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αβaOA B二面角三类问题六种解题策略方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠ FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
射影面积法求二面角原理引言：在几何学中，二面角是指由两个平面所夹成的角度，它是空间几何中的基本概念之一。
求解二面角的方法有很多种，其中一种常用的方法是射影面积法。
本文将介绍射影面积法求解二面角的原理和应用。
一、二面角的定义和性质二面角是由两个平面所夹成的角度，可以用来描述两个平面的夹角大小。
二面角有以下性质：1. 二面角的大小范围是0°到180°之间；2. 二面角的大小与两个平面的夹角大小有关，但不仅仅取决于两个平面的夹角；3. 二面角的大小与两个平面的位置有关，即两个平面的相对位置不同，二面角的大小也会有所变化。
二、射影面积法的原理射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它基于以下原理：1. 任意两个平面所夹成的角度可以通过两个平面的射影面积来求解；2. 射影面积是指一个平面在另一个平面上的投影面积，可以用来表示两个平面之间的夹角大小；3. 射影面积可以通过投影公式和向量运算来计算。
三、射影面积法的应用射影面积法在几何学和物理学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 几何学中的角度计算：通过射影面积法可以计算任意两个平面所夹的角度大小，从而求解几何问题；2. 物理学中的力学问题：在力学问题中，二面角可以表示两个力的夹角，通过射影面积法可以计算力的合成和分解；3. 工程学中的结构设计：在结构设计中，二面角可以表示两个构件的夹角，通过射影面积法可以计算结构的稳定性和强度。
四、射影面积法的计算步骤射影面积法的计算步骤如下：1. 确定两个平面的方程；2. 计算两个平面的交线；3. 确定投影方向和投影面积；4. 计算射影面积；5. 根据射影面积计算二面角大小。
五、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种求解二面角的方法，具有以下优点：1. 原理简单易懂，计算步骤清晰明确；2. 适用范围广泛，可以应用于多个学科领域；3. 结果准确可靠，能够满足实际需求。
然而，射影面积法也存在一些缺点：1. 计算过程稍复杂，需要一定的数学基础和计算能力；2. 对于一些特殊情况，射影面积法可能无法提供准确的结果；3. 在实际应用中，射影面积法往往需要结合其他方法和技术进行综合分析。
从近五年高考中浅谈二面角的求解摘要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识.2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国Ⅰ全国Ⅱ北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10% 8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 《普通高中课程标准》对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义.根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （1）证明：M 在侧棱SC 的中点， （2）求二面角S AM B --的大小.分析：从二面角B AM S --中半平 面ABM 上的一已知点B 向棱AM 作垂线，得垂 足F ,在另一半平面ASM 内过该垂足F 作棱AM的垂线（如GF ），这两条垂线)(GF BF 、便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略 （2）由6==AC SA ， 有2=AM ，2==AB AM ，060=∠ABM所以∆ABM 是等边三角形. 过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，有3=BF . 因为ADS ADC ∆≅∆， 所以AC AS =，且M 是SC 的中点， 有AM GF SC AM ⊥⊥,，即AS GF //，又F 为AM 的中点，故GF 是AMS ∆的中位线，点G 是AS 的中点， 则GFB ∠即为所求二面角. 由2=SM ，有22=GF ， DACB SGMF在∆GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， 所以211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG 所以二面角S AM B --的大小为)36arccos(-. 2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小. 最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角βα--l ， 过面α内一点P 作β⊥PA 于A ，作l AB ⊥于B ，连 接PB ，由三垂线定理得l PB ⊥，则PBA ∠为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，CD AB //，2,4===CD BC AB ,F E E AA 、、11,2= 分别是棱AD 、1AA 、AB 的中点. （1） 证明：直线11//FCC EE 平面， （2） 求二面角C FC B --1的余弦值. 分析：过二面角C FC B --1中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面C FC 1的垂线，得垂足O ,再过该垂足O 作棱1FC 的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PAβPBlα基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）,再解直角三角形求二面角的度数.