江苏省南通市高考数学全真模拟试题(一)(扫描版)

高考数学全国统一模拟考试数 学（江苏卷）第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。

1. 已知集合}11log |{2+-==x xy x M ,]}1,0[,|{3∈+==x x x y y N 且,M ∩N = A.]2,1(B.)1,1(-C.)1,0[D.)1,0(2. 数列}{n a (*N n ∈)中,1231,3,5a a a ===,且1237n n n n a a a a +++⋅⋅⋅=,则99a =A.1B.3C.5D.无法确定3. nxx )1(+的展开式中常数项等于20,则n 等于A.4B.6C.8D.104. 空间直线b a ,是成060的异面直线,分别过b a ,作平面βα,,使βα,也成060.这样的平面βα,A.有无穷对B.只有5对C.只有3对D. 只有1对5. 如图AOB ∆，MN 是边AB 的垂直平分线，交OB 于点N ，设b OB a OA ==,，且OB ON λ=，则=λA ．b b a 2+B ．)(222b a b b a -⋅-C ．bb a 2-D ．)(222a b b b a -⋅-注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、单选题1. 函数的部分图像大致为（ ）A．B ．C．D．2. 设全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知点F 为双曲线(，)的左焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A 、B 两点(点B 在双曲线左支上)，连接BF 并延长交双曲线于点C ，且，AF ⊥BC ，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．4.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B ．“”是“”的必要不充分条件C ．命题“，使得”的否定是：“，均有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题7. 已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）A． B．江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01二、多选题三、填空题C． D．8. 设集合A={1，2，3}，B={x |x 2-2x +m=0}，若A ∩B={2}，则B=（ ）A．B．C．D．9. 如图，在直三棱柱中，，，则（）A ．平面B．平面平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D ．点，，，均在半径为的球面上10. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．11. 已知直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，，使得B．当时，，C ．当时，，使得D ．当时，，12. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）A．B．C．D．四、解答题13. 已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为_____________________.14. 已知函数在处有极值8，则等于______．15. 样本数据的众数是______．16. 2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例分别约为.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表：等级比例赋分区间已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B 等级中的最高分.(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分.17. 北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．(1)任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；(2)任选2名成功下单金额达500元的顾客，记为他们获得的奖金总数，求的分布列和数学期望．18. “学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.19. 已知，求的值．20. 近段时间，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中喜欢上网课的为，女生中喜欢上网课的为，得到如下列联表．喜欢上网课不喜欢上网课合计男生女生合计(1)请将列联表补充完整，试判断能否有的把握认为喜欢上网课与否与性别有关；(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. 函数f(x)=的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围．。

2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学I 卷2020.4一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则z=___. 2.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B U A ⋂ ___.3.箱子中有形状､大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为____.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)､第二组[160,165)､…､第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数为___.5.阅读如图所示的程序框,若输入的n 是30,则输出的变量S 的值是___.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为__.7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为__.8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点,则三棱锥MPAD 的体积为___.9.以抛物线24y x =的焦点为焦点,以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为___.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,,则圆锥的体积___是cm³ 11.设f(x)是R 上的奇函数,当x>0时,()2ln ,4x f x x=+记(5),n a f n =-则数列{}n a 前8项和为__.12.过曲线1(0)y x x x=->上一点P(x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为1,3则0x =__.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:222211,:(4)4,x y O x y +=-+=动点P 在直线0x b -=上,过P 分别作圆O,1O 的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个,则实数b 的取值范围是___. 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0,}x f x f x x -->∈=∅R ,则实数a 的取值范围为___. 二､解答题;本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且m ⊥n. (1)求角B 的大小;(2)若b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.16.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱,1111ABCDA B C D 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,11A C 与11B D 于点O.(1)求证:11,,A C F,E 四点共面;(2)若底面ABCD 是菱形,且1,OD A E ⊥求证:OD ⊥平面11.A C FE 17.