湖北省武汉市2018届高三2月高中毕业生调研测试数学(理)试题(含答案)

湖北省武汉市部分学校2017-2018学年高三二月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列函数中，定义域和值域相同的是（）A．y=x2和y=2x B．y=sinx和y=tanxC．y=x3和y=log2x D．y=x2和y=|x|2．（5分）定义A+B={x+y|x∈A，y∈B}，设集合M={0，1+i}，N={0，}，则集合M+N中元素的个数为（）A．4B．3C．2D．13．（5分）某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种4．（5分）设抛物线C1：y2=2x与双曲线C2：﹣=1的焦点重合，且双曲线C2的渐近线为y=±x，则双曲线C2的实轴长为（）A．1B．C．D．5．（5分）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．37．（5分）设x＞0，则“a≥1”是“x+≥2恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（）年龄38 39 40 41 42人数 5 3 2A．年龄数据的中位数是40，众数是38B．年龄数据的中位数和众数一定相等C．年龄数据的平均数∈（39，40）D．年龄数据的平均数一定大于中位数9．（5分）如图所示，若输入的n为10，那么输出的结果是（）A．45 B．110 C．90 D．5510．（5分）设椭圆+=1和双曲线﹣=1有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e，则e2等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）必做题（11-14题）11．（5分）已知矩形A BCD中，A B=2，BC=1，点P是BD上任意一点，则•（+）的取值范围是．12．（5分）在三角形A BC中，A，B，C是三角形A BC的内角，设函数f（A）=2sin sin （π﹣）+sin2（π+）﹣cos2，则f（A）的最大值为．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】15．（5分）如图，已知直线P A切圆O于点A，直线P O交圆O于点B、C，若PC=2+，P A=1，则圆O的半径长为．【选修4-4：坐标系与参数方程】16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知抛物线C：y2=2px （p＞0），直线l的参数方程：（t为参数）．写出抛物线C的极坐标方程和直线l的普通方程、．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+acos2（+x）的一个零点是x=．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）单调增区间．18．（12分）已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．19．（12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下：甲种作物的产量数据：111，111，122，107，113，114乙种作物的产量数据：109，110，124，108，112，115（1）作出两组数据的茎叶图；（2）设1颗杂粮作物果实的籽重为x，若x∈（110，120），则称该果实为标准果实，现从上述12颗果实中任选3颗，记标准果实的颗数为X，求随机变量X的期望．20．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点E是线段AB的中点，把三角形AED沿DE折起，设折起后点A的位置为P，F是PD的中点．（1）求证：无论P在什么位置，都有AF∥平面PEC；（2）当点P在平面ABCD上的射影落在线段DE上时，求二面角P﹣EC﹣D的余弦值．21．（13分）已知椭圆C1：x2+4y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是C1上任意一点，O 是坐标原点，=+，设点Q的轨迹为C2．（1）求点Q的轨迹C2的方程；（2）若点T满足：=+2+，其中M，N是C2上的点，且直线O M，O N的斜率之积等于﹣，是否存在两定点A，B，使|T A|+|T B|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+2，a∈R是常数．（1）若函数y=f（x）的图象在点（a，f（a））（a＞0）与直线y=b相切，求a和b的值；（2）若函数y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．湖北省武汉市部分学校2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列函数中，定义域和值域相同的是（）A．y=x2和y=2x B．y=sinx和y=tanxC．y=x3和y=log2x D．y=x2和y=|x|考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：分别求两个函数的定义域与值域，可求出答案解答：解：A、函数y=x2的值域为[0，+∞），函数y=2x的值域为（0，+∞），故不能选A；B、函数y=sinx的定义域为R，而函数y=tanx的定义域为x≠kπ+（k∈Z）的全体实数，故不能选B；C、函数y=x3的定义域为R，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），故不能选C；D、两个函数的定义域与值域分别相同，故选：D．点评：本题主要考查函数的定义域与值域的求法，属于基础题．2．（5分）定义A+B={x+y|x∈A，y∈B}，设集合M={0，1+i}，N={0，}，则集合M+N中元素的个数为（）A．4B．3C．2D．1考点：元素与集合关系的判断．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：先根据已知确定集合M中元素的属性，然后结合复数的运算求出各个元素即可．解答：解：因为==﹣1﹣i，所以﹣1﹣i+1+i=0．所以M+N={0，1+i，﹣1﹣i}．共有3个元素．故选B点评：本题考查了元素与集合间的关系以及复数的运算，属于基础题．3．（5分）某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，分析可得有2，2，1或3，1，1两种情况；分别求出每种情况的分组方法数目，再由分类计数原理可得全部的分组方法数目，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，有2，2，1或3，1，1两种情况；若分成2，2，1的三组，有=15种分组方法，若分成3，1，1的三组，有=10种分组方法，则将5名学生分成3组，每组至少一人，有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，故共有25×6=150种不同的分配方案．故选：C点评：本题考查分步、分类计数原理的运用，分析本题要先分组，再对应三个地段进行全排列，解题时注意排列、组合公式的灵活运用．4．（5分）设抛物线C1：y2=2x与双曲线C2：﹣=1的焦点重合，且双曲线C2的渐近线为y=±x，则双曲线C2的实轴长为（）A．1B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，可得c=，由渐近线方程可得=，再由a，b，c的关系，可得a，进而得到实轴长2a．解答：解：抛物线C1：y2=2x的焦点为（，0），则双曲线的c=，又渐近线方程为y=x，即有=，由c2=a2+b2，解得a=，则实轴长为2a=．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和实轴的长，考查运算能力，属于基础题．5．（5分）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．解答：解：把函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，由于f（x）是周期为π的奇函数，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．解答：解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．7．（5分）设x＞0，则“a≥1”是“x+≥2恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求“对任意的正数x，不等式x+≥2成立”的充要条件，再利用集合法判断两间的充分必要关系解答：解：∵x＞0，若a≥1，则x+≥2≥2恒成立，若x+≥2恒成立，即x2﹣2x+a≥0恒成立，设f（x）=x2﹣2x+a，则△=（﹣2）2﹣4a≤0，或，解得：a≥1，故“a≥1”是“x+≥2恒成立的充分必要条件，故选：C．点评：本题考查了充要条件的判断方法，求充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法．8．（5分）某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（）年龄38 39 40 41 42人数 5 3 2A．年龄数据的中位数是40，众数是38B．年龄数据的中位数和众数一定相等C．年龄数据的平均数∈（39，40）D．年龄数据的平均数一定大于中位数考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据表中数据，结合平均数的定义与计算公式，得出正确的结论．解答：解：根据表中数据，得；（5×38+10×39+3×41+2×42）＜x＜（5×38+10×40+3×41+2×42），解得39.35＜x＜39.85，所以x∈（39，40）．故选：C．点评：本题考查了判断一组数据的平均数、中位数与众数的应用问题，是基础题目．9．（5分）如图所示，若输入的n为10，那么输出的结果是（）A．45 B．110 C．90 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=11时，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=1+2+3+…+10==55．解答：解：模拟执行程序，可得n=10，S=1，k=2满足条件k≤10，S=1+2=3，k=3满足条件k≤10，S=3+3=6，k=4满足条件k≤10，S=6+4=10，k=5满足条件k≤10，S=10+5=15，k=6…满足条件k≤10，S=1+2+3+…+10，k=11不满足条件k≤10，退出循环，输出S=1+2+3+…+10==55．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和算法，在写程序运行结果时，模拟程序运行结果是最常用的方法，一定要熟练掌握，属于基础题．10．（5分）设椭圆+=1和双曲线﹣=1有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e，则e2等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆焦点（c，0）和短轴的一个端点（0，a），运用直线的斜率公式和双曲线的渐近线方程，结合两直线平行的条件可得a2=bc，再由4﹣2a2=b2，c2=4﹣a2，解方程可得a2，c2，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：由于椭圆+=1和双曲线﹣=1有共同的焦点（﹣c，0），（c，0），则4﹣a2=a2+b2，设椭圆的焦点（c，0）和短轴的一个端点（0，a），即有所得直线的斜率为﹣，双曲线的一条渐近线方程为y=﹣x，即有=，由a2=bc，4﹣2a2=b2，c2=4﹣a2，解得a2=6﹣2（由于a2＜4，a2=6+2舍去），c2=2﹣2，e2===，故选A．