C：22(1)(2)25,x y-+-=直线l：(21)(1)740,m x m y m m R+++--=∈，当直线l被圆C截得的弦最短时的m的值是（A）34-（B）13-（C）43-（D）34第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（11～13题）11.已知(,1),(4,)a nb n==共线且方向相同，则n= .12. 如图2，是一个问题的程序框图，输出的结果是.13.已知实数,x y满足1311x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42x y+的取值范围是 .（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）已知圆o内的两条弦,AB CD相交于圆内一点P，且14,4PA PB PC PD===, 则CD= .15（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos(02)ρθθθπ=-≤<与极轴交点的极坐标为 .图2ODCVAB 图3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）将一枚质地均匀的硬币连续抛3次.（1）求三次都出现正面的概率； （2）三次中出现一次正面的概率.17（12分）已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）若α为三角形的内角且()28f απ-=()f α的值18（14分）如图3，在三棱锥V ABC -，VO ⊥平面ABC,,3,5O CD VA VB AD BD BC ∈=====.（1)求证：VC AB ⊥;（2）当60VDC ∠=︒时，求三棱锥V ABC -的体积.19（14分）设3211()(1),32f x x b x bx x R =+--∈ （1）当1b =时,求()f x 的单调区间；（2）当()f x 在R 上有且仅有一个零点时,求b 的取值范围.20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是1(0,1)F -,（1）求椭圆的标准方程；（2）过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的另一个焦点,若2ABF S ∆=时,求直线AB 的方程.21（14分）在数列{}n a 中,已知12,a =对任意正整数n 都有12(1)n n na n a +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S ;(3)如果对任意正整数n 都有(2)(n n na k S k ≥-为实数)恒成立,求k 的最大值.增城市2015届高中毕业班调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：AABAA CDBDA二、填空题：11. 2 12. 1717 13. [2,10] 14. 10 15. （0,0），（2,0）三、解答题：16.解：（1）用i a 表示第i 次的正面,用i b 表示第i 次反面,则 1分 共有123123123123123123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b a a a b a b b b a a b b a123123(,,),(,,)b a b b b b 8种 5分三次正面的有1种123(,,)a a a 6分所以所求的概率是188分 （2）出现1次正面的有123123123(,,),(,,),(,,)a b b b a b b b a 10分 所以所求的概率是3812分 17.解：（1）2()2sin cos 2sin 1f x x x x =+- 1分sin 21cos 21x x =+-- 3分 sin 2cos 2x x =-)4x π=- 4分所以()f x 的最小正周期是π 6分（2）()sin[2()]28284f απαππ-=-- 7分)2πα=-α= 8分c o s α∴ 1c o s 3α∴=-且α为钝角 9分sin 3α∴= 10分 所以()2sin (cos sin )1f αααα=+-12)1333=⨯-+- 11分79-=12分 18.（1）证明：,,VA VB AD BD VD AB ==∴⊥ 1分 VO ⊥平面ABC ,VO AB ∴⊥ 2分 VD 与VO 相交于V 3分 AB ∴⊥平面VCD 4分 VC AB ∴⊥ 6分 （2）解：在VAB ∆中，3VA VB AD BD ====3VD ∴= 8分 在VDO ∆中，60,90VDC DOC ∠=︒∠=︒sin 60VO VD ∴=︒=9分在VDC ∆中，4DC == 10分所以1(3V ABC ABC V S VO -∆=⋅或1)3VDC S AB ∆=⋅ 11分 1132DC VO AB =⋅⋅⋅ 12分16462=⨯⨯⨯13分= 14分 19.解(1)当1b =时,31()3f x x x =- 1分2()1(1)(1)0f x x x x '=-=+-= 2分121,1x x ∴=-= 3分因为5分 所以()f x 的单调区间是(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞ 6分 (2)21()[23(1)6]06f x x x b x b =+--= 7分 0x ∴=或223(1)60x b x b +--= 8分 当方程223(1)60x b x b +--=无解时 9分 29(1)48b b ∆=-+ 10分 3(31)(3)b b =++ 11分 <0 12分133b ∴-<<- 13分所以当133b -<<-时函数()f x 有且只有一个零点. 14分 或解:2()(1)(1)()0f x x b x b x x b '=+--=-+=121,x x b ∴==- 7分当1b =-时,2()(1)0f x x '=-≥,所以()f x 在(,)-∞+∞上单调增 又221()(33)0,0,3303f x x x x x x x =-+=∴=-+=无解 所以1b =-时函数()f x 有且只有一个零点. 8分当1b >-时,1b -<,因为9分及()0f x =有一解0x =()0(1)0f b f ->⎧∴⎨>⎩ 133b ∴-<<-， 113b ∴-<<- 10分因为()f x 在(,)b -∞-上单调增，在[,)b -+∞上恒有()0f x >所以当113b -<<-时，()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点 11分当1b <-时，1b ->，因为12分及()0f x =有一解0x = ()0(1)0f b f ->⎧∴⎨>⎩ 133b ∴-<<-， 31b ∴-<<- 因为()f x 在(,1)-∞上单调增，在[1,)+∞上恒有()0f x >所以当31b -<<-时，()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点 13分所以()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点时,b 的取值范围是133b -<<- 14分20.解(1)由条件可设椭圆方程为22221(0)x y a b b a+=>>,则有 1分1,3c e == 33c a a =∴= 2分b ∴= 3分所以所求椭圆方程是22123x y += 4分(2)由条件设直线AB 的方程为1y kx +=,将1y kx =-代入椭圆方程得: 5分22(23)440k x kx +--= 6分设1122(,),(,)A x y B x y 2221616(23)48(1)0k k k ∆=++=+>7分12122244,2123k x x x x k k ∴+==-++ 8分212121212ABF S F F x x x x ∆=-=- 9分22121212()()4x x x x x x ∴-=+- 10分22221616(23)23k k k =+++ 22248(1)(23)k k +=+ 11分29ABF S ∆=22422248(1)(,1633450(23)9k k k k +∴=∴--=+ 12分22(1615)(3)0k k ∴+-=23,k k ∴== 13分所以所求直线方程是1y += 即1y =- 14分 21.