(本小题满分14分) 已知函数2()2 1.f x x ax =-+(1)若函数()log [()](0,1)a g x f x a a a =+>≠的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2)当x>0时,恒有不等式()ln f x x x>成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4m,最低点B 离地面2m,观察者从距离墙xm(x>1),离地面高am(1≤a≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若1tan ,2θ=当a 变化时,求x 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221(0)x y a b n b+=>>的离心率是e,定义直线by e =±椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆O 22:3x y +=的切线1,过点O 且垂直于OP 的直线与1交于点A,问点A 是否在椭圆C 上?证明你的结论.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列,偶数项是公差为2d 的等差数列,n S 数列{}n a 的前n 项和,121, 2.a a ==(1)若54516,,S a a ==求a 10;(2)已知15815,S a =且对任意n ∈N *，有1n n a a +<恒成立,求证:数列{}n a 是等差数列;(3)若1213(0),d d d =≠且存在正整数m,n(m≠n),使得.n m a a =求当1d 最大时,数列{}n a 的通项公式.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4--2:矩阵与变换](本小题满分10分)求矩阵3113⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.B.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线1的极坐标方程为(cos )40ρθθ+=).求曲线C 上的点到直线1的最大距离,C.[选修4--5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y 均为正数,且x>y,求证:22122 3.2x y x xy y +≥+-+[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABCA B C 中,AC=3,BC=4,AB=5,1 4.AA =(1)设,AD AB λ=异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为求λ的值; (2)若点D 是AB 的中点,求二面角1DCB B 的余弦值.23.(本小题满分10分) 设*(,)(1),.n f x n x n =+∈N (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;(2)*n ∈N 时,化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++++ (3)求证:21132132n n n n n n C C C nC n -++++=⨯绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅰ卷 参考答案与解析2020.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (本小题满分5分) 【答案】2－2i 2. (本小题满分5分) 【答案】{2} 3. (本小题满分5分) 【答案】354. (本小题满分5分) 【答案】1445. (本小题满分5分) 【答案】2406. (本小题满分5分) 【答案】927. (本小题满分5分) 【答案】358. (本小题满分5分) 【答案】3 9. (本小题满分5分) 【答案】x 212－y 212＝110. (本小题满分5分) 【答案】3π 11. (本小题满分5分) 【答案】－16 12. (本小题满分5分) 【答案】5【解析】P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1x 20，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝13，则x 0＝ 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 13. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎭⎫－203，4 【解析】设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题． 14. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，16 【解析】∵ {x|f(x －1)－f(x)>0，x ∈R }＝∅ ，∴ f(x －1)－f(x)≤0恒成立，即f(x －1)≤f(x)．(1) 当a ≤0时，当x ≥0时，f(x)＝12x ，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)＝12x ，而f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x －1)的图象有下图关系：通过图象观察，当a ≤0时，f(x －1)≤f(x)恒成立；(2) 当a>0时，当x ≥0时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R 上的图象为(如下图)：要使f(x －1)≤f(x)，两图象只要满足：由图知，只要满足－3a ＋1≥3a ，即0<a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．综上可得，当a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.(4分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分)(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a22bc，即b 2＝c 2－a 2.(8分)又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)所以S △ABC ＝12acsinB ＝32.(14分)16．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 连结AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱知AA 1平行等于CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.(5分)所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．(7分)(2) 连结BD ，因为直棱柱中DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1C 1.(9分)因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D.(11分) 因为OD ⊂平面BB 1D 1D ，所以OD ⊥A 1C 1.又OD ⊥A 1E ，A 1C 1∩A 1E ＝A 1，A 1C 1平面A 1C 1FE ，A 1E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE.(14分) 17．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分) 于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分)又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅱ卷（附加题） 参考答案与解析2020.421．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【详解】 由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.5．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =，又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.7．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．8．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81324=. 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 10．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解.由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={2，3}，则集合A∪B中的元素个数为______．2.已知复数z=a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为______．