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2009年研究生入学考试数学一模拟试题（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）设，，则当时，是的(A) 等价无穷小量。
(B) 同阶但非等价无穷小量。
(C) 高阶无穷小量。
(D) 低阶无穷小量。
[ ] （2）设具有一阶连续导数，，则是在处可导的(A) 必要但非充分条件。
(B) 充分但非必要条件。
(C) 充分且必要条件。
(D) 既非充分也非必要条件。
[ ]（3）设有直线L：及平面：，则直线L(A) 平行于π。
(B) 在π上。
(C) 垂直于π。
(D) 与π斜交。
[ ]（4）(A) 。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
[ ]（5）已知向量组α1=(a2,1,a),α2=(3a-2,1,2a-1),α3=(1,1,1),r(α1,α2,α3)=2,则a=.(A)-1. (B)1或1/2. (C) 1/2. (D) 1. [ ]（6）设A,B,C,D都是n阶矩阵,满足ABCBD=E,则(A) DABC= CBDA. (B) (BCB)-1=AD .(C) ABC=BD. (D) A-1B-1C-1B-1D-1=E. [ ]（7）假设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V [ ] （A）独立（B）不独立（C）相关（D）不相关（8）随机变量X服从U (-1，1)分布，为随机变量Y的分布函数，为的联合分布函数。
已知＝，＝，则＝[ ]A. B. C. D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
把答案填在题中横线上。
（9）设p>1则＝__________________________。
（10）设，则＝__________________________。
（11）微分方程的通解为__________________________。
（12）设方程确定，则＝__________________________。
浙江省杭州市数学九年级（上）期末模拟试卷（五）2010年1月考生须知:1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分. 满分120分, 考试时间100分钟.2. 所有答案都必须做在答题卷标定的位置上, 请务必注意试题序号和答题序号相对应.考试结束后, 上交答题卷.祝你成功!试题卷一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1. 如图1，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则tan ∠B ＝（ ▲ ） （A ）35（B ）45 （C ）34 （D ）432．已知：如图2，在△ABC 中，∠ADE ＝∠C ，则下列等式成立的是 （ ▲ ） （A ）AD AB ＝AE AC（B ）AE BC ＝AD BD（C ）DE BC ＝AE AB（D ）DE BC ＝ADAB3．如图3，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1=35PA ，则AB ׃A 1B 1等于（ ▲ ） (A)23． (B)32 (C)35 (D)534.边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O,AB ∥x 轴,BC ∥y 轴, 反比例函数xy 2=与x y 2-=的图象均与正方形ABCD 的边相交,则图中的阴影部分的面积是（ ▲ ）(A)2 （B ）4 （C ）8 （D ）65．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ▲ ） (A)55 （B ）552 （C ）5 （D ）32E 图 2D CBA 图 1 CBA第4题图3E 1D1C 1B 1A1BDCP6. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2关于直线y=x 对称的图象是（ ▲ ）7．如图所示，电路图上有A 、B 、C 三个开关和一个小灯泡，闭合开关C 或者同时闭合开关A 、B ，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ▲ ）(A)13 （B ）12 （C ）14 （D ）238．下列图形中四个阴影三角形中,面积相等的是（ ▲ ）③④．①②①②．③．④．(D)(C)(B)(A)9．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是（ ▲ ）(A)6cm （B ）10cm （C ）32cm （D ）52cm10．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ▲ ）①0<ac ②0>ab ③b a <2 ④b c a >+ ⑤4a+2b+c>0 ⑥a+b+c>0(A)两个 （B ）三个 （C ）四个 （D ）五个答题卷一. 仔细选一选(每小题3分, 共30分)(第07题图)(第9题图)AD二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容, 尽量完整地填写答案.11. 某班有53位学生，其中有23位女生．在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀．如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有男生名字纸条的概率是____________．12. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则OD ＝________厘米．13．已知圆锥的底面积和它的侧面积之比为41，则侧面展开后所得扇形的圆心角的度数是 。
1D 1D D 4-12D 31-1kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 611(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66（2）如图，正方形{( x , y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为y四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 .(B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .x（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )1O -2-1(A)(B)23xf (x )1 -2O -112 3xf (x )1-2O 1 2 3-1x1n →∞1 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭B O ⎪(C)(D)（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛.(D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α , 1 α, α 到 基1 2 3α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪ .(B) 0 2 3 ⎪. ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B *O ⎭ ⎝ 3B*O ⎭1 ∂ z1 2 m n ∞ ∞⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数2为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z =2f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .（1） 已知曲线 L : y = x 2(0 ≤ x ≤ 2 )，则⎰Lxds = .（12）设Ω={( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本，X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x2(2 + y 2) + y ln y 的极值.（16）（本题满分 9 分）设 a 为曲线 y = x n 与 y = xn +1(n = 1, 2, ) 所围成区域的面积，记S 1 = ∑a n , S 2 = ∑a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1□ 31 2 x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 +y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 3431相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积. （18）（本题满分 11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 的外侧.（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫ 设 A = -1 1 1 ⎪ ， ξ = 1 ⎪ .⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪ -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ .2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2+ y 2，求a 的值.