2018年广州中考数学一模一次函数与反比例函数汇编

【中考数学复习】一次函数与反比例函数知识提要初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲研究一次函数和反比例函数.一、一次函数1、定义：函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，若0=b 则称函数为正比例函数.2、图象：一次函数是过点（0，b ）和点（kb -，0）的直线.当b=0时的正比例函数)0(≠=k kx y 是过原点的一条直线，若k 与b 的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：3、性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；当0<k 时，y 随x 的增大而减小.（此性质为一次函数的单调性）另外，正比例函数关于原点O 中心对称4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式b kx y +=中的k 及b 的值，常用待定系数法来求一次函数.而正比例函数的解析式只需要一个条件.二、反比例函数1、定义：形如)0(≠=k x k y 形式称为反比例函数，定义域为0≠x 的所有实数.2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：3、性质：反比例函数x k y =在0>k 且0>x 时，函数值y 随x 的增大而减小；在0>k 且0<x 时，函数值y 随x 的增大而减小.即：当0>k 时，反比例函数x k y =分布在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，如图（1）所示.当0<k 时，反比例函数xk y =分布在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如图（2）所示.反比例函数x k y =图象上的点关于原点O 成中心对称的.当0>k 时，函数的图象关于直线x y =成轴对称；当0<k 时，函数的图象关于直线x y -=成轴对称.4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出xk y =)0(≠k 中的k 即可.在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，是处理这类问题的重要方法.例1、已知正比例函数x y =和)0(>=a ax y 的图象与反比例函数xky =（k>0）的图象在第一象限内分别相交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设△AOC 和△BOD 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系怎样？例2、两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象如图所示，点1P ，2P ，3P ，…2005P 在反比例函数x y 6=图象上，它们的横坐标分别是1x ，2x ，3x ，…2005x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点1P ，2P ，3P ，…2005P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次是)(111y x Q ，，)(222y x Q ，，)(333y x Q ，，…)(200520052005y x Q ，，则_________2005=y .例3、平面直角坐标系内有A （2，－1）、B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标.例4、已知一次函数的图象经过点（2，2），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.例5、已知A （-2，0）、B （4，0），点P 在直线221+=x y 上，若△PAB 是直角三角形，求点P 的坐标.例6、已知两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供两个方面的信息，如图所示，请根据图中提供的信息，求：（1）第2年全县生产甲鱼的只数及甲鱼池的个数；（2）到第6年，这个县的甲鱼养殖规模比第1年是扩大了还是缩小了，请说明理由.例7、如图，已知C 、D 是双曲线xm y =在第一象限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是（11y x ，）、（22y x ，），连接OC 、OD.（1）求证：111y m y OC y +<<；（2）若α=∠=∠AOD BOC ，31tan =α，10=OC ，求直线CD 的解析式.（3）在（2）的条件下，双曲线是否存在一点P ，使POD POC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.例8、有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若20分钟后只放水不进水，求多长时间能将水放完？例9、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图），观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息解答下列问题：（1）药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为__________，自变量x 的取值范围是___________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为____________.（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？例10、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表所示：家电名称空调器彩电冰箱工时/个213141产值/千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）练习1、已知0≠abc 并且p b a c a c b c b a =+=+=+而直线p px y +=一定通过（）A 第一、二象限B 第二、三象限C 第三、四象限D 第一、四象限2、函数kx y =和)0(<=k x k y 在同一坐标系中的图象是（）3、一次函数b kx y +=过点)(11y x ，和)(22y x ，，且0>k ，b<0，当210x x <<时，有（）A 21y b y >>B 21y b y <<C b y y <<<210D 012<<<y b y 4、若点（-2，1y ），（1，2y ），（2，3y ）在反比例函数x y 21=的图象上，则下列结论正确的是（）A 123y y y >>B 312y y y >>C 132y y y >>D 321y y y >>5、反比例函数x k y =的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是下列正比例函数图象中的（）A kxy -=B x k y =C x k k y =D kxy =6、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）A 4个B 5个C 6个D 7个7、如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xk y =（0>k ）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…20S ，则__________2021=+++S S S .8、不论k 为何值，解析式0)11()3()12(=--+--k y k x k 表示函数的图象都经过一定点，则这个定点是_________.9、如图所示，直线l 和双曲线x k y =（0>k ）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP.设△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，△POE 的面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是______________.10、甲、乙两车出发后再同一条公路行驶，行驶路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：（1）出发行驶在前面的车是_________，此时两车相隔_________；（2）两车的速度分别为甲：___________千米/小时，乙：_________千米/小时，经过___________小时，快车追上慢车；（3）甲、乙两车均行驶600千米时各用的时间分别是：甲用_________小时，乙用__________小时.11、如图，函数221+-=x y 的图象交y 轴于M ，交x 轴于N ，MN 上两点A ，B 在x 轴上射影分别为11B A 、，若411>+OB OA ，则A OA 1∆的面积1S 与B OB 1∆的面积2S 的大小关系是_____________.12、已知非负数x 、y 、z 满足323=++z y x ，433=++z y x ，则z y x w 423+-=的最大值为_________，最小值为__________.13、在直角坐标系中，有四个点：A （-8，3），B （-4，5），C （0，n ），D （m ，0）,当四边形ABCD 的周长最短时，求nm 的值.14、设直线1)1(=++y k kx （k 是自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为1S ，2S ，…，2000S .