3.已知双曲线C：x2-y2=1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为______．4.设命题p：x＞4；命题q：x2-5x+4≥0，那么p是q的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5.函数f（x）=的定义域为______．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A=______．7.设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10=0，2S12=S2+10，则d的值为______．8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为______．9.已知函数f（x）=sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）=tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为______．10.设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是______．11.设x＞0，y＞0，向量=（1-x，4），=（x，-y），若∥，则x+y的最小值为______．12.已知函数f（x）=e x-e-x-2x，则不等式f（x2-4）+f（3x）＞0的解集为______．13.已知函数，若函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．14.已知直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18.某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a=1，b=3．①求函数f（x）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20.已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3=a2+2，a2•a4=16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：4解析：解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：±3解析：解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：2解析：解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查的知识点是充分必要条件的判定，不等式的解法，难度中档．求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，x＞4成立，则x≤1，或x≥4，一定成立，反过来x≤1，或x≥4成立，则x＞4不一定成立，故p是q的充分不必要条件，故答案为充分不必要.5.答案：[e2，+∞）解析：解：要使f（x）有意义，则：ln x-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足ln x-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.答案：解析：【分析】由已知利用正弦定理可得sin B的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．7.答案：-10解析：【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．【解答】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-108.答案：解析：【分析】本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长分别为1和，四棱锥的高：A1C1=,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．9.答案：π解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．根据题意，令sin x=tan x，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A，B，C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sin x=tan x，则sin x（1-）=0，解得sin x=0或1-=0，∴sin x=0或cos x=．又x∈[0，π]，∴其中两点坐标分别为A(0，0)，B(π，0)，由，得，则点，∴△ABC的面积为，故答案为.10.答案：②④解析：解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：9解析：【分析】本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．故（x+y）min=9．故答案为9．12.答案：{x|x＞1或x＜-4}解析：【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f（x）的单调性，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为{x|x＞1或x＜-4}．13.答案：（1，2]解析：【分析】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.把函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．14.答案：（-，-1]∪[1，）解析：解：直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y-1）2=2上，可得≤，解得k≥1或k≤-1，综上可得k∈（-，-1]∪[1，）．故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d＞r，求得k的范围，设出P（m，n），由题意可得+=2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P在圆x2+（y-1）2=2上，又在直线l上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题．15.答案：解：（1）∵角α的终边经过点，∴∴…………（4分）∴…………（7分）（2）∵，∴…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα∴当时，；…………（11分）当时，…………（13分）综上所述：或…………（14分）解析：（1）由角α的终边经过点P，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求（2）由，结合同角平方关系可求cos（α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题．16.答案：（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．解析：（1）连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以a=2，…………（3分）从而，故椭圆的方程为．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，…………（8分）同理得，…………（10分）因此，=，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）解析：（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），由A，D，M三点共线，解得，，同理得，可得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，18.答案：解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ=2PQ，设PQ=a，则OQ=2a；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO=120°，在△OPQ中，有OQ2=OP2+PQ2-2OP PQ cos∠OPQ，即4a2=a2+144-2×12a cos120°，故a2-4a-48=0，解得（负值舍去）；所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为小时；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P（-12，0），A（-30，0），设Q（x，y），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ=λPQ，故x2+y2=λ2[（x+12）2+y2]，即；故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；又直线l的方程为，即，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且Q的轨迹与直线l至多只有一个公共点，所以且；即，解得，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则．