点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和两直线平行的条件，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）必做题（11-14题）11．（5分）已知矩形A BCD中，A B=2，BC=1，点P是BD上任意一点，则•（+）的取值范围是[﹣5，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以D为原点，DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，得到所需向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，求范围．解答：解：以D为原点，DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，则A（1，0），B（1，2），C（0，2），所以BD的直线方程为y=2x，设P（x，2x），x∈[0，1]，所以=（x﹣1，2x﹣2），=（1﹣x，﹣2x），=（﹣x，2﹣2x），则=（1﹣2x，2﹣4x），•（+）=﹣5（2x2﹣3x+1）=﹣10（x﹣）2+，因为x∈[0，1]，所以•（+）∈[﹣5，]．故答案为：[﹣5，]．点评：本题考查了向量的加减运算、数量积的运算以及与二次函数相结合的最值求法，属于中档题．12．（5分）在三角形A BC中，A，B，C是三角形A BC的内角，设函数f（A）=2sin sin （π﹣）+sin2（π+）﹣cos2，则f（A）的最大值为．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先把三角函数关系式进行恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用三角形的内角的范围求出三角函数的最值．解答：解：函数f（A）=2sin sin（π﹣）+sin2（π+）﹣cos2=+==sinA﹣cosA=由于：A是三角形的内角，所以：0＜A＜π故当时，即A=时，函数f（A）的最大值为．故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系时的恒等变形，利用三角形的内角求函数的最值问题，属于基础题型．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：转化约束条件为不等式组，画出可行域，平移直线方程，利用几何意义求出最大值．解答：解：约束条件，转化为：，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，由，解得，即A（1，2），此时z最大．代入目标函数z=x+y得z=1+2=3．即目标函数z=x+y的最大值为3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14．（5分）已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．解答：解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．点评：本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】15．（5分）如图，已知直线P A切圆O于点A，直线P O交圆O于点B、C，若PC=2+，P A=1，则圆O的半径长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由切割线定理，得：PA2=PB•PC，从而得到BC=PC﹣PB=（2+）﹣（2﹣）=2，由此能求出圆O的半径长．解答：解：∵直线PA切圆O于点A，交圆O与点C，B，∴由切割线定理，得：PA2=PB•PC，解得1=PB•（2+），∴PB==2﹣，∴BC=PC﹣PB=（2+）﹣（2﹣）=2，∵直线PO过圆心O，∴BC是圆O的直径，∴圆O的半径长为．故答案为：．点评：本题考查圆的半径长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知抛物线C：y2=2px （p＞0），直线l的参数方程：（t为参数）．写出抛物线C的极坐标方程和直线l的普通方程ρsin2θ=2pcosθ、x﹣y﹣2=0．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先利用y=ρsinθ，x=ρcosθ把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步把指向的参数方程转化成直角坐标方程．解答：解：根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得到：ρ2sin2θ=2pρcosθ整理得：ρsin2θ=2pcosθ，直线l的参数方程：消去参数t可得到直线方程为：y+4=x+2整理得：x﹣y﹣2=0故答案为：ρsin2θ=2pcosθ和x﹣y﹣2=0点评：本题考查的知识要点：直角坐标方程和参数方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题型．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+acos2（+x）的一个零点是x=．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对三角函数关系是进行恒等变换，进一步利用函数的零点求出a的值．（2）根据（1）的结论，进一步对三角函数关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：（1）f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+acos2（+x）=2sinxcosx﹣cos2x+asin2x=+由于x=是函数的零点，所以：f（）==解得：a=1则：f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+asin2x=所以：函数的周期为：（2）令：（k∈Z）解得：（k∈Z）所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：零点在三角函数中的应用，三角函数关系式的恒等变换，整体思想的应用，正弦型函数单调性的应用．属于基础题型．18．（12分）已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，由a1a5=4，a4=﹣1．可得，=﹣1，解得即可；（2）由b n=++…+=（n+1）+…+=n，可得a n+b n=+n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1a5=4，a4=﹣1．∴，=﹣1，解得q=﹣，a1=8．∴=．（2）∵b n=++…+=（n+1）+…+=（n+1）×=n，∴a n+b n=+n，其前n项和S n=+=+．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下：甲种作物的产量数据：111，111，122，107，113，114乙种作物的产量数据：109，110，124，108，112，115（1）作出两组数据的茎叶图；（2）设1颗杂粮作物果实的籽重为x，若x∈（110，120），则称该果实为标准果实，现从上述12颗果实中任选3颗，记标准果实的颗数为X，求随机变量X的期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）由已知条件，以百位和十位作茎，以个位作叶，能作出两组数据的茎叶图．（2）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的期望．解答：解：（1）由已知条件，作出两组数据的茎叶图，如右图．（2）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==．点评：本题考查茎叶图的作法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点E是线段AB的中点，把三角形AED沿DE折起，设折起后点A的位置为P，F是PD的中点．（1）求证：无论P在什么位置，都有AF∥平面PEC；（2）当点P在平面ABCD上的射影落在线段DE上时，求二面角P﹣EC﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设CD的中点为G，连结AG、FG，由已知得四边形AECG是平行四边形，从而AG∥平面PEC，由FG∥PC，得FG∥平面PEC，由此能证明平面AGF∥平面PEC，从而得到AF∥平面PEC．（2）若点P的射影为O，点P的射影在线段DE上，则O是线段DE的中点，且PO⊥平面EBCD，以O为原点，OP为z轴，过O平行于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣EC﹣D的余弦值．解答：（1）证明：设CD的中点为G，连结AG、FG，∵CG AE，∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥EC，又AG⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，∴AG∥平面PEC，又∵FG∥PC，FG⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，∴FG∥平面PEC，又∵FG⊂平面AGF，AG⊂平面AGF，FG∩AG=G，∴平面AGF∥平面PEC，∵AF⊂平面AGF，∴AF∥平面PEC．（2）解：∵PD=PE=1，若点P的射影为O，点P的射影在线段DE上，∴O是线段DE的中点，且PO⊥平面EBCD，以O为原点，OP为z轴，过O平行于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，∵△PDE是等腰直角三角形，PD=PE=1，∴OP=，P（0，0，），E（，0），C（﹣，，0），∴，=（﹣），设平面PEC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（1，1，），又=（0，0，）是平面ECD的法向量，∴cos＜＞==，∴二面角P﹣EC﹣D的余弦值为．点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（13分）已知椭圆C1：x2+4y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是C1上任意一点，O 是坐标原点，=+，设点Q的轨迹为C2．（1）求点Q的轨迹C2的方程；（2）若点T满足：=+2+，其中M，N是C2上的点，且直线O M，O N的斜率之积等于﹣，是否存在两定点A，B，使|T A|+|T B|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）可分别设出点Q与P的坐标，然后根据已知条件找到两点坐标之间的关系，然后用所求的点Q的坐标表示出P点的坐标，然后代入已知的方程即可；（2）根据已知条件与所求可以看出所求的结果应该与椭圆的定义有关，因此可以先将点M，N的坐标给出来，然后再代入已知的条件化简得到点T坐标满足的关系式，然后进行判断即可．