高中数学必修内容训练试题(11)---转化思想

高中数学必修内容训练试题(11)---转化思想一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 在下列二次根式42223222ab a a b a a b，，，，+-中，最简二次根式有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 为适应经济的发展，提高铁路运输能力，铁道部决定提高列车运行的速度，甲、乙两城市相距300千米，客车的行车速度每小时比原来增加了40千米，因此，从甲市到乙市运行的时间缩短了1小时30分，若设客车原来的速度为每小时x 千米，则依题意列出的方程是（ ） A.3004030015x x --=.B.3003004015x x --=.C. 3003004015x x -+=.D.3004030015x x+-=. 3. 对二次函数y x x =+-13212进行配方，其结果及顶点坐标是（ ）A. y x =+--1334342()()，， B. y x =+--1311112()()，， C. y x =+---1334342()()，， D. y x =+---1311112()()，，4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 直角梯形D. 等边三角形 5. 已知两圆的半径分别为2cm 、5cm ，两圆有且只有三条公切线，则它们的圆心距一定 A. 大于3cm 且小于7cm B. 大于7cm C. 等于3cm D. 等于7cm二、填空题（每空4分，共40分）6. 分解因式 y x y 2221--+=______________________7. 用换元法解方程 x x x x x x y 22225312553+-+-=-+=时，设，原方程化为关于y 的一元二次方程是____________8. 已知△ABC 中，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ，S S A D E D B C E △四边形：=1：3，则DE ：BC=____________，若AB=8，则DB=____________9. 函数y x x x=++-24332的自变量取值范围是____________10. △ABC 中，∠C=90°，cos B =13，tanB=____________11. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，而且第三象限的一支经过（－2，－1）点，则反比例函数的解析式是____________ 当y =+31时，x=____________12. 一组数据：10，8，16，34，8，14中的众数、中位数、平均数依次是______________________________________________13. 圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则它的侧面积是____________ （结果保留4个有效数字，π取3.142） 三、解答题（共90分）14. （本题8分）计算：--+-+-||cos tan ()12230160312°°15. （本题8分）解方程组32021022x xy y x y --=-+=⎧⎨⎩，16. （本题8分）先化简再求值：x x x x x 222764662+--++-÷ （其中x =2）17. （本题8分） 已知：如图所示，正方形ABCD ，E 为CD 上一点，过B 点作BF ⊥BE 于B ，求证：∠1=∠218. （本题8分）已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，DC=11，D 点到AB的距离为2，求BD的长19. （本题8分）某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克，批发价为每千克2.5元，学校采购员带现金2000元，到该批发市场采购苹果，以批发价买进，如果采购的苹果为x（千克），付款后剩余现金为y（元）（1）写出y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，画出函数图象；（2）若采购员至少留出500元去采购其他物品，则它最多能购买苹果多少千克？20. （本题10分）如图所示，⊙O 中，弦AC 、BD 交于E ， 2BD AB =（1）求证：A B A E A C 2=²；（2）延长EB 到F ，使EF=CF ，试判断CF 与⊙O 的位置关系，并说明理由21、（本题10分）已知关于x 的方程m x m x 222310+++=() ①的两实根的乘积等于1（1）求证：关于x 的方程()()()k x k m x k m ---++=2202 ()k ≤3 方程②有实数根；（2）当方程②的两根的平方和等于两根积的2倍时，它的两个根恰为△ABC 的两边长，若△ABC 的三边都是整数，试判断它的形状22、（本题10分）如图所示，已知BC 是半圆O 的直径，△ABC 内接于⊙O ，以A 为圆心，AB 为半径作弧交⊙O 于F ，交BC 于G ，交OF 于H ，AD ⊥BC 于D ，AD 、BF 交于E ，CM 切⊙O 于C ，交BF 的延长线于M ，若FH=6，A E D E =53，求FM 的长23、（本题12分） 如图所示，抛物线y m x m x n =++2812与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），在第二象限内抛物线上的一点C ，使△OCA ∽△OBC ，且AC ：BC=3：1，若直线AC 交y 轴于P（1）当C 恰为AP 中点时，求抛物线和直线AP 的解析式；（2）若点M 在抛物线的对称轴上，⊙M 与直线PA 和y 轴都相切，求点M 的坐标高中数学必修内容训练试题(11)---转化思想答案一、选择题1. B2. B3. C4. C5. D二、填空题6. ()()y x y x -+--117. y y 22150+-=8. 1：2，49. -≤<232x10. 22 11. y x =-231，12. 8，12，15 13. 188.5cm 2三、14. 解：原式=-+-+=-+-+=-+=--14232131143131343323432³ 15. x y x y 1122111535=-=-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，或，16. 原式=-++==-x x x 622225，当时，原式17. 证明：设∠ABF=∠3，∠ABE=∠5，∠EBC=∠4 ∵∠3+∠5=90°，（已知BF ⊥BE 于B ）， ∠4+∠5=90°（四边形ABCD 是正方形）， ∴∠3=∠4，∵正方形ABCD ，∴AB=BC ，∠C=∠BAF=90°在Rt △ABF 和Rt △CBE 中，∠∠，∠∠°，3490====⎧⎨⎪⎩⎪FA B C A B B C∴△ABF ≌△CBE （AAS ），∴∠1=∠218. 解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，则DE=2， 在Rt △ABC 中，∵∠ABC=60°，∴∠A=30°在Rt △ADE 中，∵DE=2， ∴AD=4，AE=23，∵DC=11，∴AC=11+4=15，∴AB ===1532303103³∴EB AB AE =-=83，在Rt △DEB 中，D B D E EB 222222834192196=+=+=+=()， ∴BD=1419. 解：（1）y x x =-≤≤200025100800.，， （2）y 最大=-==200050025150025600..千克答：最多购买600千克20. 证明：（1）连结BC ，∠ABD=∠C （∵AB AD ⋂=⋂），∠CAB 公用，∴△ABE ∽△ABC ，∴A B A CA E A B=，∴A B A E A C 2=²（2）连结AO 、CO ，设∠OAC=∠1，∠OCA=∠2， ∵A 为DB ⋂中点，∴AO ⊥DB ，∴∠1+∠AED=90°∵∠AED=∠FEC ，∴∠1+∠FEC=90°， 又EF=CF ，∴∠FEC=∠ECF ， ∵AO=OC ，∴∠1=∠2，∴∠1+∠FEC=∠2+∠ECF=90°， ∴FC 与⊙O 相切21 证明：由方程①两实根乘积等于1，∴m mm ≠，，±，01112==经检验m=±1是方程的根当m=1时，x x 2510++=，符合题意m=－1时，x x 210140++==-<，∆∴m m =-=11舍去，∴方程② ()()()k x k x k k ---++=≤2211032，当k=2时，方程②为-+==23032x x ，，有实根当k k ≤32且≠时，方程②为()()k x k x k ---++=221102∆=----+=---+[()]()()()()()214214142122k k k k k k =-+---=-+4214241222()()k k k k k∵k k k ≤-≥--+≥34124120，∴，∴， ∴方程②有实根（2）方程② x x x x x x k k 122212122212+=+=--，()，x x k k x x 12122120²，=+--=()，∵x x x x 121200>>=，，∴ ∴221212121112x k k x k k x k k =--=--=+-()，∴，，∴()()()()k k k k k k k k --=+--=+-1212211222，≠，， ∴k=3，当k=3时，x x 122==∵△ABC 三边均为整数，∴设第三边为n ，则2222-<<+n ，∴04<<n∵n Z n ∈=，∴，，123当n=2时，△ABC 为等边三角形当n=1或3时，△ABC 为等腰三角形，n=1时，是等腰锐角三角形 n=3时，是等腰钝角三角形22 解：∵A 为⊙A 的圆心，∴AB=AF ，∴AB AF ⋂=⋂，∵AD ⊥BC ，BC 为⊙O 直径又∠ABC+∠ACB=90°，∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ACB ，∴∠AFB=∠BAD ，∴∠AFB=∠ACB ，∴AF BN ⋂=⋂，∴∠BAE=∠ABE ，∴AE=BE设AE BE k DE k ===53，，∴BD=4k过A 作AQ ⊥FH 于Q ，连结AO ，AO 垂直平分BF ，易知∠ABE=∠AFB∵OB=OF ，∴∠OBF=∠OFB ，∴∠AFQ=∠ABD ， ∴△ABD ≌△AFQ∴AD=AQ ，BG=FH=6，∵AB=AG ，又AD ⊥BG ，∴BD=DG=4kBG=8k=6，∴k =34∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，∴AD 2=BD ²DC∴()84162k k D C D C k ==²，∴， ∴BC=4k+16k=20k∵MC 是⊙O 切线，∴MC ⊥BC ，△BED ∽△BMC∴E D B DM C B Ck k==，即34 ∴MC=15k在Rt △BMC 中，BM CM BC k 222225=+=()由切割线定理，M C M F M B k M F k 2222525==²，²， ∴M F k ===9934³23 解：（1）设y m x m x n =++2812与x 轴交于A 、B 两点，A （x 1，0）、B （x 2，0）在Rt △APO 中，∵C 为AP 中点，∴O C A P A C C P ===12∵△OCA ∽△OBC ，∴O C O BO A O CA CB C===设A C k B C k O A O B O C k ====3322，，²，∴O C k PC k O B k O A k A B k O P k ======33323，，，，，在△ABC 中，∵BC AC AB ACB CAB 2229030+===，∴∠°，∠°∵x x B O A O A O B O m m1288+=--=-+=-=-()，∴--=-=-=k k k k 3482，∴∴A （－6，0），B （－2，0），∴OP =23023，，P ()设AP 直线y k x =+'23，A （－6，0）代入06232363333=-+===+k k A P y x ''，∴，∴直线（2）设抛物线的对称轴为M 1M 2，由题意M 1到y 轴距离M P M N N M N 1111111=(为⊥AP 的垂足）同理M P M N 2222=∵y x x b a=----=-3383343242，∴∴M 1和M 2的横坐标均为－4设M 1M 2与AP 交于Q 点，M N M N M P M P 1122112244=====， ∵O P k A P k ==323，，∴∠PAO=30°，∠AQM 2=60°将Q 点横坐标－4代入直线AP 方程：y =-+=-+=33423433633³()∵△≌△M QN M QN 1122，∴M Q M Q 12432===³∴M 18332331033的纵坐标=+=，∴M 141033()-，∴M 2点的纵坐标=-=-=-()83323363323的相反数，∴M 2（－4，-23）综上，抛物线：y x x A P y x =---=+338334333232，直线：，M M 1241033423()()---，，，。

高中数学常用的数学思想等价转化思想方法及训练习题集等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。

2011高考数学二轮复习专题演练7.1 数学思想方法---转化与化归思想一、选择题1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21解析：由p p ＋q ＝a p ＋a q ，a 2＝－6，得a 4＝a 2＋a 2＝－12，同理a 8＝a 4＋a 4＝－24，所 以a 10＝a 8＋a 2＝－24－6＝－30.答案：C2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是 ( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0 C ．0≤k ≤54 D ．－54≤k ≤1 解析：k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎫cos x －122－54 当cos x ＝12时，k min ＝－54当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1，故选D. 答案：D3．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a的取值的集合为 ( )A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}解析：∵log a x ＋log a y ＝3，∴xy ＝a 3.∴y ＝a 3x . 由于当x 在[a,2a ]内变化时，都有y ∈[a ，a 2]满足方程，因此[a ，a 2]应包含函数y ＝a 3x 在[a,2a ]上的值域，也就是函数y ＝a 3x在[a,2a ]的值域是[a ，a 2]的子集． ∵12a ≤1x ≤1a ，∴a 22≤a 3x≤a 2. ∴a 22≥a ，∴a ≥2. 答案：B4．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2C ．－1D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.答案：D5．e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是 ( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析：由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝ e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x ) 在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636，故选A. 答案：A二、填空题6．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．解析：∵f (x )的定义域为x ∈[0,1]，∴设x ＝sin 2α⎝⎛⎭⎫0≤α≤π2. 则f (x )＝y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈[1，2]． 答案：[1，2]7．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的大小关系是________．解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题．由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )的对称轴为x ＝2.∴f (x )在[2，＋∞)上为单调增函数．f (1)＝f (2×2－1)＝f (3)∵f (2) <f (3)<f (4)∴f (2)<f (1)<f (4)．答案：f (2)<f (1)<f (4)三、解答题8．已知非空集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －≠∅，求实数m 的取值 范围(R －表示负实数集，R ＋表示正实数集)．解：设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1，或m ≥32. 方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，可得m ≥32. ∴A ∩R －＝∅时，实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32. ∴A ∩R －≠∅时，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．9．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.当⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)＋x 2－2x ＋1>02(x －1)＋x 2－2x ＋1>0时， 亦即当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0(*)时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x >3或<1x >1或x <－1. ∴x >3或x <－1.∴当x >3或x <－1时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立．即：x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立．10．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，试求m的取值范围．解：∵f (x )在区间(0，π)上是增函数，∴f ′(x )＝1－2m cos x ＋2⎝⎛⎭⎫m －12cos 2x ＝2[(2m －1)cos 2x －m cos x ＋1－m ]＝2(cos x －1)[(2m －1)cos x ＋(m －1)]>0在(0，π)上恒成立，令cos x ＝t ，则－1<t <1，即不等式(t －1)[(2m －1)t ＋(m －1)]>0在(－1,1)上恒成立， ①若m >12，则t <1－m2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m2m －1≥1，即12<m ≤23；②当m ＝12时，则0·t ＋12－1<0，在(－1,1)上显然成立；③若m <12，则t >1－m2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m2m －1≤－1，即0≤m <12.综上所述，所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，23.。