解析：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，属于中档题．（1）由题意在△OPQ中，利用余弦定理列方程求出PQ的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线，求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．19.答案：解：（1）因为a=1，b=3，所以f（x）=x3+3x2+4，从而f'（x）=3x2+6x．①令f'（x）=0，解得x=-2或x=0，列表：x-4（-4，-2）-2（-2，0）0（0，2）2f'（x）+-+f（x）-12↗8↘4↗24所以，（）max（），（）min．…………（分）②设曲线f（x）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g'（x0）＞0，此时g（x0）单调递增，当x0∈（-1，1）时，g'（x0）＜0，此时g（x0）单调递减，所以g（x0）极小值=g（1）=t-8，g（x0）极大值=g（-1）=t，要使过点（1，t）可以作函数f（x）的三条切线，则需，解得0＜t＜8．…………（9分）（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2等价于，………（11分）令，则，所以，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（2，4）时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，故h（x）min=3，h（x）max=5．…………（13分）若a=0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b=2（3a+b）-（5a+b）∈[-4，8]；综上可得-4≤a+b≤8．…………（16分）解析：（1）①代入a，b的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.答案：解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，，所以，．（2）方法一：因为，所以，从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故，当n≥2时，，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为，所以，当n≥2时，有，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为，所以，假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，则，即，令，则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得，即2d n'=d m'+d l'成立．因为（因为n≥3），故数列{d n}单调递增，若l'-n'≥2，即l'≥n'+2，则d l'≥d n'+2，从而，即d l'＞2d n'，而2d n'=d m'+d l'，因此，d m'＜0，这与d m'＞0恒成立矛盾，故只能有l'-n'=1，即l'=n'+1，从而，故，即，（*）①若n'为奇数，则记，从而，因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当n'≥4时，，而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．②若n'为偶数，则记，即，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得c m'，c n'，c l'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列．解析：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n项和．（2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式．（3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．。

2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题1. 已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若，则( )A. B.C. D.2. 设i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.4. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象的对称中心为6. 记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知、是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. 3 D. 48. 已知O为坐标原点，点P为函数图象上一动点，当点P的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )A. B.C. D.9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A. 当时，B. 当时，C. 满足的点表示的轨迹为直线D. 满足的点表示的轨迹为椭圆10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )A. 若则是等差数列B. 若则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且则，11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则( )A. C的准线为B. 直线AB与C相切C. D.12. 已知函数，的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则( )A. B.C. D.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为__________.14. 已知函数的定义域为R，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为__________.15. 已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为，且满足，则点P的横坐标a的取值范围为__________16. 已知，则的最小值为__________.17. 设为等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和18. 已知函数求函数的最小正周期及对称轴方程；将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.19. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.20. 如图，在四边形ABCD中，，求角A；若，求四边形ABCD的面积.21. 已知双曲线的离心率是，实轴长是求双曲线C的方程；过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22. 已知函数当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求m的最大值；若函数有且只有两个不同的零点，，求证答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算及集合的包含关系判断与应用，属于基础题．由题意知M，N为R的两个不相等的非空真子集，且，取，，从而依次判断即可．【解答】解：，N为R的两个不相等的非空真子集，，则，取，，对于A，，对于B，，故，对于D，，故，由排除法，可得C正确.故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的四则运算，属于基础题.由题意利用复数的四则运算得，进而可求出在复平面内对应的点所在象限.【解答】解：，，即，故在复平面内对应的点为，在第四象限 .故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.利用奇偶性和函数值的分布即可解答.