解: 证（1）略（2）因为,2,4===CD BC AB F 是棱AB 的中点, 所以,CF BC BF ==故BCF ∆为正三角形,取CF 的中点O , 则CF OB ⊥又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中,ABCD CC 平面⊥1, 所以BO CC ⊥1,有F CC OB 1平面⊥,过O 在平面F CC 1内作F C OP 1⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角C FC B --1的一个平面角, 在BCF ∆为正三角形中,3OB =,在F CC Rt 1∆中,F CC OPF 1∆≅∆, 因为11OP OFCC C F =所以22122222OP =⨯=+, 在OPB R ∆t 中,22114322BP OP OB =+=+=, 272cos 7142OP OPB BP ∠===, 所以二面角C FC B --1的余弦值为77.ABDCPEF3.垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，A B CD PA 平面⊥,22,2===BC AB AP ，F E ,分别是PC AD ,的中点.（1）证明：BEF PC 平面⊥,（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.解：(1) 略(2) 因为ABCD PA 平面⊥, 所以BC PA ⊥, 又ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，故BAP BC 平面⊥，PB BC ⊥. 又由（1）知BEF PC 平面⊥,所以直线PC 与BC 的角即为平面BEF 与平面BAP 的夹角. 在PBC ∆中，090,=∠=PBC BC PB , 有045=∠PCB ,所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为045. 4.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 原射S S cos =θ ，求出二面角的大小.例4（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（1）求证：PC AB ⊥,（2）求二面角B AP C --的大小.分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，用射影面积法，需求出平面ABEACBP的原S ，平面ACE 的射S ,解法如下.解：（1）略（2） 因为PC AC ⊥，90ACB ∠= ，PAC BC 平面所以⊥．取AP 中点E ，连结BE CE ，． 又AP BP AB ==， 所以APB ∆是等边三角形， 有AP BE ⊥．则在BCE ∆中，AP CE ⊥.所以ACE ∆是ABE ∆在平面ACP 内的射影. 由此可有2222=+===CB AC AP BP AB ，221==AP AE , 622=-=AE AB BE ，222=-=AE AC EC .则1222121=⋅=⋅==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=⋅=⋅==∆EB AE S S ABE 原. 设二面角B AP C --的大小为θ，有3331cos ===原射S S θ, 所以二面角C AP B --的大小为33arccos =θ. 5.补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角. 例5（2010安徽） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF //AB ， EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ， (2)求证：AC ⊥平面EDB ， (3)求二面角B DE C --的大小. 解：（1）（2）略（3）因为EF FB ⊥,90BFC ∠=︒, 所以CDEF BF 平面⊥.在平面CDEF 内过点F 作DE FK ⊥交DE 延长线于K ,连接BK .则FKB ∠为二面角B DE C --的一个平面角.设,1=EF 则.3,2,2===DE FC AB 又EF DC //,所以EDC KEF ∠=∠,即 32sin sin =∠=∠KEF EDC .故EF FK =,32sin =∠KEF ,3tan ==∠FK BF FKB , 所以060=∠FKB ,所以二面角B DE C --为060. 6.向量法向量法解二面角是一种十分方便简捷，也是非常传统的解法，可以说所有的二面角求解都可以用向量法，用向量法解二面角时，首先要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，其次将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，最后利用向量计算解题.例6（2010湖北）如图, 在四面体ABOC 中，,,OB OC OA OC ⊥⊥,0120=∠AOB ，且1===OC OB OA .(1) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算ABAQ的值,(2) 求二面角B AC O --的平面角的余弦值.解：(1)略（2）记平面ABC 的法向量),,(321n n n n =则由A C n⊥,B A n ⊥,且)1,0,1(-=A CGADBCKFEHOBACP得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-023232331n n o n n 故可取)1,3,1(=n，又平面OAC 的法向量为)0,1,0(=e .所以()()53150,1,01,3,1,cos =⋅⋅=e n ，二面角B AC O --的平面角是锐角，记为θ，则515cos =θ . 7.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线时，需将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的方法解题. 例7（2008湖南）如图所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA .（1）证明：平面⊥PBE 平面PAB ,（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的所求二面角的两个半平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线，则需补充完整（延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ），再在补充完整的图形中PF 上找适合的点，形成二面角的平面角解答.