求200021S S S +++ 的值.15、如图（1），已知直线m x y +-=21与反比例函数xk y =的图象在第一象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别于x 、y 轴交于C 、D ，AE ⊥x 轴于E.（1）若OE·CE=12，求k 的值；（2）如图（2），作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ；（3）在（1）（2）的条件下，5=EF ,52=AB ，P 是x 轴正半轴上一点，且△PAB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标.（1）（2）16、已知直线62+-=-k y x 和143+=+k y x ，若它们的交点在第四象限内.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线62+-=-k y x 上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.17、A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元，从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元，从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元.（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费w （元）关于x （台）的函数式，并求w 的最大值和最小值；（2）设从A 市调x 台到D 市，从B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x ，y 表示总运费w （元），并求w 的最大值和最小值.18、直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中∠BAC=90°.如果第二象限内有一点P （a ，21），使△ABP 的面积和△ABC 的面积相等，求a 的值.文式思维教育，传播知识，分享快乐19、如图，在直角坐标系中，点1O 的坐标为（1，0），⊙1O 与x 轴交于原点O 和点A ，又点B 、C 的坐标分别为（-1，0），（0，b ），且30<<b ，直线l 是过B 、C 点的直线.（1）当点C 在线段OC 上移动时，过点1O 作l D O 直线⊥1，交l 于D ，若a S S CBO BOC=∆∆1，试求b a 与的函数关系式及a 的取值范围.20、某仓储系统有20条输入传送带、20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（b ）,而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（c ），则在0时至2时有多少条输入传送带在工作？在4至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？。

2018一模函数压轴题汇编——参考答案【例题分析】例题1、解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，…………………………………………2分∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．…………………………………………3分（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，…………………………………………5分∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．故答案为．…………………………………………7分（3）如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，…………………………………………8分作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，…………………………………………10分∵F（，t），EF2=EB2，∴（）2+（t+）2=（）2，解得t=或，…………………………………………12分故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤…………………………………………14分例题2、解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；…………………………………………3分（2）①如图，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），…………………………………………4分过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，…………………………………………5分设D（a，=﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1.0），∴N（1，），∴==（a+2）2+；…………………………………………7分∴当a=2时，的最大值是；…………………………………………8分②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，………………………9分∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，…………………………………………10分过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴x D=﹣2，…………………………………………12分情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=，点D的横坐标为﹣2或﹣．…………………………………………14分例题3、解：(1)A(0,4)，B(4,0)，C(-1,0) ……………………………3分(2) ①AQ AO AQ COQP CO QP AO ==或 2431x x x =-2134x x x =-或 解得134x =或7x =, 均在抛物线对称轴的右侧. ∴点P 的坐标为1351(,)-416或（7，24）. …………………5分 （图1） ② Q (x ，4) ，P (x ,2-34x x ++) PQ =23x x -=PM ,△AEM ∽△MFP . 则有AM MPME PF=. ∵ME =OA ＝4，AM=AQ ＝x ,PM =PQ =23x x -，所以234x x xPF-=.得PF =4x -12，∴ OM =(4x -12)-x =3x -12. ………………7分 Rt △AOM 中，由勾股定理得222OM OA AM +=,∴222(312)4x x -+=，解得x 1=4,x 2=5.,均在抛物线对称轴的右侧. (图2) ∴点P 的坐标为（4,0）或（5，-6）.………………………………9分例题4、解:(1)由题意得，⎧⎪⎨⎪⎩∴二次函数的解析式为y =(10)B ∴，,其顶点坐标为(-(2)由题意知，3AO =,OB 60CBA ∴∠=︒，又BM BN =,∴△MBN将BMN ∆沿MN 翻折后，2t B N BN '==,60B NM BMN '∠=∠=︒，//,B N MB '∴(13t B '∴-）. …………………………5分若点B '=化简得：29t 9t=0-，t 0≠∴，此时，(10(0M N -，），，（3）由题意可得ABC ∆且30,60.BAC ABC ∠=︒∠=︒又分二种情况讨论：1),当P 在x 轴上时，过Q 作1PQ BQ x ⊥交轴于1P ,则1PBQ ABC ∆∆∽,此时1(10)P -，; 过Q 作2PQ x ⊥轴于2P ,则2QBP ABC ∆∆∽,此时21(0)2P，;P 在x 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………11分2),同理，当P 点在y 轴上时,设1PQ BQ y ⊥交轴于3P ，则3BPQ ABC ∆∆∽，此时3(03P，;过B 作4P B BQ ⊥交y 轴于4P ,但4,BP ACBQ BC≠则2QBP ABC ∆∆与不相似，P 在y 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………14分例题5、解: (1) 抛物线223(0)y ax ax a =--＞的对称轴为：212x a-=-=. ………………………1分 a ＞0，抛物线开口向上，大致图象如图所示. ∴当1x ≥时，y 随x 增大而增大；由已知：当24x ≤≤时，函数有最大值5.∴当4x =时， 5y =， 16835,1a a a ∴--==得：. 223y x x ∴=-- ……………………………2分令0,x = 得3y =- ，令0,y = 得13x x =-=或，∴ 抛物线与y 轴交于0（，-3）， 抛物线与x 轴交于-（1，0）、（3,0）. ……………………………3分 （2）2223(1)4y x x x =--=--,其折叠得到的部分对应的解析式为：2(1)43)y x x =--+<<（-1，其顶点为1,4（）. …………………4分图象与直线y n =恒有四个交点， ∴04n <<由2(1)4x n --+=，解得1x =(1),(1)B n C n ∴，BC =…………………………6分当以BC 为直径的圆与x 轴相切时，2BC n =.即：2n =，=24n n ∴=- ,得n =，04n <<，∴n =………………………8分 （另法：∵BC 直径，且⊙F 与x 轴相切，∴FC =y =n ,∵对称轴为直线x =1,∴F (1,n ),则C （1+n ,n ),又∵C 在2(1)43)y x x =--+<<（-1上， ∴2(11)4n n =-+-+，得12n -±=，04n <<，∴12n -+=（3）若关于m 的一元二次方程20040m y m k y -+-+= 恒有实数根，则须 200=)4(4)0y k y ∆---+≥（ 恒成立， ……………………………10分即2004416k y y ≤-+恒成立，即202124y k -+≤（）恒成立点00(,)P x y 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，004y ∴<≤，∴ 20212344y -+<≤（）， （ k 取 202124y -+（）值之下限）…………………………13分∴ 实数k 的最大值为3. ……………………………14分例题6、解：（1）∵C （0，3）．