【解答】解：函数的定义域为R，，则是奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，当时，，则，排除D，故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【解答】解：如图所示，根据平面向量的运算法则，可得故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的对称轴和对称中心、判断正弦型函数的单调区间以及正弦型函数的图象变换，属于中档题；利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项.【解答】解：由图象可知，，可得，因为，则，由图可知函数的最小正周期为，，所以对于A选项，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故B错；对于C选项，当时，则，由于在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C对；对于D选项，令，则，则函数的对称中心为，故D错.故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，涉及椭圆的定义及利用导数研究函数的极值，属于中档题.根据椭圆的定义，以及利用导数研究函数的极值问题，结合充分必要条件的判断进行判定即可.【解答】解：若p为真，则，解得且，所以；若q为真，“函数无极值”，则不存在相异的两个实根，即²，解得，所以\(p⇒q,q⇏p\)，所以p是q的充分不必要条件.故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，是中档题．求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图所示，由题意知：，，，直线AP的方程为：，由，，则，代入直线AP：，整理得：，所求的双曲线离心率为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于较难题．设，，构造函数通过求导来判别其增减性，进而求得答案．【解答】解：设，则，令，，则，设，，则，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，因为，所以，即，故选9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模及其几何意义，复数的四则运算及其几何意义，属于中档题.根据复数的代数运算及模的运算可判定选项AB；根据复数的模的几何意义可判定选项【解答】解：设，，则点，，对于A，，，因为，可求得，所以，即，故A正确；对于B，当，可得，解得，由于a，b，c，d不会都为零，所以，故B错误；对于C，根据复数的几何意义可知，表示的几何图形是圆，故C错误；对于D，在复平面中，点到间距离为，设，，点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D正确.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的判定，涉及等比、等差数列的前n项和，属于中档题．对于选项A，由，求，再验证是否满足，即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当时求得，可判断其正误．【解答】解：对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误；对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确；对于D选项，当时，，故当时不等式不成立，故不成立，所以D错误.故答案为11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，以及抛物线的性质，属较难题．根据抛物线的性质、直线与抛物线的关系及弦长公式逐项判断，即可得出结论.【解答】解：点在抛物线上，即，所以准线为，所以A错误直线代入得：得，所以与C相切，故B正确；由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线，，，则，或，此时，，故C 正确，故D 正确．故选12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性应用，奇偶函数的导数，周期性应用，属于较难题.通过变形，求得的周期，是本题解题的关键，在对题目中的等式进行相应的赋值相加可求得结果.【解答】解：由于是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，则，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及抛物线的焦点，圆的切线问题，是中档题．求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．【解答】解：抛物线的焦点为，圆与直线相切于坐标原点O，圆心在直线上，圆过原点O以及点，则圆心在直线上，即圆心横坐标为1，纵坐标为，即圆心为，半径，则圆的标准方程为，故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数解不等式，考查函数单调性的应用，属于中档题．令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集．【解答】解：令，则，故在R上单调递增，又，的解集为，，故不等式等价于，即，，又，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及其求参，属于中档题.由题意可得圆的半径为2，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，P到圆心的距离小于或等于6，即，由此求得a的范围.【解答】解：由题意可知：圆的半径为2，故弦长AB的范围是又，所以动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由于圆与x轴相离，故P到圆上的点的距离恒大于进而分析得：P到圆心的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解得，故所求的a的范围是：，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．利用基本不等式结合配凑求出结果．【解答】解：由于，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由得：整理得，因为，，成等比数列，所以故舍去，或，又由，解得，，满足条件.故由得，所以，所以，所以……，则……，两式相减得：……，所以【解析】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，属于中档题.根据等差数列的通项公式与求和公式，结合等比数列的性质，列式求得，，从而求得；结合，得，再运用错位相减法求解即可.18.【答案】解：，，所以函数的最小正周期为，令，解得：，所以对称轴方程为：；将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为：，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到：，令：，所以：，又，所以在上的单调递减区间为：，【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦型函数单调性、周期性、对称轴，三角函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．利用三角函数的恒等变换将解析式变形成余弦型函数，即可进一步求出函数的周期和对称轴方程；利用三角函数图象的平移和伸缩变换规律得到的解析式，即可求解在上的单调递减区间．19.【答案】解：由题意可知，，由可得，因为的面积为2，所以，又，，解得，则，故椭圆方程为当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，因为的面积为2，，所以M纵坐标为，所以代入椭圆方程可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线l过点M，不符合题意，所以直线l的方程为【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆的定义，属于中档题．由椭圆的定义得到，再结合直角三角形勾股定理，即可求解；当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得m，进而可得答案．20.【答案】解：因为，，所以，从而，则因为，所以，所以，所以，解得在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，从而因此四边形ABCD的面积故四边形ABCD的面积【解析】本题考查了诱导公式、二倍角公式、三角形的面积，考查了正、余弦定理的综合应用，属于中档题.根据诱导公式结合二倍角公式可求出，即可求出答案；根据余弦定理求出BD，再根据正弦定理可得，进而得，最后结合三角形面积公式即可得出答案.21.【答案】解：依题意得，，解得，所以双曲线C的方程是；证明：由题意知，直线l的斜率一定存在，设，，，直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，即，解得，由，得，故，所以，又，所以点D的纵坐标为定值【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定值问题，属于较难题.