解: （1）略（2）延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ，取PF 的中点G ，连接AG ,过点A 作PB AH ⊥于H ,连结HG . 由（1）有⊥AH 平面PBE ， 即PF AH ⊥，HG AH ⊥.在等腰PAF Rt ∆中，有PF AG ⊥. 由三垂线定理的逆定理有ABCEDPFGHHG PF ⊥,所以AGH ∠是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在ABF Rt ∆中，因为060=∠BAF , 所以AP AB AF ===22. 在等腰PAF Rt ∆中，22.2AG PA == 在PAB Rt ∆中，22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+ 所以，在AHG Rt ∆中，25105sin .52AH AGH AG ∠===故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，也是历年来高考考查的重要内容之一. 二面角的求解有很多不同的方法，本文介绍了定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小，在求解过程中要根据题目的特点选择适当的方法.综合本文可知，首先只要能够比较顺利的做出二面角的平面角，还是选用定义法、三垂线法为好.而向量的优点是，无需作出二面角的棱，也无需做其它的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题，但这方法也有缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应向量之间的关系.从计算量上讲，射影面积法相比其它七种方法要小，而且技巧性更高，免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转换.但题目是“万变”的，当我们面对无棱的二面角时，我们就要使用垂面法、补形法、补棱法找出所隐含的平面角. 总之，所有方法都需要面对不同的题型灵活运用.参考文献[1] 全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第二册（上）．人民教育出版社，2007. [2]普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008，4[3]最新五年高考真题汇编详解[M]．天利全国高考命题研究组．西藏人民出版社，2010[4]黄星寿.二面角问题的解题方法探讨[J]，宜州民族师范学校，文章编号1005-765(2000)02-0076-04.[5]名师指津.二面角计算[M]，筱瑶工作室整理出品.[6]王秋霞.二面角的几种求法[J]，高中数学教与学，江苏省泰州市高港职业教育中心校，225300.[7]龚佳佳.求二面角的大小的方法[J]，北京新学堂研发部，2010—10—15.[8]蔡志提. 怎样解关于二面角问题[J], 福建省晋江市平山中学, 2003—8—13.[9] 欧阳志辉, 周友良. 二面角大小的求法的归类分析[J],衡阳县三中, 湖南祁东育贤中学,421600.。
面积法求二面角的大小通州市二窎中学 周国溢 杨 军在立体几何中，求二面角的大小是高考比较常见的题型之一。
而求二面角的大小又是利用定义找出二面角的平面角，通过平面角的大小来衡量的，从而使得找出二面角的平面角成为求二面角的大小的关键。
一般的，找二面角的平面角可以从“二面角的平面角”的定义出发，也可以运用“三垂线定理”或是其逆定理来实现。
而这些方法又是以给出棱为前提。
在实际运用中，常会碰到只告诉两个面的一个交点，或是没有交点，并没有给出它们的棱。
如：例1：在正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =，D 为1BB 上的中点，求平面D AC 1与平面ABC 所成角的正弦值。
分析：在此题中，很明显，平面D AC 1与平面ABC 只有一个交点A ，并没有给出它们的交线。
按正常解法，首先，必须找出二面角的平面角，而此题中，平面D AC 1与平面ABC 所成的二面角有两种情况，而这两种情况是“互补”，对所求结果不会产生影响，那么只要找出一种情况的二面角的平面角就可以了。
要找平面角，作出二面角的棱是非常重要的，从而使问题归结到立体几何的作图问题——求作两个面的交线。
只需延长CB D C ,1相交与E ，连结AE ，这就是二面角的棱，此时所求二面角的平面角中的一个就是AC C 1∠。
那么，能否不通过找二面角的平面角而直接把二面角的角度给求出来。
βα--l 的角度为θ（00900<<θ），l B A ∈,，α∈C ，l C ∉，C 在β内的射影为C '，那么C AB '∆为ABC∆在β内的射影，且ABCC AB S S∆'∆=θcos 。
C 1A 1B 1ABC DC 1A 1B 1ABC D EABC’ Cαβl证明：（1）设ABC ∆中的任意一点P ，P '为P 在β内的射影，连结CP 交AB 于G ，连结G C '；β⊥'C C ；G C '∴为CG 在β内的射影；P 在线段CG 上；P '∴在线段G C '上；P '∴在C AB '∆上；即C AB '∆为ABC ∆在β内的射影。
探索求二面角大小的常用方法作者：张学平来源：《科技视界》2013年第31期【摘要】立体几何中的二面角问题是考察学生空间想象能力的的一个重要知识点。
二面角的求解方法很多，本文通过常用实例总结了几种典型的二面角求解方法，并给出了评述。
【关键词】立体几何；二面角；空间想象能力；求解方法二面角问题是立体几何的一个重点也是难点，它的求法很多，且在各种求法中需要充分运用立体几何中的线线、线面、面面关系，教材引进空间向量后解决就更多了，因此，二面角问题具有综合性强，灵活性大的特点，这一内容也自然成为高考的热点，学生需要掌握这一问题的常用方法。
例如：如图1（a）所示，在底面是等腰直角△ABC中，∠B=90°，PA⊥面ABC，且PA=AB=BC. 求二面角B-PC-A的大小。
1 直接法直接作出二面角的平面角来求大小，突出一个“作”。
解法一：如图1（b），过A作AE⊥PB交PB于E，在面PBC内作EF⊥PC交PC于F，连接AF，设PA=PB=PC=a，∵PA⊥面ABC，且CB在面ABC内∴PA⊥BC∵在等腰直角△ABC中， CB⊥AB，且PA∩PB=A∴CB⊥面PAB，且CB在面PBC內∴面PCB⊥面PBA∵在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，且PB=面PAB∩面CPB∴AE⊥面PBC，且PC在面PCB内，∴AE⊥PC∵PC⊥EF，且AE∩EF=E∴PC⊥面AEF即∠AFE就是二面角B-PC-A的平面角∴∠AFE=60°故二面角B-PC-A的大小为60°点评：在二面角的棱上任取一点，然后在两个平面内分别作棱的垂线，则这两条直线所成的角即为二面角的平面角，这是利用二面角的定义来作平面角，这种方法叫也做定义法。