期中复习过关测试(考试时间：120分钟试卷满分：150分)一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1∙6题每题4分，第7∙12题每题5分)考生应在答题 纸的相应位置直接填写结果.1. ___________________________________________________________ 若全集U = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,5}, B = {l,2,5},则G(AUB)= __________________ ,【答案】{3,6}【分析】先计算出AU 再利用补集的定义可求出集合C(AUB).【详解】由题意可得AUB = {1,2,4,5},因此，Q r (AUB) = {3,6},故答案为{3,6}.【点睛】本题考查集合的并集与补集的运算，解题的关键就是集合并集与补集的定义，考查 计算能力，属于基础题.Z 、 ax 2+x-∖(x>2) 2. 函数f(x) = ∖ I Z "小 ____________________________ 是R 上的单调递减函数，则实数Q 的取值范围是 _______________________________________ ・7 -x + l(x≤2)1【答案】【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数d 的取值范围.Z Xax 2 +x-l(x > 2)【详解】因为函数/(χ) = i Ir 是R 匕的单调递减函数-x + ∖(x≤2) a <0 -丄≤22a4d + 2-l≤-2 + l解不等式组可的≤冷1BIJ a ∈ Y),—一2」所以选A【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属丁-中档题.3.___________________________________________________________ 若不等式√+6∕Λ-+l≥0对一切Xe(O,I恒成立，则d的最小值是_____________________ .【分析】分离参数，将问题转化为求函数/(X) = -X-丄最大值的问题，则问题得解.［详解】不等式X2 +ax + ∖≥0对一切* 4°弓成立» 等价X—丄対「•一切兀』0丄成立.设fW = -X—丄，则α ≥ /(^)maχ ・X∣λ］为函数/(Λ∙)在区间(°，# I ••是増函数，/ 1A 5 5 S所ma=f - =_亍所以α≥--,所以α的最小值为-巳•\ 2 7 2 2 2故答案为：一一・2【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4.__________________________________________________ 若正数x,y满足x÷3y = 5x)∖则3x + 4y的最小值是 _________________________________ .=5 ♦ 【答案】51 3试题分析：∙∙∙X + 3y = 5ΛJ ∖x>O.y >0,Λ-+ —= 1,Jy JX3 V 1? V 仲仅际二盏即Z 円时取等号.考点：基本不等式5若不等式曲+&—訂。

第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(9)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一 特殊与一般的转化例1 已知函数f (x )＝a x a x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 992解析 由于直接求解较困难，可探求一般规律，∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－x a 1－x ＋a＝a x a x ＋a ＋a a ＋a x a＝a x a x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a x a x ＋a ＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100 ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫99100＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100＋f ⎝⎛⎭⎫98100＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100＋f ⎝⎛⎭⎫51100＋f ⎝⎛⎭⎫50100＝1×49＋12＝992. 思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.答案 (1)45 (2)0解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝45＋01＋45×0＝45.(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，所以f (x ＋1)f (x )＝1＋x x ，使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化， 可设g (x )＝sin 2πx ，则f (x )＝x sin 2πx ，经验证f (x )＝x sin 2πx 满足题意，则f ⎝⎛⎭⎫52＝0. 热点二 函数、方程、不等式之间的转化例2 (1)定义运算：(aD ○＋b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(aD ○＋b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(bD ○＋a )⊗x <0的解集为( ) A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) (2)若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 (1)D (2)2 014解析 (1)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－3D ○＋1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.(2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014.思维升华 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．(1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．(2)设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________．答案 (1)(－∞，－8] (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 (1)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得 a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． (2)∵f (x )在R 上是增函数， ∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )， 可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]， ∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0恒成立， 解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0. 热点三 正难则反的转化例3 已知三条抛物线：y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围． 解 令y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(3－4a )<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝(2a )2＋8a <0，解得－32<a <－1，∴三条抛物线都不与x 轴相交时a 的取值范围是－32<a <1.故满足题意的a 的取值范围是a ≤－32或a ≥－1.思维升华 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.真题感悟1．(20xx·山东)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B 等于( ) A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4) 答案 C解析 由|x －1|<2，解得－1<x <3，由y ＝2x ，x ∈[0,2]，解得1≤y ≤4，所以A ∩B ＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．2．(20xx·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( )A.12B.32 C ．0 D ．－12答案 A解析 ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f (23π6)＝f (4π－π6)＝f (－π6)，f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A.3．(20xx·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________． 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4．(20xx·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3 答案 D解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 押题精练1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]答案 A解析 由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A.2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ→的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A.49B.47C.463D.563 答案 C解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)，∴S n ＝211－2n，∴a 10＝S 10－S 9＝463.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，log 2x (x >0)，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．答案 2解析 令t ＝f (x )，则该函数的零点即f (t )－1＝0的解．先解方程f (t )＝1. ①当t ≤0时，方程为2t ＝1，解得t ＝0；②当t >0时，方程为log 2t ＝1，解得t ＝2；所以方程f (t )＝1的解为0或2. 再解方程f (x )＝0和f (x )＝2.③当x ≤0时，因为2x >0，故由2x ＝2，得x ＝1；④当x >0时，由log 2x ＝0，得x ＝1；由log 2x ＝2，得x ＝4； 故函数y ＝f (f (x ))－1的零点为1,4，共2个．5．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由． 解 ∵f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数，∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0.令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1，不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，即m >4－2 2.。