解答：解：（1）设点Q的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x02+4y02=1，易知F1，F2的坐标分别为（），（），因为，所以（x，y）=（﹣2x0，﹣2y0），即，代入x02+4y02=1得．即椭圆C2的方程为得．（2）设T点的坐标为（x，y），M，N的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）．由=+2+得（x，y）=（x1﹣x2，y1﹣y2）+2（x1，y1）+（x2，y2）．所以x=2x2+x1，y=2y2+y1．设直线OM，ON的斜率分别为k OM，k ON，由已知得k OM•k ON=．即x1x2+4y1y2=0，又，所以2=16y1y2=20+4（x1x2+4y1y2）=20，所以x2+4y2=20，即T是椭圆上的点，根据椭圆的定义可知，存在两定点A，B分别为椭圆的两个焦点使|TA|+|TB|为定值，因为此时a2=20，所以，所以|TA|+|TB|=2a=．点评：本题考查了代入法求轨迹方程的方法，第二问主要是考查对椭圆的定义及性质的理解和掌握情况，属于中档题．22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+2，a∈R是常数．（1）若函数y=f（x）的图象在点（a，f（a））（a＞0）与直线y=b相切，求a和b的值；（2）若函数y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求a和b的值；（2）求函数的导数，利用导数研究函数的最值和极值，结合函数的单调性进行讨论求解即可．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=，∵y=f（x）的图象在点（a，f（a））（a＞0）与直线y=b相切，∴f′（a）=，解得a=1或a=﹣1（舍去），则f（1）=1=b，即b=1．（2）由f（x）=lnx﹣ax+2=0，得a=，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）＞0得0，此时函数递增，令g′（x）＜0，得x＞，此时函数递减，故当x=时函数取得最大值g（）=e，若a＞e，则y=f（x）没有零点，若a=e，则y=f（x）有且只有一个零点，当a≤0，f′（x）=＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时函数f（x）有且只有一个零点．，当0＜a＜e时，g（）=﹣e3，g（）=e，即g（）＜a＜g（），∵g（x）在（0，）上递增，∴当x∈（0，）时，y=a与g（x）的图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，）上有且只有一个零点．当x→+∞时，由幂函数和对数函数的单调性可知，g（x）→0，而0＜a＜e，∴当x∈（，+∞）时，y=a与g（x）的图象有且只有一个交点，即函数在（，+∞）上有且只有一个零点．∴当0＜a＜e时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个两点．点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数最值和导数之间的是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．。

武昌区2021届高三年级五月调研考试理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设复数m 1i是实数，那么实数m〔B〕1i213A．2B．1C．2D．2y2x,2．假设变量x，y满足约束条件x y1,那么zx2y的最大值是(C)y1,5B．055A．C．D．2323．某居民小区有两个相互独立的平安防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为1和p．假设在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为9，那么840p(B)1211 A．B．C．D．1015654．双曲线2y2PF1PF2，x1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．假设那么|PF1||PF2|的值为(C)A．2B．22C．23D．2515．设alog32，b ln2，c52，那么(C)A．abc B．bca C．cabD．cba6．执行如下图的程序框图，假设输出k的值为8，那么判断框内可填入的条件是(B)A．S 3?开始4B．S11?S=0，k=012C．S25?S S1 24k D．S137?k=k+2 12是7．(3xy)(x 2y)5的展开式中，x4y2的系数为(A)否A．110输出k B．120C．130结束湖北省武汉市武昌区2018届高三调考理科数学试题含答案D．1508．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为(C)A．125B．182 C．2443 D．30正视图侧视图9．动点A(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．俯视图时间t0时，点A的坐标是(1,3)，那么当22t12时，动点A的纵坐标y关于t〔单位：秒〕的函数的单调递增区间是(D)A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12] 10．命题p1：设函数f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)a，那么f(x)在(0,2)上必有零点；2p2：设a,b R，那么“a b〞是“a|a|b|b|〞的充分不必要条件．那么在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是(C)A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q411．在ABC中，C90，M是BC的中点．假设sin1BAC(A) BAM，那么sin3A．6B．52D．3 33C．3312．设直线l与抛物线24x相交于A，B两点，与圆2220)相切于点M，y(x5)y r(r且M为线段AB的中点．假设这样的直线l恰有4条，那么r的取值范围是(D)A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．假设向量a，b满足：a(3,1)，(a＋2b)⊥a，(a＋b)⊥b，那么|b|．答案：214．2sin(x)dx 7，那么sin2．04答案：91615．直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上．假设ABAC AA12，BAC120，那么该球的外表积等于．答案：2016．函数f(x)ke x1x1x2〔k为常数〕，曲线yf(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴2平行，那么f(x)的单调递减区间为．答案：(,0)三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．〔本小题总分值 12分〕设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11，a n1n2N )．S n (nn〔Ⅰ〕证明：数列{S n}是等比数列；n〔Ⅱ〕求数列{S n }的前n 项和T n ．解：〔Ⅰ〕由a n ＋1＝n ＋2 －S n ，得S n ＋ 1－S n ＝ n ＋2S n ，n S n ，及a n ＋1＝S n ＋1 n整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n＋1＝2·S n．又S 1＝1，n ＋1 n1∴{S n为首项，2为公比的等比数列． 6分n }是以1 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，得Snn＝2n －1，∴S n ＝n ·2n －1〔n ∈N *〕．∴T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋＋n ·2n －1，①2T n ＝1 2 n －1n．②1×2＋2×2＋＋(n － 1)·2 ＋n ·2 由②－①，得n2n －1n1－2nnT n ＝－(1＋2＋2＋＋2 )＋n ·2＝－＋n ·2＝(n －1)·2＋1．12分18．〔本小题总分值12分〕某公司招收大学毕业生， 经过综合测试录用了 14名男生和6名女生，这20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示 〔单位：分〕．公司规定：成绩在 180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．〔Ⅰ〕现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．假设从这8人中再选 3人，求至少有一人来自甲部门的概率；〔Ⅱ〕假设从甲部门中随机选取 3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．解：〔Ⅰ〕根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，男女用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选88 6 16 82取10×5＝4人．65432176 记“至少有一人来自甲部门〞为事件A ，那么5 4 2 18 5 632 1 19 02C 3 134．P(A)＝1－3＝14C 8故至少有一人来自甲部门的概率为13．5分14〔Ⅱ〕由题意可知， X 的可能取值为0，1，2，3．C 60C 43 ＝ 1 ，P(X ＝1)＝ C 61C 42 3 ，3 3＝P(X ＝0)＝C 10 30 C 10 10C 2 1 1 3 01 6C 4 C 6C 4P(X ＝2)＝C 103＝ 2，P(X ＝3)＝C 103 ＝ 6．∴X 的分布列为X0123P1311 301026∴E(X)＝0×1＋1×3＋2×1＋3×1＝9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分301026519．〔本小分12分〕如，在四棱S ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB AD1，DCSD2，E棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．〔Ⅰ〕明：SE2EB；〔Ⅱ〕求二面角A DEC的大小．解：〔Ⅰ〕以D坐原点，建立如所示的直角坐系D-xyz，A(1，0，0)，B(1，1，→→→0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，∴SC＝(0，2，－2)，BC＝(－1，1，0)，DC＝(0，2，0)．平面SBC的法向量m＝(a，b，c)，z→S→→m·SC＝0，由m⊥SC，m⊥BC，得→m·BC＝0，2b－2c＝0，取m＝(1，1，1)．∴－a＋b＝0．E→→λλ2F又SE＝λEB〔λ＞0〕，E(，，)，1＋λ1＋λ1＋λD→λλ2)．，，A∴DE＝(B1＋λ1＋λ1＋λx平面EDC的法向量n＝(x，y，z)，→→→n·DE＝0，由n⊥DE，n⊥DC，得→n·DC＝0，λx＋λy＋2z＝0，取n＝(2，0，－λ)．∴1＋λ1＋λ1＋λ2y＝0．由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，∴m·n＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．