（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.2（Ⅰ）求p{X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y )概率分布.⎧λ2 xe-λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 f(x)=⎨，其中参数λ(λ> 0) 未知，X1 ，⎩0,其他X,…X n 是来自总体X 的简单随机样本.2(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 6 11(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66【答案】 A.【解析】 f (x ) = x - sin ax , g (x ) = x 2ln(1- bx ) 为等价无穷小，则lim f (x ) = lim x - sin ax = lim x - sin ax 洛lim 1- a cos ax a 2 sin ax 洛lim x →0 g (x ) x →0 x 2 ln(1- bx ) x →0 x 2⋅ (-bx ) x →0 -3bx 2 x →0 -6bx= lim a 2 sin ax = - a 3= ∴ a 3 = -6b故排除(B)、(C).x →0 - 6b ⋅ ax 6ba另外lim x →0 1- a cos ax-3bx 2存在，蕴含了1- a cos ax → 0 ( x → 0) 故 a = 1. 排除(D). 所以本题选（A ）.（2）如图，正方形{( x , y )x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 . (B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .【答案】 A.x【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.D 2 , D 4 两区域关于 x 轴对称，而 f (x , - y ) = - y cos x = - f (x , y ) ，即被积函数是关于 y 的奇函数，所以I 2 = I 4 = 0 ;D 1, D 3 两区域关于 y 轴对称，而 f (-x , y ) = y cos(-x ) = y cos x = f (x , y ) ，即被积函数是关于 x 的偶函数，所以 I 1 = 2⎰⎰y cos xdxdy > 0 ；{( x , y ) y ≥x ,0≤x ≤1}1f (x )1-2 O 1 2 3xf (x )1 -2O 123xI 3 = 2⎰⎰y cos xdxdy < 0 .所以正确答案为(A).{( x , y ) y ≤- x ,0≤x ≤1}（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )-1(A)1O -2-1(B)23x-1(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y =f (x ) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x = x 0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x ) ，从而可得出几个方面的特征：① x ∈[0,1] 时， F (x ) ≤ 0 ，且单调递减. ② x ∈[1, 2]时， F (x ) 单调递增.f (x )1 -2O -112 3xf (x )1 -1 O123x1→∞ 1→∞ ∞ 1 ⎝ ⎭⎝ ⎭③ x ∈[2, 3] 时， F (x ) 为常函数.④ x ∈[-1, 0] 时， F (x ) ≤ 0 为线性函数，单调递增. ⑤由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则n∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛. (D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1【答案】C.【解析】方法一：举反例：（A ）取 a = b = (-1)n1nn1（B ）取a n = b n = n（D ）取 a n = b n = n故答案为（C ）.方法二：因为lim a n = 0, 则由定义可知∃N 1, 使得 n > N 1 时，有 a n < 1n又因为∑ bnn =1收敛，可得lim b n →∞= 0, 则由定义可知∃N 2 , 使得 n > N 2 时，有 b n < 1从而，当 n > N + N 时，有 a 2b 2< b ，则由正项级数的比较判别法可知∑ a 2b2 收敛.12n nnn nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α ,1 α, α 到 基 123α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪.(B) 0 2 3 ⎪ . ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪ ∞ nnCB A1 1⎝ ⎭B O ⎝ ⎭ ⎪ ⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】A. 【解析】因为(η1,η2 ,,ηn ) = (α1,α2 ,,αn ) A ，则 A 称为基α1,α2 ,,αn 到η1,η2 ,,ηn 的过渡矩阵.则由基α1,2 α2 , 3α3 到α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵 M 满足 (α + α ,α + α ,α + α ) = ⎛α , 1α , 1 α ⎫ M1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ⎪⎝ ⎭⎛ 1 0 1 ⎫ = ⎛α , 1 α , 1 α ⎫ 2 2 0 ⎪ 1 2 2 3 3⎪ ⎪所以此题选(A).⎝ ⎭0 3 3 ⎪**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B*O ⎭ 【答案】B.⎝ 3B*O ⎭【解析】根据CC * = C E ，若C * = C C -1,C -1=1 C *⎛ O A ⎫ O A 2⨯2分块矩阵 B O ⎪的行列式 B O =（-1） A B = 2 ⨯ 3 = 6 ，即分块矩阵可逆⎛ O 1B * ⎫ ⎛ O A ⎫*O A ⎛ O A ⎫-1⎛ O B-1 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ = 6 -1 ⎪ = 6⎪⎝ B O ⎭ B 0 ⎝ B O ⎭ ⎝ AO ⎭ 1 A *O ⎪ ⎪⎝ ⎭1 ⎛ O 1 B * ⎫= 3 ⎪ ⎛ O 2B * ⎫61 ⎪ = 3A * O ⎪A *⎝ 2O ⎪ ⎝ ⎭ ⎭故答案为（B ）.⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.【答案】C.⎛ x -1 ⎫【解析】因为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 F '( x ) = 0.3Φ'( x ) + 0.7 Φ'⎛ x -1 ⎫， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭所以 EX = +∞ xF '( x )dx = +∞ ⎡ Φ'( x ) + 0.35Φ'⎛ x -1 ⎫⎤⎰-∞ ⎰-∞ x ⎢0.32 ⎪⎥dx= 0.3+∞ x Φ'( x ) d x + 0.35 ⎣+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dx ⎝ ⎭⎦ ⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪而 +∞ x Φ'( x ) d x = 0 ， ⎝ ⎭+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dxx -1 = u 2+∞ (2u +1)Φ'(u ) du = 2⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪ 2 ⎰-∞⎝ ⎭所以 EX = 0 + 0.35⨯ 2 = 0.7 .（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数 2为(A)0.(B)1. (C)2. (D)3.【答案】 B.【解析】1112 2 22F Z (z ) = P ( XY ≤ z ) = P ( XY ≤ z Y = 0)P (Y = 0) + P ( XY ≤ z Y = 1)P (Y = 1) = 1[P ( XY ≤ z Y = 0) + P ( X Y ≤ z Y = 1)] 2 = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z Y = 0) + P ( X ≤ z Y = 1)] 2X ,Y 独立∴ F Z (z ) = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z ) + P ( X ≤ z )]2（1）若 z < 0 ，则 F Z (z ) = 2 Φ(z )（2）当 z ≥ 0 ，则 F Z (z ) = 2 (1+ Φ(z ))∴ z = 0 为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.