2 间接法间接法就是不直接作出二面角的平面角，突出一个“不作”。
方法主要有：1）射影面积法是常用的典型方法，如图1（c），在平面α内有一个平面图形ABC，在平面β内的平面图形OBC为平面图形ABC在平面β内的射影，设二面角的大小为θ，射影图形的面积为S射，原来图形的面积为S原，则可证明cos=S射/S原2）向量法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个向量的夹角或补角，如图1（d）。
用射影法求二面角和截面积
梁克强
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】在解决近年的高考数学试题中，面积射影公式cosθ=（S谢影/S原形）在求二面角θ和多面体的截面积时，都原起着很好的作用．下面举例说明如何运用该公式来解决这两类闸题．
【总页数】2页(P23-24)
【作者】梁克强
【作者单位】湖北省京山一中，431800
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.求二面角的一个面积公式 [J], 廖炳江
2.“棱法向量法”求二面角——有棱二面角的“另类”向量解 [J], 傅建红
3.求线面角及二面角大小的又一种方法--公式法--谈用公式法解高考题中的有关问题 [J], 朱红岩
4.用面积法求二面角的平面角 [J], 徐永河
5.用射影法求二面角 [J], 王尚尧
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射影面积法求二面角原理引言：射影面积法是一种常用于计算几何体二面角的方法，它基于射影面积的概念，通过计算几何体在某一平面上的投影面积来确定二面角的大小。
本文将介绍射影面积法求二面角的原理和应用。
一、射影面积法的基本原理射影面积法是基于几何体在不同平面上的投影面积与几何体二面角之间的关系来进行计算的。
具体而言，我们可以通过在几何体上选择一个合适的平面，将几何体投影到该平面上，然后计算投影面积，最后利用投影面积与二面角之间的关系，求解二面角的大小。
二、射影面积法的步骤1. 选择适当的平面：根据几何体的特点和问题的要求，选择一个合适的平面进行投影。
通常情况下，选择与几何体的某一面垂直的平面可以简化计算过程。
2. 进行投影：将几何体投影到所选择的平面上，得到投影面积。
投影的方法可以根据几何体的形状和问题的要求灵活选择，常用的投影方法包括平行投影和中心投影等。
3. 计算投影面积：根据投影所得到的平面图形的形状和大小，使用几何学方法计算投影面积。
根据平面图形的形状，可以使用不同的计算公式，如矩形的投影面积为底边长度乘以高度，三角形的投影面积为底边长度乘以高度的一半等。
4. 计算二面角：根据投影面积与二面角之间的关系，利用所得到的投影面积计算二面角的大小。
具体的计算方法可以根据几何体的特点和问题的要求选择，常用的计算方法包括使用正弦定理、余弦定理等。
三、射影面积法的应用举例1. 求解四面体的二面角：对于一个四面体，可以选择一个面作为投影面，将四面体投影到该面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解四面体的二面角。
2. 求解棱柱的二面角：对于一个棱柱，可以选择柱面作为投影面，将棱柱投影到柱面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解棱柱的二面角。
3. 求解球体的二面角：对于一个球体，可以选择一个切面作为投影面，将球体投影到该切面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解球体的二面角。
四、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种计算几何体二面角的常用方法，具有一定的优点和缺点。
射影面积法求二面角原理概述：射影面积法是计算二面角的常用方法之一，它基于物体在不同角度下的射影面积的变化来求解二面角。
二面角是指由两个平面所夹的角，它在几何学和计算几何学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍射影面积法求解二面角的原理及其应用。
一、射影面积法原理射影面积法通过计算物体在不同角度下的射影面积来求解二面角。
具体步骤如下：1.选择观察点：确定观察点的位置，通常选择观察点位于物体所在平面外部，且与物体的一条边垂直相交。
2.确定观察面：从观察点出发，选择一个平面作为观察面，该平面与物体的一条边垂直相交，并且与观察点所在平面垂直。
3.计算射影面积：在观察面上，以物体的一条边为边界，通过观察点将物体投影到观察面上，计算投影的面积。
4.改变观察角度：保持观察点不变，改变观察面与物体的夹角，重复步骤3，计算不同角度下的射影面积。
5.计算二面角：根据不同角度下的射影面积，利用数学方法求解二面角的大小。
二、射影面积法的应用射影面积法可以应用于多个领域，包括几何学、物理学、计算机图形学等。
以下是该方法的一些具体应用：1.计算物体的空间角：射影面积法可以用于计算物体在空间中所占的角度，例如计算两个平面所夹的角度、计算一个立体角等。
2.三维建模：在计算机图形学中，射影面积法可以用于三维建模和渲染，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以生成真实感的三维模型。
3.物体识别：射影面积法可以应用于物体识别和目标跟踪，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以对物体进行形状和姿态的判断。
4.光线追踪：在光线追踪算法中，射影面积法可以用于计算光线与物体的相交情况，从而实现真实感的光影效果。
总结：射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以准确地求解二面角的大小。
该方法在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，可以用于计算物体的空间角、三维建模、物体识别和光线追踪等方面。
射影面积法的原理简单易懂，但在具体应用中需要注意选择合适的观察点和观察面，以及正确计算射影面积。