故SE＝2EB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，知222→222→242)，E(，，)，∴DE＝(，，3)，EC＝(－，，－3 3333333→→∴EC·DE＝0，∴EC⊥DE．Cy1 1 1→2 ，－ 1 ，－ 1)，取DE 的中点F ，那么F(，，)，∴FA ＝( 333 3 3 3→ →FA ·DE ＝0，∴FA ⊥DE ．→ →A-DE-C 的平面角．∴向量FA 与EC 的夹角等于二面角→ →→ →1FA ·EC＝－ ，而cos ＜FA ，EC ＞＝→ → 2|FA|| EC|故二面角A-DE-C 的大小为120°．12分20．〔本小题总分值12分〕2A(0,1)，B(0,1)是椭圆xy 2 1的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于2C ，D 两点，与 y 轴交于P 点〔异于 A ，B 两点〕，直线AC 与直线BD 交于Q 点．〔Ⅰ〕当|CD| 32时，求直线l 的方程；2〔Ⅱ〕求证： OPOQ 为定值．解：〔Ⅰ〕由题设条件可知，直线 l 的斜率一定存在， F(1，0)，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)〔k ≠0且k ≠±1〕．y ＝k(x －1)， 2222由2消去y 并整理，得(1＋x ＋y 2＝1，2k)x －4kx ＋2k －2＝0．2设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4k 2＝ 2k 2－22，x 1x 21＋2k 2，1＋2k22 ∴|CD|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(4k)2－4·2k－22 21＋2k 1＋2k2 2(1＋k 2)＝1＋2k2．2 2(1＋k 2)3 22由，得1＋2k 2 ＝ 2 ，解得k ＝±2．故直线l 的方程为y ＝222(x －1)或y ＝－2(x －1)，即x －2y －1＝0或x ＋2y －1＝0．5分〔Ⅱ〕由C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，A(0，1)，B(0，－1)，得直线AC 的方程为y ＝y 1－1y 2＋1x 1 x ＋1，直线BD 的方程为y ＝x 2x －1，联立两条直线方程并消去x ，得 y －1x 2(y 1－1)＝ ，y ＋1x 1(y 2＋1)x 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2∴y Q＝x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2．22由〔Ⅰ〕，知y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2，x 1x 2＝2k－22， 1＋2k 1＋2kx 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2＝kx 1(x 2－1)＋kx 2(x 1－1)＋x 1－x 22kx 1x 2－k(x 1＋x 2)＋x 1－x 22 －22＝2k ·2k4k 2＋x 1－x 22－k ·1＋2k1＋2k4k＝＝－ 2＋x 1－x 2，＝x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2＝kx 1(x 2－1)－kx 2(x 1－1)＋x 1＋x 2＝ k(x 2－x 1)＋x 1＋x 24k 2＝k(x 2－x1)＋1＋2k 24k∴ ＝－k(－2＋x 1－x 2)，∴ y Q ＝－1，∴Q(x Q ，－1)．又P(0，－k)，kk→ →，－k)·(x Q ，－1)＝1．∴OP ·OQ ＝(0 k→ →12分故OP ·OQ 定．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．〔本小分12分〕〔Ⅰ〕明：当x[0,1] ，2x sinx x ；23〔Ⅱ〕假设不等式ax x2x 2( x 2)cos 4 x [0,1]恒成立，求数a 的取范．2x解：〔Ⅰ〕F(x)＝sinx －222x ，F ′(x)＝cosx －2．ππ当x ∈(0，4)，F ′(x)＞0，F(x)在[0，4]上是增函数；ππ上是减函数．当x ∈(，1)，F ′(x)＜0，F(x)在[，1]442∵F(0)＝0，F(1)＞0，∴当x ∈[0，1]，F(x)≥0，即sinx ≥ x ．H(x)＝sinx －x ，当x ∈(0，1)，H ′(x)＝cosx －1＜0，∴H(x)在[0，1]上是减函数，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx ≤x ．上，22x ≤sinx ≤x ，x ∈[0，1]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分〔Ⅱ〕∵当x ∈[0，1]，ax ＋x 2＋x 3＋2(x ＋2)cosx －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 3－4(x ＋2)sin 2x222322 x－4(x ＋2)(2＝(a ＋2)x ．≤(a ＋2)x ＋x ＋ 2 4 x)3 ∴当a ≤－2，不等式 ax ＋x 2＋x2＋2(x ＋2)cosx ≤4x ∈[0，1]恒成立．下面明：3 当a ＞－2，不等式ax ＋x2＋x 2＋2(x ＋2)cosx ≤4x ∈[0，1]不恒成立．ax ＋x 2＋x 3＋2(x ＋2)cosx －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 3－4(x ＋2)sin 2x2222x 3x 22x 3≥(a ＋2)x ＋x＋ －4(x ＋2)()＝(a ＋2)x －x － 222≥(a ＋2)x － 3 232(a ＋2)]．2x ＝－x[x －2 3∴存在x ∈(0，1)〔例如x取a ＋2和1中的小者〕足ax ＋x 2＋x 03＋2(x ＋2)cosx322 0－4＞0，即当a ＞－2，不等式2x 3ax ＋x ＋＋2(x ＋2)cosx －4≤0x ∈[0，1]不恒成立．2上，数a 的取范是(－∞，－2]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22．〔本小分10分〕修4-1：几何明如，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，A 作两的切分交两于C ，D 两点，DB 并延交⊙O 于点E ，ACBD3．A〔Ⅰ〕求AB AD 的；〔Ⅱ〕求段AE 的．O ′ 解：〔Ⅰ〕∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ，O同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，E∴AC ＝AB，即AC ·BD ＝AB ·AD ．C BDAD BD∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分〔Ⅱ〕∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，A E AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AB ·AD ．由〔Ⅰ〕可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23．〔本小分10分〕修4-4：坐系与参数方程x3t,在直角坐系xOy 中，直l 的参数方程2〔t 参数〕．以原点极点，xy1 t52正半极建立极坐系，曲 C 的极坐方程 23cos ．〔Ⅰ〕把曲C 的极坐方程化直角坐方程，并明它表示什么曲；〔Ⅱ〕假设P 是直l 上的一点，Q 是曲C 上的一点，当|PQ|取得最小，求P 的直角坐．2解：〔Ⅰ〕由ρ＝23cos θ，得ρ＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲C 是心(3，0)，半径3的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分〔Ⅱ〕由条件知，|PQ|＋|QC|≥|PC|，当且当P，Q，C三点共，等号成立，即|PQ|≥|PC|－3，∴|PQ|min＝|PC|min－3．P(－312t，－5＋2t)，又C(3，0)，|PC|＝(－3t－3)2＋(－5＋1t)2＝t2－2t＋28＝(t－1)2＋27．22当t＝1，|PC|取得最小，从而|PQ|也取得最小，此，点P的直角坐(－3，－9)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2224．〔本小分10分〕修4-5：不等式a0，b0，函数f(x)|x a||x b|的最小2．〔Ⅰ〕求ab的；〔Ⅱ〕明：a2a2与b2b2不可能同成立．解：〔Ⅰ〕∵a＞0，b＞0，f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，min＝a＋b．由条件知f(x)min＝2，∴a＋b＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及根本不等式，得2ab≤a＋b＝2，∴ab≤1．假a2＋a＞2与b2＋b＞2同成立，由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分精品文档强烈推荐精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。

武汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学2018.2.27 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：.本题选择B选项.2. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】求解二次不等式可得：，求解对数不等式可得：，结合交集的定义有：.本题选择A选项.3. 在等差数列中，前项和满足，则（）A. 7B. 9C. 14D. 18【答案】B【解析】，所以，选B.4. 根据如下程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】结合流程图可知该流程图运行过程如下：首先初始化数据：，，不满足，执行：；，不满足，执行：；，不满足，执行：；，满足，输出.本题选择B选项.5. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，题中三视图对应的几何体为图中的四棱锥，棱锥的底面积为，高为，其体积为.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6. 已知不过原点的直线交抛物线于，两点，若，的斜率分别为，，则的斜率为（）A. 3B. 2C. -2D. -3【答案】D【解析】由题意可知，直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则直线的方程为：，即与抛物线方程联立可得：，则直线的斜率为：.本题选择D选项.7. 已知函数的最大值为2，且满足，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】函数满足，则函数关于直线对称，由函数的解析式可得：，分类讨论：若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；综上可得：或 .本题选择C选项.8. 