2018_2019高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式预习学案新人教A版选修4_5

绝对值三角不等式知识梳理1.绝对值的几何意义实数a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为___________的点A 到___________________的距离.对于任意两个实数a,b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a-b|的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的___________，即线段AB 的___________.2.绝对值三角不等式如果a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当___________时，等号成立. 绝对值三角不等式的几何意义是___________.3.三个实数的绝对值不等式如果a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a -b|+|b-c|,当且仅当___________时，等号成立. 知识导学在掌握本节知识的过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a∈R ,则|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,时当时当a a a a|a|≥0，-|a|≤a≤|a|,|a|2=a 2.掌握绝对值的运算性质： |ab|=|a|·|b|,|b a |=||||b a (b≠0),2a =|a|. 含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|;|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |;|a|-|b|≤|a -b|≤|a|+|b|.在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件. |a+b|=|a|+|b|(ab≥0);|a-b|=|a|+|b|(ab≤0);|a|-|b|=|a+b|［(a+b)b≤0］;|a|-|b|=|a-b|［(a-b)b≥0］.疑难突破1.对绝对值三角不等式的理解绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|-|b|≤|a -b|≤|a|+|b|和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0,ab<0，ab=0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往再所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.2.对绝对值三角不等式几何意义的理解用向量a ,b 替换实数a,b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ,b 不共线时，a +b ,a ,b 构成三角形，有|a +b |<|a |+|b |.当向量a ,b 共线时，a ,b 同向（相当于ab≥0)时，|a+b|=|a|+|b|;a,b异向（相当于ab<0）时，|a+b|<|a|+|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a+b|是不小于||a|-|b||的，|a|-|b|不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确.。

1．绝对值三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题．, [学生用书P13])1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a |＝⎩⎨⎧a （a ≥0）－a （a <0）. (2)绝对值几何意义：实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离|OA |.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A ，B 分别对应实数a ，b ，则|AB |＝|a －b |．2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 推论1：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.推论2：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |的几何意义是数轴上表示数a 的点到原点的距离．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ＝b 时等号成立．( )(3)|a |－|b |≤|a ＋b |，当且仅当a ＝－b 时等号成立．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．给出下列命题：①若a ＞b ，则|a |＞b ；②若a ＞b ，则a 2＞b 2；③若|a |＞b ，则a ＞b ；④若a ＞|b |，则a ＞b .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.容易验证①④正确，②③错误，故选B.3．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值是________．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|(x －4)－(x －6)|＝2，当且仅当4≤x ≤6时，“＝”成立，所以y min ＝2.答案：2利用绝对值三角不等式证明不等式[学生用书P13]已知f (x )＝x 2－2x ＋7，且|x －m |＜3，求证：|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.【证明】 |f (x )－f (m )|＝|(x －m )(x ＋m －2)|＝|x －m |·|x ＋m －2|＜3|x ＋m －2|≤3(|x |＋|m |＋2)．又|x －m |＜3，所以－3＋m ＜x ＜3＋m .所以3(|x |＋|m |＋2)＜3(3＋|m |＋|m |＋2)＝6|m |＋15.所以|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.两类含绝对值不等式问题的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 1.设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：因为|a |<ε4，|b |<23ε. 所以|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε. 2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2. 证明：由a ＞0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.利用绝对值三角不等式求函数的最值[学生用书P14](1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值；(2)求函数f (x )＝|x －1|－|x ＋1|的值域．【解】 (1)因为|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号，所以当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为||x －1|－|x ＋1||≤|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当(x －1)(x ＋1)≥0，即x ≥1或x ≤－1时取等号，即－2≤|x －1|－|x ＋1|≤2，当x ≥1时函数取得最小值－2，当x ≤－1时，函数取得最大值2，当－1＜x ＜1时，－2＜|x －1|－|x ＋1|＜2，故函数f (x )的值域为[－2，2]．求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解．(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值．(3)利用绝对值的几何意义求解．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为x ，y ∈R ，所以|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.绝对值三角不等式的综合应用[学生用书P14]设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．(1)若|a |≤1，求|f (x )|的最大值；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178. 【解】 (1)因为|x |≤1，|a |≤1，所以|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 所以|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54. (2)当a ＝0时，f (x )＝x ；当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件，所以a ≠0.又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1，故f (±1)均不是最大值．所以f (x )的最大值178应在其对称轴上顶点位置取得， 所以a ＜0. 所以命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＜－12a＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，a ＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12，a ＝－2或a ＝－18， 所以a ＝－2.本题第(1)问属于绝对值函数的最值，综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y ＜a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)由绝对值三角不等式得y ＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以y min ＝1.(2)由(1)知y ≥1.要使y ＜a 有解，所以a ＞1.即a 的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y ≥a 恒成立，只要y 的最小值1≥a ，即可．所以a max ＝1.1．求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a |＋|b |的最大值比较困难，可采用求|a ＋b |，|a －b |的最值，及ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，ab ＜0时，|a |＋|b |＝|a －b |的转化，达到目的．2．求y ＝|x ＋m |＋|x ＋n |和y ＝|x ＋m |－|x ＋n |的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理．1．若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋2|＞a 的解是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜4B ．a ＞4C ．a ＞0D ．a ＜0解析：选A.由题意知|x －2|＋|x ＋2|＝|2－x |＋|x ＋2|≥|2－x ＋x ＋2|＝4＞a 恒成立，故a ＜4.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.答案：[－2，4]3．已知|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c . 证明：|(x ＋y )－(a ＋b )|＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |，①因为|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2， 所以|x －a |＋|y －b |＜c 2＋c 2＝c .② 由①②得|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c .。