一、选择题1．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<2．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=UAB ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个4．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U AC B ⋂等于（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,35．已知集合()1lg 12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}22940B x x x =-+≥，则()RA B 为（ ）A ．()1,4B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．(4,1D ．(1,16．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2∞+， B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，7．已知集合{}2,xA y y x R ==∈,{}148x B x -=≤，则A B =（ ）A ．5(,)2-∞B ．5[0,]2C ．7(0,]2D ．5(0,]28．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =，则a 的取值范围为（ ） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合1113A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，，{}21,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,1-C ．[]0,1D ．[)0,110．设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B =∅，则a 的取值范围为（ ） A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤11．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R AC B =（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞12．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题13．集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，用列举法表示集合M =________． 14．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________15．已知{|}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B =________ 16．已知集合()2{}2|1A x log x =-<，{|26}B x x =<<，且AB =________．17．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为_____． 18．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =_______19．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]AB =-R，[1,2]BA =R，()()[3,5]A B =R R ，则A =________20．若关于x 的不等式2054x ax ≤++≤的解集为A ，且A 只有二个子集，则实数a 的值为_____．三、解答题21．设{}{},1,05U R A x x B x x ==≥=<<，求()U A B 和()U A B ∩22．已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}24B x x =-≤≤（1）2a =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围． 23．设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<． （1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；（2）若B =∅，求m 的取值范围； （3）若A B ⊇，求m 的取值范围．24．设全集U =R ，函数2lg(4+3)y x x =-的定义域为A ，函数3[0]1y x m x =∈+，，的值域为B .（1）当4m =时，求U B A ；（2）若“Ux A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．25．已知集合{|123}A x a x a =+≤≤+，{}2|7100B x x x =-+-≥. （1）已知3a =，求集合()R A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的范围．26．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，集合1228xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.(1)求AB ；(2)若集合{}21C x a x a =≤≤+，且()A B C ⋂⊇，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M xx x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.2．B解析：B【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值. 【详解】b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =，所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=，由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-， 因此，()2019201920192019101ab +=-+=-.故选：B. 【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅， 则AB 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.故选C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.4．D解析：D 【解析】 【分析】由集合的补集的运算，求得{1,3,4}U C B =，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =， 则{1,3,4}UC B =，所以(){}1,3U A C B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得RB ，由此求得()RAB【详解】由于()1lg 12x -<=，所以{(011,1A x x =<-<=， 依题意{}2R2940B x x x =-+<，()()22944210x x x x -+=--<，解得142x <<，即R 1,42B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()R1,4A B ⋂=．故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的运算，考查对数不等式和指数不等式的解法，属于中档题.6．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】 解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.7．D解析：D 【分析】根据指数函数的值域可得集合A ，解指数函数的不等式可得集合B ，再进行交集运算即可. 【详解】∵{}()2,0,xA y y x R ==∈=+∞，由148x -≤，即22322x -≤，解得52x ≤，即5,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦， ∴5(0,]2A B ⋂=， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数函数的值域，指数类型不等式的解法，集合间交集的运算，属于基础题.8．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-； 当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ， 综上：1a ≤-， 故选C. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.9．B解析：B 【分析】先根据题意得{}13A y y =≤≤，{}13B y y =-≤≤，再根据集合运算即可得答案. 【详解】解：根据题意得{}111133A y y x y y x ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，， {}{}21,1213B y y x x y y ==--≤≤=-≤≤，再根据集合的运算得}{11B A y y -=-≤<. 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，函数值域的求解，考查运算能力，是中档题.10．C解析：C 【分析】解集绝对值不等式求得,A B ，结合A B =∅求得a 的取值范围.【详解】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+. 当0a ≤时，B =∅，A B =∅，符合题意.当0a >时，由于AB =∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤.综上所述，a 的取值范围是1a ≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.11．