将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有种放法，甲盒中恰好有3个小球有种放法，结合古典概型计算公式可得题中问题的概率值为.本题选择C选项.9. 已知平面向量，，满足，，，，则的最大值为（）A. -1B. -2C.D.【答案】D【解析】不妨设，则：，则，故，即：，则，当且仅当时等号成立，综上可得：的最大值为.本题选择D选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10. 已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即.题中的不等式即：，则：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：.综上可得，实数的最大值为.本题选择A选项.11. 已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，恒成立，；当时，即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：，综上可得，实数的取值范围为.本题选择C选项.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得.12. 已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数的解析式可得：，导函数的对称轴为原函数的对称中心横坐标，则原函数对称中心纵坐标为：，则对称中心为，由可知直线经过点，联立方程组：可得：或，据此可得直线过点：，则直线方程为：.本题选择B选项.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在的展开式中，的系数为__________．【答案】21【解析】由题意可知的通项公式为：，结合多项式的性质可得：的系数为：.14. 已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，，则__________．【答案】2【解析】因为成等差数列，所以公比，又，整理得到，所以，故，解得，故，填．15. 过圆：外一点作两条互相垂直的直线和分别交圆于、和、点，则四边形面积的最大值为__________．【答案】【解析】如图所示，，取的中点分别为，则：，四边形为矩形，则，结合柯西不等式有：，其中,，据此可得：，综上可得：四边形面积的最大值为.点睛：1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.16. 已知正四面体中，，，分别在棱，，上，若，且，，则四面体的体积为__________．【答案】【解析】令，，由题意可得：，解得：，棱长为的正四棱锥体积为，则所求三棱锥的体积为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）若，，求边的长.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意结合正弦定理有，则，...............................（2）由余弦定理可得：,据此可得关于实数c的方程，解方程可得.试题解析：（1）由及正弦定理可知：，而，.（2）由余弦定理可得：,，，，.18. 如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，，，，.（1）求的长；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）过作于垂足，则.过点在平面内作交于，建立以为坐标交点.为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.据此可得，，由两点之间距离公式可得，则之长为.（2）由题意结合(1)的结论可得平面的法向量.平面的法向量.则二面角的余弦值为.试题解析：（1）过作于垂足，..过点在平面内作交于，建立以为坐标交点.为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.，，，，，，，，，，，所求之长为.（2）设平面的法向量，而，，由及可知：，取，则，，.设平面的法向量，，，由得，可取.设二面角的平面角为..二面角的余弦值为.19. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求. 附：（1）若随机变量服从正态分布，则，；（2）.【答案】(1)0.16；(2)22.7；(3)0.1587.【解析】试题分析：（1）由题意可得产品尺寸落在内的概率.（2）由平均数公式可得样本平均数为.（3）由题意可得，.则，.试题解析：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.（2）样本平均数.（3）依题意.而，，则....20. 已知、为椭圆：的左、右顶点，，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线上任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）依题意，结合离心率公式，则.椭圆方程为：.（2）设，（），则直线方程：，直线方程.设，，联立直线方程与椭圆方程有，.，，则.利用换元法，设，则，面积函数，结合对勾函数的性质可得.试题解析：（1）依题意，则，又，.椭圆方程为：.（2）设，（不妨设），则直线方程：，直线方程.设，，由得，则，则，于是.由，得，则，则，于是，.设，则，，在递减，故.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数，其中为常数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）由函数的解析式可得，.分类讨论：①时：或时，单增.时，单减.②时，在上单增.③时，在，上单增.在上单减.（2）由于，则在上最大值等价于在上最大值，记为.则.由（1）的结论可得在上单减.，则在上单增.的最大值为.试题解析：（1）对求导数得到：，.①时，即时，或时，，单增.时，，单减.②时，即时，.在上单增.③时，即时，或时，，在，上单增.时，.在上单减.（2），在上最大值等价于在上最大值，记为..由（1）可知时，在上单减，，，从而在上单减.，在上单增.，的最大值为.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）求的值；（2）若为曲线的左焦点，求的值.【答案】(1)；(2)44.【解析】试题分析：（1）把曲线和直线的参数方程化为普通方程，再联立曲线与直线的方程，消元后利用韦达定理和弦长公式计算.（2）设，，则，利用韦达定理可以得到.解析：（1）由（为参数），消去参数得：.由消去参数得：.将代入中得：.设，，则..值为.（2）.23. 已知函数，，.（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用零点分类讨论分三种情况讨论即可.(2)问题等价于，利用绝对值不等式可以得到，从而也就是. 解析：（1）在时，..①在时，恒成立..②在时，，即，即或.综合可知：.③在时，，则或，综合可知：.由①②③可知：.（2）因为，当且仅当与同号，故，要使，故只需.故.从而.综合可知：.点睛：关注绝对值不等式的应用.。

武汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学2018.2.27一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()3412i z i +=-，则z =（ ） A ．1255i -+ B ．1255i -- C ．1255i + D ．1255i - 2.已知集合{}2|160A x x =-≤，{}|lg 20B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．[)(]4,13,4-⋃B ．[)(]4,31,4--⋃-C ．()()4,13,4-⋃D ．()()4,31,4--⋃- 3.在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7245S S -=，则5a =（ ） A ．7 B ．9 C ．14 D ．18 4.根据如下程序框图，运行相应程序，则输出n 的值为（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．6 5.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12 B．2．23 6.已知不过原点O 的直线交抛物线22y px =于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为2OA k =，6AB k =，则OB 的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-37.已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C.3π或23π D ．6π或56π 8.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（ ）A ．310 B ．25 C.320 D ．149.已知平面向量a ，b ，e 满足1e = ，1a e ⋅= ，2b e ⋅=- ，2a b += ，则a b ⋅ 的最大值为（ ）A ．-1B ．-2 C.52-D ．54- 10.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73 B ．5311.已知函数()()()22ln 1f x x x a x a R =--∈，若()0f x ≥在01x <≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≥B ．1a ≥ C.12a ≥D．4a ≥ 12.已知直线l 与曲线326139y x x x =-+-相交，交点依次为A ，B ，C，且A B B C ==l 的方程为（ ）A ．23y x =-+B ．23y x =- C.35y x =- D ．32y x =-+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在()()7211x xx -++的展开式中，4x 的系数为 ．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，254a a +=，则8a = ． 15.过圆T ：224x y +=外一点()2,1P 作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆T 于A 、B 和C 、D 点，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．16.已知正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，若PE PF ≠，且D E D F==2EF =，则四面体P DEF -的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+.（1）求角A ；（2）若a =3b =，求边c 的长.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，ABE ABCD ⊥平面平面，底面ABCD 为平行四边形，60DAB BAE ∠=∠= ，90AEB ∠= ，4AB =，3AD =.（1）求CE 的长；（2）求二面角A DE C --的余弦值.19.