2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式高效演练新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式高效演练新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式高效演练新人教A版选修4-5的全部内容。

1.2。

1 绝对值三角不等式A级基础巩固一、选择题1．若|x－m|＜ε,｜y－m|＜ε,则下列不等式中一定成立的是（）A．｜x－y｜＜ε B．｜x－y｜＜2εC．|x－y|＞2εD．｜x－y｜＞ε解析:｜x－y|＝｜x－m－（y－m）｜≤｜x－m｜＋|y－m|＜2ε。

答案:B2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是（）A．｜a＋b|＞a－b B．2ab≤｜a＋b｜（ab＞0)C．｜a＋b｜≤|a｜＋|b｜ D。

错误!≥2解析：令a＝1,b＝－1，则A不成立．答案：A3．对于实数x，y,若｜x－1|≤1，|y－2｜≤1，则|x－2y＋1|的最大值为（)A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意得,｜x－2y＋1｜＝｜(x－1)－2（y－1)｜≤|x－1|＋|2（y－2)＋2|≤1＋2｜y－2|＋2≤5,即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知|a｜≠｜b|，m＝错误!,n＝错误!，则m，n之间的大小关系是（)A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：由绝对值三角不等式知|a|－｜b|≤|a±b|≤|a|＋｜b|，所以错误!≤1≤错误!.答案:D5．不等式|x＋3｜＋｜x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为（）A．[－1,4] B．（－∞，－1］∪[4，＋∞)C．（－∞，－2)∪[5，＋∞）D．[－2,5]解析:由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋｜x－1|的最小值为4,所以不等式|x＋3｜＋｜x －1｜≥a2－3a对任意实数x恒成立,只需a2－3a≤4,解得－1≤a≤4.答案：A二、填空题6．“｜x－A｜＜错误!且｜y－A|＜错误!"是“｜x－y|＜q”的________条件．解析：因为|x－y|＝｜（x－A）－（y－A）｜≤｜x－A|＋｜y－A|＜错误!＋错误!＝q.所以充分性成立．反之若｜x－y|＜q不能推出｜x－A｜＜错误!且｜y－A|＜错误!成立．答案:充分不必要7．若不等式｜x－4｜－｜x－3｜≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________．解析:设f(x)＝｜x－4｜＋｜x－3｜,则f（x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．因为|x－4|－|x－3｜≤｜(x－4)－(x－3）|＝1,即f(x）max＝1，所以a≥1。

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值X围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值X围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,某某数a的取值X围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值X围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。