C解析：C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出． 【详解】集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．D解析：D 【分析】先解方程得集合A ，再根据A B B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.【详解】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为AB B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】由集合且求得得到且结合题意逐个验证即可求解【详解】由题意集合且可得则解得且当时满足题意；当时不满足题意；当时不满足题意；当时满足题意；当时满足题意；当时满足题意；综上可得集合故答案为：【点睛 解析：{1,2,3,4}-【分析】 由集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈,求得056a <-≤，得到15a -≤<且a Z ∈，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合6|5M a a ⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，可得65a∈-N ，则056a <-≤， 解得15a -≤<且a Z ∈， 当1a =-时，615(1)=∈--N ，满足题意；当0a =时，66505=∉-N ，不满足题意； 当1a =时，66514=∉-N ，不满足题意； 当2a =时，6252=∈-N ，满足题意； 当3a =时，6353=∈-N ，满足题意； 当4a =时，6654=∈-N ，满足题意； 综上可得，集合M ={1,2,3,4}-. 故答案为：{1,2,3,4}-. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素与集合的关系，其中解答中熟记集合的表示方法，以及熟练应用元素与集合的关系，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．【分析】若中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解进而求解即可【详解】由题因为中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解当时则当时则由已知得或或或解得故答案为:【点睛】本题考查由交集结果求参数范围考查分类 解析：[1,1]-【分析】 若AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,进而求解即可【详解】 由题,因为AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解, 当0x ≥时,ax x a =+,则1a x a =-, 当0x <时,ax x a -=+,则1a x a =-+, 由已知得0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪-<⎪+⎩或101a aa =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩, 解得11a -≤≤, 故答案为:[]1,1- 【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查分类讨论思想和转化思想15．【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式再由交集的定义求解即可【详解】由题因为解得则因为解得或则或所以故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算考查含根式的不等式的运算考查解高次不等式 解析：{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可 【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >, 所以{}|30A B x x ⋂=-<<, 故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式16．【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出找出与的交集即可【详解】解：∵∴解得∴∵∴故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算熟练掌握交集的定义是解本题的关键 解析：()2,5【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】解：∵()2log 12x -<，∴1014x x ->⎧⎨-<⎩，解得15x <<，∴()1,5A =，∵2{|}()626B x x =<<=，，∴()2,5A B =，故答案为：()2,5. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17．96【分析】对分三种情况讨论求出X1+X2+X3取最小值39X1+X2+X3取最大57即得解【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x≤15}＝{123456789101112131415}当A1＝{解析：96 【分析】对123,,A A A 分三种情况讨论，求出X 1+X 2+X 3取最小值39，X 1+X 2+X 3取最大57，即得解. 【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】设公共根是代入两方程作差可得即公共根就是进一步代入原方程求解两集合即可得出答案【详解】两个方程有公共根设公共根为两式相减得:即①若则两个方程都是与矛盾;②则公共根为代入得:即解得:(舍)故答 解析：{2,3,1}--【分析】设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案.【详解】A B ⋂≠∅∴两个方程有公共根设公共根为b∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾;②0,a ≠则b a =,∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=得:2(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a ={}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- 2|20{1,2}B x x x{2,3,1}A B ∴⋃=--故答案为:{2,3,1}--【点睛】本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.19．【分析】根据条件可得结合的意义可得集合【详解】因为集合是实数集的子集若则但不满足所以因为所以所以有又因为表示集合的元素去掉集合中的元素表示A 集合和B 集合中的所有元素所以把中的元素去掉中元素即为所求的 解析：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞【分析】根据条件()()[3,5]A B =R R 可得()(),35,A B =-∞+∞，结合[1,2]B A =R 的意义，可得集合A .【详解】因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若A B =∅,则[2,0]A B A =-=R ，[1,2]BA B ==R ，但不满足()()[3,5]A B =R R ，所以A B ⋂≠∅. 因为()()[3,5]A B =R R ,所以()()()[3,5]AB A B ==R R R ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.又因为[1,2]B A =R 表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，()(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()(),35,A B =-∞+∞中的元素去掉[1,2]B A =R 中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为(,1)(2,3)(5,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.20．【分析】由题得集合A 里只有一个元素所以只有一个解令得到再检验得解【详解】因为集合只有二个子集所以集合A 里只有一个元素由题得只有一个解令令当时不等式（1）的解为不等式（2）解为不等式组的解集为不满足题 解析：2±【分析】由题得集合A 里只有一个元素.所以22+501102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩（）（）只有一个解，令12=00∆∆=，得到2a a =±=±，再检验得解.【详解】因为集合A 只有二个子集，所以集合A 里只有一个元素.由题得22+501102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩（）（）只有一个解，令21=200,a a ∆-=∴=±令22=40,2a a ∆-=∴=±.当a =1）的解为R ，不等式（2）解为22x -≤≤组的解集为{|22x x -≤，不满足题意；当a =-1）的解为R ，不等式（2）解为x -≤≤组的解集为{|x x -≤≤，不满足题意；当2a =时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =-，不等式组的解集为{|1}x x =-，满足题意；当2a =-时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =，不等式组的解集为{|1}x x =，满足题意.故答案为2a =±.【点睛】本题主要考查集合的子集的个数，考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．(){}|5U A B x x ⋃=<，(){}|5U A B x x ⋂=≥.【分析】 首先根据题中所给的集合，根据补集的定义，求得{}|1UA x x =<，{0UB x =≤或5}x ，之后利用交集并集的定义求得结果.【详解】因为U =R ，{}{}1,05A x x B x x =≥=<<，所以{}|1U A x x =<，{0U B x =≤或5}x ， 所以(){}|5UA B x x ⋃=<，(){}|5U A B x x ⋂=≥. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 22．（1）{}|27A B x x ⋃=-≤<；（2）()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）把2a =代入A 确定出A ，求出A B 即可； （2）由x A ∈是x B ∈成立的充分条件，得到A 为B 的子集，分A 为空集与A 不为空集两种情况求出a 的范围即可．【详解】（1）当2a =时，{}17A x x =<<，则{}|27A B x x ⋃=-≤<；（2）x A ∈是x B ∈成立的充分条件，A B ∴⊆，①若A =∅，则123a a ->+，解得4a ；②若A ≠∅，由A B ⊆得到，12312234a a a a -+⎧⎪--⎨⎪+⎩解得：112a -， 综上：a 的取值范围是()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于中档题．23．（1）254个；（2）2m =-；（3）2m =-或12m -【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A ，再利用子集个数公式求解即可；（2）由由B =∅，223210x mx m m -+--<无解，则其对应的方程的0∆≤ （3）讨论三种情况，分别化简集合B ，利用包含关系列不等式求出m 的范围，综合三种情况可得结果.【详解】解：化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<.（1）{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，故A 的非空真子集数为822254-=个.（2）由B =∅，则22(3)4(21)0m m m ∆=----≤，得2(2)0m +≤，得2m =-.（3）①2m =-时，B A =∅⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-,因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在； ③当2m >- 时,()1,21B m m =-+ ，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.【点睛】本题考查集合的真子集个数的求数,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.24．（1）U B A =[35，3].（2）02m << 【分析】（1）先解不等式得集合A ，再根据单调性求分式函数值域得集合B ，最后根据补集以及并集概念求结果；（2）根据充要关系确定两集合之间包含关系，结合数轴列不等式解得结果.【详解】(1)由2430+x x ->，解得1x <或3x >，所以1[]3U A =，， 又函数31y x =+在区间[0]m ，上单调递减，所以3[3]1y m ∈+，，即3[3]1B m =+，， 当4m =时，3[3]5B =，，所以[3]35U B A =，. （2）首先要求0m >，而“U x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以，即3[3]1m +，[1]3，， 从而311m >+， 解得02m <<【点睛】本题考查函数定义域、值域，集合补集与并集以及根据充要关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.25．（1）(){|24}R A B x x ⋂=≤<（2）1a =【分析】 化简集合B ，（1）计算3a =时集合A ，根据补集与交集的定义；（2）由题意得出A ≠∅，根据包含关系，列出关于a 的不等式，求出实数a 的取值范围．【详解】集合{|123}A x a x a =+≤≤+{}{}22|7100|7100{|25}B x x x x x x x x =-+-≥=-+≤=≤≤；（1）当3a =时，{|49}A x x =≤≤{| 4 R A x x ∴=<或9}x >则(){|24}R A B x x ⋂=≤<（2）因为B A ⊆，{|25}B x x =≤≤，所以A ≠∅，则1232a a a +≤+⇒≥-并且由B A ⊆，得12235a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得1a = 综上，实数a 的取值范围是1a =．【点睛】本题主要考查了交集，并集的运算以及根据包含关系求参数范围，属于中档题. 26．(1)()3,0-；(2)312a -<<-或1a >. 【分析】(1)由已知条件分别计算出集合A 和集合B ,然后再计算出A B 的结果.(2)由已知条件()A B C ⋂⊇,则分类讨论C =∅和C ≠∅两种情况,求出实数a 的取值范围.【详解】(1)已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则230x x -->,解得30x -<<,即()3,0A =-,集合1228x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,解得31x -<<,即()3,1B =-,所以()3,0A B ⋂=- (2)因为集合{}21C x a x a =≤≤+,且()A B C ⋂⊇,由(1)得()3,0A B ⋂=-,则当C =∅时,21a a >+,即1a >, 当C ≠∅时,212310a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩,得312a -<<-,综上,312a -<<-或1a >. 【点睛】本题考查了集合的交集运算和子集运算,在含有参量的子集题目中需要注意分类讨论,尤其不要漏掉空集情况,然后求解不等式组得到结果.本题较为基础.。

必修一第五章三角函数单元训练题 (10)一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边在射线y=−43x(x≤0)上，则sin2α=A. −2425B. −45C. −35D. −12252.sin(α+π6)cosα+cos(5π6−α)sinα=A. −√32B. −12C. √32D. 123.所在圆的半径为2，圆心角为π5的扇形的弧长为A. 2π5B. π3C. π4D. π54.已知▵ABC的三个内角A，B，C，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n⃗=(cosB,cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1+cos(A+B)，则C等于()A. π4B. π2C. 3π4D. 5π65.下列四个区间中，使函数f(x)=sin2x+√3cos2x单调递增的是A. [−π2,−π3] B. [−π3,0] C. [7π12,2π] D. [0,2π3]6.将函数y=cosωx+sinωx(ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到一个最小正周期为2π的奇函数，则m的取值可以是A. 5π4B. π2C. π3D. 3π47.设α，β∈[0,π]，且满足sinαcosβ+cosαsinβ=1，则sin(2α+β)+sin(α+2β)的取值范围为A. [−√2,1]B. [−1,√2]C. [0,1]D. [1,√2]8.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，可得cos36°=()A. 2√5−14B. 1+√54C. √5−14D. 4+√589.sin123°cos27°−sin33°sin27°=()A. −√32B. −12C. √32D. 1210.当x=α时，函数f(x)=3sinx−cosx取得最小值，则cosα=()A. −3√1010B. −√1010C. √1010D. 3√101011.已知θ为锐角，且满足sin(θ+π2)+cosθ=75，则cos2θ的值为()A. ±725B. 2425C. 150D. −15012. 为了得到函数y =sin x 的图象，只需把函数y =sin (2x +π3)图象上所有的点A. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π3个单位 B. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移π3个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π6个单位 D. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移π6个单位13. 若tan αtan β=2，且cosαcosβ=√1010，则cos(α+β)=A. −√1010B. −√105C. √105D. 3√101014. 化简1+tan 15∘1−tan 15°等于( )A. √3B. √32C. 3D. 115. 已知sin(π3+α)=13，则cos (π3−2α)=( )A. 79B. 89C. −79D. −89二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）16. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______．17. 将函数f (x )=sinxsin (π2+x)+√3cos (x +π)cos (π−x )−√32的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =g (x )的图象，则函数g (x )在[0,π4]上的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，共96.0分） 18. 已知tanβ=2，tan (α+β)=3．(Ⅰ)求tan (α−π4)的值； (Ⅱ)求sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1的值．19. 设质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A(a,0)移动至点B(b,0)，并设F平行于x 轴．如果力F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，求F 对质点M 所作的功．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n ⃗ =(√3sinx,cos 2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1． (1)求函数y =f(x)的单调递减区间，并说明由函数y =sinx 的图象如何变换可得到函数y =f(x)的图象．