∂2 z（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z = f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .【答案】 xf "+ f '+ xyf ".∂z' '∂2 z " ' " " ' "【解析】∂x= f 1 + f 2 ⋅ y ， ∂x ∂y= xf 12 + f 2 + yx ⋅ f 22 = xf 12 + f 2 + xyf 22 .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .【答案】 y = -xe x+ x + 2 .【解析】由 y = (c + c x )e x，得λ = λ = 1，故 a = -2,b = 11212微分方程为 y ''- 2 y '+ y = x设特解 y *= Ax + B 代入， y ' = A , A = 1-2 A + Ax + B = x-2 + B = 0, B = 2∴ 特 解 y * = x + 2∴ y = (c + c x )e x + x + 2122 024 把 y (0) = 2， y '(0) = 0 代入，得c 1 = 0, c 2 = -1∴ 所求 y = -xe x + x + 2（1）已知曲线 L : y = x2(0 ≤ x ≤ 132 ) ，则⎰Lxds = .【答案】6【解析】由题意可知， x = x , y = x 2, 0 ≤ x ≤ ，则ds =(x ')2+ ( y ')2dx =1+ 4x 2 dx ，所以⎰ xds = ⎰x 1+ 4x 2 dx =1⎰21+ 4x 2 d (1+ 4x 2 )L= 1 ⋅ 2 8 3 0(1+ 4x 2 )3 08 0= 136 （12）设Ω= {( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω【答案】 π .15【解析】方法一：⎰⎰⎰ z 2 dxdydz = ⎰2π d θ ⎰π d ϕ ⎰1ρ 2 sin ϕρ 2 cos 2 ϕd ρ = ⎰2π d θ ⎰π cos 2ϕd (-cos ϕ )⎰1ρ 4 d ρ= 2π ⋅ - cos 3 ϕ ⎰π ⋅ 1d ϕ = 4π 3 05 15方法二：由轮换对称性可知 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = ⎰⎰⎰ x 2dxdydz = ⎰⎰⎰ y 2dxdydzΩΩΩ所以，⎰⎰⎰ z 2dxdydz = 1⎰⎰⎰(x2+ y 2 + z 2 )dxdydz =1⎰πd ϕ ⎰2π d θ ⎰1r 4 sin ϕdrΩ3 Ω3 02π ⎰πsin ϕd ϕ ⎰1r 4 dr =2π ⋅ 1 ⋅ ⎰π sin ϕd ϕ = 4π 33 5 0 15（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为 .【答案】2.【解析】α T β = 221 2mx y xx xy xx yy∴ βα T β = β (α T β ) = 2 ⋅ β ,∴ βα T 的非零特征值为 2.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本， X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 【答案】 -1.-【解析】X + kS 2 为 np 2 的无偏估计-∴ E ( X + kX 2 ) = np 2 ∴ np + knp (1- p ) = np 2∴1+ k (1- p ) = p ∴ k (1- p ) = p -1 ∴ k = -1三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x 2(2 + y 2) + y ln y 的极值.【解析】f '(x , y ) = 2x (2 + y 2 ) = 0f '(x , y ) = 2x 2 y + ln y +1 = 01故 x = 0, y =ef '' = 2(2 + y 2 ), f ' = 2x 2 + 1, f '' = 4xy xx yyy xy则 f ''1= 2(2 +1) ， f '= 0 ， f '= e .xx (0, )ee 2xy 1 (0,) eyy (0, ) ef '' > 0 而( f '' )2 - f '' f '' < 0∴二元函数存在极小值 f (0, 1) =- 1 .e e（16）（本题满分 9 分）设 a n 为曲线 y = x n 与 y = x n +1 (n = 1, 2,..... ) 所围成区域的面积，记1∞∞2 2 22n -1（ ）（ x 2⎪S 1 = ∑ a n , S 2 = ∑ a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1【解析】由题意， y = x n 与 y=xn+1在点 x = 0 和 x = 1处相交，1n n +11 n +1 1n +21 1 1 所以a n =⎰ 0 (x - x)dx = ( x n + 1 - xn + 2 ) = - 0 n + 1 ， n + 2∞N1 1111 1 1从而S 1 = ∑ a n = lim ∑ a n = lim ( - ++ - ) = lim ( - ) = n =1N →∞ n =1 N →∞ 2 3 N +1 N + 2 N →∞ 2 N +2 2S = ∑ a= ∑ 1 - 1 = 1 - 1 + + 1 - 1 ) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 n =1n =1 2n2n +1 2 3 2N 2N+1 2 3 4 5 61 2(n -1)x n 由ln(1+x)=x- x 2++ (-1)n+取 x = 1 得ln(2) = 1- ( 1 - 1 +12 3 4) = 1- S 2 ⇒ S 2 = 1- ln 2 . x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 + y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 34 31相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积.2 【解析】（I ） S 1 的方程为 4 +y 2 + z 23= 1 ，x 2y 2⎛ 1 ⎫过点(4, 0) 与 + 4 3 = 1的切线为 y = ± x - 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 S 的方程为 y 2+ z 2= ⎛ 12 x - 2 ⎫ . ⎝ ⎭3 9（II ）S 1 与 S 2 之间的体积等于一个底面半径为 2 、高为 3 的锥体体积 4π 与部分椭球体体积V 之差，其中V =3π⎰2(4 - x 2 )dx =5π .故所求体积为9π - 5π = π .4 1444（18）（本题满分 11 分）∞ ∞ 20 □ 3□ ) = x+ y + z ) (x + y + z ) x 0（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .【解析】（Ⅰ）作辅助函数ϕ(x ) =f (x ) - f (a ) -f (b ) - f (a )b - a(x - a ) ，易验证ϕ(x ) 满足：ϕ(a ) = ϕ(b ) ； ϕ(x ) 在闭区间[a , b ] 上连续，在开区间(a , b ) 内可导，且ϕ '(x ) = 根据罗尔定理，可得在(a , b ) 内至少有一点ξ ，使ϕ ' (ξ ) = 0 ，即f '(x ) -f (b ) - f (a ) .b - af '(ξ ) -f (b ) - f (a ) = 0,∴ f (b ) - f (a ) = b - af ' (ξ )(b - a )（Ⅱ）任取 x 0 ∈(0,δ ) ，则函数 f (x ) 满足：在闭区间[0, x 0 ] 上连续，开区间(0, x 0 ) 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在ξx ∈(0, x 0 ) ⊂ (0,δ ) ，使得f ' (ξ) = f (x 0) - f (0) …… (*)x 0- 0又由于 lim x →0+f ' ( x ) = A ，对上式（*式）两边取 x → 0+时的极限可得： f ' (0) = lim f (x 0 ) - f (0) =lim f ' (ξ ) = lim f ' (ξ) = Ax 0 →0+ x 0 - 0x 0 →0+ x 0x 0 →0+x 0故 f +' (0) 存在，且 f +'(0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2= 4 的外侧.xdydz + ydxdz + z dxdy22 2【解析】 I =⎰⎰∑(x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2，其中2x + 2 y + z = 4∂ x y 2 + z 2 - 2x 2∂ ( 2 2 2 3/ 2 2 2 2 5 / 2 , ①∂ yx 2 + z 2 - 2 y 2( ) = , ②∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2(x + ξ1 ⎪ = 12 1 = k -1 + 0 ⎝ ⎭1∂ zx 2 + y 2 - 2z 2( ) = , ③∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2∴①+②+③= ∂( x ) + ∂x (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ∂ ( y ) + ∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2∂ ( z ∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ) = 0由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）∑ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .0 < R < 1有 16□⎰= □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = R 3 R 3 ⎰⎰⎰3dV = 3 ⋅ 4π R 3= 4π R 3 3 ∑∑1∑1Ω（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫设 A = -1 1 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪-2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ . 2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关. 【解析】（Ⅰ）解方程 A ξ2 = ξ1⎛ 1 -1 -1 -1 ⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ( A ,ξ ) = -1 1 1 1 ⎪ →0 0 0 0 ⎪ → 0 2 1 1 ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ 0 -4 -2 - 2 ⎪ 0 2 1 1 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ r ( A ) = 2 故有一个自由变量，令 x 3 = 2 ，由 Ax = 0 解得， x 2 = -1, x 1 = 1求特解，令 x 1 = x 2 = 0 ，得 x 3 = 1⎛ 1 ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎪ ⎪2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭ ，其中 k 1 为任意常数.解方程 A 2ξ 3 = ξ1⎛ 2 2 0 ⎫ A 2=-2 -2 0 ⎪⎪ 4 4 0 ⎪ ξ故ξ⎝ ⎭ 2 2 ⎝ ⎭ 1 2 1⎛ 2 2 0-1⎫ ⎛1 1 0 -1 ⎫2 ⎪ ( A 2,ξ ) = -2 -2 0 1 ⎪ → 0 0 0 0 ⎪1 ⎪⎪ 4 4 0 2 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎪⎝ ⎭故有两个自由变量，令 x = -1 ，由 A 2x = 0 得 x= 1, x = 0⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪ 2⎛ 1 ⎫ ⎪ 13⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪求特解η2 = 0 ⎪ 0 ⎪⎪⎝ ⎭故 ξ3 = k 2 -1⎪ + 0 ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ，其中k 2 为任意常数.（Ⅱ）证明：-1k 1k 2 + 21 1由于 1 -k 1 -k 2 = 2k 1k 2 + (2k 1 +1)(k 2 + 2) - 2k 1(k 2 + 2) - k 2 (2k 1 +1)-2 2k 1 + 1 0= 1 ≠ 0 2故ξ1,ξ2 ,ξ3线性无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2 + y 2，求a 的值.⎛ a 0 1 ⎫ 【解析】（Ⅰ） A = 0 a -1 ⎪⎪ 1 -1 a -1⎪ ⎝ ⎭| λE - A |= λ - a0 0λ - a -1 1= (λ - a ) λ - a 1 -λ - a -11λ - a +11 λ - a +1 -1 1= (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) -1] -[0 + (λ - a )] = (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) - 2] = (λ - a )[λ 2 - 2a λ + λ + a 2 - a - 2]= (λ - a ){[a λ + 1 (1- 2a )]2 - 9}2 4= (λ - a )(λ - a + 2)(λ - a -1)1 2 3 3 6 6 C ⋅ C 6 6C ⋅ C ∴λ1 = a , λ2 = a - 2, λ3 = a +1（Ⅱ） 若规范形为 y 2 + y 2，说明有两个特征值为正，一个为 0.则1) 若λ1 = a = 0 ，则λ2 = -2 < 0 ， λ3 = 1 ，不符题意2) 若λ2 = 0 ，即a = 2 ，则λ1 = 2 > 0 ， λ3 = 3 > 0 ，符合3) 若λ3 = 0 ，即a = -1 ，则λ1 = -1 < 0 ， λ2 = -3 < 0 ，不符题意综上所述，故 a = 2 .（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求 p {X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量( X ,Y ) 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球C 1⨯ 2 4 ∴ P ( X = 1 Z = 0) = 2 = . C 1 ⋅ C 19（Ⅱ）X ，Y 取值范围为 0，1，2，故P ( X = 0,Y = 0) = 3 3 , P ( X = 2,Y = 0) = 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 P ( X = 1,Y = 1) = 2 2= C 1 ⋅ C 11 , P ( X = 2,Y = 1) = 09 1 1P ( X = 0,Y = 2) = 2 2 = C 1 ⋅ C 1 9 P ( X = 1,Y = 2) = 0, P ( X = 2,Y = 2) = 01 C 1 ⋅ C 1 = 1 C 1 ⋅ C 11 P ( X = 1,Y = 0) =23 = C 1 ⋅ C 14 C 1 ⋅ C 1 61 = 1 C 1 ⋅ C 1 ⋅ C 1, P ( X = 0,Y = 1) = 2 2 3 = 1C 1 ⋅ C 136 C 1 ⋅ C 13n1nii1 n n⎧λ 2 xe -λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f (x ) = ⎨ ⎩0,其他 ，其中参数 λ(λ > 0) 未知，X 1 , X 2 ,…, X n 是来自总体 X 的简单随机样本. (Ⅰ)求参数λ 的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ 的最大似然估计量【解析】（1） 由 EX = X 而 EX = ⎰+∞ λ 2 x 2e -λ x dx = 2 = X ⇒ λˆ = 2为总体的矩估计量λX（2） 构造似然函数L ( x ,....., x ; λ ) = ∏ f ( x ; λ ) = λ 2n⋅∏ x ⋅ e-λ∑ x ii =1i =1i =1取对数ln L = 2n ln λ + ∑ln x i - λ∑ x ii =1i =1令 d ln L d λ = 0 ⇒- ∑ x i = 0 ⇒ λ = i =1 2n ∑ x i i =1= 2 ∑ x ii =1 故其最大似然估计量为λ'' = 2.Xn n n n n 2n λ n。
2009年九年级第一次模拟考试数学试卷（时间120分钟 满分150分）一、选择题：（每小题4分，共40分. 每小题四个选项，只有一项是正确的，请把它填写在下列表格中.） 1．下列计算错误．．的是 ( )=D.3=． 2．在函数y =x 的取值范围是 （ ） Ａ.2x -≥且0x ≠ Ｂ.2x ≤且0x ≠ Ｃ．0x ≠Ｄ.2x -≤3．已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差2112S =甲，乙组数据的方差2110S =乙则（ ）Ａ．甲组数据比乙组数据的波动大 Ｂ．乙组数据比甲组数据的波动大 Ｃ．甲组数据与乙组数据的波动一样大Ｄ．甲乙两组数据的波动大小不能比较4．用M ，N ，P ，Q 各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种． 图4-1—图4-4是由M ，N ，P ，Q 中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）． 那么，下列组合图形中，表示P&Q 的是 （ ）学校 班级 姓名M&PN&PN&QM&图4-1图4-2图4-3图4-4A ．B ．C ．D ．５. 方程0)()(2=-+-+-a c x c b x b a 的一个解必是 （ ） Ａ.x ＝－１ Ｂ. x ＝１ Ｃ. x ＝a b - Ｄ. x ＝c a -62cm 3cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（ ）A 、1cmB 5cmC 、5cmD 、15cm cm 或７. 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母a b c ，，，…，z （不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号12x y +=；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号132x y =+．