∴﹣9a=3，解得：a=﹣．令y=0得：ax 2﹣2 x ﹣9a=0， ∵a ≠0，∴x 2﹣2 x ﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ． ∴点A 的坐标为（﹣ ，0），B （3 ，0）．∴抛物线的对称轴为x= ．……………………………3分 （2）∵OA= ，OC=3， ∴tan ∠CAO= ， ∴∠CAO=60°．∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠DAO=30°．∴DO=AO=1． ∴点D 的坐标为（0，1）……………………………5分设点P 的坐标为（ ，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD=PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD=DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a=2或a=0，∴点P的坐标为（，2）或（，0）．……………………………6分当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）．…………………………8分（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3=0，解得：m=，∴直线AC的解析式为y=x+3．设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN=﹣+=．……………………………10分将y=x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为．……………………………12分过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=+2=．∴+=+=+===．…………………14分例题7、解：(1)由题意，得点B的坐标为(4，–1)．∵抛物线过点A(0，–1)，B(4，–1)两点，∴21,1144.2c b c -=⎧⎪⎨-=-⨯++⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-． ……………………………3分(2)ⅰ)∵A 的坐标为(0，–1)，C 的坐标为(4，3)．∴直线AC 的解析式为：y ＝x –1．设平移前的抛物线的顶点为P 0,则由(1)可得P 0的坐标为(2,1),且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(m ，m －1)，则平移后的抛物线的函数表达式为21()(1)2y x m m =--+-．解方程组21,1()(1).2y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩得{11,1,x m y m ==-{222,3.x m y m =-=- 即P (m ，m －1)，Q (m －2，m －3)．……………………………5分 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QE ∥y 轴，则 PE =m －(m －2)=2，QE =(m －1)－(m －3)=2． ∴PQ=AP 0．……………………………6分若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分以下两种情况：①当PQ 为直角边时：M 到PQ 的距离为为22(即为PQ 的长)． 由A (0，－1)，B (4，－1)，P 0(2，1)可知：△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0=22．过点B 作直线l 1∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ,则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：1y x b =+．又∵点B 的坐标为(4，–1)，∴114b -=+．解得15b =-． ∴直线l 1的解析式为：5y x =-．解方程组25,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩得：114,1,x y =⎧⎨=-⎩222,7.x y =-⎧⎨=-⎩ ∴1(4,1)M -，2(2,7)M --． ……………………………8分②当PQ 为斜边时：MP =MQ =2，可求得M 到PQ 的距离为为2．取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2，－1)．由A(0，－1)，F(2，－1)，P 0(2，1)可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且F 到AC 的距离为2．∴过点F 作直线l 2∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：2y x b =+．又∵点F 的坐标为(2，–1)，∴212b -=+．解得23b =-．∴直线l 2的解析式为：3y x =-． 解方程组23,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩ 得：1112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴3(12M -，4(12M -．综上所述：所有符合条件的点M 的坐标为： 1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(12M -，4(12M -．……………10分ⅱ) PQ NP BQ +存在最大值，理由如下： 由ⅰ)知PQ =22，当NP +BQ 取最小值时，PQ NP BQ+有最大值． 取点B 关于AC 的对称点B ′，易得B ′ 的坐标为(0，3)，BQ = B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN PQ ．∴四边形PQFN 为平行四边形．……………………………12分∴NP=FQ ．∴NP +BQ ＝F Q + B ′P ≥F B ′当B ′，Q ，F 三点共线时，NP +BQ最小，最小值为． ∴PQ NP BQ +的最大值． …………………………14分例题8、解：（１）y ＝－223x ＋43x ＋２………………………………………………………２分［或y ＝－228(1)33x -+］（２）△ＰＡＣ的周长有最小值．……………………………………………………１分连结ＡＣ、ＢＣ，∵ＡＣ的长度一定，∴要使△ＰＡＣ的周长最小，就是使ＰＡ＋ＰＣ最小．∵点Ａ关于对称轴x ＝１的对称点是Ｂ点，∴ＢＣ与对称轴的交点即为所求的点Ｐ（如图2）．…………………………………２分设直线ＢＣ（用BC l 表示，其他直线可用相同方式表示）的表达为BC l ：y ＝kx b +，则有302k b b +=⎧⎨=⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC l ：y ＝－23x ＋２．……………………………３分 把x ＝１代入，得y ＝43， 即点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）．…………………………………………………………４分 ∴△ＰＡＣ的周长取得最小值，取得最小值时点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）；作ＤＥ∥ＢＣ交x 轴于点Ｅ，ＤＥ交对称轴x ＝１于点Ｑ（如图3）．……………5分在Ｒt过点Ｄ作ＤＦ⊥y 轴于点Ｆ，交对称轴x ＝１于点Ｎ． ∵Ｒt △ＣＤＦ∽Ｒt △ＣＨＯ，∴CF CD CO CH=， ∴ＣＦ＝CO CD CH ⋅＝5，ＯＦ＝ＣＯ－ＣＦ＝２－5； 同样，FD CD OH CH =，ＦＤ＝OH CD CH ⋅5， x y，…………………………6分． ∵ＤＥ∥ＢＣ，∴可设DE l （过点Ｄ、Ｅ的直线）：y ＝－23x ＋1b ，把Ｄ点坐标代入其中，得－23⋅1b解得1b DE l ：y ＝－23x 8分点Ｅ的纵坐标为０，代入其中，解得x ＝３－5，．∵点Ｑ在对称轴x ＝１上，把x ＝１代入DE l 中，解得y ＝43∴Ｑ（１，43．ＰＱ＝43－（43ＥＨ＝３－5－１＝２－5． Ｓ＝Ｓ△ＰＤＥ＝Ｓ△ＰＤＱ＋Ｓ△ＰＥＱ＝12ＰＱ·ＤＮ＋12ＰＱ·ＥＨ＝12ＰＱ（ＤＮ＋ＥＨ）＝12·15（１－5＋２－5），化简得Ｓ＝－225m 10分 可知Ｓ是关于m 的二次函数．Ｓ存在最大值．配方可得：Ｓ＝－22(5m ＋12，由此可得，Ｓ取得最大值为12，…………12分取得最大值时m的值为：m14分例题9解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：b=2，∴y=﹣x2+2x+3．………………………………………………1分∴抛物线的对称轴为直线x=1．令x=0得：y=3，则C（0，3）．∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），B（3，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．…………………………………………………2分∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．