由题意得求得即可得双曲线方程;设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，根据题目条件带入坐标求出，即可得22.【答案】解：①当时，，定义域为，，，令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+递减极小值递增所以的极小值为，没有极大值.②对任意的都有，即恒成立，由，故，所以由①知在上单调递增，因此，可得，即当时，的最小值为，所以m的最大值为证明：要证明，只需证明即可.依题意，，是方程的两个不等实根，因为，所以①､②相加得：，①､②相减得：，消去a，整理得，不妨设，令，则故只需证明当时，，即证明设，则于是在上单调递增，从而，因此所以【解析】本题主要考查函数的极值，函数的单调性以及最值问题，考查了导数的应用以及不等式证明，属于较难题.①将代入，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；②问题转化为恒成立，且，得，即，求出m的最大值最大值即可；问题转化为证明即可，求出，不妨设，令，则，证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知向量满足，则（）A．B．C．D．在方向上的投影向量为第(3)题某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则集合A B中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(5)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，则满足不等式的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（）A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士第(8)题已知复数（，是虚数单位）．若，则的虚部是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解D．，当且仅当是素数时等号成立第(2)题已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（）A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为B．直线过定点C．直线与直线的交点在直线上D．与的面积之和的最小值为．第(3)题随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠菌群都不超过200个/L，则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准，否则不能称稳定达到Ⅰ类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20，75%分位数为180；B地区的平均数为170，方差为90；C地区的中位数为150，极差为60；D地区的平均数为150，众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准的地区是（）A．A地区B．B地区C．C地区D．D地区三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知8个非零实数a 1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，向量，，，，给出下列命题：①若a 1，a2，…，a8为等差数列，则存在，使＋＋＋与向量共线；②若a1，a2，…，a8为公差不为0的等差数列，向量，，，则集合M的元素有12个；③若a 1，a2，…，a8为等比数列，则对任意，都有∥；④若a1，a2，…，a8为等比数列，则存在，使·＜0；⑤若m＝·，则m的值中至少有一个不小于0．其中所有真命题的序号是________________．第(2)题设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________．第(3)题一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某小区对本小区1000户居民的生活水平进行调查统计，月人均收入（单位：元）在的有150户，在的有250户，在的有300户，在的有200户，不低于5000元的有100户.(1)若本小区每户居民的月人均收入均不超过6000元，试估计该小区居民的月人均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)根据月人均收入，按分层抽样的方法从该小区抽取20户参加某项幸运家庭活动游戏，游戏结束后，再从这20户参加了游戏且月人均收入不低于4000元的家庭中随机抽取2户参加有奖竞猜，求抽出的2户月人均收入均在的概率.第(2)题已知函数，其中．（1）当时，求证：时，；（2）试讨论函数的零点个数．第(3)题如图所示，在直三棱柱中，，设D为的中点，且.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(4)题已知椭圆的左右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为4，过左焦点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，且（为坐标原点），求的取值范围.第(5)题甲､乙､丙､丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.队伍近10场胜场比队伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为，求；(2)若前二轮比赛结束后，甲､乙､丙､丁四支球队积分分别为3､3､0､6，求甲队能小组出线的概率.。

2020年高考数学全真模拟试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1．若集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|2x≥√2}，则A∩B═.2.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为______ ．3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______．4.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足(e iπ+i)⋅z=i，则|z|=.5.若实数x，y满足约束条件{2x+y−4≥0x−y+4≥03x+2y−3≥0，则z=2x−y的最小值是6.某高中高三(1)班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“人班即静”.“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“人班即静”是我写的；小董说：“天道酶勤“不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败“不是我写的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“人班即静”的书写者是7.设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d <0”是“∀n ∈N ∗，S n+1<S n ”的 条件.(在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填)8.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则|a −b|<3的概率是9.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB.若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .10.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则有S 1：S 2= ______ ．11.若mcos80°+√3tan10°=1，则m = .12.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若△BPF 周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为______．13.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a +b ，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列结论正确的是 .①由图1和图2面积相等可得d =ab a+b ；②由AE ≥AF 可得√a 2+b 22≥a+b 2； ③由AD ≥AE 可得√a 2+b 22≥21a +1b；④由AD ≥AF 可得a 2+b 2≥2ab ．14.