(2)若x ∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x 的值．21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为△ABC 的面积，且2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)求A 的大小；(2)若a =√7、b =1，D 为直线BC 上一点，且AD ⊥AB ，求△ABD 的周长．22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin C −sin B =tan Acos B ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a =6，求△ABC 的周长l 的最大值．23.已知函数f(x)=cosx(sinx+√3cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若角α∈(0,π)，f(α2)=35+√32，求sin(α+2π3)的值．24.已知tanα=43，求下列各式的值．(1)sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α；(2)sinαcosα．25.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π6]上的值域和取得最大值时相应的x的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数的定义、同角三角函数关系、二倍角公式，考查了计算能力，属于基础题． 由题意，可得cosα=−35，sinα=45，从而利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：由角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上可得cosα=−35，sinα=45， 所以sin2α=2sinαcosα=−2425． 故选A ． 2.答案：D解析： 【分析】本题考查了正弦函数的差角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题． 先应用诱导公式，再根据正弦的差角公式，逆用得到三角函数值，即可求解． 【解答】解：由诱导公式得：cos (5π6−α)=−cos (π6+α)，再由正弦的差角公式可得：sin (α+π6)cos α+cos (5π6−α)sin α=sin (α+π6)cos α−cos (π6+α)sin α=sin(α+π6−α)=sin π6=12故选D ．3.答案：A解析：【分析】本题考查了弧长公式，属于基础题． 利用弧长公式即可得出． 【解答】解：∵扇形的圆心角为α=π5，半径为r =2，∴扇形的弧长l =αr =π5×2=2π5．故选A ． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．由题意求得 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ =sinC ，再根据 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos(A +B)=1−cosC ，可得sin(C + π 4 )= √2 2，再根据C 为△ABC 的内角，从而求得C 的值．【解答】解：m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)=sin(π−C)=sinC ，而1+cos(A +B)=1+cos(π−C)=1−cosC ， ∴sinC =1−cosC ， 即sinC +cosC =1，，．∵0<C <π，， ，解得．故选B 5.答案：B解析： 【分析】本题考查了三角恒等变换和三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用辅助角公式可得f(x)=2sin(2x +π3)，从而可求出函数f(x)的增区间：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)，由此可得答案．【解答】解：∵f (x )=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 则2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，所以函数f(x)的增区间是[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，只有区间[−π3,0]可以是区间[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)的一个子区间．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．函数解析式提取√2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用最小正周期为2π，求出ω，再利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的函数为奇函数得m的值即可得答案．【解答】解：y=cos ωx+sin ωx=√2sin(ωx+π4)，∵最小正周期为T=2π，，∴y=√2sin(x+π4)，∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=√2sin[(x+m)+π4]=√2sin(x+m+π4)，∵所得的函数为奇函数，∴m+π4=kπ(k∈Z)，即m=kπ−π4，(k∈Z)由于m>0，当k=1时，得m=3π4．故选D．7.答案：D解析：【分析】本题考查两角和的正弦、辅助角公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用两角和的正弦，可推出，从而结合辅助角公式可得sin(2α+β)+sin(α+2β)=√2sin(α+π4)，从而由根据正弦型函数的性质可得答案．【解答】解：由sinαcosβ+cosαsinβ=1可得sin(α+β)=1，∵α，β∈[0,π]，，∴可得0≤α≤π2，∴sin(2α+β)+sin(α+2β)=sin(α+π2)+sin(π−α)=cosα+sinα=√2sin(α+π4)，∵0≤α≤π2，∴π4≤α+π4≤3π4，∴1≤√2sin(α+π4)≤√2，即取值范围是[1,√2].故选D．8.答案：B解析：解：由题意可知：把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．cosB=12BCAB=√5−12，可得cos72°=√5−14，cos72°=2cos236°−1即2cos236°−1=√5−14，所以cos236°=2√5+642=(√5+14)2，所以cos36°=√5+14．故选：B．利用已知条件求出cos72°的值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．9.答案：D解析：解：sin123°cos27°−sin33°sin27°=sin57°cos27°−cos57°sin27°=sin(57°−27°)=sin30°=12．故选：D．由题意利用诱导公式、两角差的正弦函数公式即可化简求解．本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：f(x)=3sinx −cosx =√10(sinx 10cosx ⋅10)=√10sin(x −φ)， (其中cosφ=√10，sinφ=√10，) 可得，当x −φ=2kπ+3π2，即x =2kπ+3π2+φ，k ∈Z 时，f(x)取得最小值．此时α=2kπ+3π2+φ，所以cosα=cos(2kπ+3π2+φ)=cos(3π2+φ)=sinφ=√1010． 故选：C ．把f(x)变成辅助角的形式，利用三角函数的性质可得．本题考查了三角函数的最值，考查了转化思想，属于基础题． 11.答案：D解析：解：∵θ为锐角，且sin(θ+π2)+cosθ=75， ∴cosθ+cosθ=2cosθ=75，可得cosθ=710， ∴cos2θ=2cos 2θ−1=2×(710)2−1=−150． 故选：D ．由已知利用诱导公式可求得cosθ=710，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 12.答案：B解析： 【分析】本题考查三角函数的图象的变换，属于基础题．直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换法则求出结果即可． 【解答】解：由三角函数的图象的变换的法则可知：先把y =sin (2x +π3)上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y =sin (x +π3)的图象， 然后向右平移π3个单位，可得y =sin x 的图象． 故选B ． 13.答案：A解析： 【分析】本题考查同角三角函数基本关系，考查两角和与差的三角函数，属于基础题．由题意得到sin αsin β=2cos αcos β，进而求出sinαsinβ=√105，再利用两角和的余弦公式求解即可．【解答】解：由题意可知tan αtan β=2⇒sin αsin β=2cos αcos β， 又因为cosαcosβ=√1010，所以sinαsinβ=√105，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√1010．故选A ．14.答案：A解析：【分析】本题考查了和角公式，属于基础题.熟练掌握和角公式是解题的关键． 由两角和的正切公式求解． 【解答】解：1+tan15∘1−tan15∘=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘ =tan (45∘+15∘)=tan60∘=√3． 故选A ． 15.答案：C解析： 【分析】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵sin(π3+α)=13=cos(π6−α)，则cos(π3−2α)=2cos 2(π6−α)−1=2×19−1=−79， 故选：C ．16.答案：−247解析：解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425，又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：[−√32,1]解析：【分析】本题考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，三角函数图象变换，以及三角函数的值域，由图象变换得，然后得，根据正弦函数的性质求得值域．