按上述规定，将明码“love ”译成密码是（ ） 字母 a bcd ef g hij klm序号 12345678910 11 12 13字母 n op qr s t u vw xyz序号14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26A ．gawqB ．shxcC ．sdriD ．love8、用配方法解下列方程时，配方有错误．．的是（ ）A 、x 2 ― 2 x ― 99 = 0化为 (x ―1)2=100B 、x 2 +8x +9=0化为( x +4)2=25C 、2t 2―7t ―4=0化为1681)47(2=-t D 、3y 2―4y ―2=0化为910)32(2=-y9. 若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=,则此三角形的周长为（ ）. Ａ.6 8 10 Ｂ. 8 10 12 Ｃ.6 8 12 Ｄ. 6 10 12 10. 22233+=333388+=4441515+=88a ab b+=，（a 、b 为正整数），请推测a + b ＝（ ） Ａ.69 Ｂ.70 12 Ｃ. 71 Ｄ. 72二、填空题（每小题5分，共20分.）11. 188= __ .12. 化简：22(2)(2)a a --_______________．13．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长是a ,则图中四个小正方形A 、B 、C 、D 的面积之和是________________.14.若k 为实数，关于x 的一元二次方程05)1(2)1(2=+++--k x k x k 有实数根，则实数k 的取值范围为__________________.三、解答题（本大题共90分.）解答下列各题：（15、16各8分，共计16分） 15. 计算：)1043(53544-÷• 16.计算: 22)3352()3352(-+用适当的方法解一元二次方程：（17、18各8分，共计16分）17. 22)32()2(+=-x x 18 . 08922=+-x x19. （本题满分10分） 已知实数满足x x x =-+-20092008，求22008-x 的值．学校： 班级： 姓名：20.（本题满分10分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，而成本价又不高于10000元，售价应定为多少？这时应进货多少个？21. (12分)据某市旅游局统计：2008年“十一”黄金周期间,某市实现旅游收入再创历史新高,旅游消费呈现多样化,各项消费所占的比例如图所示,其中住宿消费为3438.24万元. （1）求某市今年“十一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“十一”黄金周期间的旅游消费,如果某市2010年要达到3.42亿元的目标,那么,2008年到2010年的平均增长率是多少？2008年某市“十一”黄金周旅游各项消费分布统计图22、（本题满分12分）阅读下面的材料：)0(02≠=++a c bx ax 的根为.2421a ac b b x -+-=.2422aacb b x ---= ∴,2221a ba b x x -=-=+ .4)4(22221a c aac b b x x =--=• 综上得，设)0(02≠=++a c bx ax 的两根为1x 、2x ，则有,21a b x x -=+.21acx x = 请利用这一结论解决问题：（1）若02=++c bx x 的两根为1和3，求b 和c 的值。
2009年中考复习模拟测试试卷（一）试卷总分：150分 考试时间：120分钟班级 姓名 学号 得分一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 1= ．2．已知一元二次方程230x px ++=的一个根为-3，则p = ．3中，最简二次根式的是 ．4．已知nn 的最小值是 ．5．如图，用等腰直角三角板画45AOB ∠=︒，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22度，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 ．6．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率为 ．7．如图，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =3cm ，CD =2cm ，那么AC = cm ． 8．过O 内点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为 cm ． 9．抛物线2242y x x =---的顶点坐标是 ．10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一人传染了x 个人，根据题意，可列方程为 ． 11．已知：2x =-，则代数式246x x --= ． 12．如图，已知AB 是O 的弦，P 是AB 上一点，若AB =10cm ，PB =4cm ，OP =5cm ，则O 的半径等于 cm ． 13．已知扇形的圆心角为60度，面积为π，O 与扇形的弧经过这条弧的端点的两条半径都相切，则O 半径等于 cm ．14．已知一个圆锥的高为10cm ，它的侧面展开图是半圆，则它的全面积为 ．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请你将正确的选项的代号填入题后的括号内． 22第5题 第7题 第12题CB第13题A ．0.15B ．πC ．-4D ．22716．已知如图1所示的四张牌，若将其中的一张牌旋转180度后得到图2，则旋转的牌是（ ）17．如图，函数2y ax a =-与函数ay x=在同一坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（ ）① ② ③ ④ ⑤ A ．①⑤ B ．②④ C ．③⑤ D ．②⑤三、解答题：本大题共10小题，共92分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （19～20题，第19题10分，第20题10分，共20分） 19．计算：（1） （2）(a --20．解下列方程：（1）2410x x +-=； （2）2210x x --=（用配方法）；图1图2A ．B ．C ．D ．（21～22题，第21题6分，第22题6分，共12分） 21．先化简，再求值：2211x x x -++-，其中1x =．22．如图，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥． （1）求证：BDE CDF △≌△．（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．（23～24题，第23题8分，第24题10分，共18分）23．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工．．．人．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？24．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． （1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2?（2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么?（25～26题，第25题7分，第26题8分，共15分） 25．已知关于x 的不等式ax ＋3＞0（其中a ≠0）．（1）当a ＝－2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（3分）（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不等式没有．．正整数解的概率．（4分）第21题图26．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第象限，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至△OA ′B ′，使点B 的对应点B ′落在y 轴的正半轴上，已知OB=2，︒=∠30BOA （1）求点B 和点A ′的坐标；（2）求经过点B 和点B ′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A 是否在直线BB ′上。
2009年广东省高考冲刺预测试卷五文科数学（广东）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