解(1)112(1),21n n n n a ana n a n n++=+∴=⋅+ 2分 所以数列{}na n是以2为公比,首项为2的等比数列 3分 122n na n-∴=⋅ 4分 2n n a n ∴=⋅ 5分或解:12a =234234822,2432,6442a a a ∴==⋅==⋅==⋅2分 所以猜想得2n n a n =⋅ 3分 (2)23112122232(1)22n n n n n S a a a a n n --=++++=+⋅+⋅++-+⋅ 6分2341222232(1)22n n n S n n +∴=+⋅+⋅++-+⋅ 7分23122222n n n S n +∴-=++++-⋅ 8分112(21)2(1)221n n n n n ++-=-⋅=---- 1(1)22n n S n +∴=-+ 9分(3)212(2),2(1)2,2(1)n n n n na k S n k n n k n +≥-∴⋅≥-∴≥- 10分当1n =时,k 为任意实数 11分当1n >时,222111(1)2(1)1212121n n n n k n n n -+-+≤⋅⋅=⋅--- 12分2111[(1)2]22212n n =-++=+≥-=,即2n =时等号成立 所以当1n >时,2k ≤,所以当n 为任意正整数时2k ≤, 13分所以当n 为任意正整数时k 的最大值是 2 14分解(2)212(2),2(1)2,2(1)n n n n na k S n k n n k n +≥-∴⋅≥-∴≥- 10分当0k ≤时,上述不等式显然成立 11分当0k >时,化为2221111111()2244n n k n n n --≥=--+≤ 110224k k ∴≥∴<≤,等号(2k =)成立时2n =,所以2k ≤ 13分 所以当n 为任意正整数时k 的最大值是 2 14分解(3):21(2),2(1)2n n n n na k S n k n +≥-∴⋅≥-2(22)20nn k n k ∴-+≥ 2220n k n k ∴-+≥ 令2()22f n n kn k =-+ 10分222()22()2f n n k n k n k k k =-+=--+ 11分 当 220k k -+≥时,()0f n ≥02k ∴≤≤ 12分当220k k -+<时, :(1)10,()0f f n =>=在[1,)+∞上无解的条件是1x k =≤ 13分所以2k ≤所以当n 为任意正整数时k 的最大值是 2 14分解(4):21(2),2(1)2n n n n na k S n k n +≥-∴⋅≥-2(22)20nn k n k ∴-+≥ 2220n kn k ∴-+≥ 10分令2()22f n n kn k =-+,2484(2)k k k k =-=-当0<时,02,()0,02k f n k <<>∴<< 11分当0=时,0k =或22,()0,k f n n ==>所以0k =或 2.k = 12分当0>时,0k <或2k >此时:(1)10,()0f f n =>=在[1,)+∞上无解的条件是1x k =≤ 13分所以2k ≤所以当n 为任意正整数时k 的最大值是 2 14分。

数学（文科）试题A 第 1 页 共 13 页试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A．2 B ．12 C ．12- D．2-2．已知函数()3xf x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12 BCD数学（文科）试题A 第 2 页 共 13 页4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是 A ．21 B ．32 C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABC D 10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1AV CB图2数学（文科）试题A 第 3 页 共 13 页二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的14的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．图3数学（文科）试题A 第 4 页 共 13 页18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间． 21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．C 1 ABA 1B 1D 1C DM N图4数学（文科）试题A 第 5 页 共 13 页2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k +-=⨯⨯…………………………………………………………3分 12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ==．…………………………………………6分 由正弦定理2sin aR A=，…………………………………………………………………………………7分数学（文科）试题A 第 6 页 共 13 页得2sin 2142a R A ==⨯⨯=…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即k =，所以5b k ==3c k ==10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分 年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 7 页 共 13 页18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN A B ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDC ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A B A 1B 1D 1C D M N数学（文科）试题A 第 8 页 共 13 页解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DDC ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以111191333222AMN DD C V V -⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分数学（文科）试题A 第 9 页 共 13 页（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分 ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-，解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分 综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 10 页 共 13 页（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分 所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分数学（文科）试题A 第 11 页 共 13 页（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分 即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =9分 因为()220044y x =--，所以AB =10分 设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分数学（文科）试题A 第 12 页 共 13 页所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=， 化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 13 页 共 13 页 因为()220044y x =--， 所以AB =10分=………………………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分 当532t=时，max AB = 当14t=时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。