………………………………………………3分（2）如图1所示：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，∴△EFG为等腰直角三角形．…………………………………………………6分∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．…………………………………………………7分（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．…………………………………………………8分①AM为矩形的对角线时，如图2所示：∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），∴N（0，2）．…………………………………………………10分∵由两点间的距离公式可知：MN==．∴NQ1=NQ2=，∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．…………………………………………………11分②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y轴，垂足为F．∵在△ANO中，AO=1，ON=2，∴tan∠ANO=，∴tan∠MNP4=，∴P4M MN=，NP4=MN=．…………………………………………………12分∴P4Q3=．∴P4E=P4Q3=1，EQ3=P4Q3=2．∵OE=OP4﹣P4E=4.5﹣1=3.5，∴Q3的坐标为（2，3.5）．…………………………………………………13分∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，）．综上所述，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，）．…………………………………………………14分例题10 解：（1）将(2,5)A -，(1,0)B -代入2y x bx c =++得42510b c b c -+=⎧⎨-+=⎩………………2分（每个各1分） 解得23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为223y x x =-- ………………3分 （2）将0y =代入223y x x =--得2230x x --=，解得121,3x x =-=∴点(3,0)C ……………………4分∵点P 直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴交AC 于点E ，如右图所示： 则1()2PAC C A S PE x x =-…………………5分 由(2,5)A -，(3,0)C 得直线AC 的解析式为：3y x =-+∴设2(,23)P x x x --，则点(,3)E x x -+ ………………………6分∴3(2)5C A x x -=--=22(3)(23)6E P PE y y x x x x x =-=-+---=-++……………………7分 ∴221155()(6)5152222PAC C A S PE x x x x x x =-=-++=-++ ……………………8分 ∵5125222()2b x a =-=-=-， 将12x =代入2551522PAC S x x =-++可得最大面积为1258PAC S =………………9分 （3）答：存在………………………10分1(1,8)Q ,2(1,2)Q -,3(1,6),Q 4(1,1)Q -………………………14分（注：每个坐标1分）【强化训练】1、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣1）2+4，将点（2，3）代入得到a=﹣1 ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，∴y=﹣x2+2x+3．……………………………3分（2）如图1，令y=0，则﹣（x﹣1）2+4=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，3），M（1，4），∴直线CM的解析式为y=x+3，……………………………4分令y=0，则x+3=0，∴x=﹣3，∴D（﹣3，0），∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DME=∠APE，∴△DEM∽△AEP，∴，……………………………6分∵A（﹣1，0），E（1，0），D（﹣3，0），M（1，4），∴DE=4，ME=4，AE=2，∴，∴PE=2，∴P（1，2）或（1，﹣2）；……………………………8分（3）如图2，当点P在x轴上方时，连接BP，∵PE是抛物线的对称轴，∴∠APE=∠BPE，∵∠ANB=2∠APE，∴∠ANB=∠APB，∴点A，B，N，P四点共圆，……………………………9分∴设圆心F的坐标为（1，n），∴PF=AF=NF，∵A（﹣1，0），N（2，3），∴AF=，NF=，∴n2+4=1+（3﹣n）2，∴n=1，……………………………10分∴F（1，1），PF=AF=，∴PE=+1，∴P（1，+1），当点P在x轴下方时，由对称知，P'（1，﹣﹣1），……………………………12分即：点P的坐标为P（1，+1），或（1，﹣﹣1）．……………………………14分2、解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．……………………………3分（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15| ……………………………5分（a）若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；（b）若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．……………………………7分由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．……………………………8分（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．……………………………10分由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．……………………………12分①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m=3+或m=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．……………………………14分3、解：⑴ 点C 的坐标为（0，2）．点A 坐标为（-1，0）． ……………………………3分⑵ AD=． ……………………………6分 ⑶ 要使，由于PQA=PDE ，所以只须∽，即须∽．……………………………8分○1 当0 <m<1时，点P 在x 轴下方，此时PQA 显然为钝角， 而PDE 显然为锐角，故此时不能有∽． ………………………10分○2 当1<m<2时， ，而此时1<m<2， 则应有，由此知>1． ……………………………12分 综上所述，当>1时，才存在实数m 使得∽， 从而有，此时；当0<1时， 不存在实数m 使得．……………………………14分4、解：（1）设抛物线解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，则有4＝a (6＋1)(6－3)，解得a ＝421， 故抛物线解析式为y ＝421(x ＋1)(x －3)，对称轴为x ＝-1＋32＝1，………………………2分 顶点坐标D （1，－1621）.……………………3分（2） 设E （1，t ），则有DE ＝t ＋1621， t ＝421(x ＋1)(x －3)即421x 2－821x －47－t ＝0 …………4分 故丨x 1－x 2丨＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16＋21t ，即FG ＝16＋21t ，由DE FG ＝157，解得DE ＝157FG ， ∴t ＋1621＝15716＋21t ，解得 t ＝173，故E （1，173）.……………………………6分 m 25DE PQ AQ CD ⋅=⋅∠∠PQA ∆CDE ∆PQA ∆PDE ∆∠∠PQA ∆CDE ∆a a m 1+=211<+<aa a a PQA ∆CDE ∆DE PQ AQ CD ⋅=⋅a a m 1+=≤a DE PQAQ CD ⋅=⋅如图，作∠ABC 的平分线与对称轴x ＝1的交点即为符合题意的H 点，记为H 1；在x 轴上取点R （-2，0），连接RC 交∠ABC 的平分线BH 1于Q ，则有RB ＝5；过点C 作CN ⊥x 轴交x 轴于点N在Rt △BCN 中，∵BC ＝RB ，BQ 平分∠ABC ，∴Q 为RC 中点∵R （-2，0），C （6，4）∴Q （2，2）.∵B （3，0），∴过点B 、Q 两点的一次函数解析式为y ＝-2x ＋6当x ＝1时，y ＝4.故H 1（1，4）…………………………8分如图，过点B 作BH 2⊥BH 1交对称轴于点H 2，则点H 2符合题意，记对称轴于x 轴交于点T.∵BH 2⊥BH 1，∴∠H 1BH 2＝90°即∠H 1BT ＋∠TBH 2＝90°∵∠H 1BT ＋∠TH 1B ＝90°，∴∠TBH 2＝∠TH 1B∵∠BTH 2＝∠H 1TB ＝90°，∴Rt △BTH 2∽Rt △H 1TB∴BT H 1T ＝H 2T TB ＝即24＝H 2T 2解得H 2T ＝1即H 2（1，-1）综上，H 1（1，4），H 2（1，-1）.………………10分（3）存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. 