【解答】解：f(x)=sinxsin(π2+x)+√3cos(x+π)cos(π−x)−√32=sinxcosx+√3cos2x−√32=12sin2x+√3(1+cos2x)2−√32，函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数，即，当x∈[0,π4]时，，所以当时，即x=0时，g(x)min=−√32，当时，即max=1．∴y=g(x)在区间[0,π4]上的取值范围为[−√32,1]．故答案为[−√32,1]．18.答案：解：tanβ=2，tan (α+β)=3，则tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ=3−21+3×2=17，(Ⅰ．(Ⅱ)sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα+1−2cos 2α−1=2tanαtan 2α+tanα−2=2×17(17)2+17−2=−745．解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于基础题． 可先由tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ求出tanα，再求解下面两问题．(Ⅰ)由条件利用两角差的正切公式，求得结果；(Ⅱ)由条件利用同角三角函数的基本关系将所求转化为与正切函数相关的分式，求得答案．19.答案：解：根据题意，F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，则F 对质点M 所作的功为∫F ba (x)dx ．解析：根据题意，由定积分的几何意义分析可得答案．本题考查定积分的物理意义，注意定积分的定义，属于基础题． 20.答案：解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16；当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．解析：(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x −π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x −π6)=13，由于x ∈[0,π2]，所以2x −π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x −π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x =cos[(2x −π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 21.答案：解：(1)在△ABC 中，A +B +C =π，∵2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2×12b ⋅c ⋅sinA +√3b ⋅c ⋅cosA =0， 又b ⋅c >0，∴sinA +√3cosA =0，即tanA =−√3， 又A ∈(0,π)，∴A =2π3；(2)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 又a =√7、b =1，A =2π3，∴c 2+c −6=0， 又c >0，∴c =2，在△ABC 中，由正弦定理得sinB =√2114，又a >b ，∴B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =5√714， 在中，ABBD =cosB ，∴BD =4√75，AD =BD ⋅sinB =4√75×√2114=2√35， ∴△ABD 的周长为2+2√35+4√75=10+2√3+4√75．解析：本题考查向量数量积运算，正余弦定理的应用以及三角形面积公式和同角三角函数关系，属于中档题．(1)根据已知结合三角形面积公式结合向量数量积可得sinA +√3cosA =0然后利用同角三角函数关系可得tanA=−√3，即可求出结果；(2)利用余弦定理求出c=2，然后根据正弦定理即可求出结果．22.答案：解：(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，得2sinC−sinB=sinAcosAcosB，得2sinCcosA−sinBcosA=sinAcosB，得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，得2sinCcosA=sin(A+B)，所以2sinCcosA=sinC．又sinC≠0，所以cosA=12．又A∈(0,π)，故A=π3．(Ⅱ)由余弦定理及(Ⅰ)得，a2=36=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，所以3bc=(b+c)2−36.而bc⩽(b+c2)2，所以3bc⩽3(b+c)24.所以(b+c)2−36⩽3(b+c)24，得b+c≤12，当且仅当b=c=6时等号成立．所以△ABC的周长l的最大值为a+12=6+12=18．解析：本题考查了余弦定理、两角和与差的三角函数公式和利用基本不等式求最值，是中档题．(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，根据切化弦结合两角和正弦公式得cosA=12，可得角A的大小；(Ⅱ)由余弦定理得36=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，由基本不等式得bc⩽(b+c2)2，可得b+c≤12，可得△ABC的周长l的最大值．23.答案：解：(1)f(x)=cos x(sin x+√3cos x)=cos xsin x+√3cos2 x=12sin2x+√32cos2x+√32=sin(2x+π3)+√32，∴T=π，令−π2+2kπ⩽2x+π3⩽π2+2kπ,k∈Z，解得−5π12+kπ⩽x⩽π12+kπ,k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ , π12+kπ],k∈Z(2)因为f(α2)=35+√32，所以sin(α+π3)+√32=35+√32，故sin(α+π3)=35，∵α∈(0,π)，α+π3∈(π3,4π3)又sin(α+π3)=35，∴cos(α+π3)=−45，∴sin(α+2π3)=sin(α+π3+π3)=35×12−45×√32=3−4√310，即sin(α+2π3)=3−4√310．解析：本题考查三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．(1)用二倍角公式和辅助角公式化简即可；(2)直接代入求解，但要注意角的范围，同时拆角α+2π3= (α+π3)+π3是关键．24.答案：解：(1)∵tanα=43，∴sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α=tan2α+2tanα2−tan2α=169+832−169=20；(2)sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=4169+1=1225．解析：本题考查同角三角函数关系以及三角函数的化简，属于基础题．(1)分子分母同时除以cos2α即可求出结果；(2)sin2α+cos2α=1然后利用sinαcosα=sinαcosαsinα+cosα分子分母同时除以cos2α即可求出结果；25.答案：解：(1)化简可得f(x)=4sinx(cosxcosπ3−sinxsinπ3)+√3=2sinxcosx−2√3sin2x+√3 =sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以T=2π2=π；由，，得：，，∴单调增区间为；(2)因为−π4≤x≤π6，所以−π6≤2x+π3≤2π3，所以−12≤sin(2x+π3)≤1，所以−1≤f(x)≤2，∴函数在区间上的值域为，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)max=2．解析：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性、单调性和值域，属于中档题．(1)由三角函数的公式化简可得f(x)=2sin(2x+π3)，由周期公式和单调性可得答案；(2)由x的范围可得2x+π3的范围，进而可得sin(2x+π3)的范围，可得f(x)的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．。

2邵东一中2020学年度文科数学培优专题训练转化与化归的思想（时限80分钟）姓名：【知识要点】1. 应用常用的等价转化与不等价转化方法，解决数学问题；2. 体验陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题具体化过程； 3 •感悟化归与转化思想的普遍存在性。

一、选择题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。

请在旁边空白处写好解答过程。

1.已知向量 a (1,0), b (0,1),c ka b(k1且c 与d 反向1且c 与d 同向1且c 与d 反向n 、p 、q € R 且 2 2 m + n = a ,p 2 + q 2 = b , ab z 0,则mp + nq 的最大值是（ ） A.a b B.2ab C.a 2b 2 2D.aba b3•右｛a n ｝是等差数列，S n 是其前 n 项和，a 3 a s, S 9,则 S 1 , S 2 , S 3 ,'中最小的是( )A.S 4；BS 5；CS 6；DS 9 “4. 在厶ABC 中， C 90，下列关系式中正确的是()A.si nC cosA cosB si nA sin B ； B .si nC sin A sin B cosAcosB ； C. cosA cosB sin A sin BsinC ； D. cosA cosB si nC sin A sin B +已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直, ,S nR),d a b,如果 c//d,，那么1且c 与d 同向SA= 5, SB= 4, SC= 3, D 为AB 的中点，E 为AC )A. 15B. 10C.252D.3526.条件p : x 2或y 3;条件q :A .条件p是条件q的充分而非必要条件C .条件p是条件q的充分且必要条件.条件p是条件q的必要而非充分条件.条件p是条件q的非充分也非必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上.(须在空白处写出文字说明、证明过程和演算步骤。