P 二{123,4}, Q 二{x| 一2 乞 x E 2,X R}，则 P"Q 等于(3.已知向量a = （3,4），向量b = （一6, -8），则向量5 .设P 是双曲线上一点，点P 关于直线y =x 的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则 xx y _0i yx - y •4 _ 0表示的平面区域的面积是（B .夹角为60C .夹角为30A .互相垂直 4 .已知等比数列 ［的各项均为正数，前 n 项之积为T n ，若T 5 = 1 ,D .是共线向量 则必有（）•A . a 1 = 1B . a 3 = 1D . a 5 = 17.已知函数f （x ） log 2x, =X2x,A . -1 x 0,卄 1，右 f (a)=—xg2B . 2，则实数a =（1或Y 2cos 2： 8.若 JI sin( ) 4 ,2则si " cos 的值为1 D .2 9. 一个几何体的三视图如右图，其中正视图中厶 ABC 是边长为 C .-丄22的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积 为（ ）. 1 •设集合 {1 ,2}B • {3 , 4}C • {1}D • {-2 , -1 , 0, 1, 2}2 •设复数 z 满足 iz =2—i ，则 z=().-1 2iB .-1-2i C . 1-2i D . 1 2i BOP OQ =()6.在平面直角坐标系中，不等式组C. 3 D . 6210.已知命题p: " -x：= 0,ll,a_e x”,命题q : “T x R,x2 4x a = 0 ”,若命题“p q ”是真命题，则实数a的取值范围是（）.A. [e,4]B. [1,4]C. （4, ：：）D.（一：：,1]、填空题：本大题共5小题，考生做答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11•统计1000名学生的数学模块（一）水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是____________ ;优秀率为________________ .频率12.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30 ,与O相距15海里的C处.现甲船以25海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，甲船需要_________________ 小时到达B处•C O西东13.如右的程序框图可用来估计圆周率■:的值.设CONRND（-1,1）是产生随机数的函数，它能随机产生区间（-1,1）内的任何一个数，如果输入1200,输出的结果为943，则运用此方法，计算二的近似值为 _______________ .（保留四位有效数字）（二）选做题（13〜15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C的参数方程为x =2 cosy =2 2si n（:为参数），以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为 _______________15.（几何证明选讲选做题）如图，AB、CD是圆O的两条弦，且AB 是线段CD的中垂线，已知线段AB =8, CD=4-.3，则线段AC的长度为___________rD三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)已知函数f(x)二As in (「x •「)(A 0^ 0, ) 一个周期的图象如图所示,2 2(1)求函数f(x)的表达式;卄兀24(2 )右f^ ) f( ) ，且：•为- ABC的一个内角,3 25求sin爲11cos：的值.17. (本小题满分12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x (° C) 101113128发芽数y (颗) 2325302616!25兰山兰30”的概率;(1) 从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n，求事件“125兰n兰30(2) 甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系,给出的拟合直线分别为y =2.2x与y =2.5x -3，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”，判断哪条直线拟合程度更好18. (本小题满分14分)FEBC的两对角线相交于O ,如图，在棱长均为2的三棱柱ABC-DEF中，设侧面四边形若BF丄平面AEC , AB = AE.(1) 求证：AO丄平面FEBC ;(2) 求三棱锥B - DEF的体积.E B三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤19. （本小题满分14分）某公司2008年8月出口欧美的贸易额为 2000万元，受金融危机的影响，从 2008年9月开始，每月出口欧美的贸易额都比上一个月减少 300万元，为了扭转这一局面，该公司充分挖掘内部潜力，加强品牌创新，形势出现转机， 2009年1月出口欧美的贸易额比2008年12月增长25%，2009年2月出口欧美的贸易额比2009年1月也增长25%.（1） 该公司2008年12月出口欧美的贸易额是多少？ （2） 假设2009年该公司出口欧美的贸易额都能保持25%的月增长率，问从哪个月开始该公司月出口欧 美的贸易额超过 2000万元？（参考数据 Ig2=0.3010, Ig3=0.4771）20.（本小题满分14分）已知抛物线 y =2px （p ■ 0）的焦点为F ，点A 是抛物线上横坐标为 4、且位于x 轴上方的点，点A 到 抛物线准线的距离等于 5,过A 作AB 垂直y 轴于点B ，线段OB 的中点为M .（1 ）求抛物线方程；（2） 过点M 作MN _ FA ，垂足为N ，求点N 的坐标；（3） 以点M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K （m,0）是x 轴上一动点时, 讨论直线AK 与圆M 的位置关系.21.（本小题满分14分）已知曲线f （x ） = log a x 在x = 1处的切线为y = x -1 , （1）求实数a 的值； （2 ）若 P（x1, y 1）, Q （x2, y 2）（x1兹2）是曲线f（x）=l0g a x上的两点，且存在实数X 。
第6题图河南省郑州市2009中考全真模拟冲刺一 姓名 成绩一、精心选一选，相信自己的判断！（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中，则sinA 的值为（ ）A ．54 B ．53 C ．43 D ．342．2009年2月25日,法国巴黎佳士得拍卖行将我国圆明园流失文物鼠首和兔首分别以1400万欧元拍卖，此举伤害中国人民的感情。
“1400万”用科学记数法表示为（ ）A ．1.4×107B ．0.14×108C ．1.4×108D ．14×1063．函数y x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）4．正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，点O 又是长方形MNPO 的一个顶点，且OM=4，OP=2，长方形 绕O 点转动的过程中，长方形与正方形重叠部分的面积等于（ ）A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．小华学习小组为了解我市大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．下列说法正确的是 （ ）A ．调查的方式是普查 B ．我市只有85个成年人不吸烟C ．样本是15个吸烟的成年人 D ．我市约有15%的成年人吸烟 6．二次函数y axbx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ． a b c ><>000，，B ． a b c <<>000，，C ． a b c <><000，， D ． a b c <>>000，，7．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ）A ．π B ． 2C ．π22D ． 2π8．关于未知数x 的方程01x 4ax 2=-+只有正实数根，则a 的取值范围为（ A ．－4≤a ≤0B ．－4≤a ＜0C ．－4＜a ≤0D ．－4＜a ＜09．如图，直线24y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，C 为OB 上一点，且12∠=∠，则ABC S =△ （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，⊙O 中，弦AB 和CD 相交于P ，CP ＝2.5，PD ＝6，AB ＝8，那么以AP 、PB 的长为两根的一元二次方程是（ ）A ．01582=--x xB ．01582=+-x xC ．01582=-+x xD ．01582=++x x11．下列说法正确的是（ ）A 分式方程5151--=+-x x x x 的解1=x．B 站在M 处看N 处在北偏东30°的方向上，那么站在N 处看M 处在南偏西60°的方向上．C 已知M=1111--+x x ,N =122-x (1±≠x)，那么M 与N 互为相反数．D ．四边都相等的四边形是正方形．12．在一次越野赛跑中，小明离出发地1600米，小刚离出发地1450米，随后张老师开始计时并画出了两人离出发地的路程S （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系如图所示，下列说法：①小刚100秒时追上小明，且在离出发地1745米处；②小刚的速度是小明速度的2倍；③小刚比小明早100秒到达终点，且终点离出发地2050米；④小明离出发地的路程S （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系式是S=3t +1600；正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．二次函数222++-=x x y图象的顶点坐标是 ．14．12+的倒数等于 ．15．用换元法解方程：01122=+++x x x x 时，如果设x x y 1+=，那么原方程可化为 .16．一组数据5，7，7，x 的中位数与平均数相等，则x 的值为_____________．第9题图 第7题图第10题图第4题图）第12题A ．