1.2.1 绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】 已知|x-a|<M 2ε,0<|y-b|<||2a ε,y∈(0,M),求证:|xy-ab|<ε. 思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|≤|y||x -a|+|a||y-b| <M·M 2ε+|a|·||2a ε=ε.温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】 求证:||1||||1||||1||b b a a b a b a +++<+++(ab≠0).证明：右边>1||||11||||1||||||||1||||||1||++=+++=+++++b a b a b a b a b b a a ,左边=1||11++b a ,∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴||||1||1b a b a +≥+. ∴||||11||1b a b a +≥+++1. 从而有1||11++b a ≤1||||11++b a∴左边<右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=x x +1在x∈［0,+∞)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:|2||2|b a b a -++<c 的充要条件是|a|<c 且|b|<c. 证明:先证必要性. ∵|a|=|22b a b a -++|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|a|<c. ∵|b|=|22b a b a --+|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|b|<c.再证充分性.(1)当|a|≥|b|时,a 2≥b 2,即(a+b)(a-b)≥0,此时2b a +与2b a -同号或其中之一为0,则|2||2|b a b a -++=|22b a b a -++|=|a|<c. (2)当|a|<|b|时,a 2<b 2,即(a+b)(a-b)<0,即2b a +与2b a -异号, ∴|2b a +|+|2b a -|=|2b a +-2b a -|=|b|<c. ∴当|a|<c,|b|<c 时,|2b a +|+|2b a -|<c. 故|2b a +|+|2b a -|<c ⇔|a|<c 且|b|<c. 变式提升1已知a 、b 、c∈R ,求证:||1||||1||||1||||1||c c b b a a c b a c b a +++++≤+++++. 证明:设f(x)=xx x +-=+1111(x≥0), 可知当x≥0时,f(x)为增函数.∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a|+|b|+|c|)≥f(|a+b+c|),得||||||1||||||||1||||||||1||c b a a c b a c b a c b a c b a +++=+++++≤+++++ ||1||||1||||1||||||||1||||||||1||c c b b a a c b a c c b a b +++++≤++++++++ 二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】 (1)设a 、b∈R 且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16.(1)当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;(2)当ab<0时,则a(-b)>0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.总之,恒有|a|+|b|≤16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x 2-2x+c,|x 1-x 2|<2,|x 2|<1,求证:|f(x 1)-f(x 2)|<12.证明:|f(x 1)-f(x 2)|=|x 12-2x 1+c-x 22+2x 2-c|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)|=|x 1-x 2|·|x 1+x 2-2|<2|x 1+x 2-2|=2|(x 1-x 2)+(2x 2-2)|≤2(|x 1-x 2|+|2x 2-2|)<4+2|2x 2-2|≤4+2(|2x 2|+|-2|)<4+4+4=12.∴|f(x 1)-f(x 2)|<12.类题演练2已知|a|<1,|b|<1,求证:|abb a ++1|<1. 证明:由|a|<1,|b|<1,得1±a>0,1±b>0,则|ab b a ++1|=)1)(1()1)(1(|)1)(1()1)(1(|b a b a b a b a --+++---++ )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(b a b a b a b a --+++--+++<=1,从而|abb a ++1|<1. 变式提升2证明对于任意实数t,复数z=|cos |t +i |sin |t 的模r,适合不等式r≤42.证明:r=|sin ||cos |t t +,为证对于任意实数t 有r≤42, 只要证|cost|+|sint|≤2即可.(1)当kπ≤t≤kπ+2π(k∈Z )时,则sint·cost≥0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=2|sin(t+4π)|≤2 (2)当kπ+2π<t<(k+1)π(k∈Z )时,sint·cost<0,sint·(-cost)>0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=2|sin(t-4π)|≤2. 总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|≤2成立,即有r≤42成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解析：由|x-4|+|x-3|≥|(x -4)-(x-3)|=1,得［|x-4|+|x-3|］min =1,故a 的取值范围是{a|a<1}.(2)已知|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,且y∈(23π,2π),则2)cos (cos y x -等于( ) A.cosx-cosy B.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析:由|a-b|≤|a|+|b|知等号成立的条件是ab≤0.因为|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,所以cosx·cosy≤0.又因y∈(23π,2π),所以cosy>0且cosx≤0,则上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故应选B. 答案:B(3)解方程|x|+|log a x|=|x+log a x|(a>1).解析:由当且仅当ab≥0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等价于x·log a x≥0,又x>0,即log a x≥0,解得x≥1.所以原方程的解集是{x|x>1}.类题演练3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为_______________解析:原方程可化为|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推论1,它等价于(2x-1)(2-x)≥0, ∴21≤x≤2. 答案: 21≤x≤2 (2)解不等式|x 2-2x-3|+|x 2-2x-8|>5.解析:原不等式可化为|x 2-2x-3|+|8+2x-x 2|>|(x 2-2x-3)+(8+2x-x 2)|,依推论2,它等价于(x 2-2x-3)(8+2x-x 2)<0,∴(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0.∴x<-2或-1<x<3或x>4.变式提升3已知f(x)=x 2+ax+b(a 、b∈R )的定义域为［-1,1］,且|f(x)|≤M 成立,求M 的最小值.解:由题意知M 是|f(x)|在［-1,1］上的最大值.|f(0)|=|b|≤M,|f(1)|=|1+a+b|≤M,|f(-1)|=|1-a+b|≤M.由以上三式,有2=|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|≤|1+a+b|+|1-a+b|+2|b|≤4M,得M≥21,即M 的最小值为21.。