从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[)27.530.5，的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x .（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得222.41s =.利用该正态分布，求()27.43P z ≥.附：（1）若随机变量z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()20.9544P z μσμσ-<<+=；（24.73≈.20.已知A 、B 为椭圆T ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点，4AB =，且离心率为2.（1）求椭圆T 的方程；（2）若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上任意一点，PA ，PB 交椭圆T 于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.21.已知函数()()()22ln 11ax xf x x x +=+-+，其中a 为常数.（1）当12a <≤时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x >时，求()()11ln 1ln 1g x x x x x⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最大值. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为2x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）求AB 的值；（2）若F 为曲线C 的左焦点，求FA FB ⋅的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()22f x x =+，()1g x x a x =---，a R ∈.（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若对任意12x x R ∈、，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学参考答案及评分细则一、选择题二、填空题三、解答题17.解：（1）由2tan tan tan B bA B c=+及正弦定理可知：()2sin cos cos sin cos sin sin B A B BB A B C⋅⋅=+， 2cos 1A ∴=而()0,A π∈，3A π∴=.（2）由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-, 21393c c ∴=+-， 2340c c ∴--=，()()410c c -+=，4c ∴=.18.解：（1）过E 作OE AB ⊥于垂足O ，ABE ABCD ⊥ 面面. EO ABCD ∴⊥面.过O 点在平面ABCD 内作OF AB ⊥交AD 于F ，建立以O 为坐标交点.OE 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴的空间直角坐标系.60DAB EAB ∠=∠= ，90AEB ∠= ，4AB =，3AD =，OE OF ∴==)E∴，()0,3,0B ，()0,1,0A -，10,2D ⎛ ⎝⎭，90,2C ⎛ ⎝⎭，22229302EC ⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴所求EC（2）设平面ADE 的法向量()1111,,n x y z =，而)AE =，30,2AD ⎛= ⎝⎭，由10AE n ⋅= 及10AD n ⋅=可知：11110302y y z +=⎨+=⎪⎩， 取11x =，则1y =，11z =，()11,n ∴=.设平面DEB 的法向量()2222,,n x y z =， ()0,4,0DC =，1,2DE =- ，由1200DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222240102y y =⎧-=， ∴可取()23,0,2n =.设二面角A DE B --的平面角为θ.1212cos 13n n n n θ⋅∴===⋅ . ∴二面角A DE B --的余弦值为13-. 19.解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在[)27.5,33.5内的概率530.1650P +==. （2）样本平均数0.06140.16170.18200.24230.20260.10290.063222.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）依题意()2,z N μσ .而22.7x μ==，2222.41s σ==，则 4.73σ=.()22.7 4.7322.7 4.730.6826P z ∴-<<+=.()10.682627.430.15872P z -∴≥==. ()27.430.1587P z ∴≥=.即为所求.20.解：（1）依题意24AB a ==，则2a =，又2e =c =∴椭圆方程为：22142x y +=. （2）设()4,P t ，（不妨设0t >），则直线PA 方程：()26t y x =+，直线PB 方程()22ty x =-. 设()11,C x y ，()22,D x y ，由()2226142t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22221844720t x t x t +++-=，则212472218t x t --⋅=+，则21236218t x t -=+，于是()112122618t ty x t =+=+. 由()2222142t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222224480t x t x t +-+-=，则2224822t x t -⋅=+， 则222242t x t -=+，于是()2224222t ty x t -=-=+， 12221111244222182ABCD ACB ADB t t S S S AB y AB y tt ⎛⎫=+=⨯+⨯=⨯⨯+ ⎪++⎝⎭ 3242226663232323620366208t t t t t t t t t t t t +++=⨯=⨯=⨯++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭. 设6u t t=+，则)u ⎡∈+∞⎣，()328ABCDS g u u u==+，()g u在)⎡+∞⎣递减，故()(max ABCD S g ==21.解：（1）对()f x 求导数得到：()()()223'1x x a f x x -+=+，1x >-.①1230a -<-<时，即312a <<时， 123x a -<<-或0x >时，()'0f x >，()f x 单增. 230a x -<<时，()'0f x <，()f x 单减.②230a -=时，即32a =时，()'0f x ≥.()f x 在()1,-+∞上单增. ③230a ->时，即32a >时，10x -<<或23x a >-时，()'0f x >，()f x 在()1,0-，()23,a -+∞上单增. 023x a <<-时，()'0f x <.()f x 在()0,23a -上单减.（2）()()11ln 1ln g x x x x x g x x ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()g x ∴在()0,+∞上最大值等价于在(]0,1上最大值，()()()2111'1ln 1ln 11g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++⋅-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()21121ln 1ln 1x x x x x ⎛⎫=-+-+-⎪+⎝⎭记为()h x . ()()()22322'ln 11x x h x x xx ⎡⎤+∴=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 由（1）可知2a =时，()f x 在(]0,1上单减，()()0f x f <，()'0h x ∴<，从而()h x 在(]0,1上单减. ()()10h x h ≥= ，()g x ∴在(]0,1上单增. ()()12ln2g x g ∴≤=， ()g x ∴的最大值为2ln 2.22.解：（1）由4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ得：221164x y +=.由2x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩t得：2y x =-将2y x =-22416x y +=中得：21716110x -+⨯=.设()11,A x y ，()22,B x y，则121217161117x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪=⎪⎩.12401717AB x =-==. AB ∴值为4017.（2）()()1122FA FB x y x y ⋅=+⋅+((121222x x x x =+++--))1212121212412x x x x x x x x ⎡⎤=++++-++⎣⎦)1212560x x x x =-++11165604417⨯=-=. 23.解：（1）在4a =时，2241x x x +>---.()3,44125,143,1x g x x x x x x -≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪≤⎩.①在4x ≥时，223x +>-恒成立.4x ∴≥.②在14x <<时，2225x x +>-+，即2230x x +->，即1x >或3x <-.综合可知：14x <<.③在1x ≤时，223x +>，则1x >或1x <-，综合可知：1x <-.由①②③可知：{}|11x x x <->或.（2）在1a ≥时，()1,12,11,1a x a g x a x x a a x -≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤⎩，()g x 取大值为1a -.要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-.则3a ≤.13a ∴≤≤.在1a ≤时，()1,121,11,a x g x x a a x a x a -+≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤⎩，()g x 最大值为1a -.要使()()12f x g x ≥，故只需21a ≥-.1a ∴≥-.从而11a -≤≤. 综合以上讨论可知：13a -≤≤.。

武汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学试卷 2018.2.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z=ii －1的值为( ) A. 12(1＋i) B. －12(1＋i) C. 12(1－i) D. －12(1－i) 2.在等比数列{a n }中, a 3= 32, S 3= 92 , 则首项a 1=( )A. 32B. －32C. 6或－32D. 6或323.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A. x 轴上 B. y 轴上 C.直线y=x 上 D.直线y=x 或y=－x 上4.已知全集U=R, A= {x|x ＋1x≥0}, 则C u A=( ) A.{x|－1<x ≤0} B. {x|－1<x<0} C. {x|－1≤x<0} D. {x|－1≤x ≤0} 5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, E 、F 、M 分别为AA 1,C 1D 1,BC 的中点,那么直线B 1E 与FM 所成角的余弦值为( ) A.0 B.1 C. 12 D. 136.若AB 过椭圆 x 225 ＋ y 216 =1 中心的弦, F 1为椭圆的焦点, 则△F 1AB 面积的最大值为( ) A. 6 B.12 C.24 D.487.在△ABC 中, D 为AC 边的中点, E 为AB 上一点, BC 、CF 交于一点F, 且2BF FD = , 若,BE BA λ=, 则实数λ的值为( )A. 34B. 12C. 23D. 138.将4个相同的小球投入3个不同的盒内, 不同的投入方式共有( )A 1B 1C 1D 1ABCD FMA. 43种B. 34种C. 15种D. 30种9.如果实数x 、y 满足4303x+5y 250x 1x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩, 目标函数z=kx ＋y 的最大值为12, 最小值3, 那么实数k 的值为( )A. 2B. －2C. 15 D.不存在10. 函数y=|cos2x|＋|cosx|的值域为( )A. [12, 2]B. [22,2]C. [22, 98 ]D.[32,2]二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.(1＋x)6(1－x) 展开式中x 2项的系数是________12. x →1lim 11x -= _________ 13.如果直线l 过定点M(1,2)且与抛物线y=2x 2有且仅有一个公共点, 那么直线l 的方程为_______14.正四棱锥S －ABCD 内接于一个半径为R 的球, 那么这个正四棱锥体积的最大值为_____15. 函数f(x)=x 3－3x 2＋6x －7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写了文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)如图, 在平面四边形ABCD 中, AB=AD=1, ∠BAD=θ, 而△BCD 是正三角形, (1) 将四边形ABCD 面积S 表示为θ的函数; (2) 求S 的最大值及此时θ角的值.ABCD17. (本小题满分12分)如图, 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中AB=BC=2, ∠ABC= 120°, 又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上, 侧棱AA1与底面成60°的角, D为AC的中点.(1) 求证: AA1⊥BD;(2)若面A1DB⊥面DC1B, 求侧棱AA1之长.18. (本小题满分12分)A袋中装有大小相同的红球1个, 白球2个, B袋中装有与A袋中相同大小的红球2个, 白球3个. 先从A中取出1个球投入B中, 然后从B中取出2个球. 设ξ表示从B中取出红球的个数.(1) 求ξ=2时的概率;(2)求ξ的分布列和数学期望19. (本小题满分13分)如图, 直线l : y= 43(x－2) 和双曲线C:x2a2－y2b2= 1 (a>0,b>0) 交于A、B两点, |AB|=1211,又l关于直线l1: y= ba x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程. A BCDA1B1C1l220. (本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项之和S n与a n满足关系式: nS n＋1=(n＋2)S n＋a n＋2 (n∈N＋)(1)若a1=0 , 求a2,a3的值;(2) 求证: a1=0是数列{a n}为等差数列的充要条件.21. (本小题满分13分)已知函数f(x)=x2＋2x＋alnx(1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒为单调函数, 求实数a的取值范围;(2) 当t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的取值范围.参考答案1.C2.D3.D4.A5.A6.B7.B8.C9.A 10.B11.9 12. 1313.x=1 或y=4x－2 14.6481R315. (1,－3)16.解: (1)△ABD的面积S= 12absinC=12·1·1·sinθ=12sinθ∵△BDC是正三角形, 则△BDC面积=34BD2 : 而由△ABD及余弦定理可知:BD 2=12＋12＋2·1·1·cos θ= 2－2cos θ于是四边形ABCD 面积S=12 sin θ ＋34 (2－2cos θ)S=32 ＋ sin(θ－π3) 其中0<θ<π (2)由 S=32 ＋ sin(θ－π3) 及0<θ<π 则－π3<θ－π3< 2π3在θ－π3= π2时, S 取得最大值 1＋32 此时θ= π3＋π2 = 5π617.(1) 在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 因为A 1在底面ABC 上射影落在AC 上, 则平面A 1ACC 1经过底面ABC 的垂线 故侧面A 1C ⊥面ABC.又 BD 为等腰△ABC 底边AC 上中线, 则BD ⊥AC, 从而BD ⊥面AC . ∴BD ⊥面A 1C 又AA 1⊂ 面A 1C ∴AA 1⊥BD (2)在底面ABC, △ABC 是等腰三角形, D 为底边AC 上中点, 故DB ⊥AC, 又面ABC ⊥面A 1C∴DB ⊥面A 1C , 则DB ⊥DA 1,DB ⊥DC 1 , 则∠A 1DC 1是二面角A 1－OB －C 1的平面角 ∵面A 1DB 面DC 1B, 则∠A 1DC 1=Rt ∠, 将平面A 1ACC 1放在平面坐标系中(如图), ∵侧棱AA1和底面成60°, 设A 1A=a , 则A 1=(a 2 , 32a), C 1(a2 ＋23,32a) A(0,0) , C(23, 0), AC 中点D(3, 0), 由110A D DC =知: (a2－3, 32a)·(a2 ＋3, 32a)=0 , ∴a 2=3, a= 3故所求侧棱AA 1长为 318.(1) ξ=2表示从B 中取出两个红球.① 从A 中取一红球放入B 中, 再从B 中取2红球的概率P= 13·C 32C 62 = 115② 从A 中取一白球放入B 中, 再从B 中取2红球的概率P=23·C 22C 62 = 245∴P(ξ=2)=115＋245 = 19(2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= 13·C 32C 62 ＋23·C 42C 62 = 131 xP(ξ=1)= 13·C 31·C 31C 62 ＋ 23·C 21·C 41C 62= 59∴ξ的概率分布列为:E ξ=1·2545 ＋ 2·545 = 3545 = 7919. 解: (1) 设双曲线一、三象限渐近线l 1: x a － yb =0 的倾 斜角为α ∵l 和l 2关于直线l 1对称, 记它们的交点为P. 而l 2与x 轴平行, 记l 2与y 轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角)又AB: y= 43(x －2), 故tan2α=43 则 2tan α1－tan 2α = 43 , 求得tan α= 12 , tan α=－2(舍) ∴ b a = 12 , e 2= c 2a 2 = 1＋(b a )2 = 54 ,因此双曲线C 的离心率 52. (2) ∵ b a = 12 , 故设所求双曲线方程 x 24k 2 － x 2k 2 =1 将 y= 43(x －2),代入 x 2－4y 2=4k 2,消去y 得:5536x 2－ 649x ＋649＋ k 2=0 设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) |AB| = 1+k 2|x 1－x 2| = 1+k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 = 1＋169·(649)2－4·5536(649＋k 2)5536= 1211 , 化简得到: 464－55k 211 = 1211 , 求得k 2=1 . 故所求双曲线C 的方程为: x 24 －y 2=120.解: (1)由 nS n ＋1=(n ＋2)S n ＋a n ＋2 (*)变形为n(S n ＋1－S n )=2S n ＋a n ＋2, 而S n 是{a n }前n 项和, 于是有na n ＋1=2S n ＋a n ＋2, a 1=0, 在n=1, a 2=2a 1＋a 1＋2=2, 则a 2=2 , 在n=2, 2a 3=2(a 1＋a 2)＋a 2＋2=4＋4=8, 则a 3=4 (2)充分性: 由(1)可猜测到: a n =2n －2. 下面先用数学归纳法证明: a n =2n －2 ① 在n=1时, a 1=2×1－2=0 与已知 a 1=0一致 故n=1时, a n =2n －2成立. ②假设n ≤k 时, a n =2n －2成立,∴S k =a 1＋a 2＋……＋a k =0＋2＋4＋…＋(2k －1)=k(k －1)∵ (*)式 na n ＋1=2S n ＋a n ＋2恒成立, 则ka n ＋1=2S k ＋a k ＋2 = 2k(k －1)＋(2k －2)＋2=2k 2 ∴ a k ＋1=2k=2[(k ＋1)－1]故n=k＋1时, a n=2n－2成立, 综合①②可知: a n=2n－2成立对n∈N*恒成立.∴数列{a n}的通项为a n=2n－1, ∴a n－a n－1=2(n≥2, n∈N＋)由等差数列定义可知{a n}是等差数列, 从而充分性得证.必要性: 由(1)可知na n＋1=2S n＋a n＋2恒成立, 则(n－1)a n=2S n－1＋a n－1＋2(n≥2)(**) 若{a n}是等差数列, 则a n－a n－1=d(n≥2),且a n=a1＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:n(a n＋1－a n)=2a n－a n－1 ∴nd=a n＋d=a1＋(n－1)d＋d ∴a1=0 从而必要性得证.因此a1=0 是数列{a n}为等差数列的充分条件.21. 解: (1)由f(x)=x2＋2x＋alnx 求导数得f '(x)=2x＋2＋a xf(x)在(0,1)上恒单调,只需f '(x) ≥0 或≤0在(0,1)上恒成立.只需2x2＋2x＋a≥0 , 或2x2＋2x＋a≤0恒成立即只需a ≥－(2x2＋2x) 或a≤－(2x2＋2x) 在(0,1)上恒成立.又记g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4 (2) ∵f(x) =x2＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:(2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3化简为: 2(t－1)2≥a·ln t22t－1①∵t>1时, 有t2>2t－1, 则ln t22t－1>0 . a≤2(t－1)2lnt22t－1②构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求导m '(x) =11＋x－1=－x1＋x则m(x)在x=0时取极大值, 同时也是最大值.故m(x)≤m(0). 从而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.∴lnt22t－1= ln(1＋(t－1)22t－1)≤(t－1)22t－1< (t－1)2③在t>1时恒成立, 而t=1时③式取等号.∴lnt22t－1≤(t－1)2④在t≥1时恒成立. 因此由②④可知实数a取值范围: a≤2.。

武汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(34)12i z i +=-，则=z （ ）A ．1255i -+B ． 1255i --C ． 1255i +D ． 1255i - 2．已知集合2{|160},{|lg |2|0}A x x B x x =-≤=->，则A B ⋂=（ ）A ．[4,1)(3,4]-⋃B ． [4,3)(1,4]--⋃-C ． (4,1)(3,4)-⋃D ． (4,3)(1,4)--⋃-3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7245S S -=，则5a =（ ）A ．7B ．9C ．14D ．184．根据如下程序框图，运行相应程序，则输出n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12 B ． 22 C ．3 D ． 236．已知不过原点O 的直线交抛物线22y px =于,A B 两点，若,OA AB 的斜率分别为2,6OA AB k k ==，则OB 的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-37．已知函数()sin(2)cos(2)(0)f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，则满足()()2f x f x π=-，则=ϕ（ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π 8．将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（ ）A ．310 B ．25 C ．320 D ．14 9．已知平面向量,,a b e r r r ，满足||1e =r ，1,2,||2a e b e a b ⋅=⋅=-+=r r r r r r ，则a b ⋅r r 的最大值为（ ） A ．-1 B ．-2 C ．52- D ．54- 10．已知实数,x y 满足约束条件5001202x y y x y x +-≥⎧⎪⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式22(1)2(42)0a x xy a y -++-≥，恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．73B ．53C11．已知函数22()ln (1)()f x x x a x a R =--∈,若()0f x ≥在01x <≤上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． 2a ≥B ． 1a ≥C ． 12a ≥D．4a ≥ 12．已知直线l 与曲线326139y x x x =-+-相交，交点依次为,,A B C，且||||AB BC ==，则直线l 的方程为（ ）A ．23y x =-+B ．23y x =-C ．35y x =-D ．32y x =-+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在27(1)(1)x x x -++的展开式中，4x 的系数为 ．14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，254a a +=，则8a = ．15．过圆224x y Γ+=：外一点作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆Γ于,A B 和,C D 点，则四边形ABCD 面积最大值为 ．16．已知正四面体P ABC -中，,,D E F 分别在棱,,PA PB PC 上，若PE PF ≠，7DE DF ==，2EF =，则四面体P DEF -的体积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2tan tan tan B b A B c=+． （1）求角A ；（2）若13,3a b ==，求边c 长．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABE ⊥平面ABCD ，底面为平行四边形，60DAB BAE ∠=∠=︒，9043AEB AB AD ∠=︒==，，．（1）求CE 的长；（2）求二面角A DE C --的余弦值．19．（本小题满分12分）从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组[12.5,15.5) [15.5,18.5) [18.5,21.5) [21.5,24.5) [24.5,27.5) [27.5,30.5) [30.5,33.5)频数 38 9 12 10 5 3（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5,33.5)的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均值x ，2δ近似为样本方差2s ，经过计算得2=22.41s ．利用该正态分布，求(27.43)P z ≥． 附：（1）若随机变量z 服从正态分布2(,)N μδ，则()0.6826P z μδμδ-<<+=，(22)0.9544P z μδμδ-<<+=；（24.73≈．20．（本小题满分12分）已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左、右顶点，||4AB =，且离心率为2． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，,PA PB 交椭圆Γ于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数22()ln(1)(1)ax x f x x x +=+-+，其中a 为常数． （1）当12a <≤时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，求11()ln(1)ln(1)g x x x x x=+++的最大值（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos {2sin x y θθ==（θ为参数），直线l的参数方程为{2x t y t ==-t 为参数），直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求||AB 的值；（2）若F 为曲线C 的左焦点，求FA FB ⋅u u u r u u u r 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数2()2,()|||1|,f x x g x x a x a R =+=---∈．（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若对任意12,x x R ∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．。

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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维，建立我们的信仰,从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

Ｔｈｅabove ｉs thｅwhoｌe content of ｔhis articlｅ, Gorｋy said：＂thｅｂｏoｋ is the ｌadder oｆ humaｎ pｒｏgrｅss." I hｏpe you cａｎ maｋｅ prｏｇress wiｔh thｅ helｐof this laddｅｒ. Ｍaｔerial ｌife ｉｓextremeｌy ｒiｃh, science aｎd tecｈnology are deveｌopiｎg rapiｄly, aｌl of ｗhiｃh gradｕalｌｙcｈａnｇe ｔｈe wａｙｏf ｐｅoｐle's study and leｉsurｅ. Manｙｐeople ａre no ｌonｇer eaｇｅｒ tｏpｕｒｓuｅ a dｏｃumｅnt，ｂｕt ａs long as yｏu stｉｌl havｅ such a smａｌl persｉstenｃｅ，ｙｏu wiｌl coｎtｉｎue tｏ grｏw aｎd pｒｏgres ｓ. Wｈeｎｔhe ｃoｍplex woｒlｄlｅａds ｕs ｔo ｃhase ouｔ， reａding aｎ aｒtｉｃｌe or dｏｉng a probｌem makes ｕs ｃalm dｏwｎ and r ｅtｕrn ｔo ｏuｒsｅlｖｅs．Ｗitｈ learnｉng， wｅ cａn activate ouｒ im ａgｉnatioｎ aｎd thinｋinｇ, estａｂlisｈｏｕr belief, ｋｅｅｐour ｐure spirｉtual worｌd ａnd rｅｓｉｓｔｔhe attaｃｋ of the eｘternａｌ wｏrld.。

湖北四地七校2018届高三数学2月联考试题（理科有答案）绝密★启用前荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2018届高三2月联考理科数学试题命题学校：宜昌一中本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数(其中是虚数单位）对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知，，，，则A．B．C．D．5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．20C．24D．486．已知实数满足约束条件若的最大值为4，则A．2B．C．3D．47．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为且，设则数列的前10项和等于A．55B．70C．85D．1008．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是A．3B．4C．D．89．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则= A．B．C．D．10．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为A．B．C．D．11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．则该巨响发生在接报中心的()处．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）A．西偏北45°方向，距离B．东偏南45°方向，距离C．西偏北45°方向，距离D．东偏南45°方向，距离12．对，设是关于的方程的实数根，（符号表示不超过的最大整数）．则A．1010B．1012C．2018D．2020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。