理由如下： 如图，在对称轴上取点K （1，3），则EI ＝173－32＝256，JI ＝4－32＝52，IK ＝3－32＝32故 EI JI ＝JI IK ＝53，∵∠JIE ＝∠KIJ ∴△IJE ∽△IKJ ， ∴EJ KJ ＝IJ IK ＝53，即KJ ＝35EJ …………………………12分 从而CJ ＋35EJ ＝CJ ＋KJ ，当且仅当K 、J 、C 三点共线时， （CJ ＋λ·EJ ）min ＝KC ＝26，即（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26故存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. ……………………………14分5、解：（1）∵直线l ：y=x +m 经过点B （0，﹣1），∴m=﹣1， ……………………………1分∴直线l 的解析式为y=x ﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2……………………………2分（2）∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，……………………………5分∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；……………………………7分（3）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，……………………………9分在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，……………………………11分在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，……………………………13分∴当t=2时，p有最大值；……………………………14分6、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；……………………………3分（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；…………………………13分此时，P点的坐标为（3，）．…………………………14分【课后训练】1、解：（1）由题意得，，∴，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；…………………………3分（2）如图2，∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+3；∴B（﹣3，0），∵A（1，0），∴AB=4，…………………………………………4分在x轴上方抛物线的对称轴上，取一点M，使DM=AB=2，∴∠AMB=90°，M（﹣1，2），∴MA=2，………………………………………………………5分以点M为圆心，以MA为半径，作圆，与y轴正半轴相较于点N，即：∠ANB=45°，∴MN=MA=2，…………………………………………6分设点N（0，m）（m＞0），∴=2，∴m=2+或m=2﹣（舍）即：当∠ANB=45°时，N（0，2+）；…………………………………………8分（3）如图3，∵D（﹣1，0），C（0，3），∴直线CD的解析式为y=3x+3，过点D作DE⊥CD交y轴于E，∴直线DX的解析式为y=﹣x﹣，…………………………………………9分∴E（0，﹣），∵∠CDP=45°，∴DF是∠CDE的平分线，∴，…………………………………………10分设F（0，n），∵C（0，3），∴CF=3﹣n，EF=n+，∵D（﹣1，0），C（0，3），E（0，﹣），∴CD=，DE=，…………………………………………11分∴，∴n=，∴直线DF的解析式为y=x+①，…………………………………………12分∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3②；联立①②得，，或（舍）∴点P的坐标（，）．…………………………………………14分2、解：⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， ……………………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，…………………………………………2分∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点．…………………………………………3分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， …………………………………………4分 ∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)，∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． …………………………………………5分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，…………………………………………6分显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，………………………7分故1=n ． …………………………………………8分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， …………………………………………5分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， …………………………………………7分解得 1=n ． …………………………………………8分⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)，翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点；………………10分 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点； ………………………………………12分当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点，∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ．…………………………………………14分3、解：（1）∵抛物线y=﹣ x +2与y 轴交于点C ， ∴C （0，2），令y=0，则0=﹣x +2， ∴x=﹣1或x=4，…………………………………………1分∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣1，0），B （4，0），∴OA=1，OB=4，OC=2，根据勾股定理得，AC= ，BC=2 ，∵AB=OA +OB=5，∴AC 2+BC 2=5+20=25=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，…………………………………………2分∴AB 是Rt △ABC 的外接圆的直径，∴△ABC 的外接圆的圆心是线段AB 的中点，∴其坐标为（，0）；…………………………………………3分（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2，∵B（4，0），∴4k+2=0，∴k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，…………………………………………4分∵P是抛物线上一点，设点P（m，﹣m2+m+2）如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣m+2），…………………………………………5分①当点P在直线BC上方时，S△PBC=S△PQC+S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]×m﹣[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，…………………………………………6分∴此方程没有实数根；∴当点P在直线BC上方时，S△PBC ≠S△ABC，②当点P在直线BC下方时，S△PBC=S△PQC﹣S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）]×m﹣[（m+2）﹣（﹣m2+m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m﹣5=0，∴m=﹣1（舍）或m=5，∴P（5，﹣3）…………………………………………6分作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM=3，MB=1，根据勾股定理得，BP=，AP=3，过点B作BN⊥AP于N，∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴，，∴BN=，…………………………………………7分在Rt△BPN中，PN==，∴BN=PN，∴∠APB=45°；…………………………………………8分（3）存在，如图2，∵抛物线y=﹣x+2的对称轴为x=，由（2）知，P（5，﹣3），BP=，设E（n，﹣n2+n+2），…………………………………………9分①当点E在抛物线对称轴右侧时，即：点E处时，EF=BP=，∴点E到对称轴的距离为EG=BM=1，∴n﹣=1，∴n=，∴E（，），易知，FG=PM=3，∴F（，）；…………………………………………11分②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'=BP=，∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，∴﹣n=1，∴n=，∴E'（，），易知，F'G'=PM=3，∴F'（，﹣）．…………………………………………13分即：满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．