若关于x 的不等式ax −2a >2x −lnx −4有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，a=√2，c=√10，________.(补充条件) (Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅰ)求sin(A+B)．从①b=4，②cosB=−√55，③sinA=√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD//BC，点E为棱PD的中点．(Ⅰ)求证：CE//平面PAB；(Ⅰ)求证：AD⊥平面PAB；17.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18.已知椭圆C的方程为x24+y23=1，斜率为12的直线与椭圆C交于A，B两点，点P(1,32)在直线l的左上方．(1)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程；(2)求证：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．19.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n．(Ⅰ)求P1，P2；(Ⅰ)若P n≥2020，求n的最小值；(Ⅰ)是否存在实数a，b，c，使得数列{S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．20.已知函数f(x)=sinx，g(x)=x⋅cosx−sinx．x(1)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)函数f(x)在区间(0,3π)上的极值点从小到大分别为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)<0；数学附加题21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C ′的方程．B ：[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),若以直角坐标系xOy 的原点O 为极点,Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos .若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求线段AB 的长度.C ：[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,求++的最小值. 1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩π-4θ⎛⎫ ⎪⎝⎭132a +132b +132c +【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD, EF ∥AB,∠BAF=90°, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P 在棱DF 上.(1) 若P 是DF 的中点, 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值;(2) 若二面角D-AP-C 的平面角的余弦值为,求PF 的长度.(第22题)23. (本小题满分10分)把正整数按如下规律分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…,记各组包含的正整数的和分别为S 1,S 2,S 3,….(1) 求第10组的最后一个数;(2) 猜测f(n)=S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1(n ∈N *)的结果,并用数学归纳法给出证明.3。

南通市2023届高三第一次调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一､选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A =x 1≤x ≤3 ，B ={x 2<x <4 }，则A ∩B =()A.2,3B.1,4C.-∞,4D.1,+∞2.已知向量a ，b 满足a =1，b =2，a ,b =2π3，则a ⋅a +b =()A.-2B.-1C.0D.23.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点关于直线x -y =0对称，若z 1=1-i ，则z 1-z 2 =()A.2B.2C.22D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S 1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为()A.S 1S 2B.2S 1S 2C.S 1+R S 2+RD.2S 1+R S 2+R5.已知sin α-π6 +cos α=35，则cos 2α+π3=()A.-725B.725C.-2425D.24256.已知随机变量X 服从正态分布N μ,σ2 ，有下列四个命题：甲：P (X >m +1)>P (X <m -2)；乙：P (X >m )=0.5；丙：P X ≤m =0.5；丁：P (m -1<X <m )<P (m +1<X <m +2)如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数f x 的定义域为R ，且f 2x +1 为偶函数，f x =f x +1 -f x +2 ，若f 1 =2，则f 18 =()A.1B.2C.-1D.-28.若过点P t ,0 可以作曲线y =1-x e x 的两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1y 2的取值范围是Oxy π35π6-11()A.0,4e -3B.-∞,0 ∪0,4e -3C.-∞,4e -2D.-∞,0 ∪0,4e -2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点O ，则()A.AD 1∥平面BOC 1B.BD ⊥平面COC 1C.C 1O 与平面ABCD 所成的角为45∘D.三棱锥C -BOC 1的体积为2310.函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ <π2的部分图象如图所示，则()A.ω=2B.φ=π6C.f x 的图象关于点π12,0 对称D.f x 在区间π,5π4上单调递增11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝．从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，则()A.P A =13B.A ，B 为互斥事件C.P B ∣A =12D.A ，B 相互独立12.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，以该抛物线上三点A ，B ，C 为切点的切线分别是l 1，l 2，l 3，直线l 1，l 2相交于点D ，l 3与l 1，l 2分别相交于点P ，Q ．记A ，B ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则()A.DA ⋅DB =0B.x 1+x 2=2x 3C.AF ⋅BF =|DF |2D.AP ⋅CQ =PC ⋅PD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f x =1+log 22-x ,x <1,2x -1,x ≥1,则f f -2 =．14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列a n 的通项公式a n =．①a n a n +1<0；②a n <a n +115.已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为．16.已知正四棱锥S -ABCD 的所有棱长都为1，点E 在侧棱SC 上，过点E 且垂直于SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为，Γ的面积的最大值为．(第一空2分，第二空3分)四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.(10分)在①S 1，S 2，S 4成等比数列，②a 4=2a 2+2，③S 8=S 4+S 7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列a n 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，且满足，．(1)求a n 的通项公式；(2)求1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n +1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。