B ．C ．D ．第1题图A①17．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×1018．如图，点C 为线段AB 上一动点，△ACD, △CBE 是等边三角形，AE 交BD 于点O ，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ，连结OC ，下列结论中:①PE=BQ,②∠AOD=60°,③EO=BQ,④OC ＋OE=OB,⑤OC 平分∠AOB,正确的结论有 （只填序号）．三、用心做一做，显显自己的能力19．（本题两小题，每小题6分，共12分）（1）计算 232130tan 3)14.3(2720---+︒----）（π（2）请你先将式子112223+-÷--x x xx x x 化简，然后从-1，0，1，2中选择一个数．．．作为x 的值代入其中求值． 20．（本题满分8分）已知，如图，OA 平分∠BAC ，∠1=∠2，求证：△ABC 是等腰三角形．21．（本题满分8分）如图，方格纸上的每个小正方形的边长均为1．(1)观察图①、②中所画的“L ”型图形，然后补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所成的图形是中心对称图形；(2)补画后，图①、②中所成图形是不是正方体的表面展开图(在括号内填“是”或“不是”)：答：图①中的图形( )，图②中的图形( )． 22．（本题满分7分）依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘： （1）用列表的方法表示有可能的闯关情况；23．（本题满分9分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 为⊙O 的切线；（2）若sin ∠ABC ＝54，CF ＝1，求⊙O 的半径及EF 的长．24．（本题满分10分）某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹集资金不少于2090万元，但不超过2096万元，所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价分别如下表：（1）设A 户型建x 套，所获得的利润为y 万元，求y 与x 的函数关系式；（2）该公司如何建房获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元（a ＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？（利润=售价 －成本）25．（本题满分12分）如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，AB ∥x 轴，B()3,3-，现将纸片按如图折叠，AD,DE 为折痕，∠OAD=30°．折叠后，点O 落在点O 1，点C 落在线段AB 上的C 1处，并且DO 1与DC 1在同一直线上． （1）求C 1的坐标；（2）求经过三点O,C 1,C 的抛物线的解析式；（3）若⊙P 的半径为R ，圆心P 在（2）的抛物线上运动，⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径R 的值． 参考答案第20题图第22题图x第18题图一、精心选一选，相信自己的判断！（本题共12小题，每小题3分，共36分）题号123456789111 12 答案B A B A D D D A CBCB 二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（1，3）；14．12-；15．022=-+y y ；16．5或9（只填一个得1分，填错不得分）；17．181；18．①②④⑤（填不全得1分，填错不得分）； 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分）19．（本题两小题，每小题6分，共12分）（1）解： 232130tan 3)14.3(2720---+︒----）（π=3243133+-+-- (5)分（算对一个得1分） =133+…………6分（2）解：化简：112223+-÷--x x xx xx =xx-1………………… 3分 当2=x时，原式=－2 ……………………………6分(代入其他值计算不得分)20．（本题满分8分）证明：（如图）过点O 分别作O D ⊥AC 于D,O E ⊥AB 于E,…… 1分 ∵ OA 平分∠BAC,∴ OD=OE …………… 2分 又∵∠1=∠2∴ OB=OC …………… 3分在Rt △OBE 和Rt △OCD 中: ∵ OD=OE OB=OC∴Rt △OBE ≌Rt △OCD …………… 5分∴∠OBE= ∠OCD …………… 6分∴∠1+∠OBE=∠2+∠OCD 即∠ABC=∠ACB …………… 7分∴△ABC 是等腰三角形 …………… 8分 21．（本题满分8分） (1)解：如图(2)答：图①中的图形( 是或不是 )，图②中的图形( 是 )．（说明：每个图画对分别得2分，每空填对分别得2分，图①有两种情况，视正确情况分别给分） 22．（本题满分7分） （1）解：列表灯泡发音器灯泡 （灯泡，灯泡）闯关成功 （发音器，灯泡）闯关失败 发音器（灯泡，发音器）闯关失败（发音器，发音器）闯关失败（2）由（1）中列表可知： P （成功）=41（说明：第（1）题答对得4分，第（2）题答对得3分）23．（本题满分9分）（1）证明：（如图）连结OD, ∵ AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC ∵ OA=OD ∴∠ADO=∠DAO ∴ ∠ADO=∠DAC ∴OD ∥AC ………… 1分∵ AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°………… 2分∵ OD ∥AC EF ∥BC ∴ O D ⊥EF ∴ EF 为⊙O 的切线 ………… 3分（2）解：设BC 与OD 相交于点G,由（1）可知：O D ⊥BC ∴ 四边形CGDF 为矩形∵ CF ＝1 ∴ DG=1 ………… 4分设⊙O 的半径为r ，∵ sin ∠ABC ＝54 ∴541=-r r 即r=5第20题图E第23题图图①图②图①∴ ⊙O 的半径为5 ………… 6分∵ AB=102=r , ∴ AC= AB ·sin ∠ABC=10×54=8∴ AF=AC+CF=8+1=9在Rt △ABC 中，BC 68102222=-=-=AC AB ………… 7分∵ EF ∥BC ∴ △ABC ∽△AEF ………… 8分∴ EFBC AFAC = 即EF698=∴EF=6.75 ………… 9分（说明：第（1），（2）题有其他解法的，视正确情况给分） 24．（本题满分10分）解：（1）设A 户型的住房建x 套，则B 户型的住房建)80(x -套，由题意得：2090≤)80(2825x x -+≤2096 ………… 1分所以 48≤x ≤50 …………2分 因为x 取整数，所以x 取48，49，50；)80(x -分别取32，31，30；所以有3种建房方案：①A 户型48套，B 户型32套；②A 户型49套，B 户型31套；③A 户型50套，B 户型30套； ………… 3分（2）设该公司建房获得利润为W （万元），由题意得：W=x x x -=-+480)80(65 ………… 4分由一次函数的性质：当x =48时，W 有最大值432万元………… 5分即：建A 户型的住房建48套，建B 户型的住房32套时获得利润最大………… 6分 （3）由题意得：W=x a x x a )1(480)80(6)5(-+=-++ ………… 7分①当a-1＞0时，即a ＞1时，x =50，W 最大，即A 户型50套，B 户型30套时利润最大 ………… 8分②当a-1=0时，即a=1时，三种方案所获的利润相等 ………… 9分③当a-1＜0时，即a ＜1时，x =48，W 最大，即A 户型48套，B 户型32套时利润最大 ………… 10分 25．（本题满分12分）解：（1）（如图）过1C 作1C Fx ⊥轴于点F，在Rt ADO △中，30OAD ∠=，AO BC ==tan 301OD OA =⨯………… 1分 由对称性可知：160ADO ADO ∠=∠=160FDC ∴∠=1cot 6031DF C F ∴=⨯=⨯………… 2分 112OF DF DO ∴=+=+=∴点1C 的坐标为(2- ………… 3分（2）设经过1O C C ，，的抛物线的解析式为2yax bx c =++，则220(2)2(3)30c a b c a b c =⎧⎪--+⎨⎪--+=⎩………… 4分解之得0a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：2y =………… 6分（3）⊙P 与两坐标轴相切 ∴圆心P 应在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上．即在直线y x =或y x =-上 ………… 8分若点P 在直线yx =上，根据题意有2x =解之得10x =，23x =-………… 9分0R >∴3R x ==………… 10分若点P 在直线yx =-上，根据题意有x2x -=解之得10x =，23x =-………… 11分0R >3R x ∴==P 的半径R 为33 ………… 12分。