…………………………………14分4、解：（1）∵抛物线y=mx 2+（m +2）x +2过点（2，4）， ∴m•22+2（m +2）+2=4，解得m=﹣，…………………………………1分∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x +2，令y=0，则﹣x 2+x +2=0，整理得，x 2﹣5x ﹣6=0，解得x 1=﹣1，x 2=6，令x=0，则y=2，∴A （﹣1，0），B （6，0），C （0，2），…………………………………2分 ∴()721621=⨯+⨯=∆ABC S …………………………………3分（2）过点B 作BM ⊥CD 交CD 的延长线于M ， 在Rt △DOC 中，∵OC=OD=2，∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，在Rt △BMD 中，∵BD=6﹣2=4，∴DM=BM=4×=2，…………………………………5分在Rt△CMB中，tan∠BCM===，又∵tan∠ACO==，∴∠ACO=∠BCD；…………………………………7分（3）①由勾股定理得，BC==2，BE=DE时，点E的横坐标为6﹣×（6﹣2）=4，点E的纵坐标是×（6﹣2）×=，所以，点E1（4，）；…………………………………8分BE=BD时，点E的横坐标为6﹣（6﹣2）×=6﹣，点E的纵坐标为（6﹣2）×=，所以，点E2（6﹣，），综上所述，点E1（4，）或E2（6﹣，）时，△BDE是等腰三角形；…………………………………10分②设P（x，﹣x2+x+2），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，则直线CD的解析式为y=﹣x+2，∴点Q（x，﹣x+2），S△CDP=S△CPQ﹣S△DPQ，=PQ•OF﹣PQ•DF，=PQ•OD，∵OD=2，=PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+x（0＜x＜6），…………………………………11分∴S△CDP∵S=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，△CDP的面积最大，此时，﹣x2+x+2=﹣×42+×4+2=，∴点P（4，），…………………………………12分设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线PD的解析式为y=x﹣，…………………………………13分直线BC的解析式为y=﹣x+2，联立，解得，所以，点E的坐标为（，）．…………………………………14分5、解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．…………………………………1分当x=4时，y=．∴E（4，）．…………………………………2分设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．…………………………………3分（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．…………………………………5分如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∴tan∠KCP=．…………………………………6分∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=．∴∠ODD=∠KCP=30°．∴∠KCD=30°．∵k是BC的中点，∠OCB=60°，∴OC=CK．∴点O与点K关于CD对称．…………………………………7分∴点G与点O重合．∴点G（0，0）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．…………………………………8分∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．…………………………………10分（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．…………………………………11分∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．…………………………………13分∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．…………………………………13分综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．…………………………………14分。

2018一模一次函数与反比例汇编——参考答案【例题分析】例题1、选B．例题2、选D 例题3、 4 例题4、32 例题5、16 例题6、例7、解：（1）在矩形ABCD 中，BC ＝OA ＝3，AB ＝OC ＝4∵CE ＝a ＝2∴点E 的坐标为（2,4）把点E （2,4）代入y ＝k x得k ＝8 （2）DA ＝OA －OD ＝3－1＝2，点E 的坐标为（a ，4）∵点E 、F 均在函数y ＝k x上 ∴k ＝4a ，点F （3，43a ） S 梯形ODEC ＝OC ×OD ＋CE 2＝4×1＋a 2＝2＋2a S △BEF ＝BE ×BF 2＝12(3－a )(4－43a )＝23a ²－4a ＋6 S △ADF ＝AD ×AF 2＝12×2×43a ＝43a S △DEF ＝S 矩形OABC －S 梯形ODEC －S △BEF －S △ADF ＝23a ²＋23a ＋4对称轴为a ＝12，开口向下，且14≤a ≤52∴当a ＝12时，S 最大＝256；当a ＝52时，S 最小＝32【强化训练】1、选B ；2、3；3、4、835、解：（1）把A （2，m ）代入y = 6x得：m =3 ∴点A 坐标为（2,30）把B （n ，－2）代入y = 6x 得：6x= －2，n=－3 ∴点B 坐标为（－3，－2）把A （2,3），B （－3，－2）分别代入y =kx ＋b 得：⎩⎨⎧2k ＋b = 3－3k ＋b = －2 解得：⎩⎨⎧k =1b =1 ∴一次函数解析式为：y ＝x ＋1，m ＝3，n ＝－3（2）由图可知：当x ＜－3或0＜x ＜2时，6x＜kx ＋b ∴6x－kx ＜b 的解集是x ＜－3或0＜x ＜2 6、解：（1）作BM ⊥x 轴于M ，作DN ⊥x 轴于N ，如图， ∵点A ，B 的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA ﹣AN=4，∴D 点坐标为（4，2），把D （4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S 四边形ODBE =S 梯形OABC ﹣S △OCE ﹣S △OAD=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．7、解：（1）将x=1代入直线y=4﹣x得，y=4﹣1=3，则A点坐标为（1，3），将A（1，3）代入y=（m＞0，x＞0）得，m=3，则反比例函数解析式为y=，组成方程组得，解得，y=1，x=3，则B点坐标为（3，1）．当不等式4﹣x＜时，0＜x＜1或x＞3．（2）存在．点A、B在直线y=4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）．如右图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，则AM=4﹣a，PM=1﹣a；过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4﹣b，PE=b﹣1．∵点P在以AB为直径的圆上，∴∠APB=90°（圆周角定理）．易证Rt△AMP∽Rt△PEB，∴=，即，整理得：5（a+b）﹣2ab=17 ①∵点A、B在双曲线y=上，∴a（4﹣a）=m，b（4﹣b）=m，∴a2﹣4a+m=0，b2﹣4b+m=0，∴a、b是一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴a+b=4，ab=m．代入①式得：5×4﹣2m=17，解得：m=．∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m=．【课后训练】1、选B2、选D3、解：4、解：（1）∵点A （6，2）在反比例函数y ＝k x的图象上 ∴6212k =⨯=，即反比例函数函数解析式为12y x =， 将B （－4，n ）代入12y x =，得：1234n ==--， ∴43B --（，），把A （6，2），43B --（，）代入y ＝ax ＋b ，得：6243a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴一次函数解析式为112y x =-，反比例函数解析式为12y x =。

2018一模计算题汇编——参考答案一、一元一次方程1、（育才一模）解方程：()4321x x -=-解： 2234-=-x x3224+-=-x x 12=x21=x2、（广州中学一模）解方程：1615312=--+x x 解：-3x 3x - 2-1-65x -4x 61524 6)15(1226====+-+=--+x x x x ）（得，等式两边同时二、解不等式/组1、（海珠区一模）解不等式组⎩⎨⎧≥--+1)1(2042x x x ＞解：解①得：2-＞x解②得：1≤x此不等式组的解集为：12-≤x ＜2、（二中一模）解不等式 2123+-x x ＞，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：146+-x x ＞416+-＞x x 55＞x 1＞x解集1＞x 在数轴上表示如下：3、（荔湾区一模）解不等式组⎩⎨⎧++≥7)2(251-3x x x ＜，并把解集在数轴上表示出来.解：解①得：2≥x解②得：3＜x此不等式组的解集为：32＜x ≤ 解集32＜x ≤在数轴上表示如下：4、（汇景实验一模）解不等式：)1(35-≥+x x解： 335-≥+x x533---≥x x 82--≥x 4≤x5、（越秀八一一模）解不等式组 ⎩⎨⎧-≤-4)2(36-2x x x ＞.解：解①得：3-＞x解②得：1≤x此不等式组的解集为：13-≤x ＜6、（增城一模）解不等式组 ⎩⎨⎧≤-+0203x x ＞，并把它的解集在数轴上表示出来。