射影面积法在高考中的运用随着社会科学的发展和技术的进步，许多新技术和新方法在高考中得到了广泛应用。
射影面积法作为数理化科目高考中较新的一种统计方法，在最近几年中，越来越多地受到了高考考生和教师的重视。
本文试图分析射影面积法在高考中的运用，从而探讨其在高考中的优势和不足。
一、射影面积法是什么射影面积法，也称为网格分析法或空间网格分析法，是一种基于地理或重点空间点的信息编码方法。
其基本原理是将地图上的特定区域划分为一个个的小面积单位，每一单位面积都有一组指定的参数。
研究者可以根据该参数来统计出不同区域的特征，并利用这些特征推断出区域之间的相关性。
二、射影面积法在高考中如何运用1、射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点。
通过计算和分析射影面积，考生可以更全面地掌握高考知识点，掌握知识点之间的内在联系，甚至进一步推导出新的知识点。
2、射影面积法可以提高高考的答题准确率因为射影面积法可以帮助考生更准确地了解知识点，所以考生在高考中使用此方法，可以提高其答题准确率。
三、射影面积法在高考中的优势和不足1、射影面积法在高考中具有很强的优势射影面积法可以有效地提高答题准确率，可以帮助考生更全面的了解高考知识点，还可以有效地分析地理内容。
2、射影面积法也有其不足之处尽管射影面积法有很多优势，但它也存在一些不足之处，比如难以解决较大范围的问题，而且需要大量计算时间，计算结果可能会出现误差。
综上所述，射影面积法在高考中是一种很有帮助的统计方法，可以帮助考生更加准确地掌握高考知识点，提高答题准确率。
当然，射影面积法也有其不足之处，应根据实际情况灵活运用，以及不断完善运用方法，相信在不久的将来，射影面积法会在高考中发挥更大的作用。
用射影面积法求二面角在高考中的妙用立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD.α⊥'AA 于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '.又α⊂⊥BC BC AD , ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）.'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA ，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=.SS AD BC D A BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ.典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( )A.︒45B. 21arctanC. 42arctanD. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE.103cos 1sin ,1012cos 1211212121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC.32cos ,221,3sin 21''11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ32arccos =∴θ.故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形, SD ⊥面AC, SB =3.(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小;(3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD ⊥面AC ， ∴SC 在面AC 内的射影是SD.又 四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ， ∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.（2）解： SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .1,2,3,1,902222=-==-=∴==︒=∠CD SC SD BC SB SC SB BC SCB .'AAB D CαA BD 1 C 1D C A 1 B 1E A BD 1 C 1 D C A 1 B 1E A BCSMD.22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故4πθ=.所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π. （3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME.EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ， 2221,222===+=SA MD SD AD SA . 02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 解法二：⊥BA 面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 . 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB =2，AF = 1，M 是线段EF 的中点.(1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 21=，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.又⊂EO 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.（2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ，∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥.而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴.⊂BD 平面BDF ，∴面AE ⊥平面BDF.