第9题第13题2009年中考复习模拟测试试卷（五）试卷总分：150分 考试时间：120分钟班级 姓名 学号 得分考生注意：1．本卷含四大题，共25题；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 一．填空题：（本大题共12题，满分36分）【只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分】1．3.5英寸软盘的存储量为1 440 000字节，那么存储量用科学记数法表示为 字节． 2+|y +1|=0，则x 2008+y 2009=_____________．3．如图，AB =4cm ，CD ⊥AB 于O ，则图中阴影部分的面积为_______cm 2． 4．若a +1a =6，则a 2+21a=______________． 5．菱形的周长为m ，那么这个菱形的边长为 ．（用m 的代数式表示） 6．函数5-=x y 的定义域为 ．7． 已知反比例函数的图象经过点A （1，3），那么这个反比例函数的解析式是 ．8. 用换元法解方程2221221x x x x -+=-时，如果设221x y x =-，那么原方程可___________．9. 如图所示，正方体的棱长为2cm ，用经过A 、B 、C 三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是______________cm ．10.汽车刹车距离S （m ）与速度V （km/h ）之间的函数关系是 21100S V =，在一辆车速为100km/h 的汽车前方80m 处，发现停放一辆故障车，此时刹车__________有危险．（填会，不会）11.如图所示，平移方格纸中的图形，使点A 平移到A’处，画出放大一倍后的图形．（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示）12.现有四个有理数3，4，-6，10，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．请你写出一个符合条件的算式_____________． 二．选择题：（本大题共4题，满分16分） 【下列各题的四个结论中，有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分；不选、错选或者多选得零分】13. 正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，AF 与DE 相交于点O ，则AODO= A ．13 B．5C.23 D ．12 14．在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计，频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是O.12，那么，估计总体数据落在54.5～57.5之间的约有A ．6个B ．12个C ．60个D ．120个第3题第11题15．若不等式组⎩⎨⎧>-<+mx x x 148的解集是x>3，则m 的取值范围是A. m>3 B ．m≥3 C ．m≤3 D ．m<316．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．3.5圈 三．（本大题共5题，满分48分） 17．（本题满分9分）计算：21232()222x x x x x++÷+-+．18．（本题满分9分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，对角线BD ⊥CD ，AD =3，AB =4，求边BC 的长．19．（本题满分10分）一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B 、C 、D 三人随机坐到其他三个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率．第16题C20．（本题满分10分）在电视台转播“CBA ”篮球联赛某场比赛实况的过程中，对球赛的精彩程度进行观众电话投票，按球赛表现“很精彩”、“较精彩”、“一般”和“不精彩”进行统计．请根据所给的有关信息，在表内四个空格中填写相关统计结果．21．（本题满分10分）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图所示），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． （1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）： ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是__________．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形； ③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形．四、（本大题共4题，满分50分）22．（本题满分11分）已知抛物线2(3)1y x n x n =+-++经过坐标原点O ．（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标；（2）设这条抛物线与x 轴的另一个交点为A ，求以直线P A 为图象的一次函数解析式．23．（本题满分12分）已知：如图，BE 是⊙O 的直径，点A 在EB 的延长线上，弦PD ⊥BE ，垂足为C ，∠AOD =∠APC ． 求证：AP 是⊙O 的切线．24．（本题满分12分）某超市用2500元购进一批鸡蛋，销售过程中损耗鸡蛋10千克．已知超市每千克鸡蛋的售价比进价多1元，全部售完后共赚440元，求购进这批鸡蛋共多少千克？进价是每千克多少元？25．（本题满分15分）如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，F 是边BC 延长线上的一点，且BF =EF ，AB =12，设AE =x ，BF =y ．（1）当△BEF 是等边三角形时，求BF 的长； （2）求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE 沿着直线BE 翻折，点A 落在点A '处，试探索：△BF A '能否为等腰三角形？如果能，请求出AE 的长；如果不能，请说明理由．CFE2009年中考复习模拟测试试卷（五）一、填空题： 1．61044.1⨯2．0 （此题主要考查二次根式和绝对值的非负性） 3．π （通过旋转将阴影部分聚在四分之一的圆中） 4．34 （把a+1a=6两边分别平方即可） 5．4m 6．5≥x7．xy 3=8．2210y y -+=（或12y y+=） 9．6 10．会11．如图所示 12．3×（－6+4+10）=24 二、选择题： 13．D （AO DO为∠ADO 的正切，在Rt △ADE 中，tan ∠ADO=12）14．D （可列式为1000÷50×50×0.12=120）15．C （解不等式组可得x>3，x>m ，因为已知其解集为x>3，依据同大取大法则，m≤3，故选C ） 16．A （⊙O 从与AC 相切于A 点滚动到与AB 相切于A 点，转过1200，则在三个顶点共转过3600，即一周．又因为⊙O 在三边上各转过一周，所以共转动了4周） 三、17．解：原式=22432(2)(2)(2)x x x x x x x -+++÷+-+=32(2)(2)(2)32x x x x x x ++⋅+-+ =2-x x．18．解：∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ．∵BD ⊥CD ，∠A =90°，∴∠BDC =∠A =90°．∴△ABD ∽△DCB ．∴ADBDBD BC =． ∵AD =3，AB =4，∴BD =5．∴355=BC ． ∴325=BC ．19．由于A 的位置已经确定，B 、C 、D 随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A 与B 不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：2163P ==． 20．200；300；0.25；0.15． 20．（1）①假；②真 （2）①、③（3）①答案不惟一，例如正五边形、正十五边形等； ②答案不惟一，例如正十边形、正二十边形等．四、22．解：（1）∵抛物线2(3)1y x n x n =+-++经过原点，∴10n +=．∴1n =-．得x x y 42-=，即224(2)4y x x x =-=--． ∴抛物线的顶点P 的坐标为（2，-4）． （2）根据题意，得点A 的坐标为（4，0）．设所求的一次函数解析式为y =kx +b ．根据题意，得⎩⎨⎧+=-+=.24,40b k b k解得⎩⎨⎧-==.8,2b k∴所求的一次函数解析式为y =2x -8．23．证明：连结OP ．∵OP 、OD 是⊙O 的半径，∴OP =OD ．∴∠OPD =∠ODP ．∵PD ⊥BE ，∴∠OCD =90°．∴∠ODP +∠AOD =90°．∵∠AOD =∠APC ，∴∠OPD +∠APC =90°，即∠APO =90°．∴AP 是⊙O 的切线．24．解：设购进这批鸡蛋共x 千克，进价是每千克y 元．根据题意，得⎩⎨⎧=+-=.2940)1)(10(,2500y x xy 解得⎩⎨⎧==.5,500y x 答：购进这批鸡蛋共500千克，进价是每千克5元．（其他解法参照上述解题过程评分）五、25．（1）当△BEF 是等边三角形时，∠ABE =30°．∵AB =12，∴AE =34． ∴BF =BE =38．（2）作EG ⊥BF ，垂足为点G ．根据题意，得EG =AB =12，FG =y -x ，EF =y ．∴22212)(+-=x y y ．∴所求的函数解析式为)120(21442<<+=x xx y ． （3）∵∠AEB =∠FBE =∠FEB ，∴点A '落在EF 上．∴AE E A ='，∠F A B '=∠E A B '=∠A =90°∴要使△BF A '成为等腰三角形，必须使F A B A '='．而12=='AB B A ，E A BF E A EF F A '-='-='， ∴12=-x y ．∴1221442=-+x xx ．整理，得0144242=-+x x ． 解得21212±-=x ．经检验：21212±-=x 都原方程的根，但21212--=x 不符合题意，舍去． 当AE =12212-时，△BF A '为等腰三角形．CDFGC。