解：解①得：3-＞x解②得：2≤x此不等式组的解集为：23-≤x ＜解集23-≤x ＜在数轴上表示如下：7、（黄埔区一模）解不等式组 ⎩⎨⎧--+2453x43x x x ＜＞.解：解①得：2-＞x解②得：3-＞x此不等式组的解集为：2-＞x三、二元一次方程组1、（番禺区一模）解方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x解：由①得，y x -=3③③代入②得，13)3(2=--y y 即55-=-y 解得1=y把1=y 代入③得，2=x∴原方程组的解为⎩⎨⎧==12y x ．2、（天河区九校）解方程组⎩⎨⎧=-=+112332y x y x解：①+②得， 144=x解得27=x 把27=x 代入①得，3227=+y即212-=y解得41-=y① ②∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==41-27y x ．四、分解因式1、（白云区一模）分解因式：822-x解：原式()422-=x)2(22-+=x x ）（五、一元二次方程1、（花都一模）解方程：0562=+-x x解：1,532234)3(95965621222==+±=±=-=-+-=+--=-x x x x x x x x x2、（广大附中一模）解方程：（1）22)1(3-=-x x x 解：32,1023010)23)(1(0253022332122===-=-=--=+-=+--x x x x x x x x x x x 或六、分式方程1、（省实一模）解方程：312-=x x解：6x 6x -2x 62 323===-=--⨯xx x x x x ）（得，）（等式两边同时经检验，6=x 是原方程的解2、（一中一模）解方程：141-x 21x 12-=++x解：1x 33x 12-4x 2x 4221 4)1(21)1)(1(==+=+=++-=++-+-⨯x x x x x x ）得，（等式两边同时 经检验，1=x 时01,012=-=-x x ，所以原方程无解。

2017年广州中考数学一模一次函数与反比例函数汇编例题分析例题1、（二中一模）如图，一次函数y ax b =+的图像分别与x 轴、y 轴的负半轴相交于A B 、，则下列结论一定正确的是（ ）A. 0a b -＞B.0a b +＞C.0b a -＞D.0a b --＞例题2、（白云一模）在反比例函数y ＝13mx-的图象上有两点Ａ（1x ，1y ），Ｂ（2x ，2y ），当1x ＜０＜2x 时，有1y ＜2y ，则m 的取值范围是 ( )A.m ＞０B.m ＜０C. m ＞13D. m ＜13例题3、（白云一模）如图，一条直线分别交x 轴、y 轴于Ａ、Ｂ两点，交反比例函数y ＝mx（m ≠０）位于第二象限的一支于C 点，OA=OB=2． （1）m ＝ ；（2）求直线所对应的一次函数的解析式；（3）根据（1）所填m 的值，直接写出分解因式2a ＋ma ＋７的结果．x例题4、（南沙一模）如图)0,4(-A ，)3,1(-B ，以OA 、OB 为边作□OACB ，经过A 点的一次函数b x k y +=1与反比例函数y =k 2x的图象交于点C ．（1） 求一次函数b x k y +=1的解析式；（2）请根据图象直接写出在第二象限内，当xk b x k 21>+时，自变量x 的取值范围； （3）将□OACB 向上平移几个单位长度，使点A 落在反比例函数的图象上．例题5、（海珠一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1+b y ax =（a ≠ 0）的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数2ky x=（c ≠0）的图象相交于点B （3，2）、C （－1，n ）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式;（2）根据图象，直接写出1y >2y 时x 的取值范围;（3）在y 轴上是否存在点P ，使△P AB 为直角三角形，如果存在，请求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．例题6、（省实一模）已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．例题7、（二中一模）如图，点A是双曲线yx=在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边做等边ABC∆，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值是__________.强化训练1、（天河一模）已知一次函数y=（m-2）x+3的图象经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是（ ） A. m<0 B. m>0 C. m<2 D. m>22、（二中一模）甲、乙、丙三维同学分别正确指出了某一个函数的性质，甲：函数的图像经过第一象限；乙：函数的图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 随x 的增大而减小。

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。

2018年广东省广州市白云区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共10小题．有小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．（3分）下列说法正确的是（）A．直线BA与直线AB是同一条直线B．延长直线ABC．射线BA与射线AB是同一条射线D．直线AB的长为2cm3．（3分）下列计算，正确的是（）A．3+2ab＝5ab B．5xy﹣y＝5xC．﹣5m2n+5nm2＝0D．x3﹣x＝x24．（3分）矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以下结论不一定成立的是（）A．∠BCD＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OC＝CD 5．（3分）不等式组的整数解有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则AC：AB＝（）A．3：5B．3：4C．4：3D．4：57．（3分）下列说法错误的是（）A．必然发生的事件发生的概率为1B．不可能发生的事件概率为0C．不确定事件发生的概率为0D．随机事件发生的概率介于0和1之间8．（3分）下列判断中，正确的是（）A．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似C．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似9．（3分）若抛物线y＝x2+px+8的顶点在x轴的正半轴上，那么p的值为（）A．±4B．4C．﹣4D．010．（3分）如图，D、E、F分别为△ABC边AC、AB、BC上的点，∠A＝∠1＝∠C，DE ＝DF，下面的结论一定成立的是（）A．AF＝FC B．AE＝DE C．AE+FC＝AC D．AD+FC＝AB二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）如图，四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝°．13．（3分）已知二元一次方程组的解是方程kx﹣8y﹣2k+4＝0的解，则k的值为．14．（3分）从1至9这9个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是．15．（3分）若分式的值为0，则a＝．16．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为cm．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应智出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）分解因式：2x2﹣8．18．（9分）如图，C是线段BD的中点，AB∥EC，∠A＝∠E．求证：AC＝ED．19．（10分）我市某区为调查学生的视力变化情况，从全区九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，井将所得数据处理后，制成折线统计图（图①）和扇形统计图（图②）如下：解答下列问题：（1）该区共抽取了多少名九年级学生？（2）若该区共有9万名九年级学生，请你估计2018年该区视力不良（4.9以下）的该年级学生大约有多少人7（3）扇形统计图中B的圆心角度数为．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1的图象交y轴于点D，与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C．（1）点D的坐标为；（2）当AB＝4AC时，求k的值；（3）当四边形OBAC是正方形时，直接写出四边形ABCD与△ACD面积的比．21．（12分）如图，已知▱ABCD的周长是32cm，AB：BC＝5：3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．（1）求∠C的度数；（2）已知DF的长是关于x的方程x2﹣ax﹣6＝0的一个根，求该方程的另一个根．22．（12分）如图所示，A，B两地之间有一座山，原来从A地到B地需要经过C地，现在政府出资打通了一条山岭隧道，使从A地到B地可沿直线AB直接到达．已知BC＝8km，∠A＝45°，∠B＝53°．（1）求点C到直线AB的距离；（2）求现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B（，m）是以OA为直径的⊙M上的一点，且tan∠AOB＝，BH⊥y轴，H为垂足，点C（，）（1）求H点的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）直线BC是否与⊙M相切？