（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥ ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. AB =2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO ..21cos ,2221,221''===⋅==⋅=∴S S AF AD S FO BD S θ故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π. 例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD .（1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小.D AMC BE FD AMC BEFOD AMC BEFOA BCSMD E A BCSMD PA DB C（1）证明：,22,2===PD PA AD 222PD PA AD =+∴. ︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥. 又 四边形ABCD 是正方形，AB DA ⊥∴.而A PA AB = ，AB 、PA ⊂面PAB ， ∴AD ⊥平面PAB. （2） AD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠.在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP .又 BC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB .所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB = ，⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S . 554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.VD C A BPA DB CE2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.SA BD CE 1CC BADE1A1B EB CA DP金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,, .又 平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面V AD ， ∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）.而,A AD VA = V A 、AD ⊂平面V AD ，故AB ⊥平面V AD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47c o s 1s i n ,432c o s 2222=∠-=∠=⋅-+=∠V B D V B D BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S . 721cos '==∴S S θ，721arccos =θ.所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos. 2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.（1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF.EF EC AE FC AF ∴==,,1 ∥1121,CC EF CC =.在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC.∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥.在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线. （2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴=== .︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A A B B1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1，则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC . 4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π. VD C A B1CC BADE1A1B 1CC BADE1A1BF1CC BADE1A1B3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33t a n ,33t a n==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又 PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC . 72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC .5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值. （1）证明：连结BD.四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴.又 SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC = ，连结EO.SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD = ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE.∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ.a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴== .a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴. 2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22. EB CA DPEB CA DPSA BD CE O。
