相似三角形判定(2019年11月整理)

相似三角形的判定公式1.AAA相似判定法：若两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么由内角和相等可得：∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以：∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C所以，两个三角形的内角和相等，从而可以得出它们的内角之间是一一对应的，所以这两个三角形是相似的。

2.相似三角形的边长成比例判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF我们可以通过对等式两边进行交叉相乘来验证这个结论。

将第一个比例的等式交叉相乘得到：AB·EF=BC·DE再将第二个比例的等式交叉相乘得到：AC·DE=AB·DF由于AB·EF=BC·DE，所以AB/DE=BC/EF由于AC·DE=AB·DF，所以AC/DF=AB/DE从而可以得到这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF根据证明方法2可知，这个结论也是成立的。

综上，根据AAA相似判定法、相似三角形的边长成比例判定法和SSS 相似判定法，我们可以判断两个三角形是否相似。

需要注意的是，这些判定公式只是一种方法，具体使用时，需要根据实际情况进行选择和应用。

同时，对于相似三角形问题，还可以利用相似三角形的性质进行解题，例如利用相似三角形的边长比例关系求解未知边长或角度等。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。

相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。

3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。

4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。

5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。

这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。

三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。

3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。

这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。

四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。

下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。

2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。

通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。

3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。

，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。

，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。

相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。

记作△ABC∽△DEF。

2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。

(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。

3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。

即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。

即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。

即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。

(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。

4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。

即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。

(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。

即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。

5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。

即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。

(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。

即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。

6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。

即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。

(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。

即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。

7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。

(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。

相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。

相似三角形的判定简写相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在数学中，我们可以通过比较三角形的边长和角度来确定它们是否相似。

以下是相似三角形的判定简写及相关参考内容。

1. SSS判定法（Side-Side-Side）SSS判定法是一种通过比较三角形的边长来判定相似性的方法。

如果两个三角形的各边长度对应相等，则它们是相似的。

相关参考内容："相似三角形的判定准则""三角形的边长比较法"2. SAS判定法（Side-Angle-Side）SAS判定法是一种通过比较三角形的边长和夹角来判定相似性的方法。

如果两个三角形的两边比值相等，并且夹角相等，则它们是相似的。

相关参考内容："相似三角形的判定条件""三角形的边长和夹角关系"3. AA判定法（Angle-Angle）AA判定法是一种通过比较三角形的角度来判定相似性的方法。

如果两个三角形的两个角度相等，则它们是相似的。

相关参考内容："相似三角形的判定简写""角度相等的三角形相似性判定"4. AAA判定法（Angle-Angle-Angle）AAA判定法是一种通过比较三角形的所有角度来判定相似性的方法。

如果两个三角形的所有角度相等，则它们是相似的。

相关参考内容："三个角度相等的三角形相似判定""相似三角形的判定准则与条件"5. 相似三角形的性质相似三角形具有以下性质:- 边长成比例：两个相似三角形的各边对应成比例。

- 角度相等：两个相似三角形的各个角度相等。

- 高度成比例：两个相似三角形的各个高度对应成比例。

相关参考内容："相似三角形的性质和应用""相似三角形的基本概念及性质"需要注意的是，以上提供的参考内容是一些可能出现的描述，而非真实存在的文献或网址。