请说明理由．24．（14分）如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高．（1）尺规作图：作∠C的平分线，交AB于点E，交AD于点F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）；（2）在（1）的条件下，过F画BC的平行线交AC于点H，线段FH与线段CH的数量关系如何？请予以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE、DH．求证：ED⊥HD．25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，其对称轴为x＝1，且A（﹣1，0）、C（0，2）．（1）直接写出该抛物线的解析式：（2）P是对称轴上一点，△P AC的周长存在最大值还是最小值？请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标；（3）设对称轴与x轴交于点H，点D为线段CH上的一动点（不与点C、H重合）．点P是（2）中所求的点．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．若CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的数关系式，试说明S是否存在最值．若存在，请求出最值，井写出S取得的最值及此时m的值；若不存在，请说明理由．2018年广东省广州市白云区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题．有小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．2．【解答】解：A．直线BA与直线AB是同一条直线，故本选项正确；B．延长线段AB，故本选项错误；C．射线BA与射线AB不是同一条射线，故本选项错误；D．线段AB的长为2cm，故本选项错误；故选：A．3．【解答】解：A、一个是数字，一个是字母，不是同类项，不能合并，错误；B、字母不同，不是同类项，不能合并，错误；C、正确；D、字母的指数不同，不是同类项，不能合并，错误．故选：C．4．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，即选项A、B、C都正确，选项D不一定正确；故选：D．5．【解答】解：对一元一次不等式组求解可得：﹣1≤x＜1.5．又由于x是整数，则x可取﹣1，0，1．故不等式组的整数解有3个．故选：B．6．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴设BC＝3x，则AB＝5x，故AC＝4x，故AC：AB＝4：5．故选：D．7．【解答】解：A、必然发生的事件发生的概率为1，正确；B、不可能发生的事件概率为0，正确；C、不确定事件发生的概率＞0并且＜1，错误；D、随机事件发生的概率介于0和1之间，正确．故选：C．8．【解答】解：A，C没有指明角是顶角还是底角无法判定；D没有指明谁是底边谁是腰，所以不相似；B中因为边的比值为2：1，所以大的一定是腰，否则不能组成三角形，所以对应边都成比例，相似．故选：B．9．【解答】解：∵抛物线y＝x2+px+8的顶点在x轴的正半轴上，∴p＜0，且b2﹣4ac＝p2﹣32＝0，解得：p＝﹣4．故选：C．10．【解答】解：∵∠A＝∠1，∠CDE＝∠1+∠CDF＝∠A+∠AED，∴∠CDF＝∠AED，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，AD＝CF，∴AE+FC＝CD+AD＝AC，故选：C．二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．12．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，∴∠C+∠D＝360°﹣180°＝180°．故答案为：180．13．【解答】解：由方程组，得，∵二元一次方程组的解是方程kx﹣8y﹣2k+4＝0的解，∴k×1﹣8×0﹣2k+4＝0，解得，k＝4，故答案为：4．14．【解答】解：P（2的倍数或是3的倍数）＝＝．故本题答案为：．15．【解答】解：由题意，得|a|﹣3＝0且（a+2）（a﹣3）≠0，解得a＝﹣3，故答案为：﹣3．16．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE＝BC＝x，CE＝2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF＝DF＝4，由勾股定理得，R2＝AE2+CE2＝AF2+DF2，即x2+4x2＝（x+4）2+42，解得，x＝4，∴R＝4cm，故答案为：4三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应智出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）．18．【解答】解：∵C是线段BD的中点，∴BC＝CD，∵AB∥EC，∴∠B＝∠ECD，在△ABC与△ECD中，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴AC＝ED．19．【解答】解：（1）1200÷40%＝3000（人），∴该区共抽取了3000名九年级学生；（2）90000×40%＝36000（人），∴2018年该区视力不良（4.9以下）的该年级学生大约有36000人；（3）扇形统计图中B的圆心角度数为30%×360°＝108°，故答案为：108°．20．【解答】解：（1）由于点D是一次函数y＝kx+1的图象与y轴的交点，当x＝0时，kx+1＝1所以点D的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）；（2）设AC＝x，则AB＝4x，所以点A（x，4x）由于点A在反比例函数y＝上，所以16＝x•4x，整理，得x2＝4，所以x＝2或x＝﹣2（舍去），所以点A（2，8），因为A在一次函数y＝kx+1的图象上，所以8＝2k+1，解得：k＝3.5；（3）由于点A在反比例函数y＝上，所以AB•AC＝16∵四边形OBAC是正方形，∴OB＝AB＝AC＝OC＝4，∵OD＝1，∴CD＝3，∵S四边形ABDC＝＝（3+4）×4＝14S△ACD＝AC•CD＝×4×3＝6∴则四边形ABDC与△ACD面积的比7：3．21．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∴∠EAF+∠C＝360°﹣90°﹣90°＝180°．又∵∠EAF＝2∠C，∴∠C＝60°．（2）∵▱ABCD的周长是32cm，AB：BC＝5：3，∴AB＝10cm，BC＝6cm．在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝6cm，∠ADF＝∠C＝60°，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝3cm．∵DF的长是关于x的方程x2﹣ax﹣6＝0的一个根，∴方程的另一根为﹣6÷3＝﹣2．22．【解答】解：（1）如图所示，作CD⊥AB于点D，由题意知，∠B＝53°、∠A＝45°、BC＝8，则CD＝BC sin B＝8sin53°≈6.4；（2）∵BD＝BC cos53°≈4.8，AD＝CD＝6.4，∴AB＝AD+BD＝11.2，又∵AC＝CD≈9.0，∴AC+BC＝9.0+8＝17.0，则17.0﹣11.2＝5.8（km），答：现在从A地到B地可比原来少走5.8km路程．23．【解答】解：（1）如图，连结OB，∵点B（，m），tan∠AOB＝，∴OH＝÷tan∠AOB＝，∴H点的坐标为（0，）；（2）∵H点的坐标为（0，），∴点B（，），∵点C（，），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（3）∵点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，），∵点B（，），点C（，），∴BC＝＝，BM＝＝，CM＝，∵（）2+（）2＝（）2，∴△BMC是直角三角形，∠MBC＝90°，∴直线BC与⊙M相切．24．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：FH＝HC．理由：∵FH∥BC，∴∠HFC＝∠FCB，∵∠FCB＝∠FCH，∴∠FCH＝∠HFC，∴FH＝HC．（3）∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠CAD+∠ACF，∠ACF＝∠ECB，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵FH∥CD，∴＝，∵AF＝AE，CH＝FH，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠DCH，∴△EAD∽△HCD，∴∠ADE＝∠CDH，∴∠EDH＝∠ADC＝90°，∴ED⊥DH．25．【解答】解：（1）由题意抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+x+2．（2）如图1中，连接BC甲对称轴于P，此时△P AC的周长最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵C（0，2），B（3，0），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴P（1，）．（3）如图2中，连接BD．作DF⊥AB于F．∵DE∥BC，∴S△PDE＝S△BED，∵H（1，0），C（0，2），∴CH＝，BH＝2，∵＝，∴＝，∴BE＝m，∵DF∥OC，∴＝，∴＝，∴DF＝（﹣m），∴S＝•BE•DF＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，s有最大值，最大值为，。